高中數學模塊質量評估（含解析）新人教A版選修.docx

模塊質量評估 (第一至第三章)(120分鐘150分)一、選擇題(本大題共12個小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求)1.命題“若AB,則A=B”與其逆命題、否命題、逆否命題這四個命題中,真命題的個數是()A.0B.2C.3D.4【解析】選B.原命題為假,故其逆否命題為假;其逆命題為真,故其否命題為真;故共有2個真命題.2.若在區(qū)間(a,b)內,f(x)0,且f(a)0,則在(a,b)內有()A.f(x)0B.f(x)f(a)0.3.已知命題p:x-1,2,函數f(x)=x2-x的值大于0.若pq是真命題,則命題q可以是()A.x(-1,1),使得cosx12B.“-3m0”是“|a|0”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【解析】選A.因為|a|0,所以a0或a0|a|0,但|a|0a0,所以“a0”是“|a|0”的充分不必要條件.5.(2016長春高二檢測)若拋物線的準線方程為x=-7,則拋物線的標準方程為()A.x2=-28yB.x2=28yC.y2=-28xD.y2=28x【解析】選D.由拋物線的準線方程為x=-7,可以得出該拋物線的焦點在x軸上,開口向右,設拋物線標準方程為y2=2px(p0),則=7,所以p=14,拋物線方程為y2=28x.【補償訓練】(2016邯鄲高二檢測)拋物線的準線方程為y=-4,則拋物線的標準方程為()A.x2=16yB.x2=8yC.y2=16xD.y2=8x【解析】選A.由題意可知拋物線的焦點在y軸的正半軸,設拋物線標準方程為:x2=2py(p0),因為拋物線的準線方程為y=-4,所以-=-4,所以p=8,所以拋物線的標準方程為:x2=16y.6.當a取下列哪個值時,函數f(x)=2x3-9x2+12x-a恰好有兩個不同的零點()A.8B.6C.4D.2【解析】選C.f(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2),知函數的極值點為x=1,x=2,且f(1)=5-a,f(2)=4-a,結合選項可知當a=4時,函數f(x)恰好有兩個零點.7.已知命題p:函數f(x)=sinxcosx的最小正周期為;命題q:函數g(x)=sin的圖象關于原點對稱.則下列命題中為真命題的是()A.pqB.pqC.pD.(p)q【解析】選B.命題p:函數f(x)=sinxcosx=sin2x,最小正周期為T=,故命題p是真命題;命題q:函數g(x)=sin=cosx,圖象關于y軸對稱,故命題q為假命題,所以pq為真命題.8.設橢圓x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦點分別為F1,F2,焦距為2c,直線y=3(x+c)與橢圓的一個交點為M,若MF1F2=2MF2F1,則橢圓離心率為()A.5-12B.2-3 C.3-12D.3-1【解析】選D.如圖所示,直線y=(x+c)的斜率k=,所以傾斜角=60,因為MF1F2=2MF2F1,所以MF2F1=30,所以F1MF2=90,設=m,=n,則有解得e=-1.【補償訓練】設F1,F2是橢圓x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦點,P為直線x=32a上一點,F2PF1是底角為30的等腰三角形,則橢圓的離心率e為()A.12B.23C.34D.45【解析】選C.因為F2PF1是底角為30的等腰三角形,所以=,因為P為直線x=a上一點,所以2=2c,所以橢圓的離心率為e=.9.已知函數f(x)=13x3-2x2+3m,x0,+),若f(x)+50恒成立,則實數m的取值范圍是()A.B.C.(-,2D.(-,2)【解析】選A.f(x)=x2-4x,由f(x)0,得x4或x0),若對任意兩個不等的正實數x1,x2都有f(x1)-f(x2)x1-x22恒成立,則a的取值范圍是.【解析】因為f(x)=alnx+x2(a0),對任意兩個不等的正實數x1,x2都有2恒成立,所以f(x)=+x2(x0)恒成立,所以a2x-x2恒成立,令g(x)=2x-x2=-(x-1)2+1,則ag(x)max,因為g(x)=2x-x2=-(x-1)2+1為開口方向向下,對稱軸為x=1的拋物線,所以當x=1時,g(x)=2x-x2取得最大值g(1)=1,所以a1.即a的取值范圍是1,+).答案:1,+)10.