高中數(shù)學第三章導數(shù)在研究函數(shù)中的應用課堂10分鐘達標3.3.3函數(shù)的最大小值與導數(shù)檢測（含解析）.docx

課堂10分鐘達標1.函數(shù)f(x)=x3-3x(|x|1)()A.有最大值,但無最小值B.有最大值,也有最小值C.無最大值,但有最小值D.既無最大值,也無最小值【解析】選D.f(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),當x(-1,1)時,f(x)0,所以f(x)在(-1,1)上是單調遞減函數(shù),無最大值和最小值.2.下列說法正確的是()A.函數(shù)在其定義域內若有最值與極值,則其極大值便是最大值,極小值便是最小值B.閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定有最值,也一定有極值C.若函數(shù)在其定義域上有最值,則一定有極值;反之,若有極值,則一定有最值D.若函數(shù)在給定區(qū)間上有最大、小值,則有且僅有一個最大值,一個最小值,但若有極值,則可有多個極值【解析】選D.由極值與最值的區(qū)別知選D.3.函數(shù)y=2x3-3x2-12x+5在-2,1上的最大值、最小值分別是()A.12,-8B.1,-8C.12,-15D.5,-16【解析】選A.y=6x2-6x-12,由y=0x=-1或x=2(舍去).x=-2時y=1,x=-1時y=12,x=1時y=-8.所以ymax=12,ymin=-8.4.函數(shù)f(x)=x3-3ax-a在(0,1)內有最小值,則a的取值范圍為()A.0a1B.0a1C.-1a1D.0a12【解析】選B.因為f(x)=x3-3ax-a,所以f(x)=3x2-3a,令f(x)=0,可得a=x2,又因為x(0,1),所以0a1.【補償訓練】函數(shù)f(x)=ex-x在區(qū)間-1,1上的最大值是()A.1+1eB.1C.e+1D.e-1【解析】選D.f(x)=ex-1.令f(x)=0,得x=0.當x-1,0時,f(x)0;當x0,1時,f(x)0.所以f(x)在-1,0上遞減,在0,1上遞增.又因為f(-1)=+1,f(1)=e-1,所以f(-1)-f(1)=2+-e0,所以f(-1)f(1).所以f(x)max=f(1)=e-1.5.函數(shù)f(x)=x3-x2-x+a在區(qū)間0,2上的最大值是3,則a等于.【解析】f(x)=3x2-2x-1,令f(x)=0,解得x=-(舍去)或x=1,又f(0)=a,f(1)=a-1,f(2)=a+2,則f(2)最大,即a+2=3,所以a=1.答案:16.已知a是實數(shù),函數(shù)f(x)=x2(x-a).(1)若f(1)=3,求a的值及曲線y=f(x)在點(1,f(1)處的切線方程.(2)求f(x)在區(qū)間0,2上的最大值.【解析】(1)f(x)=3x2-2ax.因為f(1)=3-2a=3,所以a=0.又當a=0時,f(1)=1,f(1)=3,所以曲線y=f(x)在點(1,f(1)處的切線方程為3x-y-2=0.(2)令f(x)=0,解得x1=0,x2=.當0,即a0時,f(x)在0,2上單調遞增,從而f(x)max=f(2)=8-4a.當2,即a3時,f(x)在0,2上單調遞減,從而f(x)max=f(0)=0.當02,即0a3時,f(x)在上單調遞減,在上單調遞增,從而f(x)max=綜上所述,f(x)max=7.【能力挑戰(zhàn)題】已知對任意的實數(shù)m,直線x+y+m=0都不與曲線f(x)=x3-3ax(aR)相切.(1)求實數(shù)a的取值范圍.(2)當x-1,1時,函數(shù)y=f(x)的圖象上是否存在一點P,使得點P到x軸的距離不小于14,試證明你的結論.【解題指南】(1)通過對函數(shù)y=f(x)求導,得導函數(shù)的值域,對任意mR,直線x+y+m=0都不與y=f(x)相切,故-1-3a,+),從而求得實數(shù)a的取值范圍.(2)問題等價于當x-1,1時,|f(x)|max.構造函數(shù)g(x)=|f(x)|,g(x)在x-1,1上是偶函數(shù),故只要證明當x0,1時|f(x)|max即可,然后分a0和0a兩種情況分別給予證明.【解析】(1)f(x)=3x2-3a-3a,+).因為對任意mR,直線x+y+m=0都不與y=f(x)相切,所以-1-3a,+),-1-3a,實數(shù)a的取值范圍是a1;當0a時,f(x)=3x2-3a=3(x+)(x-),列表:x(-,-a)-a(-a,a)a(a,+)f(x)+0-0+f(x)極大值2aa極小值-2aaf(x)在(0,)上遞減,在(,1)上遞增,注意到f(0)=f()=0,且1,所以x(0,)時,g(x)=-f(x),x(,1)時,g(x)=f(x),所以g(x)max=maxf(1),-f().由f(1)=1-3a及0a,解得0a,此時-f()f(1)成立