Ch4隨機變量的數(shù)字特征.ppt

Ch4 隨機變量的數(shù)字特征, 數(shù)學期望(Expectation),一 加權(quán)平均數(shù),例 設(shè)某班40名學生的概率統(tǒng)計成績及得分人數(shù)如下表所示： 分數(shù) 40 60 70 80 90 100 人數(shù) 1 6 9 15 7 2,則學生的平均成績是總分總?cè)藬?shù)(分)。即,上式也可以寫成：,這種計算方法即為40,60,70,80,90和100這六個數(shù)的 加權(quán)平均數(shù)。,其中,現(xiàn)引進 r.v. X表示學生得分，則X有分布律,于是上述平均數(shù)可以寫成,即取值乘取值的概率相加即得平均值。,這就是 r.v.的數(shù)學期望的概念,二.離散型隨機變量的數(shù)學期望,定義：離散型隨機變量X，其分布律為：,即,解,例 單點分布（退化分布）,即常數(shù)的數(shù)學期望為常數(shù)。,例 X （01）分布,即 r.v.X的分布律為：PX= c =1,即 r.v.X的分布律為：,例 XB（n，p）二項分布,即 r.v.X的分布律為：,例 X（或）Poisson分布,即 r.v.X的分布律為：,但,所以E(X)不存在！,三. 連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望,例 r.v.X的概率密度函數(shù)為：,求E(X).,解,例 XU(a，b)均勻分布,求E(X).,解,其概率密度函數(shù)為：,例 指數(shù)分布,求E(X).,解,X服從參數(shù)為的指數(shù)分布，其概率密度函數(shù)為：,求E(X).,解,其概率密度函數(shù)為：,例 正態(tài)分布 X N( ),例 r.v.X的概率密度函數(shù)為：(Cauthy分布),由于,所以E(X)不存在！,四. 對于 r.v.X的函數(shù)的數(shù)學期望,Y為 r.v.X的函數(shù)，Y=g(X)，g為連續(xù)函數(shù),（i）X是離散型隨機變量，其分布律為,若,絕對收斂，則有,事實上,（ii）X是連續(xù)型隨機變量，其概率密度函數(shù)為 f (x),若,絕對收斂，則有,綜上有：,若已知 X 的分布以及函數(shù) g(x),可以不必求出Y= g(x)的分布,直接利用上面的公式求出Y的數(shù)學期望.,解,例 r.v.X的概率密度函數(shù)為：,求E(3X 27X+8).,解,二維 r.v.(X，Y ) ，Z=g(X，Y )，g為連續(xù)函數(shù),（i）(X，Y )是離散型隨機變量，其分布律為,若,絕對收斂，則有,（ii）(X，Y )是連續(xù)型隨機變量，其概密為,若,絕對收斂，則有,例 r.v. (X，Y )的概率密度函數(shù)為：,求E(XY )，E(X 2+Y 2)。,解,五 數(shù)學期望的性質(zhì),1. E(aX+b)=,aE(X)+b, a, b為常數(shù);,2. E(X+Y )=,3. 若X與Y 獨立，則E(XY )=,E(X )+E(Y );,E(X )E(Y ).,E(X1+ X2+ +Xn )=,E(X1 )+ E(X1 )+ +E(Xn );,E(X1X2 Xn )=,E(X1 ) E(X1 )E(Xn );,若X1, X2 , , Xn 相互獨立，則, 方差(Variance or Dispersion),方差是衡量隨機變量取值與其均值的偏離程度的一個數(shù)字特征。,1.定義 若E(X)存在，則稱EXE(X)2 為 r.v. X的方差，記為D(X),或Var(X).,離散型情況,連續(xù)型情況,2.推論,D(X )=E(X 2 )E(X )2.,例 單點分布（退化分布）,即常數(shù)的方差為零。,例 X （01）分布,即 r.v.X的分布律為：PX= c =1,即 r.v.X的分布律為：,例 XB（n，p）二項分布,即 r.v.X的分布律為：,例 X（或）Poisson分布,即 r.v.X的分布律為：,例 XU(a，b)均勻分布,其概率密度函數(shù)為：,例 指數(shù)分布,X服從參數(shù)為的指數(shù)分布，其概率密度函數(shù)為：,其概率密度函數(shù)為：,例 正態(tài)分布 X N( ),3. 