人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)第二十一章《一元二次方程》解題指導(dǎo)

抓特征,巧解一元二次方程解一元二次方程的常用方法有:直接開方法,配方法,公式法,因式分解法.到底選擇哪種方法更合適些呢?這應(yīng)由方程的特征來(lái)確定.因此,解方程之前我們應(yīng)仔細(xì)觀察方程的系數(shù)特點(diǎn)和方程的結(jié)構(gòu)特征,并根據(jù)它們來(lái)靈活選擇解題的方法,從而達(dá)到迅速、簡(jiǎn)便、準(zhǔn)確解題的目的.試看以下幾例:例1解方程.析本題方程的特征為左右兩邊均是一個(gè)完全平方式的形式,可嘗試用直接開方法來(lái)求解.解方程兩邊直接開方,得,即,或,解得例2解方程.析注意到方程右邊可因式分解為,左、右兩邊有相同的公因式,可嘗試用因式分解法來(lái)求解.解原方程可化為,移項(xiàng),得,提取公因式,得,即,解得評(píng)注注意解方程時(shí),不能把方程兩邊的先約去,再求解.這樣做的后果是把其中一個(gè)解漏掉了,深層原因是忽視了有可能等于0不能作為除數(shù)的情況.對(duì)于這一類型的題目,一般要先移項(xiàng),再提取公因式法進(jìn)行因式分解后求解.例3解方程.析本題方程的二次項(xiàng)系數(shù)為3的平方數(shù),一次項(xiàng)系數(shù)又是3的偶數(shù)倍,可嘗試用配方法來(lái)求解.解原方程可配方為,兩邊同時(shí)開方,得,解得例4解方程.析方程左邊的兩個(gè)因式具有相同的項(xiàng)、,可嘗試把當(dāng)一個(gè)“整體”先對(duì)方程進(jìn)行化簡(jiǎn).解原方程可化為,即,兩邊同時(shí)開方,得,解得評(píng)注本例若直接利用多項(xiàng)式乘法法則將左邊展開,這樣解題過程將會(huì)復(fù)雜許多.通過本例再次讓我們感覺到抓住方程的特征,才有利于選擇適當(dāng)方法,才能給我們解題帶來(lái)簡(jiǎn)捷與準(zhǔn)確.一元二次方程中的思維之魂新課標(biāo)要求“人人做有價(jià)值的數(shù)學(xué)”。“有價(jià)值的數(shù)學(xué)”就是數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)，它是數(shù)學(xué)思維的靈魂?，F(xiàn)將一元二次方程中主要數(shù)學(xué)思想做一個(gè)簡(jiǎn)要的說(shuō)明。一、轉(zhuǎn)化思想所謂轉(zhuǎn)化思想就是將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問題，將生疏的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，將難以解決的問題轉(zhuǎn)化為容易解決的問題，將待解決的問題轉(zhuǎn)化為已解決的問題本章中“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想方法，如同一條線貫穿始終。如一元二次方程的解法：直接開平方法利用平方根的定義將一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程；用配方法求解，是把方程化為的形式，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)形式的轉(zhuǎn)化，然后利用直接開平方的方法把“二次”轉(zhuǎn)化為“一次”，把“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”；因式分解法是利用因式分解的方法把“二次”轉(zhuǎn)化為“一次”；公式法求解直接用公式把“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”。這些都體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想方法。二方程思想方程思想是本章中反映的主要數(shù)學(xué)思想方法，并在本章中有廣泛的應(yīng)用。如已知方程和方程的根，求方程中字母的值時(shí)，運(yùn)用了方程思想；又如列方程解應(yīng)用問題充分體現(xiàn)了方程思想。先找出應(yīng)用問題中的一個(gè)或幾個(gè)相等關(guān)系，設(shè)出未知數(shù)，把應(yīng)用題中的“已知”和“未知”統(tǒng)一在方程中，通過列解方程求得問題的解。三整體思想所謂整體思想就是從整體著眼，把一些看似毫不相干而實(shí)質(zhì)上又緊密相聯(lián)的數(shù)、式看作一個(gè)整體去處理在用直接開平方法解一元二次方程時(shí)，就涉及到了整體思想例1解方程：。分析本題的方法比較多，不過如果利用整體的思想的方法可大大地減少運(yùn)算量。把作為一個(gè)整體，然后利用因式分解的方法進(jìn)行解答。解：移項(xiàng)，得，因式分解，得，所以0，0，解得，。四分類討論思想分類討論思想是指研究某些數(shù)學(xué)問題，就其可能出現(xiàn)的各種情況一一加以分類。分類討論可以把一個(gè)復(fù)雜的問題分成若干個(gè)較簡(jiǎn)單的問題加以解決。在利用配方法推導(dǎo)一元二次方程求根公式的過程中運(yùn)用了分類討論的思想。分類的對(duì)象是、分類的標(biāo)準(zhǔn)是與0的關(guān)系、分類的結(jié)果是0、0、0，這樣分類的結(jié)果就十分明確。又如：在涉及到含有字母系數(shù)的一元二次方程時(shí)，經(jīng)常要用到分類討論思想。