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第一節(jié) 常數(shù)項級數(shù)的概念,一、問題的提出,二、級數(shù)的概念,三、基本性質,五、小結 思考題,四、收斂的必要條件,一、問題的提出,1. 計算圓的面積,正六邊形的面積,正十二邊形的面積,正 形的面積,二、級數(shù)的概念,1. 級數(shù)的定義:,(常數(shù)項)無窮級數(shù),一般項,部分和數(shù)列,級數(shù)的部分和,2. 級數(shù)的收斂與發(fā)散:,余項,無窮級數(shù)收斂性舉例：Koch雪花.,做法：先給定一個正三角形，然后在每條邊上對,稱的產(chǎn)生邊長為原邊長的1/3的小正三角形如此,類推在每條凸邊上都做類似的操作，我們就得到,了面積有限而周長無限的圖形“Koch雪花”,第一次分叉：,依次類推,播放,觀察雪花分形過程,周長為,面積為,第 次分叉：,于是有,結論：雪花的周長是無界的，而面積有界,雪花的面積存在極限（收斂）,解,例1 討論等比級數(shù)(幾何級數(shù)),的收斂性.,收斂,發(fā)散,發(fā)散,發(fā)散,綜上,解,例2 判別無窮級數(shù),的收斂性,三、基本性質,結論: 級數(shù)的每一項同乘一個不為零的常數(shù), 斂散性不變.,結論: 收斂級數(shù)可以逐項相加與逐項相減.,證明,類似地可以證明在級數(shù)前面加上有限項不影響級數(shù)的斂散性.,證明,注意,收斂級數(shù)去括弧后所成的級數(shù)不一定收斂.,收斂,發(fā)散,四、收斂的必要條件,證明,級數(shù)收斂的必要條件:,注意,1.如果級數(shù)的一般項不趨于零,則級數(shù)發(fā)散;,發(fā)散,2.必要條件不充分.,討論,8項,4項,2項,2項,項,由性質4推論,調和級數(shù)發(fā)散.,五、小結,常數(shù)項級數(shù)的基本概念,基本審斂法,思考題,思考題解答,能由柯西審斂原理即知,練習題,練習題答案,觀察雪花分形過程,第一次分叉：,依次類推,觀察雪花分形過程,第一次分叉：,依次類推,觀察雪花分形過程,第一次分叉：,依次類推,觀察雪花分形過程,第一次分叉：,依次類推,觀察雪

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