riemann猜想漫談(十六)

Riemann 猜想漫談 (十六)作者：盧昌海二十七.Levinson方法Selberg的臨界線定理表明Riemann函數(shù)臨界線上的零點在全體非平凡零點中所占比例大于零。那么這個比例究竟是多少呢？Selberg在論文中沒有給出具體的數(shù)值。據(jù)說他曾經(jīng)計算過這一比例，得到的結(jié)果是5%-10%注一。另外，中國數(shù)學(xué)家閔嗣鶴(1913-1973)在牛津大學(xué)留學(xué)(1945-1947)時，曾在博士論文中計算過這一比例，得到了一個很小的數(shù)值。這些結(jié)果或是太小，或是沒有公開發(fā)表，在數(shù)學(xué)界鮮有反響?？偟膩碚f，Selberg的結(jié)果更多地是被視為是一種定性的結(jié)果即首次證明了位于臨界線上的零點占全體非平凡零點的比例大于零。有關(guān)這一比例的具體計算時隔二十多年才有了突破性的、并且引人注意的進(jìn)展。這一進(jìn)展是由美國數(shù)學(xué)家NormanLevinson(1912-1975)做出的。Levinson小時候家境非常貧寒，父親是鞋廠工人，母親目不識丁且沒有工作，但他在十七歲那年成功地考入了著名的高等學(xué)府麻省理工學(xué)院(MassachusettsInstituteofTechnology，簡稱MIT)。在MIT的前五年，Levinson在電子工程系就讀，但他選修了幾乎所有的數(shù)學(xué)系研究生課程，并得到了著名美國數(shù)學(xué)家NorbertWiener(1894-1964)的賞識。1934年，Levinson轉(zhuǎn)入了數(shù)學(xué)系。這時Levinson的水平已完全具備了獲取數(shù)學(xué)博士學(xué)位的資格，于是Wiener幫他申請了一筆獎學(xué)金，讓他去Hardy所在的劍橋大學(xué)訪問了一年。次年，Levinson返回MIT，立即拿到了博士學(xué)位。Levinson在學(xué)術(shù)生涯的早期先后經(jīng)歷了美國的經(jīng)濟大蕭條及麥卡錫主義(McCarthyism)的盛行，幾次面臨放棄學(xué)術(shù)研究的窘境，但最終還是幸運地度過了難關(guān)。Levinson在Fourier變換、復(fù)分析、調(diào)和分析、隨機分析、微分及積分方程等領(lǐng)域都做出過杰出貢獻(xiàn)。他二十八歲時就在美國數(shù)學(xué)學(xué)會出版了有關(guān)Fourier變換的專著，這通常是資深數(shù)學(xué)家才有機會獲得的殊榮；他在非線性微分方程領(lǐng)域的工作于1953年獲得了美國數(shù)學(xué)學(xué)會(AmericanMathematicalSociety)每五年頒發(fā)一次的Bcher紀(jì)念獎(BcherMemorialPrize)；他1955年完成的著作常微分方程理論一出版就被譽為了這一領(lǐng)域的經(jīng)典著作。但他最令世人驚嘆的則是在年過花甲，生命行將走到盡頭的時侯，忽然在Riemann猜想研究中獲得了重大突破，給出了臨界線上零點比例的一個相當(dāng)可觀的下界估計。Levinson對臨界線上零點比例的研究采取了與Hardy、Littlewood及Selberg都十分不同的方法。他的基本思路來源于Riemann函數(shù)(s)的零點分布與其導(dǎo)數(shù)(s)的零點分布之間的關(guān)聯(lián)。早在1934年，瑞士數(shù)學(xué)家AndreasSpeiser(1885-1970)就曾經(jīng)證明過，Riemann猜想等價于(s)在0Re(s)1/2上沒有零點。1974年Levinson與Montgomery合作證明了Speiser結(jié)果的一個定量版本，那就是(s)在開區(qū)域-1Re(s)1/2,T1Im(s)T2內(nèi)的零點數(shù)目與(s)在0Re(s)1/2,T1Im(s)T2內(nèi)的零點數(shù)目之比漸近于1。