平穩(wěn)時間序列預(yù)測(1).ppt

第六章 平穩(wěn)時間序列預(yù)測,第一節(jié) 平穩(wěn)時間序列預(yù)測概念 第二節(jié) 最小均方誤預(yù)測 第三節(jié) 條件期望預(yù)測 第四節(jié) 適時修正預(yù)測 第五節(jié) 指數(shù)平滑預(yù)測與ARMA模型,第一節(jié) 平穩(wěn)時間序列預(yù)測的概念,返回本節(jié)首頁,下一頁,上一頁,一、最小均方誤差預(yù)測概念 二、平穩(wěn)ARMA模型最小均方誤預(yù)測的推導(dǎo),第二節(jié) 最小均方誤預(yù)測(正交投影預(yù)測),返回本節(jié)首頁,下一頁,上一頁,一、最小均方誤差預(yù)測概念,（若預(yù)測函數(shù)是線性的，則稱線性最小均方誤預(yù)測）,返回本節(jié)首頁,下一頁,上一頁,返回本節(jié)首頁,下一頁,上一頁,由于預(yù)測只能建立在到t時刻為止的可用信息的基礎(chǔ)上， 因此，根據(jù)最小均方誤預(yù)測的第二個準(zhǔn)則，以及平穩(wěn)可 逆序列可以表示成傳遞函數(shù)形式的論斷，可以將預(yù)測值 表示成能夠估計的項(xiàng)at，at-1，的加權(quán)和的 形式：,由上得以t為原點(diǎn)，向前l(fā)步的預(yù)測誤差為：,由于at是白噪聲，故有：,因此可得xt+l的最小均方誤預(yù)測為：,預(yù)測誤差為：,誤差方差為：,由上推導(dǎo)可知， （1）最小均方誤預(yù)測誤差的方差和預(yù)測步長l有關(guān)，而和 預(yù)測的時間原點(diǎn)無關(guān)。 （2）預(yù)測步長l越大，預(yù)測誤差的方差也越大，即預(yù)測的 準(zhǔn)確性越差。,上述最小均方誤預(yù)測公式中包含有無窮項(xiàng)求和，而在實(shí)際 中我們只可能有有限的數(shù)據(jù)，因此，只能用充分多項(xiàng)的有 窮和近似，即：,第三節(jié) 條件期望預(yù)測,一、條件期望預(yù)測的一般公式 二、用條件期望進(jìn)行預(yù)測 三、ARMA(p,q)模型條件期望預(yù)測的一般結(jié)果 四、ARMA(p,q)條件期望預(yù)測的置信區(qū)間,返回本節(jié)首頁,下一頁,上一頁,一、條件期望預(yù)測的一般公式,用公式表示如下：,返回本節(jié)首頁,下一頁,上一頁,有關(guān)xt和at的條件期望有如下性質(zhì)：,由于：,利用條件期望的性質(zhì)，對上式兩端求條件期望， 得xt+l 的條件期望預(yù)測為：,可見， xt+l 的條件期望預(yù)測和它的最小均方誤預(yù)測是一致的。,二、用條件期望進(jìn)行預(yù)測,1.AR(1)模型的條件期望預(yù)測(參見P130) 設(shè)xt適合如下AR(1)模型:,(1)以t為原點(diǎn)，向前一步預(yù)測公式(l=1),返回本節(jié)首頁,下一頁,上一頁,(2) 向前二步預(yù)測公式(l=2),(3) 向前l(fā)步預(yù)測公式(l2),由上推導(dǎo)可見，對于l0，條件期望預(yù)測值 滿足如下差分方程：,2、AR(2)模型的條件期望預(yù)測,設(shè)xt適合如下AR(2)模型:,(1)以t為原點(diǎn)，向前一步預(yù)測公式(l=1),(2) 向前二步預(yù)測公式(l=2),(3) 向前l(fā)步預(yù)測公式(l3),可見，當(dāng)l1時，AR(2)預(yù)測值可由如下差分方程求出：,(預(yù)測值的一般解略),3、ARMA(1,1)模型的條件期望預(yù)測,設(shè),(1) 向前一步預(yù)測 (l=1),(2) 向前二步預(yù)測 (l=2),(3) 向前l(fā)步預(yù)測公式(l2),可見，當(dāng)l1時，ARMA(1,1)預(yù)測值也是由如下差分方程決定的。,解得：,由于：,所以：,因此：,4、MA(1)模型的條件期望預(yù)測,設(shè),(1) 向前一步預(yù)測 (l=1),(2) 向前二步預(yù)測 (l=2),(3) 向前l(fā)步預(yù)測公式(l2),設(shè)：,（1）向前一步預(yù)測(l=1)：,對上式兩端求條件期望得：,三、ARMA(p,q)模型條件期望預(yù)測的一般結(jié)果,返回本節(jié)首頁,下一頁,上一頁,(2)向前二步預(yù)測公式(l=2),(3)向前l(fā)步預(yù)測公式(lp，且l q),(3)向前l(fā)步預(yù)測公式(lp，且l q),由推導(dǎo)可以看出，對于ARMA(p,q)模型的向 前l(fā) 步預(yù)測(lp，且l q)，預(yù)測結(jié)果滿足如 下差分方程：,（預(yù)測值解的一般形式參見課本P134）,由解的一般形式可以看出，對于ARMA(p,q)模型，自回歸部分 決定了預(yù)測函數(shù)的形式，而滑動平均部分則用于確定預(yù)測函數(shù) 中的系數(shù)。,預(yù)測舉例：,例1：利用對zl14所建立的模型進(jìn)行預(yù)測。 先對原序列零均值化， 然后建模如下：,已知：,解：,同理：,當(dāng) 時，預(yù)測值滿由模型自回歸部分決定的差分方程：,解此差分方程即可求出預(yù)測函數(shù)。