高中數(shù)學(xué)第三章導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用3.3.2函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)學(xué)案（含解析）新人教A版.docx

3.3.2函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解函數(shù)極值的概念，會從幾何方面直觀理解函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，并會靈活應(yīng)用.2.掌握函數(shù)極值的判定及求法.3.掌握函數(shù)在某一點取得極值的條件知識點一極值點與極值的概念思考觀察函數(shù)f(x)x32x的圖象f()的值是多少？在x左、右兩側(cè)的f(x)有什么變化？f()的值是多少，在x左、右兩側(cè)的f(x)又有什么變化？答案f()0，在x的左側(cè)f(x)0，在x的右側(cè)f(x)0；f()0，在x的左側(cè)f(x)0.梳理(1)極小值點與極小值如圖，函數(shù)yf(x)在點xa處的函數(shù)值f(a)比它在點xa附近其他點的函數(shù)值都小，f(a)0；而且在點xa附近的左側(cè)f(x)0，則把點a叫做函數(shù)yf(x)的極小值點，f(a)叫做函數(shù)yf(x)的極小值(2)極大值點與極大值如(1)中圖，函數(shù)yf(x)在點xb處的函數(shù)值f(b)比它在點xb附近其他點的函數(shù)值都大，f(b)0；而且在點xb的左側(cè)f(x)0，右側(cè)f(x)0，右側(cè)f(x)0，那么f(x0)是極大值(2)如果在x0附近的左側(cè)f(x)0，那么f(x0)是極小值1導(dǎo)數(shù)值為0的點一定是函數(shù)的極值點()2極大值一定比極小值大()3函數(shù)f(x)有極值()4函數(shù)的極值點一定是其導(dǎo)函數(shù)的變號零點()類型一極值與極值點的判斷與求解例1已知函數(shù)yf(x)，其導(dǎo)函數(shù)yf(x)的圖象如圖所示，則yf(x)()A在(，0)上為減函數(shù)B在x0處取極小值C在(4，)上為減函數(shù)D在x2處取極大值考點函數(shù)極值的應(yīng)用題點函數(shù)極值在函數(shù)圖象上的應(yīng)用答案C解析由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知：當(dāng)x(，0)(2,4)時，f(x)0，當(dāng)x(0,2)(4，)時，f(x)0，因此f(x)在(，0)，(2,4)上為增函數(shù)，在(0,2)，(4，)上為減函數(shù)，所以在x0處取得極大值，在x2處取得極小值，在x4處取得極大值，故選C.反思與感悟通過導(dǎo)函數(shù)值的正負(fù)號確定函數(shù)單調(diào)性，然后進一步明確導(dǎo)函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)是極大值點還是極小值點跟蹤訓(xùn)練1如圖為yf(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，則下列判斷正確的是()f(x)在(3，1)上為增函數(shù)；x1是f(x)的極小值點；f(x)在(2,4)上為減函數(shù)，在(1,2)上為增函數(shù)；x2是f(x)的極小值點ABCD考點函數(shù)極值的應(yīng)用題點函數(shù)極值在函數(shù)圖象上的應(yīng)用答案B解析當(dāng)x(3，1)時，f(x)0，f(x)在(3，1)上為減函數(shù)，在(1,2)上為增函數(shù)，不對；x1是f(x)的極小值點；當(dāng)x(2,4)時，f(x)0，此時f(x)為增函數(shù)；當(dāng)x(3，1)時，f(x)0，此時f(x)為增函數(shù)故f(x)在x1處取得極小值，a2，b9.(2)f(x)x22xa，由題意得方程x22xa0有兩個不同的實數(shù)根，44a0，解得a1.