有了這一結(jié)果，人們就可以通過研究(s)的零點分布，而得到有關(guān)(s)在臨界線上的零點數(shù)目的信息注二，這正是Levinson所做的。與上述結(jié)果的發(fā)表同年(即1974年)，Levinson通過這種方法，得到了對臨界線上零點比例下限的一個突破性的估計。Levinson的研究在剛開始的時侯給出了一個非常樂觀的結(jié)果：98.6%！他把自己的一份手稿交給了同事、印度裔美國數(shù)學(xué)家Gian-CarloRota(1932-2019)，并且幽默地宣稱自己可以把這個比例提高到100%，但他要把剩下的1.4%留給讀者去做。Rota信以為真，便開始傳播“Levinson證明了Riemann猜想”的消息。這很快被證明是一個雙重錯誤：首先，在Levinson所采用的方法中，即使真的把比例提高到100%，也不等于證明了Riemann猜想；其次，很快就有人在Levinson的證明中發(fā)現(xiàn)了錯誤。幸運的是，該錯誤并沒有徹底摧毀Levinson的努力，只不過那個奇跡般的98.6%掉落塵埃，變成了34%。Levinson最終把自己論文的標(biāo)題定為了：“RiemannZeta函數(shù)超過三分之一的零點位于=1/2”注三。如果我們用N0(T)表示臨界線上區(qū)間0Im(s)T內(nèi)的零點數(shù)目，而N(T)表示臨界帶上區(qū)間0Im(s)T內(nèi)的零點數(shù)目即滿足0Im(s)T的全部非平凡零點的數(shù)目，則Levinson的結(jié)果可以表述為注四：Levinson臨界線定理：存在常數(shù)T00，使得對所有TT0，N0(T)(1/3)N(T)。Levinson的這一結(jié)果是繼Selberg之后在這一領(lǐng)域中的又一個重大進(jìn)展，它不僅為臨界線上的零點比例給出了一個相當(dāng)可觀的下界，更重要的是，Levinson的這種把(s)與(s)的零點分布聯(lián)合起來進(jìn)行研究的方法被稱為Levinson方法為許多后續(xù)研究奠定了基礎(chǔ)。二十八.艱難推進(jìn)運用Levinson方法進(jìn)行零點研究的第一項后續(xù)研究是由他本人做出的。1975年，即緊接著上述研究的那一年，Levinson把對臨界線上零點比例的下界估計提高到了0.3474。這雖然是一個很小的推進(jìn)，但這種計算每一個都異常繁復(fù)，而Levinson當(dāng)時的身體狀況已經(jīng)極差，他能夠完成這樣的計算堪稱是一個奇跡。事實上，那已是他生命中的最后一個年頭，那一年的十月十日，Levinson因患腦瘤在他的學(xué)術(shù)故鄉(xiāng)波斯頓(BostonMIT的所在地)去世。在Levinson之后，數(shù)學(xué)家們艱難地推進(jìn)著Levinson的結(jié)果，但速度極其緩慢。1980年，中國數(shù)學(xué)家樓世拓與姚琦證明了N0(T)0.35N(T)；1983年，美國數(shù)學(xué)家BrianConrey證明了N0(T)0.3685N(T)。這些結(jié)果都是在小數(shù)點后的第二位數(shù)字上做手腳。1989年，Conrey終于撼動了小數(shù)點后的第一位數(shù)字，他把比例系數(shù)提高到了0.4，即：Conrey臨界線定理：存在常數(shù)T00，使得對所有TT0，N0(T)(2/5)N(T)。這是迄今為止數(shù)學(xué)家們在這一方向上所獲得的最強的結(jié)果。Conrey認(rèn)為自己的證明還有改進(jìn)的空間，但計算實在太過復(fù)雜，不值得花費時間了。他的說法是：如果可以把估計值提高到50%以上，那就值得去做，因為那樣的話人們至少可以說Riemann函數(shù)的大部分非平凡零點都在臨界線上?？上onrey認(rèn)為他的證明能夠改進(jìn)的幅度不會超過幾個百分點，不可能達(dá)到50%。