機械CAD-CAM技術(shù)第三講-計算機圖形處理技術(shù).ppt

-1-,機械,CAD/CAM技術(shù),中南林業(yè)科技大學(xué) 機械設(shè)計制造極其自動化教研室 易春峰,-2-,第三講 計算機圖形處理技術(shù),計算機圖形處理技術(shù)是利用計算機的高速運算能力和實時顯示功能來處理各類圖形信息的技術(shù)，包括圖形的輸入、。圖形的生成顯示、圖形的變換、編輯、識別以及圖形的輸出繪制等方面，這是計算機圖形學(xué)的重要內(nèi)容，也是CADCAM作業(yè)中的基本組成部分。本章主要介紹有關(guān)的圖形變換、圖形繪制以及曲線曲面等方面的基本原理和方法。,-3-,第一節(jié) 圖形變換,一、窗口-視區(qū)變換 1、窗口 在進行圖形處理時，常常對整幅圖形中的某個部分表示關(guān)注，要把指定的局部圖形從整幅圖形中分離出來，往往采用開“窗口”的方法加以解決，即用戶在所需要的圖形部分區(qū)域選定一個觀察框，這個觀察框被稱之為窗口，然后，經(jīng)過圖形軟件系統(tǒng)的圖形變換與裁剪處理，窗口內(nèi)的圖形便在屏幕上顯示出來。,-4-,窗口通常被定義為一個矩形框,-5-,2、視區(qū),視區(qū)是在圖形設(shè)備上（如圖形顯示器）定義的矩形區(qū)域，用于輸出所要顯示的圖形和文字。 視區(qū)是一個有限的整數(shù)域，它小于或等于屏幕區(qū)域。如果在同一屏幕上定義多個視區(qū)，則可同時顯示不同的圖形信息，如在繪圖時常將圖形屏幕分為四個視區(qū)，其中三個視區(qū)用于顯示零件的三視圖，另一個用于顯示零件的軸測圖。,-6-,SE零件的四個視區(qū),-7-,ACAD零件的四個視區(qū),-8-,3、窗口與視區(qū)的變換,窗口與視區(qū)的大小和單位都不相同，為了把所選定窗口內(nèi)的圖形內(nèi)容在希望的視區(qū)上顯示出來，必須進行坐標(biāo)變換，如圖3-2，窗口與視區(qū)的變換可以歸結(jié)為坐標(biāo)點的變換。,-9-,設(shè)窗口內(nèi)某一點坐標(biāo)為(Xw，Yw)，映射到視區(qū)內(nèi)坐標(biāo)為(Xv，Yv)，則它們之間的變換關(guān)系為:,-10-,窗口與視區(qū)的變換特點,當(dāng)視區(qū)大小不變時，窗口縮小或放大時，則顯示的圖形會相反地放大或縮小； 當(dāng)窗口大小不變時，視區(qū)縮小或放大時，則顯示的圖形會跟隨縮小或放； 當(dāng)窗口與視區(qū)大小相同時，則顯示的圖形大小比例不變； 若視區(qū)縱橫比不等于窗口的縱橫比時，則顯示的圖形會有伸縮變化。,-11-,窗口縮小 視區(qū)不變,縮小的窗口,-12-,二、二維圖形的幾何變換,1工程圖形的齊次坐標(biāo)矩陣表示 任何工程圖形都可視為點的集合，圖形變換的實質(zhì)就是對組成圖形的各頂點進行坐標(biāo)變換。為了便于圖形的變換計算，需要引用齊次坐標(biāo)的概念。所謂齊次坐標(biāo)即將一個n維矢量用n+1維矢量表示，如二維的點坐標(biāo)(x，y)可簡單地表示為（x，y，1）。,-13-,對于幾何圖形可引用齊次坐標(biāo)矩陣進行表示。例如三角形A，在二維、三維平面內(nèi)，其齊次坐標(biāo)矩陣可分別表示為：,-14-,2、二維圖形的基本幾何變換,設(shè)一個幾何圖形為A，對該圖形施行某種變換后得到的新圖形為B，則式BAT成立。顯然，B為變換后圖形矩陣，那么稱T為變換矩陣，它是用來對原圖形施行坐標(biāo)變換的工具。根據(jù)矩陣運算原理可知，二維圖形變換T矩陣為3X3階矩陣，而三維圖形變換矩陣T則為4X4階矩陣。,-15-,（1）比例變換,設(shè)圖形在x，y兩個坐標(biāo)方向放大或縮小比例分別為a和d，則坐標(biāo)點的比例變換為：,-16-,若a=d=1，為恒等變換，即變換后的圖形坐標(biāo)不變； 若a=d1，則為等比例變換，1時為等比例放大，1時為等比例縮??