[高考數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)]數(shù)學(xué)對(duì)稱(chēng)問(wèn)題

高考數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)數(shù)學(xué)對(duì)稱(chēng)問(wèn)題對(duì)稱(chēng)問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，在高考數(shù)學(xué)試題中常出現(xiàn)一些構(gòu)思新穎解法靈活的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題，為使對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的知識(shí)系統(tǒng)化，本文特作以下歸納。一、點(diǎn)關(guān)于已知點(diǎn)或已知直線對(duì)稱(chēng)點(diǎn)問(wèn)題1、設(shè)點(diǎn)P（x，y）關(guān)于點(diǎn)（a，b）對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P（x，y），x=2a-x由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得：y=2b-y2、點(diǎn)P（x，y）關(guān)于直線L：Ax+By+C=O的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為x=x-（Ax+By+C）P（x，y）則y=y-（AX+BY+C）事實(shí)上：PPL及PP的中點(diǎn)在直線L上，可得：Ax+By=-Ax-By-2C解此方程組可得結(jié)論。（-）=-1（B0）特別地，點(diǎn)P（x，y）關(guān)于1、x軸和y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別為（x，-y）和（-x，y）2、直線x=a和y=a的對(duì)標(biāo)點(diǎn)分別為（2a-x，y）和（x，2a-y）3、直線y=x和y=-x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別為（y，x）和（-y，-x）例1光線從A（3，4）發(fā)出后經(jīng)過(guò)直線x-2y=0反射，再經(jīng)過(guò)y軸反射，反射光線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（1，5），求射入y軸后的反射線所在的直線方程。解：如圖，由公式可求得A關(guān)于直線x-2y=0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A（5，0），B關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B為（-1，5），直線AB的方程為5x+6y-25=0C（0，）直線BC的方程為：5x-6y+25=0二、曲線關(guān)于已知點(diǎn)或已知直線的對(duì)稱(chēng)曲線問(wèn)題求已知曲線F（x，y）=0關(guān)于已知點(diǎn)或已知直線的對(duì)稱(chēng)曲線方程時(shí)，只須將曲線F（x，y）=O上任意一點(diǎn)（x，y）關(guān)于已知點(diǎn)或已知直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)替換方程F（x，y）=0中相應(yīng)的作稱(chēng)即得，由此我們得出以下結(jié)論。1、曲線F（x，y）=0關(guān)于點(diǎn)（a，b）的對(duì)稱(chēng)曲線的方程是F（2a-x，2b-y）=02、曲線F（x，y）=0關(guān)于直線Ax+By+C=0對(duì)稱(chēng)的曲線方程是F（x-（Ax+By+C），y-（Ax+By+C）=0特別地，曲線F（x，y）=0關(guān)于（1）x軸和y軸對(duì)稱(chēng)的曲線方程分別是F（x，-y）和F（-x，y）=0（2）關(guān)于直線x=a和y=a對(duì)稱(chēng)的曲線方程分別是F（2a-x，y）=0和F（x，2a-y）=0（3）關(guān)于直線y=x和y=-x對(duì)稱(chēng)的曲線方程分別是F（y，x）=0和F（-y，-x）=0除此以外還有以下兩個(gè)結(jié)論：對(duì)函數(shù)y=f（x）的圖象而言，去掉y軸左邊圖象，保留y軸右邊的圖象，并作關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)圖象得到y(tǒng)=f（|x|）的圖象；保留x軸上方圖象，將x軸下方圖象翻折上去得到y(tǒng)=|f（x）|的圖象。例2（全國(guó)高考試題）設(shè)曲線C的方程是y=x3-x。將C沿x軸y軸正向分別平行移動(dòng)t，s單位長(zhǎng)度后得曲線C1：1）寫(xiě)出曲線C1的方程2）證明曲線C與C1關(guān)于點(diǎn)A（，）對(duì)稱(chēng)。（1）解知C1的方程為y=（x-t）3-（x-t）+s（2）證明在曲線C上任取一點(diǎn)B（a，b），設(shè)B1（a1，b1）是B關(guān)于A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，由a=t-a1，b=s-b1，代入C的方程得：s-b1=（t-a1）3-（t-a1）b1=（a1-t）3-（a1-t）+sB1（a1，b1）滿(mǎn)足C1的方程B1在曲線C1上，反之易證在曲線C1上的點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在曲線C上曲線C和C1關(guān)于a對(duì)稱(chēng)我們用前面的結(jié)論來(lái)證：點(diǎn)P（x，y）關(guān)于A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P1（t-x，s-y），為了求得C關(guān)于A的對(duì)稱(chēng)曲線我們將其坐標(biāo)代入C的方程，得：s-y=（t-x）3-（t-x）y=（x-t）3-（x-t）+s此即為C1的方程，C關(guān)于A的對(duì)稱(chēng)曲線即為C1。