不僅Conrey的證明如此，整個Levinson方法的改進(jìn)空間有可能都已不太大了，目前數(shù)學(xué)家們普遍認(rèn)為用Levinson方法不可能把對臨界線上零點比例的下界估計推進(jìn)到100%。雖然數(shù)學(xué)家們在推進(jìn)臨界線上零點比例的下界估計上進(jìn)展緩慢，但在這一過程中他們也得到了許多相關(guān)的結(jié)果。這其中很重要的一類結(jié)果是關(guān)于簡單零點在全部非平凡零點中所占比例的估計。數(shù)學(xué)家們普遍猜測，Riemann函數(shù)所有的零點都是簡單零點注五，這被稱為簡單零點假設(shè)(simplezeroconjecture)，它是一個迄今尚未得到證明的命題。不過，與Riemann猜想類似，簡單零點假設(shè)也得到了許多數(shù)值及解析結(jié)果的支持。1979年，英國數(shù)學(xué)家RogerHeath-Brown(1952-)對Levinson方法做了改進(jìn)(Selberg也做了同樣的工作，但沒有發(fā)表)，使之給出的比例變成有關(guān)簡單零點的比例，從而把Levinson1975年的結(jié)果轉(zhuǎn)變成至少有34.74%的非平凡零點位于臨界線上，并且都是簡單零點。類似地，Conrey臨界線定理也被轉(zhuǎn)變成至少有2/5的非平凡零點位于臨界線上，并且都是簡單零點。除此之外，由于簡單零點假設(shè)通常與Riemann猜想聯(lián)系在一起(有些數(shù)學(xué)家甚至將之視為Riemann猜想的一部分)，因此也有一些數(shù)學(xué)家研究了在所有非平凡零點都位于臨界線上(即傳統(tǒng)的Riemann猜想成立)的前提下，非平凡零點中簡單零點所占的比例。比如Montgomery在1973年曾經(jīng)證明了如果Riemann猜想成立，則至少有2/3的非平凡零點是簡單零點。除了對Riemann函數(shù)的零點進(jìn)行研究外，數(shù)學(xué)家們對與之關(guān)系密切的函數(shù)(忘記這一函數(shù)的讀者請溫習(xí)一下第五節(jié))及其導(dǎo)數(shù)的零點分布也作過一些研究。比如上文提到的1983年Conrey的結(jié)果所針對的實際上是(s)及其各階導(dǎo)數(shù)，他得到的主要結(jié)果為：(s)的零點至少有36.85%在臨界線上。(s)的零點至少有81.37%在臨界線上。(s)的零點至少有95.84%在臨界線上。(s)的零點至少有98.73%在臨界線上。(s)的零點至少有99.48%在臨界線上。(s)的零點至少有99.70%在臨界線上。不僅如此，Conrey還給出了有關(guān)更高階導(dǎo)數(shù)的漸近結(jié)果注六。在上面所列舉的結(jié)果中，(s)的零點由于恰好與(s)的非平凡零點相重合(參閱第五節(jié))，因此有關(guān)(s)零點的結(jié)果等價于上文所提到的N0(T)0.3685N(T)。從Conrey的這一系列結(jié)果中不難看到，有關(guān)(s)各階導(dǎo)數(shù)的結(jié)果遠(yuǎn)比有關(guān)(s)本身的結(jié)果強得多。因此，如果有什么辦法能像Levinson在(s)與(s)之間建立的關(guān)聯(lián)那樣，把有關(guān)(s)各階導(dǎo)數(shù)的結(jié)果轉(zhuǎn)化為有關(guān)(s)本身的結(jié)果從而也就是有關(guān)(s)的結(jié)果，那將對臨界線上的零點估計再次產(chǎn)生突破性的影響。Levinson在臨終前曾認(rèn)為自己已經(jīng)有這樣的辦法，可惜他很快去世了，而迄今為止誰也沒能找到這種辦法。