； 若a d則圖形在x，y兩個坐標(biāo)方向以不同的比例變換。,-17-,(2)對稱變換,坐標(biāo)點的對稱變換為：,-18-,1）當(dāng)bc0，a=-1，d=1時，有x=-x，y=y，產(chǎn)生與y軸對稱圖形，如圖所示：,-19-,2）當(dāng)bc0，a=1，d=-1時，有x=x，y=-y，產(chǎn)生與x軸對稱圖形，如圖所示：,-20-,3）當(dāng)bc0，a=d=-1時，有x=-x，y=-y，產(chǎn)生與原點對稱圖形，如圖所示：,-21-,4）當(dāng)bc1，a=d=0時，有x=y，y=x，產(chǎn)生與45線對稱的圖形，如圖所示：,-22-,5）當(dāng)bc-1，a=d=0時，有x=-y，y=-x，產(chǎn)生與-45線對稱的圖形，如圖所示：,-23-,（3）旋轉(zhuǎn)變換,若使圖形繞坐標(biāo)原點旋轉(zhuǎn)角，逆時針為正，順時針為負，則對坐標(biāo)點的旋轉(zhuǎn)變換為：,-24-,（4）錯切變換,其中，c，b分別為x，y坐標(biāo)的錯切系數(shù)。,-25-,1）當(dāng)b=0，x=x+cy，y=y。此時圖形y坐標(biāo)不變，c0，圖形沿+x方向作錯切位移；c0，圖形沿-x方向作錯切位移，如圖所示:,-26-,2）當(dāng)c=0，x=x，y=bx+y。此時圖形x坐標(biāo)不變，b0，圖形沿+y方向作錯切位移；b0，圖形沿-y方向作錯切位移，如圖所示:,-27-,(5)平移變換,圖形在x軸方向的平移量為l ，在y軸方 向的平移量為m，則坐標(biāo)點的平移變換為：,-28-,從上述介紹的5種二維圖形的基本幾何變換可見，各種圖形變換完全取決于變換矩陣中各元素的取值。按照變換矩陣中各元素的功能，可將二維變換矩陣的一般表達式按如下虛線分為4個子矩陣：,-29-,子矩陣 可以實現(xiàn)圖形的比例、對 稱、錯切、旋轉(zhuǎn)等基本幾何變換； 子矩陣l m可以實現(xiàn)圖形的平移變換； 子矩陣 可以實現(xiàn)圖形的透視變換； 子矩陣s實現(xiàn)圖形的全比例變換，當(dāng)s1時，圖形等比例縮?。?0s1時，圖形等比例放大。,-30-,3、復(fù)合變換,CADCAM作業(yè)中的圖形變換是復(fù)雜的，往往僅用一種基本變換是不能實現(xiàn)的，必須由兩種或多種基本變換l的組合才能得到所需要的最終圖形。 這種由多種基本變換的組合而實現(xiàn)的變換稱之為復(fù)合變換，相應(yīng)的變換矩陣稱之為復(fù)合變換矩陣，復(fù)合變換矩陣為多個基本變換矩陣的乘積。,-31-,復(fù)合變換舉例,例如，將圖形繞任意點P（xp，yp）轉(zhuǎn)a角的旋轉(zhuǎn)變換，可通過如下的基本變換實現(xiàn)： 將旋轉(zhuǎn)中心P點平移到坐標(biāo)原點，基本變換矩陣為T平； 將圖形繞坐標(biāo)原點旋轉(zhuǎn)a角，基本變換矩陣為T轉(zhuǎn)； 再將旋轉(zhuǎn)中心平移回到原來位置，基本變換矩陣為T-平。,-32-,則，圖形繞任意點P的旋轉(zhuǎn)變換矩陣為：,復(fù)合變換舉例,注：矩陣乘法不符合交換律，矩陣的求解順序不得隨意變動。,-33-,三、三維圖形的幾何變換,三維圖形的幾何變換可在二維圖形幾何變換的基礎(chǔ)上進行簡單的擴展，運用齊次坐標(biāo)的方法，可將三維空間點的幾何變換表示為： x y z 1=x y z 1T 其中，T是4X4階的變換矩陣，即：,-34-,三維變換矩陣的四個子矩陣,與二維相同，也可將三維變換矩陣按虛線分為4個子矩陣，其中左上角子矩陣產(chǎn)生三維圖形的比例、對稱、錯切和旋轉(zhuǎn)變換；左下角子矩陣產(chǎn)生平移變換；右上角子矩陣產(chǎn)生透視變換；右下角子矩陣產(chǎn)生全比例變換。