高中數(shù)學(xué)第一章1.3函數(shù)的基本性質(zhì)1.3.2奇偶性（第2課時(shí)）奇偶性的應(yīng)用學(xué)案（含解析）新人教A版.docx

第2課時(shí)奇偶性的應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握用奇偶性求解析式的方法.2.理解奇偶性對(duì)單調(diào)性的影響并能用以解不等式.3.了解函數(shù)的奇偶性的推廣對(duì)稱性知識(shí)點(diǎn)一用奇偶性求解析式如果已知函數(shù)的奇偶性和一個(gè)區(qū)間a，b上的解析式，想求關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱區(qū)間b，a上的解析式，其解決思路為：(1)“求誰(shuí)設(shè)誰(shuí)”，即在哪個(gè)區(qū)間上求解析式，x就應(yīng)在哪個(gè)區(qū)間上設(shè)(2)要利用已知區(qū)間的解析式進(jìn)行代入(3)利用f(x)的奇偶性寫出f(x)或f(x)，從而解出f(x)特別提醒：若函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)含0且為奇函數(shù)，則必有f(0)0，但若為偶函數(shù)，未必有f(0)0.知識(shí)點(diǎn)二奇偶性與單調(diào)性思考觀察偶函數(shù)yx2與奇函數(shù)y在(，0)和(0，)上的單調(diào)性，你有何猜想？答案偶函數(shù)yx2在(，0)和(0，)上的單調(diào)性相反；奇函數(shù)y在(，0)和(0，)上的單調(diào)性相同梳理一般地，若函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則f(x)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間a，b和b，a上具有相同的單調(diào)性；若函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，則f(x)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間a，b和b，a上具有相反的單調(diào)性知識(shí)點(diǎn)三奇偶性的推廣一般地，對(duì)于定義域內(nèi)任意x，(1)若f(ax)2bf(ax)，則f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，b)對(duì)稱當(dāng)ab0時(shí)，即為奇函數(shù)的定義(2)若f(ax)f(ax)，則f(x)的圖象關(guān)于直線xa對(duì)稱，當(dāng)a0時(shí)，即為偶函數(shù)的定義1奇函數(shù)f(x)，當(dāng)x0時(shí)的解析式與x0時(shí)，f(x)x1，求當(dāng)x0時(shí)，f(x)的解析式考點(diǎn)函數(shù)奇偶性的應(yīng)用題點(diǎn)利用奇偶性求函數(shù)的解析式解設(shè)x0，f(x)(x)1x1，又函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，f(x)f(x)x1，當(dāng)x0時(shí)，f(x)2xx2，求yf(x)的解析式考點(diǎn)函數(shù)奇偶性的應(yīng)用題點(diǎn)利用奇偶性求函數(shù)的解析式解設(shè)x0，因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，所以當(dāng)x0對(duì)任意兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)x1，x2都成立，則下列不等式中，正確的是()Af(5)f(3) Bf(5)f(5) Df(3)f(5)考點(diǎn)抽象函數(shù)單調(diào)性與奇偶性題點(diǎn)抽象函數(shù)單調(diào)性與不等式結(jié)合問(wèn)題答案C解析設(shè)0x1x2，則x1x20，得f(x1)f(x2)0，即f(x1)5，可得f(3)f(5)命題角度2由f(x)的取值情況推導(dǎo)x的取值情況例4已知偶函數(shù)f(x)在0，)上單調(diào)遞減，f(2)0.若f(x1)0，則x的取值范圍是_考點(diǎn)抽象函數(shù)單調(diào)性與奇偶性題點(diǎn)抽象函數(shù)單調(diào)性與不等式結(jié)合問(wèn)題答案(1,3)解析f(x)為偶函數(shù)，f(x1)f(|x1|)，又f(2)0，f(x1)0，即f(|x1|)f(2)，|x1|,20，)，且f(x)在0，)上單調(diào)遞減，|x1|2，即2x12，x的取值范圍是(1,3)反思與感悟若f(x)在a，b上單調(diào)遞增，則x1，x2a，b時(shí)，可由f(x1)f(x2)推知x10.考點(diǎn)抽象函數(shù)單調(diào)性與奇偶性題點(diǎn)抽象函數(shù)單調(diào)性與不等式結(jié)合問(wèn)題解f(x)在0，)上單調(diào)遞減且為奇函數(shù)，f(x)在(，)上單調(diào)遞減，f(x1)f(2x3)0f(x1)f(2x3)f(2x3)x12x3，解得x0時(shí)，f(x)x1，則當(dāng)x0時(shí)，f(x)等于()Ax1Bx1Cx1Dx1考點(diǎn)函數(shù)奇偶性的應(yīng)用題點(diǎn)利用奇偶性求函數(shù)的解析式答案A3定義在R上的偶函數(shù)f(x)在0，)上是增函數(shù)，若f(a)f(b)，則一定可得()AabC|a|b|D0ab0考點(diǎn)抽象函數(shù)單調(diào)性與奇偶性題點(diǎn)抽象函數(shù)單調(diào)性與不等式結(jié)合問(wèn)題答案C4已知對(duì)于函數(shù)f(x)x2ax定義域內(nèi)任意x，有f(1x)f(1x)，則實(shí)數(shù)a_.