,前已證明，條件期望預(yù)測與最小均方誤預(yù)測是一致的，因此，預(yù)測誤差和誤差方差也是相同的。 因此，條件期望的預(yù)測誤差為：,四、ARMA(p,q)條件期望預(yù)測的置信區(qū)間,返回本節(jié)首頁,下一頁,上一頁,預(yù)測誤差的方差為：,其中：,l =1時的預(yù)測誤差為：,于是有：,可見ARMA模型中白噪聲項(xiàng)at其實(shí)就是以xt-1為原點(diǎn)， 向前一步預(yù)測誤差。,預(yù)測誤差和白噪聲項(xiàng)的關(guān)系：,再由預(yù)測誤差方差的公式得：,可見：向前一步預(yù)測誤差的方差其實(shí)就是白噪聲項(xiàng)的方差。,預(yù)測誤差的置信區(qū)間：,對于正態(tài)過程，預(yù)測誤差的分布為：,所以：對xt+l預(yù)測的95%的置信區(qū)間為：,因此：,根據(jù)預(yù)測置信區(qū)間的公式得：,可見：隨著預(yù)測步長的加大，預(yù)測誤差的置信區(qū)間也越大， 預(yù)測結(jié)果越不準(zhǔn)確。,例1：zl14磨輪剖面數(shù)據(jù)，所建模型如下：,于是以t=250為原點(diǎn)，向前一步、二步、三步預(yù)測 的95%的置信區(qū)間分別為：,所以對于原序列，以t=250為原點(diǎn)向前一步，二步、三步 的預(yù)測分別為：,例2. 對ARMA21.wf1文件中的序列x建模如下：,已知：,模型的剩余平方和為260.04。,（1）求預(yù)測值,解：,a250未知，故需先將其求出。,由已知數(shù)據(jù)得：,同理：,因此：,（2）求預(yù)測值的95%的置信區(qū)間：,由ARMA(2,1)模型的格林函數(shù)得：,所以預(yù)測值的95%的置信區(qū)間為：,在Eviews中利用ARMA模型進(jìn)行預(yù)測。 （1）Eviews中進(jìn)行預(yù)測時的兩個選項(xiàng)。 Dynamic動態(tài)預(yù)測。（含義） Static一步超前預(yù)測。（含義） 對于ARMA模型： 若對序列進(jìn)行擬合分析(即追溯預(yù)測)，則選static。 若向前l(fā)步預(yù)測，則要選dynamic，并且要先對工作區(qū)間、樣本區(qū)間進(jìn)行調(diào)整如下： (1)expand first t+l (2)smpl t+1 t+l,具體操作見演示。,(2)通過Eviews計算預(yù)測置信區(qū)間。,例：根據(jù)磨輪剖面數(shù)據(jù)zl14.wf1， (1)建立模型。 (2)模型追溯預(yù)測分析。 (3)進(jìn)行外推預(yù)測(l=3).,第四節(jié) 適時修正預(yù)測,一、問題的提出 二、適時修正預(yù)測公式,返回本節(jié)首頁,下一頁,上一頁,一、問題的提出,返回本節(jié)首頁,下一頁,上一頁,二、適時修正預(yù)測公式,1、適時修正預(yù)測公式的推導(dǎo) （1）適時修正預(yù)測公式,返回本節(jié)首頁,下一頁,上一頁,2、適時修正預(yù)測公式的推導(dǎo)：,綜合上述推導(dǎo)，可得適時修正預(yù)測公式為：,上述公式說明：新的預(yù)測值是在舊的預(yù)測值 的基礎(chǔ)上，加上一個修正項(xiàng)推算出來的，而 這一個修正項(xiàng)比例于舊的一步預(yù)測誤差，比 例系數(shù)隨著預(yù)測超前步數(shù)的變化而變化。,例：對于 zl14磨輪剖面數(shù)據(jù)，,解：,適時修正預(yù)測公式為：,所以：,第五節(jié) 指數(shù)平滑預(yù)測與ARMA模型,一、一次指數(shù)平滑預(yù)測的原理 二、ARIMA(0,1,1)模型的預(yù)測,返回本節(jié)首頁,下一頁,上一頁,一、一次指數(shù)平滑預(yù)測的原理,一次指數(shù)平滑預(yù)測的基本公式為：,其中：01為平滑系數(shù)。,將上述公式展開得：,如此展開下去可得：,返回本節(jié)首頁,下一頁,上一頁,設(shè)有ARIMA(0,1,1)模型如下:,將其表示成逆轉(zhuǎn)形式得：,返回本節(jié)首頁,下一頁,上一頁,二、ARIMA(0,1,1)模型的預(yù)測,上式即為:,對其作向前一步預(yù)測可得：,令1-=，上式可變?yōu)椋?其中， = 1-1,由上述推導(dǎo)推可見： （1）一次指數(shù)平滑是ARIMA(0,1,1)模型預(yù)測的特例，且ARIMA模型提供了最優(yōu)方式預(yù)測所需要的權(quán)數(shù)。 （2）ARIMA預(yù)測也是最小均方誤預(yù)測，但一次指數(shù)平滑預(yù)測卻不具有這種最優(yōu)特性。 （3）對于ARIMA預(yù)測，僅對可逆過程才是有意義的，對于ARIMA(0,1,1)就是要求|1。 （4）只有原序列適合于ARIMA(0,1,1)模型時，采用一次指數(shù)平滑預(yù)測才是合適的。,所謂傳遞形式：就是將序列xt的當(dāng)前值， 表示為當(dāng)前沖擊值at 與過去沖擊值 at-i(i=1,2,3)的線性組