,-35-,1、三維比例變換,其中，a，e，j分別為x，y，z三個坐標(biāo)方向的比例因子。當(dāng)a=e=j1時，圖形將等比例放大；當(dāng)a=e=j1時，則圖形將等比例縮小。,-36-,2、三維對稱變換,相對于XOY平面、 YOZ平面和XOZ平面三個坐標(biāo)平面的對稱變換矩陣分別為：,-37-,3、三維錯切變換,三維錯切變換矩陣為：,其中，d，h為沿x方向的錯切系數(shù)；b，i為沿y方向的錯切系數(shù)；c，f為沿z方向的錯切系數(shù)。,-38-,4、三維平移變換,三維平移變換矩陣為：,其中，l，m，n分別為x，y，z三個坐標(biāo)方向上的平移量。,-39-,5、三維旋轉(zhuǎn)變換,（1）繞z軸旋轉(zhuǎn)角的變換矩陣：,-40-,5、三維旋轉(zhuǎn)變換,（2）繞X軸旋轉(zhuǎn)角的變換矩陣：,-41-,5、三維旋轉(zhuǎn)變換,（3）繞Y軸旋轉(zhuǎn)角的變換矩陣：,-42-,第二節(jié) 計算機輔助繪圖,計算機輔助繪圖是在計算機軟硬件的輔助下進行繪圖作業(yè)的一項技術(shù)，具有效率高。便于編輯、修改和管理的特點。 本節(jié)在介紹目前人們常用的交互式繪圖、程序參數(shù)化繪圖和尺寸驅(qū)動式參數(shù)化繪圖的基礎(chǔ)上，介紹參數(shù)化圖庫的建庫方法和從三維實體模型中自動生成二維工程圖的相關(guān)技術(shù)。,-43-,一、交互式繪圖,交互式繪圖是指在交互式繪圖系統(tǒng)的支持下，用戶使用鍵盤、鼠標(biāo)等輸入設(shè)備通過人機對話的方式進行繪圖的方法。這種方法的最大優(yōu)點在于：用戶輸入繪圖命令及有關(guān)參數(shù)后，能實時地在圖形顯示設(shè)備上得到所繪的圖形，并能直接進行編輯修改，直至滿意為止，整個繪圖過程非常直觀、靈活。,-44-,目前，在國內(nèi)比較流行的交互式繪圖CAD軟件有具有自主版權(quán)的CAXA電子圖板。開目CAD。高華CAD和PICAD等， 以及如AutoCAD、Microstation等國外的軟件系統(tǒng)。 使用最多的還是AutoCAD,-45-,AutoCAD交互式繪圖的一般過程,（1）設(shè)置繪圖環(huán)境或套用模板 在繪圖作業(yè)開始前，一般需根據(jù)所畫圖形的特點設(shè)置繪圖環(huán)境。如根據(jù)圖形的大小確定圖形邊界，繪制或插入合適的圖框、標(biāo)題欄，并設(shè)置合適的顯示范圍；根據(jù)所畫圖形的復(fù)雜程度確定圖層的數(shù)目，并定義合適的文字樣式及尺寸標(biāo)注樣式等。 為了提高繪圖的效率，避免每次繪圖時的重復(fù)設(shè)置，可根據(jù)本行業(yè)、本單位的繪圖標(biāo)準(zhǔn)建立合適的模板文件，以便以后繪圖時直接套用。,-46-,AutoCAD交互式繪圖的一般過程,（2）交互式繪圖 根據(jù)視圖的構(gòu)成和布置首先生成各視圖的水平、垂直基準(zhǔn)線，由這些基準(zhǔn)線的位置通過偏移和坐標(biāo)點的追蹤確定其它圖元的相對位置。為保證所繪圖形的精確性，繪圖時可使用如正交、捕捉及目標(biāo)捕捉等各種繪圖輔助功能。為了便于圖形管理，可將不同類型的圖形放在不同的圖層上；如果某些圖層上的圖形干涉當(dāng)前層圖形的操作，可將當(dāng)前不需要操作的圖層進行凍結(jié)。為了提高繪圖的效率，盡量采用鏡像、陣列、復(fù)制和插入功能，來加快繪圖的速度。盡量用1:1的比例繪圖。,-47-,AutoCAD繪圖實例,見教材中P87P88，建議同學(xué)們按教材中的步驟做一遍，復(fù)習(xí)一下AutoCAD，并體會一下AutoCAD交互繪圖的基本步驟和原則。,-48-,二、程序參數(shù)化繪圖,交互式繪圖是根據(jù)圖形的特點，一條線一條線地通過人機交互來生成圖形的，人工干預(yù)多，繪圖效率低。