平穩(wěn)時間序列預測(1).pptVIP

第六章 平穩(wěn)時間序列預測,第一節(jié) 平穩(wěn)時間序列預測概念 第二節(jié) 最小均方誤預測 第三節(jié) 條件期望預測 第四節(jié) 適時修正預測 第五節(jié) 指數(shù)平滑預測與ARMA模型,第一節(jié) 平穩(wěn)時間序列預測的概念,返回本節(jié)首頁,下一頁,上一頁,一、最小均方誤差預測概念 二、平穩(wěn)ARMA模型最小均方誤預測的推導,第二節(jié) 最小均方誤預測(正交投影預測),返回本節(jié)首頁,下一頁,上一頁,一、最小均方誤差預測概念,（若預測函數(shù)是線性的，則稱線性最小均方誤預測）,返回本節(jié)首頁,下一頁,上一頁,返回本節(jié)首頁,下一頁,上一頁,由于預測只能建立在到t時刻為止的可用信息的基礎上， 因此，根據(jù)最小均方誤預測的第二個準則，以及平穩(wěn)可 逆序列可以表示成傳遞函數(shù)形式的論斷，可以將預測值 表示成能夠估計的項at，at-1，的加權和的 形式：,由上得以t為原點，向前l(fā)步的預測誤差為：,由于at是白噪聲，故有：,因此可得xt+l的最小均方誤預測為：,預測誤差為：,誤差方差為：,由上推導可知， （1）最小均方誤預測誤差的方差和預測步長l有關，而和 預測的時間原點無關。 （2）預測步長l越大，預測誤差的方差也越大，即預測的 準確性越差。,上述最小均方誤預測公式中包含有無窮項求和，而在實際 中我們只可能有有限的數(shù)據(jù)，因此，只能用充分多項的有 窮和近似，即：,第三節(jié) 條件期望預測,一、條件期望預測的一般公式 二、用條件期望進行預測 三、ARMA(p,q)模型條件期望預測的一般結果 四、ARMA(p,q)條件期望預測的置信區(qū)間,返回本節(jié)首頁,下一頁,上一頁,一、條件期望預測的一般公式,用公式表示如下：,返回本節(jié)首頁,下一頁,上一頁,有關xt和at的條件期望有如下性質：,由于：,利用條件期望的性質，對上式兩端求條件期望， 得xt+l 的條件期望預測為：,可見， xt+l 的條件期望預測和它的最小均方誤預測是一致的。,二、用條件期望進行預測,1.AR(1)模型的條件期望預測(參見P130) 設xt適合如下AR(1)模型:,(1)以t為原點，向前一步預測公式(l=1),返回本節(jié)首頁,下一頁,上一頁,(2) 向前二步預測公式(l=2),(3) 向前l(fā)步預測公式(l2),由上推導可見，對于l0，條件期望預測值 滿足如下差分方程：,2、AR(2)模型的條件期望預測,設xt適合如下AR(2)模型:,(1)以t為原點，向前一步預測公式(l=1),(2) 向前二步預測公式(l=2),(3) 向前l(fā)步預測公式(l3),可見，當l1時，AR(2)預測值可由如下差分方程求出：,(預測值的一般解略),3、ARMA(1,1)模型的條件期望預測,設,(1) 向前一步預測 (l=1),(2) 向前二步預測 (l=2),(3) 向前l(fā)步預測公式(l2),可見，當l1時，ARMA(1,1)預測值也是由如下差分方程決定的。,解得：,由于：,所以：,因此：,4、MA(1)模型的條件期望預測,設,(1) 向前一步預測 (l=1),(2) 向前二步預測 (l=2),(3) 向前l(fā)步預測公式(l2),設：,（1）向前一步預測(l=1)：,對上式兩端求條件期望得：,三、ARMA(p,q)模型條件期望預測的一般結果,返回本節(jié)首頁,下一頁,上一頁,(2)向前二步預測公式(l=2),(3)向前l(fā)步預測公式(lp，且l q),(3)向前l(fā)步預測公式(lp，且l q),由推導可以看出，對于ARMA(p,q)模型的向 前l(fā) 步預測(lp，且l q)，預測結果滿足如 下差分方程：,（預測值解的一般形式參見課本P134）,由解的一般形式可以看出，對于ARMA(p,q)模型，自回歸部分 決定了預測函數(shù)的形式，而滑動平均部分則用于確定預測函數(shù) 中的系數(shù)。,預測舉例：,例1：利用對zl14所建立的模型進行預測。 先對原序列零均值化， 然后建模如下：,已知：,解：,同理：,當 時，預測值滿由模型自回歸部分決定的差分方程：,解此差分方程即可求出預測函數(shù)。