高中數(shù)學(xué)第二章2.3冪函數(shù)學(xué)案（含解析）新人教A版.docx

2.3冪函數(shù)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解冪函數(shù)的概念.2.掌握yx的圖象與性質(zhì).3.理解和掌握冪函數(shù)在第一象限的分類特征，能運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法處理冪函數(shù)的有關(guān)問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)一冪函數(shù)的概念思考y，yx，yx2三個(gè)函數(shù)有什么共同特征？答案底數(shù)為x，指數(shù)為常數(shù)梳理一般地，函數(shù)yx叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，是常數(shù)知識(shí)點(diǎn)二五個(gè)冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)1在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)函數(shù)(1)yx；(2)(3)yx2；(4)yx1；(5)yx3的圖象如圖2五個(gè)冪函數(shù)的性質(zhì)yxyx2yx3yx1定義域RRR0，)x|x0值域R0，)R0，)y|y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調(diào)性增在0，)上增，在(，0上減增增在(0，)上減，在(，0)上減知識(shí)點(diǎn)三一般冪函數(shù)的圖象特征一般冪函數(shù)特征：(1)所有的冪函數(shù)在(0，)上都有定義，并且圖象都過(guò)點(diǎn)(1,1)；(2)當(dāng)0時(shí)，冪函數(shù)的圖象通過(guò)原點(diǎn)，并且在區(qū)間0，)上是增函數(shù)特別地，當(dāng)1時(shí)，冪函數(shù)的圖象下凸；當(dāng)01時(shí)，冪函數(shù)的圖象上凸；(3)當(dāng)1)，它同各冪函數(shù)圖象相交，按交點(diǎn)從下到上的順序，冪指數(shù)按從小到大的順序排列1y是冪函數(shù)()2當(dāng)x(0,1)時(shí)，x2x3.()3與定義域相同()4若yx在(0，)上為增函數(shù)，則0.()類型一冪函數(shù)的概念例1已知是冪函數(shù)，求m，n的值考點(diǎn)冪函數(shù)的概念題點(diǎn)由冪函數(shù)定義求參數(shù)值解由題意得解得或所以m3或1，n.反思與感悟冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的定義類似，只有滿足函數(shù)解析式右邊的系數(shù)為1，底數(shù)為自變量x，指數(shù)為常數(shù)這三個(gè)條件，才是冪函數(shù)如：y3x2，y(2x)3，y4都不是冪函數(shù)跟蹤訓(xùn)練1在函數(shù)y，y2x2，yx2x，y1中，冪函數(shù)的個(gè)數(shù)為()A0B1C2D3考點(diǎn)冪函數(shù)的概念題點(diǎn)判斷函數(shù)是否為冪函數(shù)答案B解析因?yàn)閥x2，所以是冪函數(shù)；y2x2由于出現(xiàn)系數(shù)2，因此不是冪函數(shù)；yx2x是兩項(xiàng)和的形式，不是冪函數(shù)；y1x0(x0)，可以看出，常數(shù)函數(shù)y1的圖象比冪函數(shù)yx0的圖象多了一個(gè)點(diǎn)(0,1), 所以常數(shù)函數(shù)y1不是冪函數(shù)類型二冪函數(shù)的圖象及應(yīng)用例2若點(diǎn)(，2)在冪函數(shù)f(x)的圖象上，點(diǎn)在冪函數(shù)g(x)的圖象上，問(wèn)當(dāng)x為何值時(shí)，(1)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)；(3)f(x)1或xg(x)；(2)當(dāng)x1或x1時(shí)，f(x)g(x)；(3)當(dāng)1x1且x0時(shí)，f(x)bcBbacCbcaDcba考點(diǎn)比較冪值的大小題點(diǎn)利用單調(diào)性比較大小答案B解析yx在R上為減函數(shù)，即ac.bac.故選B.