這種繪圖方式對于那些具有相同結(jié)構(gòu)而只是尺不同的圖形來說，其工作效率不高的缺陷顯得尤為突出。 在機械工程圖中，由于很多零部件的形狀是相似的，例如鍵，銷。螺釘，螺母、滾動軸承等，繪制這些零件的視圖一般可采用程序參數(shù)化繪圖方法完成。,-49-,在程序參數(shù)化繪圖方法下，用戶不再需要調(diào)用繪圖命令逐條線地繪制圖形，這樣的工作可交給程序去完成，用戶所做的工作只是向程序提供所要求的一些參數(shù)。根據(jù)用戶輸入的參數(shù)程序?qū)⒆詣拥赜嬎愦_定圖形中各實體的其它幾何參數(shù)，圖形中各實體之間的拓撲關(guān)系，如相對邊平行、鄰邊垂直等則由程序來保證。,-50-,簡單鈑金件程序參數(shù)化繪圖實例,簡單鈑金件零件圖：,用戶只要輸入x1，y1，a，b，c，d參數(shù)，程序自動地計算其它幾何參數(shù)：,x2=x3=x1+a x4=x5=x1+a-b x6=x1 y2=y1,y3=y4=y1+d , y5=y6=y1+c,-51-,零件的AutoLisp程序,-52-,零件的AutoLisp程序,-53-,零件的AutoLisp程序,用文本編輯軟件將上述程序編輯完成后，賦予如“Exam.lsp”文件名存放在AutoCAD的某個搜索目錄下。 調(diào)用時，首先在AutoCAD圖形編輯狀態(tài)下裝入該文件，命令格式為：（load“Exam”）注意括號不能丟。當(dāng)該程序正確裝入后，就像使用AutoCAD命令一樣直接輸入函數(shù)名draw調(diào)用，然后根據(jù)程序的提示輸入相關(guān)參數(shù)，程序即可自動繪制所需要的圖形。,-54-,程序參數(shù)化繪圖的參數(shù)確定方法,機械工程圖參數(shù)的選取應(yīng)盡量結(jié)合工程的實際需要和計算的方便性。例如，齒輪工程圖樣的繪制應(yīng)該選用齒輪的模數(shù)，齒數(shù)和變位系數(shù)等作為齒輪圖形參數(shù)，而不是用齒頂圓，分度圓直徑等。對于一些如軸承，螺釘，螺母等標(biāo)準(zhǔn)件，可用其規(guī)格尺寸作為參數(shù)，其它結(jié)構(gòu)尺寸已在工程手冊中給定，可事先將這些結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)存入文件或數(shù)據(jù)庫，調(diào)用時，可由程序根據(jù)規(guī)格尺寸從數(shù)據(jù)庫中檢索，這樣可盡量減少參數(shù)的數(shù)量，便于操作者的使用。,-55-,局部形狀相似的零件其程序參數(shù)化繪圖方法的基本思路,例如軸類零件，一般都可將其分解為由圓柱段，圓錐段、螺紋段、花鍵段等若干軸段組成，而每個軸段往往又包含有倒角，圓角，鍵槽，退刀槽、中心孔等結(jié)構(gòu)。若將這些形狀特征賦予參數(shù)，編制成繪圖程序，通過調(diào)用這些特征繪圖程序，可以拼合成各種不同的零件圖形，這種繪圖方法被稱之為形狀特征拼合法。,-56-,軸類零件可分解的形狀特征及參數(shù),-57-,可以利用AutoLisp程序?qū)γ恳恍螤钐卣鬟M行編程，具體AutoLisp編程語法可參考教材中P153P157內(nèi)容。請同學(xué)們課后用AutoLisp對每個形狀進行編程，并上機實驗一下這些形狀特征程序，并用他們畫一個階梯軸。 必須指出：程序參數(shù)化繪圖也有一定的局限性，即每個圖形的繪制均需進行編程，而且這種繪圖方法不便于圖形的修改。,-58-,三、尺寸驅(qū)動式參數(shù)化繪圖,如果無須對圖形實體進行準(zhǔn)確定位，而是以草圖形式快速繪制圖形，然后進行必要的尺寸標(biāo)注，最后通過驅(qū)動程序產(chǎn)生由尺寸標(biāo)注所控制的準(zhǔn)確圖形，這就是尺寸驅(qū)動式參數(shù)化繪圖的基本思想。