【高考輔導(dǎo)資料】2010年高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)：攻略三角函數(shù)

2010年高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)：攻略三角函數(shù)一、考情分析三角函數(shù)是基本初等函數(shù)之一，三角函數(shù)與三角恒等變換結(jié)合是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一，也是高考的熱點(diǎn)之一。在高考中，客觀題、主觀題均有所體現(xiàn)，近幾年高考試題中，與三角函數(shù)有關(guān)的題目占到25分左右。有考查基礎(chǔ)知識(shí)的選擇、填空題，也有考查基本能力的解答題。由于高考考查時(shí)，主要以容易題和中檔題為主，所以對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是一個(gè)很重要的得分點(diǎn)，我們?cè)趶?fù)習(xí)中應(yīng)該予以足夠的重視。從近幾年全國(guó)各地的高考試題來(lái)看,三角函數(shù)這部分的試題有以下特點(diǎn):1.考小題，重在基礎(chǔ)運(yùn)用考查的重點(diǎn)在于基礎(chǔ)知識(shí)：解析式、圖象及圖象變換、兩域（定義域、值域）、四性（單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性、周期性）、反函數(shù)以及簡(jiǎn)單的三角變換（求值、化簡(jiǎn)及比較大小）。2.考大題，難度明顯降低有關(guān)三角函數(shù)的大題即解答題，通過(guò)三角公式變形、轉(zhuǎn)換來(lái)考查思維能力的題目已經(jīng)沒(méi)有了，而是考查基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本方法。3.考應(yīng)用，融入三角圖形之中這種題型既能考查解三角形的知識(shí)與方法，又能考查運(yùn)用三角公式進(jìn)行恒等變換的技能，故近年來(lái)倍受命題者的青睞，主要解法是充分利用三角形的內(nèi)角和定理、正（余）弦定理、面積公式等，并結(jié)合三角公式進(jìn)行三角變換，從而獲解。4.考綜合，體現(xiàn)三角函數(shù)的工具性由于近年高考命題突出以能力立意，加強(qiáng)對(duì)知識(shí)綜合性和應(yīng)用性的考查，故常常在知識(shí)的交匯點(diǎn)處命題。因而對(duì)三角知識(shí)的考查總是與平面向量、數(shù)列、立體幾何、解析幾何、導(dǎo)數(shù)等綜合在一起來(lái)考查，突出三角的工具性作用。二、高考預(yù)測(cè)預(yù)計(jì)2010年的高考對(duì)本單元內(nèi)容及題型的考查上會(huì)保持穩(wěn)定，還是以低中檔題為考查重點(diǎn)。1. 一般有2至3個(gè)選擇、填空題主要考查三角函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)的問(wèn)題，有一個(gè)解答題考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)及三角變換，或者是以平面向量為背景考查三角，或者是三角形中正余弦定理及其應(yīng)用；2.三角函數(shù)的定義以及直接考查三角函數(shù)圖象的問(wèn)題（做出一個(gè)周期的圖像、根據(jù)圖像特征寫出解析式）雖然近三年沒(méi)出現(xiàn)，估計(jì)在2010年的高考中就會(huì)成為考點(diǎn)。三、突破策略1攻略之一抓牢三角函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)是處理三角函數(shù)問(wèn)題的基礎(chǔ),也是高考試題命制的重要來(lái)源, 高考加強(qiáng)了對(duì)三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)的考查，三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)是本單元復(fù)習(xí)的重點(diǎn)，在復(fù)習(xí)時(shí)，要充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，把圖像與性質(zhì)結(jié)合起來(lái)，即利用圖象的直觀性得出函數(shù)的性質(zhì)，或由單位圓上三角函數(shù)線來(lái)獲得函數(shù)的性質(zhì)，同時(shí)也要能利用函數(shù)的性質(zhì)來(lái)描繪函數(shù)的圖象，這樣既能有利于掌握三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，又能熟練的運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想、方法。會(huì)用“五點(diǎn)法”作給定周期內(nèi)的函數(shù)的圖像。例1（2009全國(guó)卷理）如果函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，那么的最小值為（ ）A. B. C. D. 解: 函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱 由此易得.故選C例2(2009山東卷理)將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位, 再向上平移1個(gè)單位,所得圖象的函數(shù)解析式是( ).A. B. C. D.【解析】將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位,得到函數(shù)即的圖象,再向上平移1個(gè)單位,所得圖象的函數(shù)解析式為,故選B.答案:B【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的圖象的平移和利用誘導(dǎo)公式及二倍角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)解析式的基本知識(shí)和基本技能,學(xué)會(huì)公式的變形。2.攻略之二-熟練掌握三角函數(shù)的基本變換方法近幾年的高考試題,降低了對(duì)三角變換的要求,但基本的三角變換應(yīng)是處理三角函數(shù)問(wèn)題,研究三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)的基礎(chǔ),所以在復(fù)習(xí)中要熟練掌握三角變換的基本公式，弄清公式的推導(dǎo)關(guān)系和互相聯(lián)系，把基本公式記準(zhǔn)用熟。