例2解方程：。分析：本題分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)和。解：當(dāng)時(shí)，原方程可化為：，解得。當(dāng)時(shí)，原方程可化為，解得。故原方程的解有四個(gè)：，。整體性思維在解題中的應(yīng)用有許多數(shù)學(xué)題，若單獨(dú)求解很困難，或者很繁瑣。若認(rèn)真分析題意、仔細(xì)觀察結(jié)構(gòu)，研究問題的整體形式、整體結(jié)構(gòu)，運(yùn)用整體性思維，往往能順利而又簡(jiǎn)潔地解決問題。現(xiàn)舉幾例如下：1、整體求值例1、 已知m是一元二次方程x22x1=0的根,求m22m的值。分析 本題若把m代入方程，求出兩個(gè)無(wú)理根，再把m的值代入m22m求值，顯然麻煩且容易出錯(cuò)。我們把m22m看做一個(gè)整體，由m22m1=0，可直接求得m22m=12、整體代入例2、已知x25x1=0，求x2+11的值.分析：如果從方程x25x1=0中解出兩個(gè)無(wú)理根，再代入求值，計(jì)算復(fù)雜，現(xiàn)把x2=5x+1視作整體代入，則使求值簡(jiǎn)便。解：由x25x1=0，得x2=5x+1，所以x2+11=5x+1+11=16.3、整體求積例3、在RtABC中，C=90,AC+BC=,AB=.求SABC.分析 若求出AC和BC的值，再計(jì)算SABC，則很麻煩。 要練說(shuō)，得練看。看與說(shuō)是統(tǒng)一的，看不準(zhǔn)就難以說(shuō)得好。練看，就是訓(xùn)練幼兒的觀察能力，擴(kuò)大幼兒的認(rèn)知范圍，讓幼兒在觀察事物、觀察生活、觀察自然的活動(dòng)中，積累詞匯、理解詞義、發(fā)展語(yǔ)言。在運(yùn)用觀察法組織活動(dòng)時(shí)，我著眼觀察于觀察對(duì)象的選擇，著力于觀察過程的指導(dǎo)，著重于幼兒觀察能力和語(yǔ)言表達(dá)能力的提高。由于SABC=ACBC,所以我們只要能求出ACBC的值就可以了。 觀察內(nèi)容的選擇，我本著先靜后動(dòng)，由近及遠(yuǎn)的原則，有目的、有計(jì)劃的先安排與幼兒生活接近的，能理解的觀察內(nèi)容。隨機(jī)觀察也是不可少的，是相當(dāng)有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛蟲等，孩子一邊觀察，一邊提問，興趣很濃。我提供的觀察對(duì)象，注意形象逼真，色彩鮮明，大小適中，引導(dǎo)幼兒多角度多層面地進(jìn)行觀察，保證每個(gè)幼兒看得到，看得清?？吹们宀拍苷f(shuō)得正確。在觀察過程中指導(dǎo)。我注意幫助幼兒學(xué)習(xí)正確的觀察方法，即按順序觀察和抓住事物的不同特征重點(diǎn)觀察，觀察與說(shuō)話相結(jié)合，在觀察中積累詞匯，理解詞匯，如一次我抓住時(shí)機(jī)，引導(dǎo)幼兒觀察雷雨，雷雨前天空急劇變化，烏云密布，我問幼兒烏云是什么樣子的，有的孩子說(shuō)：烏云像大海的波浪。有的孩子說(shuō)“烏云跑得飛快?！蔽壹右钥隙ㄕf(shuō)“這是烏云滾滾?！碑?dāng)幼兒看到閃電時(shí)，我告訴他“這叫電光閃閃。”接著幼兒聽到雷聲驚叫起來(lái)，我抓住時(shí)機(jī)說(shuō)：“這就是雷聲隆隆。”一會(huì)兒下起了大雨，我問：“雨下得怎樣?”幼兒說(shuō)大極了，我就舀一盆水往下一倒，作比較觀察，讓幼兒掌握“傾盆大雨”這個(gè)詞。雨后，我又帶幼兒觀察晴朗的天空，朗誦自編的一首兒歌：“藍(lán)天高，白云飄，鳥兒飛，樹兒搖，太陽(yáng)公公咪咪笑。”這樣抓住特征見景生情，幼兒不僅印象深刻，對(duì)雷雨前后氣象變化的詞語(yǔ)學(xué)得快，記得牢，而且會(huì)應(yīng)用。我還在觀察的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)幼兒聯(lián)想，讓他們與以往學(xué)的詞語(yǔ)、生活經(jīng)驗(yàn)聯(lián)系起來(lái)，在發(fā)展想象力中發(fā)展語(yǔ)言。如啄木鳥的嘴是長(zhǎng)長(zhǎng)的，尖尖的，硬硬的，像醫(yī)生用的手術(shù)刀樣，給大樹開刀治病。通過聯(lián)想，幼兒能夠生動(dòng)形象地描述觀察對(duì)象。解 由AC+BC=,得（AC+BC）2=6,所以，AC2+BC2+2ACBC=6,由勾股定理得，AC2+BC2=AB2=5，所以，ACBC=， 課本、報(bào)刊雜志中的成語(yǔ)、名言警句等俯首皆是,但學(xué)生寫作文運(yùn)用到文章中的甚少,即使運(yùn)用也很難做到恰如其分。為什么?還是沒有徹底“記死”的緣故。要解決這個(gè)問題,方法很簡(jiǎn)單,每天花3-5分鐘左右的時(shí)間記一條成語(yǔ)、一則名言警句即可?？梢詫懺诤蠛诎宓摹胺e累專欄”上每日一換,可以在每天課前的3分鐘讓學(xué)生輪流講解,也可讓學(xué)生個(gè)人搜集,每天往筆記本上抄寫,教師定期檢查等等。這樣,一年就可記300多條成語(yǔ)、300多則名言警句,日積月累,終究會(huì)成為一筆不小的財(cái)富。這些成語(yǔ)典故“貯藏”在學(xué)生腦中,自然會(huì)出口成章,寫作時(shí)便會(huì)隨心所欲地“提取”出來(lái),使文章增色添輝。因此，SABC=ACBC=。 4、變0代入例4、當(dāng)x=時(shí)，求式子(4x3-2019x-2009)2009的值。分析 若直接代入x的值，計(jì)算將很難進(jìn)