(2016南昌高二檢測)設O為坐標原點,F1,F2是x2a2-y2b2=1(a0,b0)的焦點,若在雙曲線上存在點P,滿足F1PF2=60,|OP|=7a,則該雙曲線的漸近線方程為()A.x3y=0B.3xy=0C.x2y=0D.2xy=0【解析】選D.如圖所示,因為O是F1F2的中點,+=,所以(+)2=(2)2.即|2+|2+2|cos60=4|2.又因為|PO|=a,所以|2+|2+|=28a2.又由雙曲線定義得|PF1|-|PF2|=2a,所以(|PF1|-|PF2|)2=4a2.即|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|=4a2.由-得|PF1|PF2|=8a2,所以|PF1|2+|PF2|2=20a2.在F1PF2中,由余弦定理得cos60=,所以8a2=20a2-4c2.即c2=3a2.又因為c2=a2+b2,所以b2=2a2.即=2,=.所以雙曲線的漸近線方程為xy=0.11.(2015全國卷)設函數f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a1,若存在唯一的整數x0,使得f(x0)0,則a的取值范圍是()A.B.C.32e,34D.32e,1【解析】選D.設g(x)=ex(2x-1),y=ax-a,由題意知存在唯一的整數x0,使得g(x0)在直線y=ax-a的下方.因為g(x)=ex(2x+1),所以當x-時,g(x)-時,g(x)0,所以,當x=-時,g(x)min=-2.當x=0時,g(0)=-1,g(1)=e,直線y=ax-a恒過點(1,0),且斜率為a,故-ag(0)=-1,且g(-1)=-3e-1-a-a,解得a0,所以g(x)在1,2上單調遞增,所以g(x)g(1)=e-20,所以g(x)在1,2上單調遞增,根據不等式恒成立的意義可得所以m-e或eme+1,所以m的最大值為e+1,無最小值.二、填空題(本大題共4個小題,每小題5分,共20分.把答案填在題中的橫線上)13.若f(x)在(a,b)內存在導數,則“f(x)0”是“f(x)在(a,b)內單調遞減”的條件.【解析】對于導數存在的函數f(x),若f(x)0,則f(x)在區(qū)間(a,b)內單調遞減,反過來,函數f(x)在(a,b)內單調遞減,不一定恒有f(x)0,如f(x)=-x3在R上是單調遞減的,但f(x)0.答案:充分不必要14.已知橢圓x220+y2k=1的焦距為6,則k的值是.【解析】當橢圓的焦點在x軸時,a2=20,b2=k,所以c2=a2-b2=20-k,所以c=,因為橢圓+=1的焦距為6,所以c=3,所以k=11;當橢圓的焦點在y軸時,a2=k,b2=20,所以c2=a2-b2=k-20,所以c=,因為橢圓+=1的焦距為6,所以c=3,所以k=29.答案:11或29【誤區(qū)警示】焦點的位置忽視討論焦點的位置,從而導致漏解,對雙曲線與橢圓的題目一定要分清焦點的位置,若不能確定要進行分類討論.15.若要做一個容積為324的方底(底為正方形)無蓋的水箱,則它的高為時,材料最省.【解題指南】把材料最省問題轉化為水箱各面的面積之和最小問題,然后列出所用材料的面積關于邊長a的函數關系式.【解析】設水箱的高度為h,底面邊長為a,那么V=a2h=324,則h=,水箱所用材料的面積是S=a2+4ah=a2+,令S=2a-=0,得a3=648,a=6,所以h=3,經檢驗當水箱的高為3時,材料最省.答案:316.下列語句:“x2=1”是“x=1”的充分不必要條件;“x=2時,x2-3x+2=0”的否命題為真命題;命題“xR,使得x2+x+10”的否定是:“xR,均有x2+x+10”;命題“若x=y,則sinx=siny”的逆否命題為真命題.其中說法錯誤的是.【解析】因為當x=1成立時有x2=1成立;當x2=1時,不一定有x=1,所以“x2=1”是“x=1”的必要不充分條件,故錯;“x=2時,x2-3x+2=0”的否命題為“x2時,有x2-3x+20”,而x=1時,x2-3x+2=0,故錯;命題“xR,使得x2+x+10”的否定應為:“xR,均有x2+x+10”,故錯誤;命題“若x=y,則sinx=siny”的逆否命題為“若sinxsiny,則xy”是真命題,故正確.答案:【誤區(qū)警示】“否命題”與“命題的否定”如果原命題是“若p則q”,那么這個命題的否命題是“若非p,則非q”,而這個命題的否定是“若p則非q”.可見,否命題既否定條件又否定結論,而命題的否定只否定結論.一個命題與它的否定形式是完全對立的.兩者之間有且只有一個成立.