在三角變換中經(jīng)常出現(xiàn)公式的逆用或變形，尤其是二倍角余弦公式、兩角和差的正切的變形應(yīng)用較為廣泛。另外，輔助角公式應(yīng)用也較多，也是考生常出錯(cuò)的地方，應(yīng)引起注意。例3（2009北京文）（本小題共12分）已知函數(shù).（）求的最小正周期；（）求在區(qū)間上的最大值和最小值.解:（），函數(shù)的最小正周期為.（）由，在區(qū)間上的最大值為1，最小值為.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查特殊角三角函數(shù)值、誘導(dǎo)公式、二倍角的正弦、三角函數(shù)在閉區(qū)間上的最值等基礎(chǔ)知識(shí)，主要考查基本運(yùn)算能力例4(2009山東卷文)(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)f(x)=2在處取最小值.(1) 求的值；(2) 在ABC中,分別是角A,B,C的對(duì)邊,已知,求角C.解: （1） 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在處取最小值，所以,由誘導(dǎo)公式知,因?yàn)?所以.所以 （2）因?yàn)?所以,因?yàn)榻茿為ABC的內(nèi)角,所以.又因?yàn)樗杂烧叶ɡ?得,也就是,因?yàn)?所以或.當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角函數(shù)中兩角和差的弦函數(shù)公式、二倍角公式和三角函數(shù)的性質(zhì),并利用正弦定理解得三角形中的邊角.注意本題中的兩種情況都符合.3.攻略之三-注重培養(yǎng)三角函數(shù)的應(yīng)用意識(shí)最近幾年,隨著新課標(biāo)的普及及高考改革的不斷深入,高考試題注重考察學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力,在這個(gè)背景下,三角應(yīng)用題異軍突起,成為高考中的一個(gè)熱點(diǎn),一些航海,測(cè)量等問(wèn)題頻繁出現(xiàn)在高考題中. 所以在復(fù)習(xí)中既要注意在有些實(shí)際問(wèn)題中建立三角函數(shù)模型，利用三角函數(shù)知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題；更要注意在代數(shù)、平面向量、立體幾何、解析幾何、導(dǎo)數(shù)等問(wèn)題中建立三角函數(shù)模型，使問(wèn)題獲得簡(jiǎn)捷的解法.例5（2009遼寧卷文）如圖，A,B,C,D都在同一個(gè)與水平面垂直的平面內(nèi)，B，D為兩島上的兩座燈塔的塔頂。測(cè)量船于水面A處測(cè)得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角分別為，于水面C處測(cè)得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角均為，AC0.1km。試探究圖中B，D間距離與另外哪兩點(diǎn)距離相等，然后求B，D的距離（計(jì)算結(jié)果精確到0.01km，1.414，2.449）解：在中，30，6030， 所以CDAC0.1 又180606060， 故CB是底邊AD的中垂線，所以BDBA 在中， 即AB 因此， 故B、D的距離約為0.33km。 四、考點(diǎn)精煉1. (2009年廣東卷文)函數(shù)是 A最小正周期為的奇函數(shù) B. 最小正周期為的偶函數(shù) C. 最小正周期為的奇函數(shù) D. 最小正周期為的偶函數(shù) 2. （2009浙江理）已知是實(shí)數(shù)，則函數(shù)的圖象不可能是 ( )3. （2008湖南卷6）函數(shù)在區(qū)間上的最大值是( )A.1 B. C. D.1+4. （2009全國(guó)卷文）已知ABC中，則A. B. C. D.5. （2008浙江卷5）在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)的圖象和直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是A.0 B.1 C.2 D.46. （2007海南、寧夏理3）函數(shù)在區(qū)間的簡(jiǎn)圖是（）7. （2009北京文）若，則 .8. （2009湖南卷文）在銳角中，則的值等于 ，的取值范圍為 。 9. （2007江西理18）如圖，函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，且在該點(diǎn)處切線的斜率為。（1）求和的值；（2）已知點(diǎn)，點(diǎn)是該函數(shù)圖象上一點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，當(dāng)，時(shí)，求的值10. （2009寧夏海南卷理）為了測(cè)量?jī)缮巾擬，N間的距離，飛機(jī)沿水平方向在A，B兩點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量，A，B，M，N在同一個(gè)鉛垂平面內(nèi)（如示意圖），飛機(jī)能夠測(cè)量的數(shù)據(jù)有俯角和A，B間的距離，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)方案，包括：指出需要測(cè)量的數(shù)據(jù)（用字母表示，并在圖中標(biāo)出）；用文字和公式寫出計(jì)算M，N間的距離的步驟。參考答案1.【答案】A【解析】因?yàn)闉槠婧瘮?shù),所以選A.2. 答案：D 【解析】對(duì)于振幅大于1時(shí)，三角函數(shù)的周期為，而D不符合要求，它的振幅大于1，但周期反而大于了3. C4. 答案：D解析：本題考查同角三角函數(shù)關(guān)系應(yīng)用能力，先由cotA=知A為鈍角，cosA0排除A和B，再由選D5. C6. A7. 【答案】【解析】本題主要考查簡(jiǎn)單的三角函數(shù)的運(yùn)算. 屬于基礎(chǔ)知識(shí)、基本運(yùn)算的考查。由已知，在第三象限，應(yīng)填.8. 解析: 設(shè)由正弦定理得由銳角得，又，故，9. 解析:（1）將，代入函數(shù)得，因?yàn)?，所以又因?yàn)椋?，因此?）因?yàn)辄c(diǎn)，是的中點(diǎn)，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為又因?yàn)辄c(diǎn)在的圖象上，所以因?yàn)椋?，從而得或即?0. 解析:方案一：需要測(cè)量的數(shù)據(jù)有：A點(diǎn)到M，N點(diǎn)的俯角；B點(diǎn)到M，N的俯角；A