三、曲線本身的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題曲線F（x，y）=0為（中心或軸）對(duì)稱(chēng)曲線的充要條件是曲線F（x，y）=0上任意一點(diǎn)P（x，y）（關(guān)于對(duì)稱(chēng)中心或?qū)ΨQ(chēng)軸）的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)替換曲線方程中相應(yīng)的坐標(biāo)后方程不變。例如拋物線y2=-8x上任一點(diǎn)p（x，y）與x軸即y=0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)p（x，-y），其坐標(biāo)也滿(mǎn)足方程y2=-8x，y2=-8x關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)。例3方程xy2-x2y=2x所表示的曲線：A、關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)B、關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱(chēng)C、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)D、關(guān)于直線x-y=0對(duì)稱(chēng)解：在方程中以-x換x，同時(shí)以-y換y得（-x）（-y）2-（-x）2（-y）=-2x，即xy2-x2y=2x方程不變曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。函數(shù)圖象本身關(guān)于直線和點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題我們有如下幾個(gè)重要結(jié)論：1、函數(shù)f（x）定義線為R，a為常數(shù)，若對(duì)任意xR，均有f（a+x）=f（a-x），則y=f（x）的圖象關(guān)于x=a對(duì)稱(chēng)。這是因?yàn)閍+x和a-x這兩點(diǎn)分別列于a的左右兩邊并關(guān)于a對(duì)稱(chēng)，且其函數(shù)值相等，說(shuō)明這兩點(diǎn)關(guān)于直線x=a對(duì)稱(chēng)，由x的任意性可得結(jié)論。例如對(duì)于f（x）若tR均有f（2+t）=f（2-t）則f（x）圖象關(guān)于x=2對(duì)稱(chēng)。若將條件改為f（1+t）=f（3-t）或f（t）=f（4-t）結(jié)論又如何呢？第一式中令t=1+m則得f（2+m）=f（2-m）；第二式中令t=2+m，也得f（2+m）=f（2-m），所以仍有同樣結(jié)論即關(guān)于x=2對(duì)稱(chēng)，由此我們得出以下的更一般的結(jié)論：2、函數(shù)f（x）定義域?yàn)镽，a、b為常數(shù)，若對(duì)任意xR均有f（a+x）=f（b-x），則其圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱(chēng)。我們?cè)賮?lái)探討以下問(wèn)題：若將條件改為f（2+t）=-f（2-t）結(jié)論又如何呢？試想如果2改成0的話得f（t）=-f（t）這是奇函數(shù)，圖象關(guān)于（0，0）成中心對(duì)稱(chēng)，現(xiàn)在是f（2+t）=-f（2-t）造成了平移，由此我們猜想，圖象關(guān)于M（2，0）成中心對(duì)稱(chēng)。如圖，取點(diǎn)A（2+t，f（2+t）其關(guān)于M（2，0）的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為A（2-x，-f（2+x）-f（2+X）=f（2-x）A的坐標(biāo)為（2-x，f（2-x）顯然在圖象上圖象關(guān)于M（2，0）成中心對(duì)稱(chēng)。若將條件改為f（x）=-f（4-x）結(jié)論一樣，推廣至一般可得以下重要結(jié)論：教師范讀的是閱讀教學(xué)中不可缺少的部分，我常采用范讀，讓幼兒學(xué)習(xí)、模仿。如領(lǐng)讀，我讀一句，讓幼兒讀一句，邊讀邊記；第二通讀，我大聲讀，我大聲讀，幼兒小聲讀，邊學(xué)邊仿；第三賞讀，我借用錄好配朗讀磁帶，一邊放錄音，一邊幼兒反復(fù)傾聽(tīng)，在反復(fù)傾聽(tīng)中體驗(yàn)、品味。課本、報(bào)刊雜志中的成語(yǔ)、名言警句等俯首皆是,但學(xué)生寫(xiě)作文運(yùn)用到文章中的甚少,即使運(yùn)用也很難做到恰如其分。為什么?還是沒(méi)有徹底“記死”的緣故。要解決這個(gè)問(wèn)題,方法很簡(jiǎn)單,每天花3-5分鐘左右的時(shí)間記一條成語(yǔ)、一則名言警句即可。可以寫(xiě)在后黑板的“積累專(zhuān)欄”上每日一換,可以在每天課前的3分鐘讓學(xué)生輪流講解,也可讓學(xué)生個(gè)人搜集,每天往筆記本上抄寫(xiě),教師定期檢查等等。這樣,一年就可記300多條成語(yǔ)、300多則名言警句,日積月累,終究會(huì)成為一筆不小的財(cái)富。這些成語(yǔ)典故“貯藏”在學(xué)生腦中,自然會(huì)出口成章,寫(xiě)作時(shí)便會(huì)隨心所欲地“提取”出來(lái),使文章增色添輝。3、f（X）定義域?yàn)镽，a、b為常數(shù)，若對(duì)任意xR均有f（a+x）=-f（b-x），則其圖象關(guān)于點(diǎn)M（，0）成中心對(duì)稱(chēng)。唐宋或更早之前，針對(duì)“經(jīng)學(xué)”“律學(xué)”“算學(xué)”和“書(shū)學(xué)”各科目，其相應(yīng)傳授者稱(chēng)為“博士”，這與當(dāng)今“博士”含義已經(jīng)相去甚遠(yuǎn)。而對(duì)那些特別講授“武事”或講解“經(jīng)籍”者，又稱(chēng)“講師”。“教授”和“助教”均原為學(xué)官稱(chēng)謂。前者始于宋，乃“宗學(xué)”“律學(xué)”“醫(yī)學(xué)”“武學(xué)”等科目的講授者；而后者則于西晉武帝時(shí)代即已設(shè)立了，主要協(xié)助國(guó)子、博士