偏導數(shù)的幾何應用.ppt

一、空間曲線的切線與法平面,二、曲面的切平面與法線,第七節(jié) 偏導數(shù)的幾何應用,三、小結,四、作業(yè),設空間曲線的方程,(1)式中的三個函數(shù)均可導.,1. 空間曲線的方程為參數(shù)方程,一、空間曲線的切線與法平面,考察割線趨近于極限位置,上式分母同除以,割線 的方程為,切線的過程,曲線在M處的切線方程,切向量,法平面,切線的方向向量稱為曲線在點 M 處的切向量.,過M點且與切線垂直的平面.,解.,切線方程,法平面方程,例1.,即,設曲線直角坐標方程為,法平面方程為,2. 空間曲線的方程為,曲線的參數(shù)方程是,由前面得到的結果,在M(x0, y0, z0)處,令,切線方程為,x為參數(shù),兩個柱面,的交線,例2. 在拋物柱面 與 的交線上, 求對應 的點處的切向量.,x為參數(shù),于是,解.,所以交線上與,對應點的切向量為:,交線的參數(shù)方程為,取,設空間曲線方程為,3.空間曲線的方程為,確定了隱函數(shù),(此曲線方程仍可用方程組,兩邊分別對,表示.),x求全導數(shù):,兩個曲面,的交線,利用2.結果,法平面方程為,切線方程為,在點 M(x0, y0, z0)處的,解.,例3.,切線方程和法平面方程.,切線方程,將所給方程的兩邊對x求導,法一,法平面方程,法二,法三 公式法,設曲線,證.,因原點,即,于是,證明此曲線必在以原點為,的法平面都過原點,在任一點,中心的某球面上.,曲線過該點的法平面方程為,故有,在法平面上,任取曲線上一點,例4.,今在曲面上任取一條,1. 設曲面的方程為,的情形,隱式方程,二、曲面的切平面與法線,函數(shù),的偏導數(shù)在該點連續(xù)且不同 時為零.,點M 對應于參數(shù),不全為零.,過點M 的曲線,設其參數(shù),方程為,由于曲線在曲面上,所以,在恒等式兩端對t 求全導數(shù),并令,則得,若記向量,曲線在點M處切線的方向向量記為,則式可改寫成,即向量,垂直.,因為曲線是曲面上過點M的任意一條曲線,所有這些曲線在點M的切線都與同一向量,垂直,因此這些切線必共面,稱為曲面在點M的,過點M且垂直于切,法線,又是法線的方向向量.,向量,稱為曲,法向量.,切平面,由切線形成的這一,平面,平面的直線稱為曲面在,點M的,面在點M的,曲面在M(x0, y0 , z0)處的法向量:,切平面方程為,法線方程為,所以曲面上在點M的,解.,令,切平面方程,法線方程,例5.,2. 曲面方程形為 的情形,曲面在M處的切平面方程為,曲面在M處的法線方程為,令,或,顯式方程,其中,法向量,表示曲面的法向量的方向角,并假定法向量的方向是向上的,即使得它與,z 軸的正向所成的角,是銳角,則法向量的,方向余弦為,注釋1：關于,因為,(第三個分量為負),求旋轉拋物面 在任意點P(x, y, z)處向上的法向量(即與z軸夾角為銳角的法向量).,解.,而,為向下的法向量,故向上的法向量應為:,例6.,因為曲面在M處的切平面方程:,全微分的幾何意義,表示,切平面上的點的豎坐標的增量.,切平面上點的豎坐標的增量,注釋2：,例7.,解.,過直線L的平面束方程為,即,其法向量為,求過直線L,且與曲面,相切之切平面方程.,設曲面與切平面的切點為,則,因而,故,所求切平面方程為,或,即,或,解.,令,得到的旋轉面在點,處的指向外側的,單位法向量為( ).,旋轉面方程為,練習,空間曲線的切線與法平面,曲面的切平面與法線,三、小結,(空間曲線三種不同形式方程的切線與法平面的求法. 當空間曲線方程為一般式時,求切向量可采用公式法、