顯然，這種繪圖方式保留了交互式繪圖的靈活性，又具有程序參數(shù)化繪圖的快捷高效性，是目前被計算機圖形系統(tǒng)普遍采用的一種繪圖方式。,-59-,1、尺寸驅(qū)動參數(shù)化繪圖原理,尺寸驅(qū)動參數(shù)化繪圖一般是由尺寸驅(qū)動參數(shù)化軟件模塊在非參數(shù)化圖形基礎(chǔ)上引入了約束機制實現(xiàn)的。在參數(shù)化圖形中，除了包含各圖元的幾何信息外，還包含了各種約束條件。這里所述的約束主要有幾何約束和尺寸約束兩種。 幾何約束：為各圖元之間的平行、垂直、相切、對齊、相等、對稱等拓撲關(guān)系。 尺寸約束：表示圖形中各組成圖元的長度、角度、半徑及相對位置等。,-60-,1、尺寸驅(qū)動參數(shù)化繪圖原理,幾何約束一般自動完成的，該約束生成后圖形的拓撲結(jié)構(gòu)已基本固定。 尺寸約束則通過尺寸標(biāo)注來實現(xiàn)的。當(dāng)所施加的約束正好可以唯一確定圖形的結(jié)構(gòu)和大小時，則圖形被全約束，參數(shù)化工作完成。 圖形參數(shù)化完成后，各尺寸標(biāo)注的尺寸值就作為參數(shù)來處理，修改某一個或多個尺寸值時，系統(tǒng)會自動按新尺寸值進行調(diào)整。,-61-,2、尺寸驅(qū)動參數(shù)化繪圖軟件的主要功能,草圖繪制與整理：繪制草圖并添加幾何約束。 放置驅(qū)動尺寸：使圖形全約束。 修改驅(qū)動尺寸值，驅(qū)動圖形符合設(shè)計要求。 如proe的草繪。,-62-,四、參數(shù)化圖庫,目前市場上常見的二維CAD系統(tǒng)都附帶有常用的標(biāo)準(zhǔn)件參數(shù)化圖庫，如PCCAD系統(tǒng)提供了各種緊固件、齒輪、鏈輪、帶輪、潤滑與密封件等共數(shù)千個標(biāo)準(zhǔn)件參數(shù)化圖庫，從這些圖庫中可直接調(diào)用各種規(guī)格的標(biāo)準(zhǔn)件零件圖。 除了直接使用軟件系統(tǒng)所提供的已有圖形庫之外，還可以借助于現(xiàn)有的知識和軟件工具建立用戶自己的圖形庫。,-63-,五、工程圖的自動生成,前面所介紹的交互式繪圖，程序式繪圖和尺寸驅(qū)動參數(shù)化繪圖等各種繪圖方法，從根本上來說，還均未擺脫二維繪圖的傳統(tǒng)工作模式，在手工繪圖中所遇到的各種難題和問題，如復(fù)雜零件的投影線和截交線繪制、圖樣中的漏標(biāo)尺寸、設(shè)計的修改引起的相關(guān)圖檔的更新等，沒有得到根本的解決。,-64-,目前，三維實體造型技術(shù)已相當(dāng)成熟，各種不同的CADCAM系統(tǒng)為用戶提供了豐富的三維造型的工具和手段，利用這些工具用戶能夠快速地建立所設(shè)計對象的三維實體模型。根據(jù)已有的三維實體模型，通過投影、剖切自動生成各種工程圖。這種方法較好地解決了上述二維CAD系統(tǒng)所面臨的問題。,-65-,如proe的工程圖，注意投影分角設(shè)置。,-66-,第三節(jié) 曲線和曲面,曲線和曲面是CADCAM中一項重要的技術(shù)基礎(chǔ)。在機械設(shè)計與制造中常常遇到各種形狀復(fù)雜的外形表面，這些外形表面不能用簡單的數(shù)學(xué)函數(shù)來描述，而是通過一系列的離散點進行擬合構(gòu)造，生成所需要的曲線和曲面，如汽車的車身，汽輪機葉片、塑料模具等。 本節(jié)在介紹曲線曲面參數(shù)表示的基礎(chǔ)上著重介紹Bezier曲線曲面，B樣條曲線曲面和NURBS曲線曲面的構(gòu)造描述方法。,-67-,一、曲線曲面的參數(shù)表示,1、曲線曲面的數(shù)學(xué)表示形式 （1）顯式表示對于一條平面曲線，可顯式地表示為：y=f(x) ，在這種顯式方程表示中，不能表示封閉或多值曲線，如圓等。 （2） 隱式表示用隱式方程表示曲線和曲面的形式為： F（x，y，z)=0，這種隱式方程可表示多值曲線，如各種圓錐曲線（拋物線，橢圓，雙曲線）等，但仍存在曲線與坐標(biāo)軸選取相關(guān)、會出現(xiàn)斜率為無窮大，不便于計算和編程等問題。,-68-,（3）參數(shù)表示所謂參數(shù)表示，就是將曲線或曲面上點的坐標(biāo)表示為某些參數(shù)的函數(shù)。例如：三維曲線上點的坐標(biāo)可表示為參數(shù)u的函數(shù)： x=x(u)，y=y(u)，z=z(u) 任意曲線均可映射為參數(shù)空間中的一個參數(shù)域，曲線上的每一點都與參數(shù)域內(nèi)的某點保持一一對應(yīng)的關(guān)系，即曲線上每一個點坐標(biāo)（x，y，z）都可由一個參數(shù)u的函數(shù)來定義。 任意曲面也總可映射為由（u，v)參數(shù)定義的參數(shù)空間中的一個矩形區(qū)域，曲面上每一個點與參數(shù)矩形域上的某點保持著一一對應(yīng)的關(guān)系，則整張曲面就可由二維參數(shù)u，v的某個參數(shù)表達式來表示。,-69-,參數(shù)表示具有的優(yōu)越性,1）可方便地表示三維曲線，并有更多的自由度來控制曲線曲面的形狀； 2）參數(shù)表示的曲線曲面與坐標(biāo)系的選擇無關(guān)。因此，在幾何變換過程中，不必對曲線曲面上的每個點進行變換，可直接對曲線曲面參數(shù)方程實施變換，從而節(jié)省計算工作量；,-70-,參數(shù)表示具有的優(yōu)越性,3）在參數(shù)表達式中使用切矢來代替非參數(shù)方程中的斜率，便于處理斜率無窮大的問題，因而不會由此造成計算的中斷； 4）參數(shù)表達式中一般都有明確的定義域，使其對應(yīng)的幾何量都是有界的。從而不必再進行邊界的定義； 5）易于用矢量和矩陣表示幾何量，從而便于計算機的計算與編程。,-71-,2、參數(shù)曲線定義及其切矢量，法矢量和曲率,一條用參數(shù)表示的三維曲線是一個有界、連續(xù)的點集，可表示為： x=x(u)， y=y(u)，z=z(u) 0u 1 如圖3-25(下一頁)所示，曲線的端點在以u0，u=1處，曲線上任一點的位置矢量（即其坐標(biāo)）可用矢量p(u)表示： P(u)=x(u)，y(u)，z(u) 0 u 1,-72-,-73-,曲線上某點的切矢量,設(shè)曲線上Q、R兩點，其參數(shù)分別為u、u+u，位置矢量分別為p(u)，p(u+u)。矢量p=p (u+u)- p(u)的大小表示連接QR的弦長，若使R點沿曲線逐漸靠近Q點，即當(dāng)u 0時，位置矢量p(u)關(guān)于參數(shù)u的一階導(dǎo)數(shù)矢量 稱為曲線在該點處的切矢量，切矢方向即曲線在該點處的切線方向。,-74-,曲線上某點的法矢量和曲率,在切矢量上取單位矢量T，如果曲線以弧長s為參數(shù)，則 對單位切矢求導(dǎo)數(shù)可得 ， 在矢量 上取單位矢量N，則： 其中，k為曲線曲率，N為法線矢量（法矢）,-75-,曲率的進一步說明,曲率k是用以描述曲線在某點處的彎曲程度，是一個數(shù)值量。根據(jù)其定義有： 曲線上某點的曲率越大，表示曲線在該點處的彎曲程度越厲害。曲率的倒數(shù)稱為 該點曲線的曲率半徑。,-76-,法矢量的進一步說明,對于空間的參數(shù)曲線，所有垂直于切矢量T的矢量都是法矢量。因此，曲線上某一給定點處就有一束法線，這些法線在同一平面上，稱此平面為曲線在該點的法平面。N稱為主法線矢量，將BTN矢量稱之為副法線矢量，它垂直于切線矢量T和主法線矢量N。,-77-,3、曲線段間連續(xù)性定義,在實際應(yīng)用中，曲線常常以分段形式定義，或由多段曲線拼合而成。因而，在對曲線處理過程中必然涉及到各曲線段在連接點處的連續(xù)性問題。