方差的性質(zhì),(1) D(aX+b)=,a2D(X ), a, b為常數(shù)；,(2) 若 X，Y 獨立，則 D(X+Y )=,D(X )+D(Y );,(3) D(X )=0,存在常數(shù)C，使 PX=C =1, 且C=E(X );,(4) 對任意CR, E(XC)2 D(X ), 且,minE(XC )2=EXE(X )2=D(X ).,若X1, X2 , , Xn 相互獨立，則,D(X1+ X2+ +Xn )=,D(X1 )+ D(X1 )+ +D(Xn );,若 X，Y 獨立，則 D(XY )=,D(X )+D(Y );,以 X 記 n 重貝努里試驗中A發(fā)生的次數(shù)，則,XB(n，p),若記,若在第 i 次試驗中 A 發(fā)生；,若在第 i 次試驗中 A 不發(fā)生。,X 0 1,P 1-p p,1,0,E(Xi )=p ,D(Xi )=p(1-p),又 X=X1+ X2 + Xn ,E(X )=E(X1 )+E( X2 ) + E(Xn ),=np ,D(X )=D(X1 )+D( X2 ) + D(Xn ),=np(1-p) .,稱為X 的均方差或標準差，其量綱與X的一致。,易知 E(X )=0，D(X )=1., 切比雪夫不等式,若 r.v.X的期望和方差存在，則對任意 0，有,這就是著名的切比雪夫(Chebyshev)不等式。,它有以下幾種等價的形式：,記 =D(X ), =E(X ), 則對k 0, 有,定理 (Cauchy-Schwarz不等式),若對任意的 r.v. X、Y，若E(X 2) +， E(Y 2) +，則,E(XY )2 E(X 2) E(Y 2),當且僅當PY= kX =1時等號成立，其中k為某常數(shù)。, 協(xié)方差，相關(guān)系數(shù),1.協(xié)方差定義(Co-variance) 若 r.v. X的期望 E(X )和Y 的期望 E(Y )存在, 則稱 EXE(X )YE(Y )為X與Y的協(xié)方差,記為Cov(X, Y ).,即 Cov(X, Y )=EXE(X )YE(Y ).,易有 Cov(X, Y )=E(XY ) E(X )E (Y )。,2.協(xié)方差性質(zhì),(1) Cov(X, Y ) =,(2) Cov(aX, bY ) =,(3) Cov(X+Y，Z ) =,Cov(Y, X );,abCov(X, Y ), 其中a, b為 常數(shù)；,Cov(X, Z )+Cov(Y, Z );,(4) D(X +Y ) =,D(X )+D(Y ) + 2Cov(X, Y ).,3. 相關(guān)系數(shù),定義 若 r.v. X，Y的方差和協(xié)方差均存在, 且D(X ) 0, D(Y ) 0，則,稱為X與Y 的相關(guān)系數(shù).,若XY=0，則稱X與Y不相關(guān)，否則稱X與Y 相關(guān)。,X與Y 不相關(guān) Cov(X, Y )=0, E(XY )= E(X )E (Y )。,Cov(X, Y ) 稱為X與Y 的標準化協(xié)方差，,易知,相關(guān)系數(shù)的性質(zhì),(1) |XY|1；,(2) |XY|=1,(3) X與Y 獨立，則X與Y 不相關(guān)，反之不然。,存在常數(shù)a, b 使PX= aY+b =1；,即,獨立,不相關(guān),例 設(shè)(X, Y )在D=(x, y )：x2+y21上服從均勻分布，則X與Y 不相關(guān)，但不是相互獨立的。,解,Notes 對于二元正態(tài)分布，其獨立性和不相關(guān)性是等價的。其它的分布沒有這個性質(zhì)。, 矩、協(xié)方差矩陣,矩,1. k 階原點矩,而E(|X|k)稱為X的k階絕對原點矩；,Ak=E(X k ), k=1, 2, ,2. k 階中心矩,而E|X-E(X )|k 稱為X的k 階絕對中心矩；,易知 E(X )=A1, D(X ) =B2.,Bk=EXE(X )k, k=1, 2, ,3. k+l 階混合原點矩,E(X k Y l ), k, l=0, 1, 2, ；,4. k+l 階混合中心矩,EXE(X )k YE(Y )l , k, l=0, 1, 2, ；,易知 Cov(X, Y )=EXE(X)YE(Y ),是1+1階混合中心矩。,可見矩對于隨機變量而言是一般的數(shù)字特征，而數(shù)學期望、方差、協(xié)方差等都是一些特殊的矩。,協(xié)方差矩陣,1.定義 設(shè) X1， , Xn為n個 r.v.