某重點(diǎn)高中2017_2018學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題理（含解析）.docx

2017-2018學(xué)年上期高二期中考試?yán)砜茢?shù)學(xué)第卷（共60分）一、選擇題：本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1. 中，角的對(duì)邊分別為，已知，則（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】在ABC中， ，則 ，由正弦定理可得： 故選C2. 等比數(shù)列中，若，則（ ）A. 64 B. -64 C. 32 D. -32【答案】A【解析】數(shù)列是等比數(shù)列，即 解得 那么 故選A3. 已知等差數(shù)列中，公差，則（ ）A. 5或7 B. 3或5 C. 7或-1 D. 3或-1【答案】D【解析】在等差數(shù)列中，公差，得 ，解得 或 故選D4. 中，,則（ ）A. 15 B. 9 C. -15 D. -9【答案】B.故選B5. 已知成等比數(shù)列，且曲線的頂點(diǎn)是，則等于（ ）A. 5 B. 6 C. 7 D. 12【答案】B【解析】把 配方得 得到頂點(diǎn)坐標(biāo)為 ，即 由 成等比數(shù)列，則 ，故選B6. 已知等差數(shù)列的公差為整數(shù)，首項(xiàng)為13，從第五項(xiàng)開始為負(fù)，則等于（ ）A. -4 B. -3 C. -2 D. -1【答案】A【解析】在等差數(shù)列中，由 ，得 ，得 ，公差 為整數(shù)， 故選A7. 已知中，角的對(duì)邊分別為，已知，若三角形有兩解，則邊的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 ，要使三角形有兩解，就是要使以 為圓心，半徑為2的圓與有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，圓與相切；當(dāng)時(shí)交于點(diǎn)，也就是只有一解，即 由正弦定理以及 可得： 的取值范圍是 故選C8. 中，角的對(duì)邊分別為，已知，則的形狀是（ ）A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形或直角三角形 D. 等腰直角三角形【答案】C當(dāng) 時(shí)，的形狀是等腰三角形，當(dāng) 時(shí)，即 ，那么 ，的形狀是直角三角形故選C【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理和三角形內(nèi)角和定理的運(yùn)用解題的關(guān)鍵是得到一定要注意分類討論9. 已知中，則（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】根據(jù)正弦定理 化簡(jiǎn)已知等式得： ，又 為三角形的內(nèi)角，則 故選D【點(diǎn)睛】此題考查了正弦定理，以及余弦定理的運(yùn)用，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵10. 九章算術(shù)中有“今有五人分五錢，令上二人所得與下三人等，問各得幾何？”其意思為“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5錢，甲、乙兩人所得與丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數(shù)列，問五人各得多少錢？”這個(gè)問題中，甲所得為（ ）A. 錢 B. 錢 C. 錢 D. 錢【答案】B【解析】設(shè)甲、乙、丙、丁、戊所得錢分別為,則,解得,又 ,則,故選B.11. 設(shè)為等差數(shù)列，公差，則使前項(xiàng)和取得最大值時(shí)正整數(shù)等于（ ）A. 4或5 B. 5或6 C. 6或7 D. 8或9【答案】B【解析】設(shè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)為公差為解得a或（舍去）則 ， 故使前項(xiàng)和取最大值的正整數(shù)是5或6故選B12. 已知銳角中，角的對(duì)邊分別為，若，則的面積的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】， 由題 為銳角，可得 由正弦定理可得 ，可得： ， 為銳角，可得 ，可得 故選C第卷（共90分）二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13. 在中，角的對(duì)邊分別為，若，則此三角形面積為_【答案】【解析】 ，故 ，故三角形面積 故答案為14. 數(shù)列的首項(xiàng)，則_【答案】-61【解析】由題數(shù)列的首項(xiàng)，則當(dāng)時(shí)。 是以-1為首項(xiàng)以2為公比的等比數(shù)列， 故答案為-6115. 已知等差數(shù)列，前項(xiàng)和分別為和，若，則=_【答案】【解析】 故答案為16. 如圖半圓的半徑為1，為直徑延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，為半圓上任意一點(diǎn)，以為一邊作等邊三角形，則四邊形面積最大值為_.