2007年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試理科數(shù)學試卷及答案-湖南卷.doc_第1頁
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絕密啟用前2007年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試(湖南卷)數(shù)學(理工農醫(yī)類)本試卷分第卷(選擇題)和第卷(非選擇)題兩部分,滿分150分.考試用時120分鐘.參考公式:如果事件、互斥,那么如果事件、相互獨立,那么如果事件在一次試驗中發(fā)生的概率是,那么次獨立重復試驗中恰好發(fā)生次的概率是 球的體積公式 ,球的表面積公式,其中表示球的半徑一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的1復數(shù)等于( )a b c d2不等式的解集是( )abcd3設是兩個集合,則“”是“”的( )a充分不必要條件b必要不充分條件c充分必要條件d既不充分又不必要條件4設是非零向量,若函數(shù)的圖象是一條直線,則必有( )a bcd5設隨機變量服從標準正態(tài)分布,已知,則=( )a0.025b0.050c0.950d0.9756函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象的交點個數(shù)是( )a4b3c2d17下列四個命題中,不正確的是( )a若函數(shù)在處連續(xù),則b函數(shù)的不連續(xù)點是和c若函數(shù),滿足,則d8棱長為1的正方體的8個頂點都在球的表面上,分別是棱,的中點,則直線被球截得的線段長為( )abcd9設分別是橢圓()的左、右焦點,若在其右準線上存在使線段的中垂線過點,則橢圓離心率的取值范圍是( )abcd10設集合, 都是的含兩個元素的子集,且滿足:對任意的,(,),都有(表示兩個數(shù)中的較小者),則的最大值是( )a10b11c12d13二、填空題:本大題共5小題,每小題5分,共25分把答案填在橫線上11圓心為且與直線相切的圓的方程是 12在中,角所對的邊分別為,若,b=,則 13函數(shù)在區(qū)間上的最小值是 14設集合,(1)的取值范圍是 ;(2)若,且的最大值為9,則的值是 15將楊輝三角中的奇數(shù)換成1,偶數(shù)換成0,得到如圖1所示的0-1三角數(shù)表從上往下數(shù),第1次全行的數(shù)都為1的是第1行,第2次全行的數(shù)都為1的是第3行,第次全行的數(shù)都為1的是第 行;第61行中1的個數(shù)是 第1行 1 1第2行 1 0 1第3行 1 1 1 1 第4行 1 0 0 0 1 第5行 1 1 0 0 1 1 圖1三、解答題:本大題共6小題,共75分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟16(本小題滿分12分)已知函數(shù),(i)設是函數(shù)圖象的一條對稱軸,求的值(ii)求函數(shù)的單調遞增區(qū)間17(本小題滿分12分)某地區(qū)為下崗人員免費提供財會和計算機培訓,以提高下崗人員的再就業(yè)能力,每名下崗人員可以選擇參加一項培訓、參加兩項培訓或不參加培訓,已知參加過財會培訓的有60%,參加過計算機培訓的有75%,假設每個人對培訓項目的選擇是相互獨立的,且各人的選擇相互之間沒有影響(i)任選1名下崗人員,求該人參加過培訓的概率;(ii)任選3名下崗人員,記為3人中參加過培訓的人數(shù),求的分布列和期望18(本小題滿分12分)如圖2,分別是矩形的邊的中點,是上的一點,將,分別沿翻折成,并連結,使得平面平面,且連結,如圖3aebcfdg圖2圖3(i)證明:平面平面;(ii)當,時,求直線和平面所成的角19(本小題滿分12分)如圖4,某地為了開發(fā)旅游資源,欲修建一條連接風景點和居民區(qū)的公路,點所在的山坡面與山腳所在水平面所成的二面角為(),且,點到平面的距離(km)沿山腳原有一段筆直的公路可供利用從點到山腳修路的造價為萬元/km,原有公路改建費用為萬元/km當山坡上公路長度為km()時,其造價為萬元已知,(i)在上求一點,使沿折線修建公路的總造價最小;(ii) 對于(i)中得到的點,在上求一點,使沿折線修建公路的總造價最?。╥ii)在上是否存在兩個不同的點,使沿折線修建公路的總造價小于(ii)中得到的最小總造價,證明你的結論20(本小題滿分12分)已知雙曲線的左、右焦點分別為,過點的動直線與雙曲線相交于兩點(i)若動點滿足(其中為坐標原點),求點的軌跡方程;(ii)在軸上是否存在定點,使為常數(shù)?