高中數(shù)學(xué)第三章生活中的優(yōu)化問題舉例課后提升作業(yè)（二十五）3.4生活中的優(yōu)化問題舉例檢測（含解析）.docx

課后提升作業(yè) 二十五生活中的優(yōu)化問題舉例(45分鐘70分)一、選擇題(每小題5分,共40分)1.用長為24m的鋼筋做成一個長方體框架,若這個長方體框架的底面為正方形,則這個長方體體積的最大值為()A.8m3B.12m3C.16m3D.24m3【解析】選A.設(shè)長方體的底面邊長為xm,則高為(6-2x)m,所以0x0),L=2-.令L=0,得x=16或x=-16(舍去).因為L在(0,+)上只有一個極值點,所以它必是最小值點.因為x=16,所以=32.故當(dāng)堆料場的寬為16m,長為32m時,可使砌墻所用的材料最省.【拓展延伸】求幾何體面積或體積的最值問題的關(guān)鍵:1.分析幾何體的幾何特征,根據(jù)題意選擇適當(dāng)?shù)牧拷⒚娣e或體積的函數(shù),2.再用導(dǎo)數(shù)求最值.3.某銀行準(zhǔn)備新設(shè)一種定期存款業(yè)務(wù),經(jīng)預(yù)算,存款量與存款利率的平方成正比,比例系數(shù)為k(k0).已知貸款的利率為0.0486,且假設(shè)銀行吸收的存款能全部放貸出去.設(shè)存款利率為x,x(0,0.0486),若使銀行獲得最大收益,則x的取值為()A.0.016 2B.0.032 4C.0.024 3D.0.048 6【解析】選B.依題意,存款量是kx2,銀行支付的利息是kx3,獲得的貸款利息是0.0486kx2,其中x(0,0.0486).所以銀行的收益是y=0.0486kx2-kx3(0x0.0486),則y=0.0972kx-3kx2.令y=0,得x=0.0324或x=0(舍去).當(dāng)0x0;當(dāng)0.0324x0.0486時,y0),則底面積S=x2,所以h=.S表=x3+x22=+x2,S表=x-,令S表=0得x=,因為S表只有一個極值,故x=為最小值點.6.把一個周長為12cm的長方形作為一個圓柱的側(cè)面,當(dāng)圓柱的體積最大時,該圓柱底面周長與高的比為()A.12B.1C.21D.2【解析】選C.設(shè)圓柱高為x,底面半徑為r,則r=,圓柱體積V=x=(x3-12x2+36x)(0x6),V=(x-2)(x-6),當(dāng)x=2時,V最大.此時底面周長為4,底面周長高=42=21.7.三棱錐O-ABC中,OA,OB,OC兩兩垂直,OC=2x,OA=x,OB=y,且x+y=3,則三棱錐O-ABC體積的最大值為()A.4B.8C.43D.83【解析】選C.V=y=(0x0,p(x)遞增,當(dāng)x(300,390)時,p(x)390時,p(x)=90090-100x-2000090090-100390-20000=310900),則獲得最大利潤時的年產(chǎn)量為百萬件.【解析】依題意得,y=-3x2+27=-3(x-3)(x+3),當(dāng)0x0;當(dāng)x3時,y0),y=-+,令y=0,得x=5或x=-5(舍去).當(dāng)0x5時,y5時,y0.所以當(dāng)x=5時,y取得極小值,也是最小值.所以當(dāng)倉庫建在離車站5千米處時,兩項費用之和最小.答案:5三、解答題(每小題10分,共20分)11.(2016韶關(guān)高二檢測)已知A,B兩地相距200km,一只船從A地逆水行駛到B地,水速為8km/h,船在靜水中的速度為vkm/h(80),則y1=kv2,當(dāng)v=12時,y1=720,所以720=k122,得k=5.設(shè)全程燃料費為y元,由題意y=y1=,所以y=.令y=0,得v=16,所以當(dāng)v016,v=16km/h時全程燃料費最省,ymin=32000(元);當(dāng)v016,v(8,v0時,y0,即y在(8,v0上為減函數(shù),所以當(dāng)v=v0時,ymin=(元).綜上,當(dāng)v016,v=16km/h時,船的實際速度為16-8=8(km/h),此時全程燃料費最省,為32000元;當(dāng)v016,v=v0時,船的實際速度為(v0-8)km/h,此時全程燃料費最省,為元.【誤區(qū)警示】忽視定義域致錯本題在解題過程中容易忽視定義域,誤以為v=16時取得最小值.本題的關(guān)鍵是弄清極值點是否在定義域范圍內(nèi).12.某種產(chǎn)品每件成本為6元,每件售價為x元(6x11),年銷量為u萬件,若已知5858-u與x-2142成正比,且售價為10元時,年銷量為28萬件.(1)求年利潤y萬元關(guān)于售價x的函數(shù)關(guān)系式.(2)求售價為多少時,年利潤最大,并求出最大年利潤.【解析】(1)設(shè)-u=k,因為售價為10元時,年銷量為28萬件,所以-28=k,解得k=2.所以u=-2+=-2x2+21x+18.所以y=(-2x2+21x+18)(x-6)=-2x3+33x2-108x-108(6x0;當(dāng)x(9,11)時,y0.所以函數(shù)y=-2x3+33x2-108x-108在(6,9)上是遞增的,在(9,11)上是遞減的.所以當(dāng)x=9時,ymax=135,所以售價為9元時,年利潤最大,最大年利潤為135萬元.【補償訓(xùn)練】某單位用木料制作如圖所示的框架,框架的下部是邊長分別為x,y(單位:m)的矩形,上部是等腰直角三角形,要求框架的總面積為8m2,問:x,y分別是多少時用料最省?(精確到0.001m)【解析】依題意,有xy+x=8,所以y=-(0x4),于是框架用料長度為l=2x+2y+2=x+16x.l=+-=0,解得x1=8-4,x2=4-8(舍去).當(dāng)0x8-4時, l0;當(dāng)8-4x0,所以當(dāng)x=8-4時,l取得最小值,此時,x=8-42.343(m),y2.829m.即當(dāng)x為2.343m,y為2.829m時,用料最省.【能力挑戰(zhàn)題】請您設(shè)計一個帳篷,它下部的形狀是高為1m的正六棱柱,上部的形狀是側(cè)棱長為3m的正六棱錐.試問當(dāng)帳篷的頂點O到底面中心O1的距離為多少時,帳篷的體積最大?最大體積是多少?【解題指南】帳篷可看做一個正六棱錐與一個正六棱柱的組合體.【解析】設(shè)OO1為xm,則1x4.由題設(shè)可得正六棱錐底面邊長為=.于是底面正六邊形的面積為6()2=(8+2x-x2).帳篷的體積為V(x)=(8+2x-x2)=(16+12x-x3)