【答案】【解析】設(shè)，在中，由余弦定理得： ，所以四邊形的面積為： ， ，當(dāng) ，即 即時(shí)，四邊形 面積取得最大值，最大為 故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了余弦定理以及三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和求最大值問題其中利用余弦定理得到是解題的關(guān)鍵.三、解答題 （本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.） 17. 在中，角的對(duì)邊分別為，且滿足.（1）求角；（2）若的面積，求邊.【答案】(1)；(2)7.【解析】試題分析：（1）根據(jù) 利用二倍角和誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)可得角（2）根據(jù) ，即可求解邊的值試題解析：（1）解得或，.（2），即， ，解得.18. 已知等比數(shù)列滿足，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若不等式，對(duì)一切恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】試題分析：1）根據(jù)是等比數(shù)列，可得 *可得，即可求解數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式求解n，由于，分離參數(shù)，即可求解實(shí)數(shù)的取值范圍試題解析：（1）設(shè)等比數(shù)列公比為，.（2）由（1）知，即對(duì)一切恒成立.令，則隨的增大而增大.，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的求解，其中根據(jù)分離參數(shù)的表達(dá)式以及結(jié)合單調(diào)性求解范圍是解決本題的關(guān)鍵19. 在等差數(shù)列中，其前項(xiàng)和為.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和，并證明.【答案】（1）；（2），證明見解析.【解析】試題分析：（1）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，由已知列出關(guān)于首項(xiàng)和公差的方程組，求得，代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解；（2）求出，可得，利用裂項(xiàng)相消法求和后即可證明試題解析：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則由及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，得，又，解得，則；（2）由（1）知，即 ，則 .所以.20. 在銳角中，分別為角的對(duì)邊，且.（1）確定角的大小；（2）當(dāng)時(shí)，求周長(zhǎng)的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】試題分析：（1）由正弦定理化簡(jiǎn)已知可求，結(jié)合范圍 ，求得 ，結(jié)合范圍 ，即可得解 的值（2）根據(jù)正弦定理可得，結(jié)合是銳角三角形，可求得周長(zhǎng)的最大值.試題解析：（1）由及正弦定理得，.，.是銳角三角形，.（2）， .是銳角三角形，故，所以周長(zhǎng)的最大值是.21. 輪船從某港口將一些物品送到正航行的輪船上，在輪船出發(fā)時(shí)，輪船位于港口北偏西且與相距20海里的處，并正以30海里的航速沿正東方向勻速行駛，假設(shè)輪船沿直線方向以海里/小時(shí)的航速勻速行駛，經(jīng)過小時(shí)與輪船相遇.（1）若使相遇時(shí)輪船航距最短，則輪船的航行速度大小應(yīng)為多少？（2）假設(shè)輪船的最高航速只能達(dá)到30海里/小時(shí)，則輪船以多大速度及什么航行方向才能在最短時(shí)間與輪船相遇，并說明理由.【答案】（1）輪船以海里/小時(shí)的速度航行，相遇時(shí)輪船航距最短；（2）航向?yàn)楸逼珫|，航速為30海里/小時(shí)，輪船能在最短時(shí)間與輪船相遇.【解析】試題分析：（1）設(shè)兩輪船在處相遇，在 中，利用余弦定理得出關(guān)于t的函數(shù)，從而得出的最小值及其對(duì)應(yīng)的，得出速度；（2）利用余弦定理計(jì)算航行時(shí)間，得出 距離，從而得出 的度數(shù)，得出航行方案試題解析：（1）設(shè)相遇時(shí)輪船航行的距離為海里，則 .當(dāng)時(shí)，即輪船以海里/小時(shí)的速度航行，相遇時(shí)輪船航距最短.（2）設(shè)輪船與輪船在處相遇，則 ，即.，即，解得，又時(shí)，時(shí)，最小且為，此時(shí)中，航向?yàn)楸逼珫|，航速為30海里/小時(shí)，輪船能在最短時(shí)間與輪船相遇.22. 已知數(shù)列及，且,.（1）求的值；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）求證:.【答案】（1），；（2）；（3）證明見解析.【解析】試題分析：（1）由已知條件利用函數(shù)的性質(zhì)能求出 的值（2）由已知條件推導(dǎo)出，由此能求出數(shù)列的通項(xiàng)公式（