若存在,求出點的坐標;若不存在,請說明理由21(本小題滿分13分)已知()是曲線上的點,是數(shù)列的前項和,且滿足,(i)證明:數(shù)列()是常數(shù)數(shù)列;(ii)確定的取值集合,使時,數(shù)列是單調遞增數(shù)列;(iii)證明:當時,弦()的斜率隨單調遞增2007年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試(湖南卷)數(shù)學(理工農醫(yī)類)參考答案一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的1c 2d 3b 4a 5c 6b 7c 8d 9d 10b二、填空題:本大題共5小題,每小題5分,共25分把答案填在橫線上11121314(1)(2)15,32三、解答題:本大題共6小題,共75分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟16解:(i)由題設知因為是函數(shù)圖象的一條對稱軸,所以,即()所以當為偶數(shù)時,當為奇數(shù)時,(ii)當,即()時,函數(shù)是增函數(shù),故函數(shù)的單調遞增區(qū)間是()17解:任選1名下崗人員,記“該人參加過財會培訓”為事件,“該人參加過計算機培訓”為事件,由題設知,事件與相互獨立,且,(i)解法一:任選1名下崗人員,該人沒有參加過培訓的概率是所以該人參加過培訓的概率是解法二:任選1名下崗人員,該人只參加過一項培訓的概率是該人參加過兩項培訓的概率是所以該人參加過培訓的概率是(ii)因為每個人的選擇是相互獨立的,所以3人中參加過培訓的人數(shù)服從二項分布,即的分布列是01230.0010.0270. 2430.729的期望是(或的期望是)18解:解法一:()因為平面平面,平面平面,平面,所以平面,又平面,所以平面平面(ii)過點作于點,連結由(i)的結論可知,平面,所以是和平面所成的角因為平面平面,平面平面,平面,所以平面,故因為,所以可在上取一點,使,又因為,所以四邊形是矩形由題設,則所以,因為平面,所以平面,從而故,又,由得故即直線與平面所成的角是解法二:(i)因為平面平面,平面平面,平面,所以平面,從而又,所以平面因為平面,所以平面平面(ii)由(i)可知,平面故可以為原點,分別以直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標系(如圖),由題設,則,相關各點的坐標分別是,所以,設是平面的一個法向量,由得故可取過點作平面于點,因為,所以,于是點在軸上因為,所以,設(),由,解得,所以設和平面所成的角是,則故直線與平面所成的角是19解:(i)如圖,由三垂線定理逆定理知,所以是山坡與所成二面角的平面角,則,設,則記總造價為萬元,據(jù)題設有當,即時,總造價最?。╥i)設,總造價為萬元,根據(jù)題設有則,由,得當時,在內是減函數(shù);當時,在內是增函數(shù)故當,即(km)時總造價最小,且最小總造價為萬元(iii)解法一:不存在這樣的點,事實上,在上任取不同的兩點,為使總造價最小,顯然不能位于 與之間故可設位于與之間,且=,總造價為萬元,則類似于(i)、(ii)討論知,當且僅當,同時成立時,上述兩個不等式等號同時成立,此時,取得最小值,點分別與點重合,所以不存在這樣的點 ,使沿折線修建公路的總造價小于(ii)中得到的最小總造價解法二:同解法一得當且僅當且,即同時成立時,取得最小值,以上同解法一20解:由條件知,設,解法一:(i)設,則則,由得即于是的中點坐標為當不與軸垂直時,即又因為兩點在雙曲線上,所以,兩式相減得,即將代入上式,化簡得當與軸垂直時,求得,也滿足上述方程所以點的軌跡方程是(ii)假設在軸上存在定點,使為常數(shù)當不與軸垂直時,設直線的方程是代入有則是上述方程的兩個實根,所以,于是因為是與無關的常數(shù),所以,即,此時=當與軸垂直時,點的坐標可分別設為,此時故在軸上存在定點,使為常數(shù)解法二:(i)同解法一的(i)有當不與軸垂直時,設直線的方程是代入有則是上述方程的兩個實根,所以 由得當時,由得,將其代入有整理得當時,點的坐標為,滿足上述方程當與軸垂直時,求得,也滿足上述方程故點的軌跡方程是(ii)假設在軸上存在定點點,使為常數(shù),當不與軸垂直時,由(i)有,以上同解法一的(ii)21解:(i)當時,由已知得因為,所以 于是 由得 于是 由得, 所以,即數(shù)列是常數(shù)數(shù)列(ii)由有,所以由有,所以,而 表明:數(shù)列和分別是以,為首項,6為公差的等差數(shù)列,所以,數(shù)列是單調遞增數(shù)列且對任意的成立且即所求的取值集合是(iii)解

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