反思與感悟已知函數(shù)極值的情況，逆向應(yīng)用確定函數(shù)的解析式時，應(yīng)注意以下兩點：(1)根據(jù)極值點處導(dǎo)數(shù)為0和極值兩個條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解(2)因為導(dǎo)數(shù)值等于零不是此點為極值點的充要條件，所以利用待定系數(shù)法求解后必須驗證根的合理性跟蹤訓(xùn)練3已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x)a(x1)(xa)，若f(x)在xa處取到極大值，則a的取值范圍是()A(，1) B(0，)C(0,1) D(1,0)考點根據(jù)函數(shù)的極值求參數(shù)值題點已知極值求參數(shù)答案D解析若a1，f(x)a(x1)(xa)，f(x)在(，a)上單調(diào)遞減，在(a，1)上單調(diào)遞增，f(x)在xa處取得極小值，與題意不符；若1a0，則f(x)在(1，a)上單調(diào)遞減，在(a，)上單調(diào)遞增，與題意矛盾，故選D.類型三函數(shù)極值的綜合應(yīng)用例4已知函數(shù)f(x)x33ax1(a0)若函數(shù)f(x)在x1處取得極值，直線ym與yf(x)的圖象有三個不同的交點，求m的取值范圍考點函數(shù)極值的應(yīng)用題點函數(shù)的零點與方程的根解因為f(x)在x1處取得極值且f(x)3x23a，所以f(1)3(1)23a0，所以a1，所以f(x)x33x1，f(x)3x23，由f(x)0，解得x11，x21.當(dāng)x0；當(dāng)1x1時，f(x)1時，f(x)0.所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(，1)，(1，)；單調(diào)減區(qū)間為(1,1)，f(x)在x1處取得極大值f(1)1，在x1處取得極小值f(1)3.作出f(x)的大致圖象如圖所示因為直線ym與函數(shù)yf(x)的圖象有三個不同的交點，結(jié)合f(x)的圖象可知，m的取值范圍是(3,1)引申探究若本例“三個不同的交點”改為“兩個不同的交點”結(jié)果如何？改為“一個交點”呢？解由本例解析可知當(dāng)m3或m1時，直線ym與yf(x)的圖象有兩個不同的交點；當(dāng)m1時，直線ym與yf(x)的圖象只有一個交點反思與感悟利用導(dǎo)數(shù)可以判斷函數(shù)的單調(diào)性，研究函數(shù)的極值情況，并能在此基礎(chǔ)上畫出函數(shù)的大致圖象，從直觀上判斷函數(shù)圖象與x軸的交點或兩個函數(shù)圖象的交點的個數(shù)，從而為研究方程根的個數(shù)問題提供了方便跟蹤訓(xùn)練4已知函數(shù)f(x)x36x29x3，若函數(shù)yf(x)的圖象與yf(x)5xm的圖象有三個不同的交點，求實數(shù)m的取值范圍考點函數(shù)極值的應(yīng)用題點函數(shù)的零點與方程的根解由f(x)x36x29x3，可得f(x)3x212x9，f(x)5xm(3x212x9)5xmx2x3m，則由題意可得x36x29x3x2x3m有三個不相等的實根，即g(x)x37x28xm的圖象與x軸有三個不同的交點g(x)3x214x8(3x2)(x4)，令g(x)0，得x或x4.當(dāng)x變化時，g(x)，g(x)的變化情況如下表：x4(4，)g(x)00g(x)m16m則函數(shù)g(x)的極大值為gm，極小值為g(4)16m.由yf(x)的圖象與yf(x)5xm的圖象有三個不同交點，得解得16m.即m的取值范圍為.1函數(shù)f(x)的定義域為R，導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)()A無極大值點，有四個極小值點B有三個極大值點，兩個極小值點C有兩個極大值點，兩個極小值點D有四個極大值點，無極小值點考點函數(shù)極值的應(yīng)用題點函數(shù)極值在函數(shù)圖象上的應(yīng)用答案C解析f(x)的符號由正變負(fù)，則f(x0)是極大值，f(x)的符號由負(fù)變正，則f(x0)是極小值，由圖象易知有兩個極大值點，兩個極小值點2已知函數(shù)f(x)x，則f(x)()A有極大值2，極小值2B有極大值2，極小值2C無極大值，但有極小值2D有極大值2，無極小值考點函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系題點不含參數(shù)的函數(shù)求極值問題答案B解析函數(shù)的定義域為x|x0，因為f(x)x，所以f(x)1，令f(x)10，得x1.