關(guān)于曲線段的連續(xù)性有兩種判斷標(biāo)準(zhǔn)，一種為參數(shù)連續(xù)，一種為幾何連續(xù)。,-78-,參數(shù)連續(xù)與幾何連續(xù),參數(shù)連續(xù)是判斷連接點處曲線方程對參數(shù)u的各階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性，如果參數(shù)曲線在連接點處具有n階連續(xù)導(dǎo)矢，則稱曲線n階參數(shù)連續(xù)，簡記為Cn。 幾何連續(xù)是判斷曲線在連接點處曲線方程對弧長參數(shù)s的各階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性，若曲線具有關(guān)于弧長參數(shù)的n階連續(xù)導(dǎo)矢，則稱曲線n階幾何連續(xù)，簡記為Gn。,-79-,曲線的參數(shù)連續(xù)性與參數(shù)的選取及具體的參數(shù)化有關(guān)； 而幾何連續(xù)性不依賴于參數(shù)的選取，而是反映出曲線的具體的幾何特性。 可見在CAD/CAM操作中我們更關(guān)心幾何連續(xù)。,-80-,在曲線曲面造型中，一般只用到G0，G1，G2連續(xù)。 G0連續(xù)時，表示曲線在連接點處位置矢量相同（即兩曲線首尾連接）； G1連續(xù)表示曲線在連接點切矢方向相同，但大小可能不等（即兩曲線相切）， G2連續(xù)表示曲線在連接點處具有相同的曲率（相切且曲率相同， G2 連續(xù)在CAD/CAM造型中屬于較高要求）。 G3連續(xù)表示兩曲線在連接點處的曲率曲線光滑無尖角。,-81-,G0，G1，G2 ，G3連續(xù)舉例,G0,曲率梳,斑馬紋,-82-,G0,-83-,G1,-84-,G2,-85-,G3,-86-,4、參數(shù)曲面的定義,任意一張曲面可以看作是由一個平面矩形經(jīng)拉伸，彎曲及扭轉(zhuǎn)等變形而成。 在數(shù)學(xué)上，可將一般的曲面映射為由參數(shù)(u，v)定義的參數(shù)空間中的一個矩形區(qū)域。曲面上任一點s的位置矢量可表示為： S（u，v）=x（u，v） y（u，v） z（u，v） 上式即為參數(shù)曲面的一般定義形式。,-87-,u向等參數(shù)線與v向等參數(shù)線,在參數(shù)曲面上有兩個參數(shù)軸，一個為參數(shù)軸u，一個為參數(shù)軸v，分別表示參數(shù)曲面中兩個參數(shù)的變化方向。若保持參數(shù)曲面上某v值不變，則隨u參數(shù)值的變化而形成一條參數(shù)曲線，我們稱該曲線為u向等參數(shù)線，即u向具有相同v值的曲線。同樣還有v向等參數(shù)線。,-88-,參數(shù)曲面上切矢與單位法矢,過曲面上的任一點pij處總存在一條u向等參數(shù)線和一條v向等參數(shù)線，u向等參數(shù)線在該點處關(guān)于參數(shù)u的一階偏導(dǎo)矢puij稱為u向切矢，而v向等參數(shù)線在該點處關(guān)于參數(shù)v的一階偏導(dǎo)矢pvij稱為v向切矢，與兩個切矢垂直的單位矢量 稱為曲面在該點處的單位法矢，簡記nij。,-89-,-90-,二、Bezier曲線曲面,1962年法國雷諾汽車公司的Bezier提出了一種以逼近為基礎(chǔ)的構(gòu)造參數(shù)曲線的方法。Bezier曲線是通過特征多邊形進行定義的，曲線的起點和終點與該多邊形的起點和終點重合，曲線的形狀由多邊形其余頂點控制，改變特征多邊形的頂點位置，可直觀地看到曲線形狀的變化。,-91-,Bezier曲線,-92-,1、Bezier曲線的定義,給定n+1個控制頂點Pi（i=0，1，n），可定義一條n次Bezier曲線,其中，Bi,n(u)為伯恩斯坦基函數(shù)：,-93-,2、常見的幾種Bezier曲線,（1）一次Bezier曲線 當(dāng)n=1時，,其中，兩個伯恩斯坦基函數(shù)分別為：,矩陣表示：,很顯然，一次Bezier曲線是一條連接起點P0和終點P1的直線段。