“都是”的否定是“不都是”,“不都是”包含“都不是”,“至少有一個”的否定是“一個都沒有”,“所有的”的否定是“某些”,“任意”的否定是“某個”,“至多有一個”的否定是“至少有兩個”,“至多有n個”的否定是“至少有n+1個”,“任意兩個”的否定是“某兩個”.“p且q”的形式,其否定應該為“非p或非q”,“p或q”的形式,其否定應該為“非p且非q”.三、解答題(本大題共6個小題,共70分.解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17.(10分)命題p:方程x2k-3+y2k+3=1,(kR)表示雙曲線,命題q:函數y=log2(kx2+kx+1)的定義域為R,若命題pq為真命題,pq為假命題,求實數k的取值范圍.【解題指南】首先分別求出命題p,q為真命題時,實數k的取值范圍,然后由真值表并結合已知條件命題p,q的關系可得,命題p,q為一真一假,最后根據補集的思想可得出實數k的取值范圍.【解析】命題p:由(k-3)(k+3)0,得-3k0對xR恒成立.(1)當k=0時,10,所以k=0符合題意.(2)當k0時,解得所以q:0k4,又因為pq為真命題,pq為假命題,所以或所以-3k0或3k2.命題q:方程4x2+4(m-2)x+1=0無實根,所以=16(m-2)2-16=16(m2-4m+3)0,解得1m3.因為“p或q”為真,“p且q”為假,所以p為真、q為假或p為假、q為真,則或解得m3或1b0)的左、右焦點分別為F1,F2,點P是橢圓短軸的一個端點,且焦距為6,PF1F2的周長為16.(1)求橢圓C的方程.(2)求過點(3,0)且斜率為45的直線l被橢圓C所截的線段的中點坐標.【解題指南】(1)利用橢圓的標準方程及其參數a,b,c的關系即可得出.(2)把直線與橢圓的方程聯立,利用根與系數的關系和線段的中點坐標公式即可得出.【解析】(1)設橢圓的半焦距為c,則由題設得解得所以b2=a2-c2=52-32=16,故所求C的方程為+=1.(2)過點(3,0)且斜率為的直線方程為y=(x-3),將之代入C的方程,得+=1,即x2-3x-8=0.設直線l與橢圓有兩個交點A(x1,y1),B(x2,y2),因為x1+x2=3,所以線段AB中點的橫坐標為=,縱坐標為=-.故所求線段的中點坐標為.19.(12分)已知函數f(x)=2lnx-x2+ax(aR).(1)當a=2時,求f(x)的圖象在x=1處的切線方程.(2)若函數g(x)=f(x)-ax+m在1e,e上有兩個零點,求實數m的取值范圍.【解析】(1)當a=2時,f(x)=2lnx-x2+2x,f(x)=-2x+2,切點坐標為(1,1),切線的斜率k=f(1)=2,則切線方程為y-1=2(x-1),即y=2x-1.(2)g(x)=2lnx-x2+m,則g(x)=-2x=.因為x,所以當g(x)=0時,x=1.當x0;當1xe時,g(x)0.故g(x)在x=1處取得極大值g(1)=m-1.又g=m-2-,g(e)=m+2-e2,g(e)-g=4-e2+0,則g(e)g,所以g(x)在上的最小值是g(e).g(x)在上有兩個零點的條件是解得10.(1)求f(x)的單調區(qū)間和極值.(2)證明若f(x)有零點,則f(x)在區(qū)間(1,e)上僅有一個零點.【解析】(1)f(x)的定義域為(0,+),f(x)=x-=.因為k0,所以令f(x)=0得x=,列表如下:x(0,)(,+)f(x)-0+f(x)極小值減區(qū)間為(0,),增區(qū)間為(,+).當x=時,取得極小值f()=.(2)當1,即00,所以f(x)在區(qū)間(1,)上沒有零點.當1,即1k0,f()=0,f()=0,此時函數沒有零點.當,即ke時,f(x)在(1,)上單調遞減,f(1)=0,f()=b0),然后由已知可得a,b,c之間的關系,求解即可.(2)首先聯立直線與橢圓的標準方程,并消去y可得一元二次方程(1+3k2)x2+6kmx+3m2-3=0,然后由直線與橢圓相交于不同的兩點可得其判別式0,再設M(x1,y1),N(x2,y2),由根與系數的關系可得x1+x2,x1x2的值,即可得出MN的中點P的坐標,并結合已知條件可得等式3k2=2m-1,最后得出m的取值范圍即可.【解析】(1)因為橢圓的焦點在x軸上,故設橢圓的方程為:+=1(ab0),又橢圓的一個頂點為A(0,-1),離心率為,所以b=1,e=,即b=1,c=a,又a2=b2+c2,所以a2=1+a2,所以a2=3,所以橢圓的方程為:+y2=1.(2)聯立消y得(1+3k2)x2+6kmx+3m2-3=0,因為直線與橢圓相交于不同的兩點,設M(x1,y1),N(x2,y2),所以=(6km)2-4(1+3k2)(3m2-3)0,得:3k2-m2+10,所