不過，盡管迄今還沒有辦法把有關(guān)(s)各階導(dǎo)數(shù)的結(jié)果轉(zhuǎn)化為有關(guān)(s)本身的結(jié)果，Conrey對(s)各階導(dǎo)數(shù)的研究依然是很有意義的，因為可以證明：如果Riemann猜想成立，則(s)與它的各階導(dǎo)數(shù)的零點都必定位于臨界線上。換句話說，只要發(fā)現(xiàn)(s)及其任意階導(dǎo)數(shù)的任何一個零點不在臨界線上，就等于否證了Riemann猜想。因此，Conrey的結(jié)果可以被視為是對Riemann猜想很有力的間接支持。二十九.哪里沒有零點？讀者們也許注意到了，我們前面各節(jié)所介紹的有關(guān)零點分布的解析結(jié)果沿襲著一條共同的思路，那就是盡可能地“抓捕”位于臨界線上的零點。從Bohr-Landau定理確立臨界線是零點分布的匯聚中心，到Hardy定理確立臨界線上有無窮多個零點，到Hardy-Littlewood定理確定該“無窮多”最起碼的增長方式，到各種臨界線定理確定臨界線上零點比例的下界，到有關(guān)簡單零點的類似結(jié)果，再到(s)及各階導(dǎo)數(shù)在臨界線上零點比例的下界所有這些努力，都是在試圖“抓捕”臨界線上的非平凡零點，或與之有關(guān)的性質(zhì)。死記硬背是一種傳統(tǒng)的教學(xué)方式,在我國有悠久的歷史。但隨著素質(zhì)教育的開展,死記硬背被作為一種僵化的、阻礙學(xué)生能力發(fā)展的教學(xué)方式,漸漸為人們所摒棄;而另一方面,老師們又為提高學(xué)生的語文素養(yǎng)煞費苦心。其實,只要應(yīng)用得當(dāng),“死記硬背”與提高學(xué)生素質(zhì)并不矛盾。相反,它恰是提高學(xué)生語文水平的重要前提和基礎(chǔ)。這樣的思路當(dāng)然是非常合理的，因為Riemann猜想所“猜想”的正是所有的非平凡零點都位于臨界線上。如果我們能在臨界線上把所有的零點一一“抓捕歸案”，自然也就證明了Riemann猜想。但是，正如我們在這個漫長系列中所看到的，“抓捕”零點是一件極其困難的事情，這么多年來，經(jīng)過這么多數(shù)學(xué)家的持續(xù)努力，我們在臨界線上“抓捕”到的零點數(shù)目還不到總數(shù)的一半。在這種情況下，我們不妨換一個角度來思考問題：既然我們還無法證明所有的零點都位于臨界線上，那何不先試著排除掉某些區(qū)域呢？排除掉的區(qū)域越多，零點可以遁形的地方也就越少，這就好比是偵探在尋找罪犯時把無關(guān)的人員排除得越干凈，就越有利于鎖定罪犯。如果我們可以把臨界線以外的所有區(qū)域即Re(s)1/2與Re(s)1/2全部排除掉，也同樣就證明了Riemann猜想?！皫煛敝拍?，大體是從先秦時期的“師長、師傅、先生”而來。其中“師傅”更早則意指春秋時國君的老師。說文解字中有注曰：“師教人以道者之稱也”?！皫煛敝x，現(xiàn)在泛指從事教育工作或是傳授知識技術(shù)也或是某方面有特長值得學(xué)習(xí)者?！袄蠋煛钡脑獠⒎怯伞袄稀倍稳荨皫煛?。“老”在舊語義中也是一種尊稱，隱喻年長且學(xué)識淵博者?！袄稀薄皫煛边B用最初見于史記，有“荀卿最為老師”之說法。慢慢“老師”之說也不再有年齡的限制，老少皆可適用。只是司馬遷筆下的“老師”當(dāng)然不是今日意義上的“教師”，其只是“老”和“師”的復(fù)合構(gòu)詞，所表達(dá)的含義多指對知識淵博者的一種尊稱，雖能從其身上學(xué)以“道”，但其不一定是知識的傳播者。今天看來，“教師”的必要條件不光是擁有知識，更重于傳播知識?！敖虝壬笨峙率鞘芯傩兆顬槭煜さ囊环N稱呼，從最初的門館、私塾到晚清的學(xué)堂，“教書先生”那一行當(dāng)怎么說也算是讓國人景仰甚或敬畏的一種社會職業(yè)。只是更早的“先生”概念并非源于教書，最初出現(xiàn)的“先生”一詞也并非有傳授知識那般的含義。孟子中的“先生何為出此言也？”；論語中的“有酒食，先生饌”；國策中的“先生坐，何至于此？”等等，均指“先生”為父兄或有學(xué)問、有德行的長輩。其實國策中本身就有“先生長者，有德之稱”的說法?？梢姟跋壬敝夥?