可測函數(shù)的定義與性質(zhì).pptx

第11講 可測函數(shù)的定義與性質(zhì),目的：熟練掌握可測函數(shù)的定義，熟悉其 性質(zhì)，掌握常見的一些可測函數(shù)。 重點(diǎn)與難點(diǎn)：可測函數(shù)的引入，性質(zhì)的證 明。,第11講 可測函數(shù)的定義與性質(zhì),基本內(nèi)容： 一可測函數(shù)的定義 為了定義新的積分，我們已經(jīng)對Rn中的一般集合定義了測度概念，但同時也看到了，Rn中的 確存在一些集合，它們是不可測的，因此，有必要對定義于Rn中某個可測子集E上的函數(shù)f，考察形如,第11講 可測函數(shù)的定義與性質(zhì),的集合這可測性,假如對一切的 上述集合都是可測的，則下面的和式 就有意義了（見本書的引言），從而可以討論其極限的存在性，本章的目的，就是研究使得集合,第11講 可測函數(shù)的定義與性質(zhì),對一切 都可測的函數(shù) 之結(jié)構(gòu)。 （1）關(guān)于的運(yùn)算 由于我們允許函數(shù)值取 ，所以需作一些規(guī)定，我們所討論的函數(shù)都是指單值實(shí)函數(shù)，并且規(guī)定 （i） （ii）對任意,第11講 可測函數(shù)的定義與性質(zhì),（iii）對任意 （iv） 但是,第11講 可測函數(shù)的定義與性質(zhì),及 是沒有意義的，因此，不允許作這種運(yùn)算。 （2）定義 定義1 假設(shè) 是可測集， 是E上的函數(shù)，如果對任意常數(shù)a，集合 都是可測集，則稱f是E上的可測函數(shù)。,第11講 可測函數(shù)的定義與性質(zhì),問題1：為了定義函數(shù)的Lebesgue積分，須要求這些函數(shù)滿足什么條件？ 問題2：列舉幾類可測函數(shù)的例子？,第11講 可測函數(shù)的定義與性質(zhì),（3）簡單函數(shù)的可測性 定義 設(shè) 是可測集,E1，E2，En 是E 的互不相交的可測子集，且 C1,C2，,Cn是常數(shù)，則稱E上的函數(shù) 為簡單函數(shù)。,第11講 可測函數(shù)的定義與性質(zhì),記 為 的特征函數(shù)，則顯然有 命題1 對任意可測集E，E上的簡單函數(shù) 是可測的。 證明：設(shè) 是E上的簡單函 數(shù)，不失一般性，假設(shè),第11講 可測函數(shù)的定義與性質(zhì),（若 ，則將 看作某個Ek ），往證對任意 是可測集。顯然，,第11講 可測函數(shù)的定義與性質(zhì),所以 是可測集。證畢。 （4）非負(fù)函數(shù)可測性的等價定義 如果可測函數(shù) ，則稱其為非負(fù) 可測函數(shù)。 定理1 如果 是可測集上的非負(fù)函數(shù)， 則下列各陳述相互等價：,第11講 可測函數(shù)的定義與性質(zhì),（i） 在E上非負(fù)可測； （ii）存在E上的非負(fù)簡單函數(shù)列 使得 證明 ，其中,第11講 可測函數(shù)的定義與性質(zhì),是E上的非負(fù)簡單函數(shù)，滿足 則對任意實(shí)數(shù)a及任意 是 可測集，但 故 是可測集。 (i)(ii) 假設(shè)f 是E上的非負(fù)可測函數(shù)，即,第11講 可測函數(shù)的定義與性質(zhì),任意實(shí)數(shù)a, 是可測集,不難看 到 故 是可測集，于是對任意常 數(shù)a，b，集合 也是可測的。,第11講 可測函數(shù)的定義與性質(zhì),對任意正整數(shù)m及 令 則 是互不相交的可測集，且 定義簡單函數(shù),第11講 可測函數(shù)的定義與性質(zhì),可以證明 （請讀者自行 驗(yàn)證）。下面證明 若 使 則對任意 ，所以 若 則可取正整數(shù) 則當(dāng) 時，,第11講 可測函數(shù)的定義與性質(zhì),因此 。證畢。 由于定理1中（i）與(ii)的等價性，所 以，也可將（ii）作為非負(fù)可測函數(shù)的定義。