chapt3-1二維隨機(jī)變量及其分布.ppt

第三章 多維隨機(jī)變量及其分布,第一節(jié) 二維隨機(jī)變量及其分布 第二節(jié) 邊緣分布 第三節(jié) 條件分布（不講） 第四節(jié) 隨機(jī)變量的獨(dú)立性 第五節(jié) 兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布,在實(shí)際問題中, 試驗(yàn)結(jié)果有時(shí)需要同時(shí)用兩個(gè)或兩個(gè)以上的隨機(jī)變量來描述.例如：用溫度和風(fēng)力來描述天氣情況.用身高和體重來描述人的生理特征.通過對含碳、含硫、含磷量的測定來研究鋼的成分.要研究這些隨機(jī)變量之間的聯(lián)系,就需考慮多維隨機(jī)變量及其取值規(guī)律多維隨機(jī)變量及其分布.,第一節(jié) 二維隨機(jī)變量及其分布,一、二維隨機(jī)變量及其分布,二、二維離散型隨機(jī)變量及其分布,三、二維連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布,四、二維連續(xù)型隨機(jī)變量中兩個(gè)重要分布,一、二維隨機(jī)變量及其分布,1.二維隨機(jī)變量 P63,設(shè)S=e為隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間，X=X(e)和Y=Y(e)為定義在樣本空間S上的二個(gè)隨機(jī)變量，則由它們構(gòu)成的向量(X,Y) 稱為樣本空間S上的一個(gè)二維隨機(jī)變量或二維隨機(jī)向量.,注,1）應(yīng)把二維隨機(jī)變量(X,Y)看作一個(gè)整體，因?yàn)閄與Y之間是有聯(lián)系的.,2）幾何上二維隨機(jī)變量(X,Y)可看作平面上的隨機(jī)點(diǎn).,二維隨機(jī)變量的例子,1）對一目標(biāo)進(jìn)行射擊，令X: 彈著點(diǎn)與目標(biāo)的水平距離; Y: 彈著點(diǎn)與目標(biāo)的垂直距離，則 (X, Y)是一個(gè)二維隨機(jī)變量.,2）觀察某地區(qū)的氣候狀況，令X: 該地區(qū)的溫度； Y: 該地區(qū)的濕度，則 (X, Y)也是一個(gè)二維隨機(jī)變量.,2.二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù) P63,(1)定義 設(shè)（X, Y）是二維隨機(jī)變量,對于任意實(shí)數(shù)x, y.二元函數(shù),稱為二維隨機(jī)變量（X, Y）的分布函數(shù)或X和Y的聯(lián)合分布函數(shù),將二維隨機(jī)變量看作XOY平面上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo)，則聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)表示隨機(jī)點(diǎn)(X,Y)落在無窮矩形區(qū)域,內(nèi)的概率(圖中陰影部分),(2)二元分布函數(shù)的幾何意義 P63,(3)一個(gè)重要的公式,1) 對任意(x, y) R2 ,(4)二元分布函數(shù)的性質(zhì) P64,0 F(x, y) 1 ，且,2) F(x, y)關(guān)于 x 和 y 是不減函數(shù).即： 對任意y R, 當(dāng)x1x2時(shí)，F(xiàn)( x1, y ) F( x2 , y )； 對任意x R, 當(dāng)y1 y2時(shí)，F(xiàn)(x , y1 ) F(x , y2).,3) F(x, y)關(guān)于x和y均是右連續(xù)的，即：,說明：,任一具有上述四條性質(zhì)的二元函數(shù)F(x, y)皆可以作為某個(gè)二維隨機(jī)變量(X, Y)的分布函數(shù)。,4) 對于任意,例l(P64) 已知二維隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合分布函數(shù),（1）確定常數(shù)A、B、C,（2）求概率,(補(bǔ)),為,解：,從而得：,1.二維離散型隨機(jī)變量 P65,二、二維離散型隨機(jī)變量及其分布,若二維隨機(jī)變量(X,Y)的所有可能的取值為有限對或可列無限多對時(shí)，則稱(X,Y)為二維離散型隨機(jī)變量.,2.二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律 P65,設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的所有可能取值為(xi , yj) , (i , j=1,2, ),且每對取值的概率為,并且pij滿足,(),則稱()為二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率分布或分布律，或稱為隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布律,(1),(2),其中,二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律表格表示法,例2.