當(dāng)x1時，f(x)0；當(dāng)1x0或0x1時，f(x)0.所以當(dāng)x1時函數(shù)有極大值2；當(dāng)x1時函數(shù)有極小值2.3已知函數(shù)f(x)x3ax23x9，且f(x)在x3時取得極值，則a等于()A5B3C4D2考點根據(jù)函數(shù)的極值求參數(shù)值題點已知極值求參數(shù)答案A解析因為f(x)3x22ax3，則f(3)3(3)22a(3)30，所以a5.4已知f(x)x3ax2(a6)x1有極大值和極小值，則a的取值范圍為()A1a2B3a6Ca2Da6考點根據(jù)函數(shù)的極值求參數(shù)值題點已知極值求參數(shù)答案D解析f(x)3x22axa6，因為f(x)既有極大值又有極小值，則(2a)243(a6)0，解得a6或a0，f(x)在(，)上是單調(diào)遞增函數(shù)，所以函數(shù)f(x)無極值當(dāng)a0時，令f(x)0，得exa，xlna.當(dāng)x(，lna)時，f(x)0，所以f(x)在(，lna)上是單調(diào)遞減的，在(lna，)上是單調(diào)遞增的，故f(x)在xlna處取得極小值，且極小值為f(lna)lna，無極大值綜上，當(dāng)a0時，函數(shù)f(x)無極值；當(dāng)a0時，f(x)在xlna處取得極小值lna，無極大值1在極值的定義中，取得極值的點稱為極值點，極值點指的是自變量的值，極值指的是函數(shù)值2函數(shù)的極值是函數(shù)的局部性質(zhì)可導(dǎo)函數(shù)f(x)在點xx0處取得極值的充要條件是f(x0)0且在xx0兩側(cè)f(x)符號相反3利用函數(shù)的極值可以確定參數(shù)的值，解決一些方程的解和圖象的交點問題一、選擇題1已知函數(shù)yf(x)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，則函數(shù)yf(x)在某點處的導(dǎo)數(shù)值為0是函數(shù)yf(x)在這點處取得極值的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件考點函數(shù)極值的應(yīng)用題點極值存在性問題答案B解析根據(jù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)可知，若函數(shù)yf(x)在這點處取得極值，則f(x)0，即必要性成立；反之不一定成立，如函數(shù)f(x)x3在R上是增函數(shù)，f(x)3x2，則f(0)0，但在x0處函數(shù)不是極值，即充分性不成立故函數(shù)yf(x)在某點處的導(dǎo)數(shù)值為0是函數(shù)yf(x)在這點處取得極值的必要不充分條件，故選B.2函數(shù)f(x)x2lnx的極值點為()A0,1，1BC.D.，考點函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系題點不含參數(shù)的函數(shù)求極值問題答案C解析由已知，得f(x)的定義域為(0，)，f(x)3x，令f(x)0，得x.