,前已證明，條件期望預測與最小均方誤預測是一致的，因此，預測誤差和誤差方差也是相同的。 因此，條件期望的預測誤差為：,四、ARMA(p,q)條件期望預測的置信區(qū)間,返回本節(jié)首頁,下一頁,上一頁,預測誤差的方差為：,其中：,l =1時的預測誤差為：,于是有：,可見ARMA模型中白噪聲項at其實就是以xt-1為原點， 向前一步預測誤差。,預測誤差和白噪聲項的關系：,再由預測誤差方差的公式得：,可見：向前一步預測誤差的方差其實就是白噪聲項的方差。,預測誤差的置信區(qū)間：,對于正態(tài)過程，預測誤差的分布為：,所以：對xt+l預測的95%的置信區(qū)間為：,因此：,根據(jù)預測置信區(qū)間的公式得：,可見：隨著預測步長的加大，預測誤差的置信區(qū)間也越大， 預測結果越不準確。,例1：zl14磨輪剖面數(shù)據(jù)，所建模型如下：,于是以t=250為原點，向前一步、二步、三步預測 的95%的置信區(qū)間分別為：,所以對于原序列，以t=250為原點向前一步，二步、三步 的預測分別為：,例2. 對ARMA21.wf1文件中的序列x建模如下：,已知：,模型的剩余平方和為260.04。,（1）求預測值,解：,a250未知，故需先將其求出。,由已知數(shù)據(jù)得：,同理：,因此：,（2）求預測值的95%的置信區(qū)間：,由ARMA(2,1)模型的格林函數(shù)得：,所以預測值的95%的置信區(qū)間為：,在Eviews中利用ARMA模型進行預測。 （1）Eviews中進行預測時的兩個選項。 Dynamic動態(tài)預測。（含義） Static一步超前預測。（含義） 對于ARMA模型： 若對序列進行擬合分析(即追溯預測)，則選static。 若向前l(fā)步預測，則要選dynamic，并且要先對工作區(qū)間、樣本區(qū)間進行調整如下： (1)expand first t+l (2)smpl t+1 t+l,具體操作見演示。,(2)通過Eviews計算預測置信區(qū)間。,例：根據(jù)磨輪剖面數(shù)據(jù)zl14.wf1， (1)建立模型。 (2)模型追溯預測分析。 (3)進行外推預測(l=3).,第四節(jié) 適時修正預測,一、問題的提出 二、適時修正預測公式,返回本節(jié)首頁,下一頁,上一頁,一、問題的提出,返回本節(jié)首頁,下一頁,上一頁,二、適時修正預測公式,1、適時修正預測公式的推導 （1）適時修正預測公式,返回本節(jié)首頁,下一頁,上一頁,2、適時修正預測公式的推導：,綜合上述推導，可得適時修正預測公式為：,上述公式說明：新的預測值是在舊的預測值 的基礎上，加上一個修正項推算出來的，而 這一個修正項比例于舊的一步預測誤差，比 例系數(shù)隨著預測超前步數(shù)的變化而變化。,例：對于 zl14磨輪剖面數(shù)據(jù)，,解：,適時修正預測公式為：,所以：,第五節(jié) 指數(shù)平滑預測與ARMA模型,一、一次指數(shù)平滑預測的原理 二、ARIMA(0,1,1)模型的預測,返回本節(jié)首頁,下一頁,上一頁,一、一次指數(shù)平滑預測的原理,一次指數(shù)平滑預測的基本公式為：,其中：01為平滑系數(shù)。,將上述公式展開得：,如此展開下去可得：,返回本節(jié)首頁,下一頁,上一頁,設有ARIMA(0,1,1)模型如下:,將其表示成逆轉形式得：,返回本節(jié)首頁,下一頁,上一頁,二、ARIMA(0,1,1)模型的預測,上式即為:,對其作向前一步預測可得：,令1-=，上式可變?yōu)椋?其中， = 1-1,由上述推導推可見： （1）一次指數(shù)平滑是ARIMA(0,1,1)模型預測的特例，且ARIMA模型提供了最優(yōu)方式預測所需要的權數(shù)。 （2）ARIMA預測也是最小均方誤預測，但一次指數(shù)平滑預測卻不具有這種最優(yōu)特性。 （3）對于ARIMA預測，僅對可逆過程才是有意義的，對于ARIMA(0,1,1)就是要求|1。 （4）只有原序列適合于ARIMA(0,1,1)模型時，采用一次指數(shù)平滑預測才是合適的。,所謂傳遞形式：就是將序列xt的當前值， 表示為當前沖擊值at 與過去沖擊值 at-i(i=1,2,3)的線性組