考點(diǎn)函數(shù)圖象的對(duì)稱性題點(diǎn)軸對(duì)稱問(wèn)題答案25(2017沈陽(yáng)檢測(cè))設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且yf(x)的圖象關(guān)于直線x對(duì)稱，則f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)_.考點(diǎn)函數(shù)圖象的對(duì)稱性題點(diǎn)軸對(duì)稱問(wèn)題答案0解析f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，f(0)0.又f(x)關(guān)于直線x對(duì)稱，ff.在式中，當(dāng)x時(shí)，f(0)f(1)0.在式中，以x代替x，得ff，即f(x)f(1x)f(2)f(11)f(1)f(1)0，f(3)f(12)f(2)f(2)0，同理，f(4)f(5)0.f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)0.1函數(shù)的奇偶性是其相應(yīng)圖象特殊對(duì)稱性的反映，也體現(xiàn)了在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的定義域的兩個(gè)區(qū)間上函數(shù)值及其性質(zhì)的相互轉(zhuǎn)化，這是對(duì)稱思想的應(yīng)用這種對(duì)稱推廣，就是一般的中心對(duì)稱或軸對(duì)稱2(1)根據(jù)奇函數(shù)的定義，如果一個(gè)奇函數(shù)在原點(diǎn)處有定義，即f(0)有意義，那么一定有f(0)0.有時(shí)可以用這個(gè)結(jié)論來(lái)否定一個(gè)函數(shù)為奇函數(shù)(2)偶函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)：f(|x|)f(x)，它能使自變量化歸到0，)上，避免分類討論3具有奇偶性的函數(shù)的單調(diào)性的特點(diǎn)(1)奇函數(shù)在a，b和b，a上具有相同的單調(diào)性(2)偶函數(shù)在a，b和b，a上具有相反的單調(diào)性一、選擇題1設(shè)函數(shù)f(x)且f(x)為偶函數(shù)，則g(2)等于()A6B6C2D2考點(diǎn)函數(shù)奇偶性的應(yīng)用題點(diǎn)利用奇偶性求函數(shù)的解析式答案A解析g(2)f(2)f(2)2226.2已知f(x)，g(x)分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且f(x)g(x)x3x21，則f(1)g(1)等于()A3B1C1D3考點(diǎn)函數(shù)奇偶性的應(yīng)用題點(diǎn)利用奇偶性求函數(shù)的解析式答案C解析f(x)g(x)x3x21，f(x)g(x)x3x21.f(x)是偶函數(shù)，g(x)是奇函數(shù)，f(x)f(x)，g(x)g(x)f(x)g(x)x3x21.f(1)g(1)1111.3已知奇函數(shù)f(x)在區(qū)間0，)上單調(diào)遞增，則滿足f(x)f(1)的x的取值范圍是()A(，1) B(，1)C(0,1) D1,1)考點(diǎn)抽象函數(shù)單調(diào)性與奇偶性題點(diǎn)抽象函數(shù)單調(diào)性與不等式結(jié)合問(wèn)題答案A解析由于f(x)在0，)上單調(diào)遞增，且是奇函數(shù)，所以f(x)在R上單調(diào)遞增，f(x)f(1)等價(jià)于xf(0)f(1)Bf(3)f(1)f(0)Cf(1)f(0)f(3)Df(1)f(3)f(0)考點(diǎn)抽象函數(shù)單調(diào)性與奇偶性題點(diǎn)抽象函數(shù)單調(diào)性與不等式結(jié)合問(wèn)題答案B解析f(3)f(3)，且f(x)在區(qū)間0，)上是增函數(shù)，f(3)f(1)f(0)5設(shè)f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)x0，)時(shí)，f(x)m(m0)，則f(x)的值域是()Am，m B(，mCm，) D(，mm，)考點(diǎn)函數(shù)奇偶性的應(yīng)用題點(diǎn)利用奇偶性求函數(shù)的最值或值域答案D解析當(dāng)x0時(shí)，f(x)m；當(dāng)x0時(shí)，x0，所以f(x)m，因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，所以f(x)f(x)m，即f(x)m.6定義在R上的函數(shù)f(x)在(，2)上是增函數(shù)，且f(x2)f(2x)對(duì)任意xR恒成立，則()Af(1)f(3) Bf(0)f(3)Cf(1)f(3) Df(0)f(3)考點(diǎn)函數(shù)圖象的對(duì)稱性題點(diǎn)軸對(duì)稱問(wèn)題答案A解析f(x)的圖象關(guān)于直線x2對(duì)稱，所以f(3)f(1)，由于f(x)在(，2)上是增函數(shù)，所以f(1)f(1)f(3)7設(shè)奇函數(shù)f(x)在(0，)上為減函數(shù)，且f(1)0，則不等式0的解集為()A(1,0)(1，)B(，1)(0,1)C(，1)(1，)D(1,0)(0,1)考點(diǎn)抽象函數(shù)單調(diào)性與奇偶性題點(diǎn)抽象函數(shù)單調(diào)性與不等式結(jié)合問(wèn)題答案C解析f(x)為奇函數(shù)，0，即0，f(x)在(0，)上為減函數(shù)且f(1)0，當(dāng)x1時(shí)，f(x)0.奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，在(，0)上f(x)為減函數(shù)且f(1)0，即x1時(shí)，f(x)0.綜上使0的解集為(，1)(1，)8(2017南陽(yáng)檢測(cè))設(shè)f(x)是R上的偶函數(shù)，且在(0，)上是減函數(shù)，若x10，則()Af(x1)f(x2)Bf(x1)f(x2)Cf(x1)f(x2)Df(x1)與f(x2)的大小不確定考點(diǎn)抽象函數(shù)單調(diào)性與奇偶性題點(diǎn)抽象函數(shù)單調(diào)性與不等式結(jié)合問(wèn)題答案A解析x10，x2x10，又f(x)在(0，)上是減函數(shù)，f(x2)f(x1)，f(x)是偶函數(shù)，f(x2)f(x2)f(x1)二、填空題9若函數(shù)f(x)(k2)x2(k1)x3是偶函數(shù)，則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是_考點(diǎn)單調(diào)性與奇偶性的綜合應(yīng)用題點(diǎn)求奇偶函數(shù)的單調(diào)區(qū)間答案0，)解析利用函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，得k10，k1，所以f(x)x23，其單調(diào)遞減區(qū)間為0，)10已知偶函數(shù)f(x)在區(qū)間0，)上單調(diào)遞增，則滿足f(2x1)f的x的取值范圍是_考點(diǎn)單調(diào)性與奇偶性的綜合應(yīng)用題點(diǎn)利用奇偶性、單調(diào)性解不等式答案解析由于f(x)是偶函數(shù)，因此f(x)f(|x|)，f(|2x1|)f，再根據(jù)f(x)在0，)上的單調(diào)性，得|2x1|，解得x0時(shí)，f(x)x22x3.(1)試求f(x)在R上的解析式；(2)畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象寫出它的單調(diào)區(qū)間考點(diǎn)單調(diào)性與奇偶性的綜合應(yīng)用題點(diǎn)求奇偶函數(shù)的單調(diào)區(qū)間解(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以f(x)為奇函數(shù)，則f(0)0.設(shè)x0，因?yàn)楫?dāng)x0時(shí)，f(x)x22x3.所以當(dāng)x0時(shí)，f(x)f(x)(x22x3)x22x3.于是有f(x)(2)先畫出函數(shù)在y軸右側(cè)的圖象，再根據(jù)對(duì)稱性畫出y軸左側(cè)的圖象，如圖由圖象可知函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(，1，1，)，單調(diào)遞減區(qū)間是(1,0)，(0,1)13已知函數(shù)f(x)axc(a，b，c是常數(shù))是奇函數(shù)，且滿足f(1)，f(2).(1)求a，b，c的值；(2)試判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間上的單調(diào)性并證明考點(diǎn)單調(diào)性與奇偶性的綜合應(yīng)用題點(diǎn)判斷或證明奇偶函數(shù)在某區(qū)間上的單調(diào)性解(1)f(x)為奇函數(shù)，f(x)f(x)，axcaxc，c0，f(x)ax.又f(1)，f(2)，a2，b.綜上，a2，b，c0.(2)由(1)可知f(x)2x.函數(shù)f(x)在區(qū)間上為減函數(shù)證明如下：任取0x1x2，則f(x1)f(x2)2x12x2(x1x2)(x1x2).0x1x2，x1x20,4x1x210，f(x1)f(x2)f(x)在上為減函數(shù)四、探究與拓展14已知f(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f(x)x24x，那么，不等式f(x2)5的解集是_考點(diǎn)單調(diào)性與奇偶性的綜合應(yīng)用題點(diǎn)利用奇偶性、單調(diào)性解不等式答案(7,3)解析因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，所以f(|x2|)f(x2)，則f(x2)5可化為f(|x2|)5，則|x2|24|x2|5，即(|x2|1)(|x2|5)0，所以|x2|5，解得7x3，所以不等式f(x2)5的解集是(7,3)15已知函數(shù)yf(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x0時(shí)，f(x)x2ax.(1)若a2，求函數(shù)f(x)的解析式；(2)若函數(shù)f(x)為R上的單調(diào)減函數(shù)，求a的取