,-94-,（2）二次Bezier曲線,當(dāng)n=2時：,其中三個伯恩斯坦基函數(shù)分別為：,矩陣表示：,-95-,顯然，二次Bezier曲線是一條以P0和P1為端點的拋物線，其端點處有： P（0）=p0 ， P（1）=p2 P（0）=2（p1 p0）， P（1）=2（p2 p1）,-96-,（3）三次Bezier曲線,當(dāng)n=3時：,其中四個伯恩斯坦基函數(shù)分別為：,-97-,三次Bezier曲線的矩陣表示,端點處有： P（0）=p0 P（1）=p3 P（0）=3（p1 p0） P（1）=3（p3 p2）,-98-,3、Bezier曲線的幾何特性,（1）端點特性 Bezier曲線過特征多邊形的始點和終點，曲線始點和終點處的切線方向分別與特征多邊形的首，未邊重合（表示相切）。 （2）凸包性在幾何圖形上，這意味著Bezier曲線落在由特征多邊形控制頂點構(gòu)成的最小凸多邊形內(nèi)。,-99-,凸包性,-100-,（3）幾何不變性 Bezier曲線的位置與形狀僅與其特征多邊形頂點的位置有關(guān)，而與坐標(biāo)系的選擇無關(guān)。在幾何變換中，只要直接對特征多邊形的頂點變換即可，而無需對曲線上的每一點進行變換 （4）全局控制性 當(dāng)修改特征多邊形中的任一頂點，均會對整體曲線產(chǎn)生影響，因此Bezier曲線缺乏局部修改能力。,-101-,4、Bezier曲線的拼接,如圖所示，若給定兩條三次Bezier曲線段P（u）和Q（u），使P（u）的終點p3和Q（u）的始點q0重合，現(xiàn)討論這兩條曲線段拼接的連續(xù)性條件。,-102-,Bezier曲線段拼接的連續(xù)性條件,（1） G0連續(xù)條件：P（1）=Q（0）即第一個控制多邊形的終點與第二個控制多邊形的起點相連。 （2）G1連續(xù)條件：要求曲線在拼接點處具有相同的單位切矢，即需要滿足p2 ， p3 (q0) ， q1三點共線。 （3）G2連續(xù)條件：Bezier曲線在連接點處G2連續(xù)條件更為嚴(yán)格，要求特征多邊形p1p2，p2p3，q0q1，q1q2四條特征邊共面。,-103-,幾何作圖法（遞推法）求Bezier曲線, ,b0,b3,b2,b1,-104-,5、Bezier曲面,設(shè)有pij（i=0,1, ,m;j=0,1, ,n）為（m+1）（n+1）個空間點列，則可定義一張mn次Bezier曲面：,其中：,為伯恩斯坦基函數(shù)。 依次用線段連接點列pij中相鄰兩點所形成的空間網(wǎng)格，稱為Bezier曲面特征多邊形網(wǎng)格。,-105-,Bezier曲面的矩陣表示,-106-,例：雙三次Bezier曲面片,給定由16個控制頂點組成的特征網(wǎng)格，可定義一張雙三次Bezier曲面片，其參數(shù)表達式為：,-107-,雙三次Bezier曲面片示意圖,從圖中可以看出，雙三次Bezier曲面片的角點與對應(yīng)的特征網(wǎng)格的四個角點重合；特征網(wǎng)格四邊的12個控制點定義了四條Bezier曲線，即為曲面片的邊界線，中央的4個控制點與邊界曲線無關(guān)，但控制著曲面片的形狀。,-108-,三、B樣條曲線曲面,提出：盡管Bezier曲線曲面有許多優(yōu)越性，但有兩點不足：其一，特征多邊形頂點數(shù)決定了Bezier曲線的階次，當(dāng)次數(shù)n較大時，特征多邊形對曲線的控制能力將會削弱；其二，Bezier曲線不能作局部修改，改變一個控制點的位置對整條曲線都有影響。B樣條曲線曲面正是基于解決上述問題而提出的。,-109-,1、B樣條曲線的定義 2、 B樣條曲線的節(jié) P104P109（自學(xué)） 點矢量和定義域 3、均勻B樣條