反思與感悟此類題在構(gòu)建函數(shù)模型時(shí)要注意冪函數(shù)的特點(diǎn)：指數(shù)不變比較大小的問(wèn)題主要是利用函數(shù)的單調(diào)性，特別是要善于應(yīng)用“搭橋”法進(jìn)行分組，常數(shù)0和1是常用的中間量跟蹤訓(xùn)練3比較下列各組數(shù)中兩個(gè)數(shù)的大?。?1)0.3與0.3；(2)1與1；(3)0.3與考點(diǎn)比較冪值的大小題點(diǎn)利用中間值比較大小解(1)00.3，0.30.3.(2)yx1在(，0)上是減函數(shù)，又1.(3)yx0.3在(0，)上為增函數(shù)，由0.3，可得0.30.30.3.又y0.3x在(，)上為減函數(shù)，由知命題角度2冪函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用例4已知冪函數(shù)yx3m9 (mN*)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱且在(0，)上單調(diào)遞減，求滿足的a的取值范圍考點(diǎn)冪函數(shù)的性質(zhì)題點(diǎn)利用冪函數(shù)的性質(zhì)解不等式解因?yàn)楹瘮?shù)在(0，)上單調(diào)遞減，所以3m90，解得m32a0或32aa10或a1032a，解得a或af(a1)的實(shí)數(shù)a的取值范圍考點(diǎn)冪函數(shù)的性質(zhì)題點(diǎn)利用冪函數(shù)的性質(zhì)解不等式解(1)mN*，m2mm(m1)為偶數(shù)令m2m2k，kN*，則f(x)，定義域?yàn)?，)，在0，)上f(x)為增函數(shù)(2)m2m2，解得m1或m2(舍去)，由(1)知f(x)在定義域0，)上為增函數(shù)，f(2a)f(a1)等價(jià)于2aa10，解得1a.1已知冪函數(shù)f(x)kx的圖象過(guò)點(diǎn)，則k等于()A.B1C.D2考點(diǎn)冪函數(shù)的概念題點(diǎn)由冪函數(shù)定義求參數(shù)值答案C解析由冪函數(shù)的定義知k1.又f，所以，解得，從而k.2以下結(jié)論正確的是()A當(dāng)0時(shí)，函數(shù)yx的圖象是一條直線B冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)(0,0)，(1,1)兩點(diǎn)C若冪函數(shù)yx的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則yx在定義域內(nèi)y隨x的增大而增大D冪函數(shù)的圖象不可能在第四象限，但可能在第二象限考點(diǎn)冪函數(shù)的綜合問(wèn)題題點(diǎn)冪函數(shù)的綜合問(wèn)題答案D3設(shè)，則使函數(shù)yx的定義域?yàn)镽的所有的值為()A1,3B1,1C1,3D1,1,3考點(diǎn)冪函數(shù)的定義域和值域題點(diǎn)冪函數(shù)的定義域答案A4若a0，則0.5a,5a,5a的大小關(guān)系是()A5a5a0.5aB5a0.5a5aC0.5a5a5aD5a5a0.5a答案B解析5aa，因?yàn)閍0時(shí)，函數(shù)yxa在(0，)上單調(diào)遞減，且0.55，所以5a0.5a5a.5先分析函數(shù)的性質(zhì)，再畫(huà)出其圖象考點(diǎn)冪函數(shù)的圖象題點(diǎn)冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)解，定義域?yàn)镽，在0，)上是上凸的增函數(shù)，且是偶函數(shù)，故其圖象如下：1冪函數(shù)yx(R)，其中為常數(shù)，其本質(zhì)特征是以冪的底x為自變量，指數(shù)為常數(shù)，這是判斷一個(gè)函數(shù)是不是冪函數(shù)的重要依據(jù)和唯一標(biāo)準(zhǔn)2冪函數(shù)yx的圖象與性質(zhì)由于的值不同而比較復(fù)雜，一般從兩個(gè)方面考查：(1)當(dāng)0時(shí)，圖象過(guò)點(diǎn)(0,0)，(1,1)，在第一象限的圖象上升；當(dāng)0時(shí)，圖象不過(guò)原點(diǎn)，在第一象限的圖象下降，反之也成立(2)曲線在第一象限的凹凸性，當(dāng)1時(shí)，曲線下凸；當(dāng)01時(shí)，曲線上凸；當(dāng)0時(shí)，曲線下凸3在具體應(yīng)用時(shí)，不一定是yx，1，1,2,3這五個(gè)已研究熟的冪函數(shù)，這時(shí)可根據(jù)需要構(gòu)造冪函數(shù)，并針對(duì)性地研究某一方面的性質(zhì).