,第11講 可測函數(shù)的定義與性質(zhì),（5）一般可測函數(shù)的等價定義 而對一般的實(shí)值函數(shù)，可以作的正負(fù)部分解：,第11講 可測函數(shù)的定義與性質(zhì),則 ,于是又可利用 的可測性來定義的f 的可測性。即稱 可測當(dāng)且僅當(dāng) 都是可測函數(shù)。可以證明該定義與定義1是等價的。,第11講 可測函數(shù)的定義與性質(zhì),定理2 設(shè)是Rn中可測集E個的函數(shù)，則 在E上可測當(dāng)且僅當(dāng)下列條 件之一成立。 (i)對任意常數(shù)a, 可測； (ii)對任意常數(shù)a, 可測；,第11講 可測函數(shù)的定義與性質(zhì),(iii)對任意常數(shù)a, 可測； 證明：因?yàn)?第11講 可測函數(shù)的定義與性質(zhì),故 可測(i)(ii)(iii) 可測。 證畢。 問題3：可否用Ex|f(x)=(R)的可測性作為可測函數(shù)的定義？為什么？,第11講 可測函數(shù)的定義與性質(zhì),問題4：可否用Ex|f(x)的可測性作為可測函數(shù)的定義？ 問題5：若f是可測函數(shù)，則 Ef(x)=是否可測？,第11講 可測函數(shù)的定義與性質(zhì),命題2 若 是E上的可測函數(shù)，則 都是可測集。 證明 由 立得證明。,第11講 可測函數(shù)的定義與性質(zhì),二可測函數(shù)的性質(zhì) （1）幾乎處處相等的函數(shù) 下面討論可測函數(shù)的基本性質(zhì)。 一般地，如果E是可測集， 是與x 有關(guān)的命題，且存在E的零測子集E0，使得對任意 ，命題成立，則說 在E上幾乎處處成立。,第11講 可測函數(shù)的定義與性質(zhì),性質(zhì)1 如果兩個函數(shù) 與 在 上幾乎處處相等，則當(dāng)其中一個在E上可測時，另一個也可測。 證明：假設(shè) 可測，則對任意實(shí)數(shù) 是可測集，由于 是零測集，且,第11講 可測函數(shù)的定義與性質(zhì),故 是可測集 與一個零測集的并，它當(dāng)然可測。證畢。,第11講 可測函數(shù)的定義與性質(zhì),從性質(zhì)1可以看到，函數(shù)的可測性與其在零測集上的取值無關(guān)，因此，討論的函數(shù)的可測性允許在任何零測集上改變其值，比如，我們來看看Dirichlet函數(shù)。,第11講 可測函數(shù)的定義與性質(zhì),由于 ，故可以在 上重新定義D的值，從而得新的函數(shù) 這是常值函數(shù)，它與 幾乎處處相等，所以 與 的可測性相同。盡管 處處不連續(xù)，但和一個常值函數(shù)卻是幾乎處處相等的。在第四章中將會看到，這樣的函數(shù)雖然不是Riemann可積的，卻是最簡單的Lebesgue可積函數(shù)。事實(shí),第11講 可測函數(shù)的定義與性質(zhì),上，它正是我們前面定義的簡單函數(shù)。 （2） 可測函數(shù)定義域的分割 性質(zhì)2 如果 是E上的可測函數(shù)，E0 是E的可測子集，則 也是E0上的可測函數(shù)。反之，如果已知在每一個Ei上都可測，i=1,2,3,則 在 可測。,第11講 可測函數(shù)的定義與性質(zhì),證明：由 立得性質(zhì)2。 由于我們允許可測函數(shù)取值為 ，所以討論兩個可積函數(shù)的和、差、商的可,第11講 可測函數(shù)的定義與性質(zhì),測性，需假定這些運(yùn)算是被允許的。 （3） 可測函數(shù)的和與差的可測性 性質(zhì)3 若 ， 都是E上的可測函數(shù)則 （i） 在E上可測。 (ii)當(dāng) 在E上幾乎處處有意義時， 在E上可測；,第11講 可測函數(shù)的定義與性質(zhì),證明：若 ，則 ，它當(dāng)然在E上可測。若 ，則對任意 從而由 的可測性知 可測。,第11講 可測函數(shù)的定義與性質(zhì),若 則 故 仍可測。（i）證畢。 為證(ii)，不妨設(shè) 處處有意義， 將R1中的全體有