當(dāng)x時，f(x)0；當(dāng)0x時，f(x)0，解得x3或x2，所以函數(shù)的一個單調(diào)遞增區(qū)間是(3，)4設(shè)三次函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f(x)，函數(shù)yxf(x)的圖象的一部分如圖所示，則()Af(x)極大值為f()，極小值為f()Bf(x)極大值為f()，極小值為f()Cf(x)極大值為f(3)，極小值為f(3)Df(x)極大值為f(3)，極小值為f(3)考點函數(shù)極值的應(yīng)用題點函數(shù)極值在函數(shù)圖象上的應(yīng)用答案D解析當(dāng)x0，即f(x)0；當(dāng)3x3時，f(x)0.f(x)的極大值是f(3)，f(x)的極小值是f(3)5函數(shù)f(x)x3ax2bxa2在x1處有極值10，則點(a，b)為()A(3，3) B(4,11)C(3，3)或(4,11) D不存在考點根據(jù)函數(shù)的極值求參數(shù)值題點已知極值求參數(shù)答案B解析f(x)3x22axb，當(dāng)x1時，f(x)有極值10，解得或驗證知當(dāng)a3，b3時，在x1處無極值，a4，b11.6函數(shù)yx32axa在(0,1)內(nèi)有極小值，則實數(shù)a的取值范圍是()A(0,3) B(，3)C(0，) D.考點函數(shù)極值的應(yīng)用題點極值存在性問題答案D解析令y3x22a0，得x.由題意知，(0,1)，即01，解得0a.7已知函數(shù)f(x)x3px2qx的圖象與x軸切于(1,0)點，則f(x)的極大值、極小值分別為()A.，0B0，C，0D0，考點函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系題點不含參數(shù)的函數(shù)求極值問題答案A解析f(x)3x22pxq.由f(1)0，f(1)0，得解得所以f(x)x32x2x.由f(x)3x24x10，得x或x1，易得當(dāng)x時f(x)取極大值.當(dāng)x1時f(x)取極小值0.8已知aR，且函數(shù)yexax(xR)有大于零的極值點，則a的取值范圍為()Aa1Ca考點根據(jù)函數(shù)的極值求參數(shù)值題點已知極值求參數(shù)答案A解析因為yexax，所以yexa.令y0，即exa0，則exa，即xln(a)，又因為x0，所以a1，即a1.二、填空題9函數(shù)yxex在其極值點處的切線方程為_考點函數(shù)極值的應(yīng)用題點函數(shù)極值在函數(shù)圖象上的應(yīng)用答案y解析令yexxex(1x)ex0，得x1，y，函數(shù)yxex在極值點處的切線方程為y.10.已知函數(shù)f(x)ax3bx22，其導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)的極小值是_考點函數(shù)極值的應(yīng)用題點函數(shù)極值在函數(shù)圖象上的應(yīng)用答案2解析由圖象可知，當(dāng)x0時，f(x)0，當(dāng)0x0，故當(dāng)x0時，函數(shù)f(x)取極小值f(0)2.11若直線ya與函數(shù)f(x)x33x的圖象有三個相異的公共點，則a的取值范圍是_考點函數(shù)極值的應(yīng)用題點函數(shù)的零點與方程的根答案(2,2)解析令f(x)3x230，得x1，可得f(x)的極大值為f(1)2，極小值為f(1)2，所以當(dāng)2a0)，故f(x)x1.當(dāng)x(0,1)時，f(x)0；當(dāng)x(2，)時，f(x)0，x取足夠小的負(fù)數(shù)時，有f(x)0，曲線yf(x)與x軸至少有一個交點由(1)知f(x)極大值fa，f(x)極小值f(1)a1.曲線yf(x)與x軸僅有一個交點，f(x)極大值0，即a0，a1，當(dāng)a(1，)時，曲線yf(x)與x軸僅有一個交點四、探究與拓展14已知函數(shù)f(x)x(lnxax)有兩個極值點，則實數(shù)a的取值范圍是()A(，0) B.C(0,1) D(0，)考點根據(jù)函數(shù)的極值求參數(shù)值題點已知極值求參數(shù)答案B解析由題意知，x0，f(x)lnx12ax，由于函數(shù)f(x)有兩個極值點，則f(x)0有兩個不等的正根，即函數(shù)ylnx1與y2ax的圖象有兩個不同的交點，則a0.設(shè)函數(shù)ylnx1的圖象上任一點(x0,1lnx0)處的切線為l，則k1，當(dāng)l過坐標(biāo)原點時，解得x01，令2a1a，結(jié)合圖象知，0a，故選B.15已知函數(shù)f(x)x22lnx，h(x)x2xa.(1)求函數(shù)f(x)的極值；(2)設(shè)函數(shù)k(x)f(x