一、選擇題1下列函數(shù)中是冪函數(shù)的是()Ayx4x2By10xCyDyx1考點(diǎn)冪函數(shù)的概念題點(diǎn)判斷函數(shù)是否為冪函數(shù)答案C解析根據(jù)冪函數(shù)的定義知，y是冪函數(shù)，yx4x2，y10x，yx1都不是冪函數(shù)2已知y(m2m5)xm是冪函數(shù)，且在第一象限內(nèi)是單調(diào)遞減的，則m的值為()A3B2C3或2D3考點(diǎn)冪函數(shù)的性質(zhì)題點(diǎn)冪函數(shù)的單調(diào)性答案A解析由y(m2m5)xm是冪函數(shù)，知m2m51，解得m2或m3.該函數(shù)在第一象限內(nèi)是單調(diào)遞減的，m0.故m3.3已知冪函數(shù)(nZ)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且在(0，)上是減函數(shù)，則n的值為()A3B1C2D1或2考點(diǎn)冪函數(shù)的性質(zhì)題點(diǎn)冪函數(shù)的單調(diào)性答案B解析由于f(x)為冪函數(shù)，所以n22n21，解得n1或n3，經(jīng)檢驗(yàn)只有n1符合題意，故選B.4在同一坐標(biāo)系內(nèi)，函數(shù)yxa(a0)和yax的圖象可能是()考點(diǎn)冪函數(shù)的圖象題點(diǎn)冪函數(shù)有關(guān)的知圖選式問(wèn)題答案C解析選項(xiàng)A中，冪函數(shù)的指數(shù)a1，則直線yax應(yīng)為增函數(shù)，B錯(cuò)誤；選項(xiàng)D中，冪函數(shù)的指數(shù)a0，直線yax在y軸上的截距為正，D錯(cuò)誤5已知f(x)x，若0ab1，則下列各式中正確的是()Af(a)f(b)ffBfff(b)f(a)Cf(a)f(b)ffDff(a)ff(b)考點(diǎn)比較冪值的大小題點(diǎn)利用單調(diào)性比較大小答案C解析因?yàn)楹瘮?shù)在(0，)上是增函數(shù)，又0ab，故f(a)f(b)fcbBabcCcabDbca考點(diǎn)比較冪值的大小題點(diǎn)利用單調(diào)性比較大小答案A解析根據(jù)冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接可以判斷出來(lái)，在x0時(shí)是增函數(shù)，所以ac，yx在x0時(shí)是減函數(shù)，所以cb，所以acb.7如圖，圖中曲線是冪函數(shù)yx在第一象限的大致圖象，已知取2，2四個(gè)值，則相應(yīng)于曲線C1，C2，C3，C4的的值依次為()A2，2B2，2C，2,2，D2，2，考點(diǎn)冪函數(shù)的圖象題點(diǎn)冪指數(shù)大小關(guān)系問(wèn)題答案B解析令x2，由圖知C1，C2，C3，C4對(duì)應(yīng)縱坐標(biāo)依次減小，而故選B.8對(duì)于冪函數(shù)f(x)x，若0x1BfCfD無(wú)法確定考點(diǎn)冪函數(shù)的圖象題點(diǎn)冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)答案A解析冪函數(shù)f(x)x在(0，)是增函數(shù)，大致圖象如圖所示設(shè)A(x1,0)，C(x2,0)，其中0x1(|AB|CD|)，f，故選A.二、填空題9判斷大?。?.251_5.262.(填“”或“解析yx1在(0，)上是減函數(shù)，5.255.261；y5.26x是增函數(shù)，12，5.2615.262.綜上，5.2515.2615.262.10函數(shù)f(x)(x3)2的單調(diào)增區(qū)間是_考點(diǎn)冪函數(shù)的性質(zhì)題點(diǎn)冪函數(shù)的單調(diào)性答案(，3)解析yx2的單調(diào)增區(qū)間為(，0)，單調(diào)減區(qū)間為(0，)，y(x3)2是由yx2向左平移3個(gè)單位得到的y(x3)2的單調(diào)增區(qū)間為(，3)11已知冪函數(shù)f(x)x(mZ)的圖象與x軸、y軸都無(wú)交點(diǎn)，且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)f(x)的解析式是_考點(diǎn)求冪函數(shù)的解析式題點(diǎn)求冪函數(shù)的解析式答案f(x)x1解析函數(shù)的圖象與x軸、y軸都無(wú)交點(diǎn)，m210，解得1m1.圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且mZ，m0，f(x)x1.三、解答題12已知冪函數(shù)f(x)x(mZ)在(0，)上單調(diào)遞減，且為偶函數(shù)(1)求f(x)的解析式；(2)討論F(x)af(x)(a2