一口袋中5個(gè)球，依次標(biāo)有2，2，2，3，3，在袋中任取一球，不放回袋中，再從袋中任取一球，設(shè)每次取球時(shí)，袋中各球取到的可能性相同，以X、Y分別表示第一次、第二次取得的球上標(biāo)有的數(shù)字，求（X，Y）的聯(lián)合分布律。,解：,(X,Y)的可能取值為(2,2), (2,3), (3,2), (3,3),從而得(X,Y)的聯(lián)合分布律：,3.二維離散型隨機(jī)變量（X，Y）的分布函數(shù),D為XOY平面上某一個(gè)點(diǎn)集,例（續(xù)例2）,求:(2),(3)分布函數(shù)F(x , y),已求得(X,Y)的聯(lián)合分布律：,(2),（3）,例3 在箱子里裝有12只開關(guān)，其中2只是次品，在其中隨機(jī)地取兩次，每次取一只作不放回抽樣，設(shè)隨機(jī)變量X、Y如下：,求: (1) (X,Y)的聯(lián)合分布律；(2),(3) 分布函數(shù)F(x , y),(X,Y)的可能取值為(0,0), (0,1), (1,0), (1,1),解.（1）,從而得(X,Y)的聯(lián)合分布律：,(2),（X,Y）,（X,Y）,x0 或 y0 時(shí),0x1 且 0 y1 時(shí),0x1 且 y 1 時(shí),（X,Y）,(3),（X,Y）,x1 且 0 y1 時(shí),x1 且 y 1 時(shí),（X,Y）,從而得,三、二維連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布,1. 定義 P67,對于二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)F(x, y), 如果存在一個(gè)非負(fù)函數(shù)f (x,y), 使得對于任意實(shí)數(shù)x, y,有,則稱(X,Y)是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，稱函數(shù)f(x,y)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度,2.性質(zhì) P68,(1),(2),任一具有性質(zhì)(1)、(2)的二元函數(shù)f(x, y)皆可以作為某二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X, Y)的概率密度。,(4) 若f (x, y)在點(diǎn)(x, y)處連續(xù)，F(xiàn)(x,y)為相應(yīng)的分 布函數(shù)，則,在幾何上, z = f (x , y)表示空間的一個(gè)曲面，上式表示 P(X,Y)D的值等于以D為底，以曲面z = f (x , y)為頂?shù)那斨w體積,(3) D是XOY平面上一個(gè)區(qū)域，則,解：,于是,例4. 已知二維隨機(jī)變量（X, Y）的聯(lián)合分布函數(shù)為,求(X, Y)的聯(lián)合概率密度f(x, y),例5(P68 例3) 設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為,(2) (X,Y)的分布函數(shù)F(x, y),試求: (1) 常數(shù) k ;,(3) 概率,解：,(1)由,得：,由此解得：,(2) 由,(3),例 設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為,求（1）常數(shù)C（2）概率PY2X,解： (1),于是,即：,(2),y2x,例 設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為,求（X，Y）的分布函數(shù)F(x,y),解：,o,從而得,四、二維連續(xù)型隨機(jī)變量中兩個(gè)重要分布,1.均勻分布 P69,設(shè)G為XOY平面上有界區(qū)域，其面積為A，若二維隨機(jī)變量（X,Y）具有概率密度,則稱（X,Y）在G上服從均勻分布,二維均勻分布幾何意義,若二維隨機(jī)變量（X,Y）服從區(qū)域G上的均勻分布，我們可以認(rèn)為隨機(jī)點(diǎn)（X,Y）只落在區(qū)域G內(nèi)；且落在G內(nèi)任一子區(qū)域內(nèi)的概率只與該子區(qū)域的面積成正比，而與子區(qū)域的形狀及其在G中的位置無關(guān),2 二維正態(tài)分布 P70,若二維隨機(jī)變量（X, Y）的概率密度為,其中1、2 、1 、2 、 都為常數(shù)，且