數(shù)學(xué)直線與圓圓與圓的位置關(guān)系.ppt

第四節(jié) 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系,基礎(chǔ)梳理,1. 直線與圓的位置關(guān)系判斷方法 (1)幾何法：設(shè)圓心到直線的距離為d，圓半徑為r，若直線與圓相離，則_；若直線與圓相切，則_；若直線與圓相交，則_ (2)代數(shù)法：將直線與圓的方程聯(lián)立，若D0，則_；若D=0，則_；若D0，則直線與圓相離,2. 兩圓的位置關(guān)系 (1)設(shè)兩圓半徑分別為R，r(Rr)，圓心距為d. 若兩圓相外離，則_，公切線條數(shù)為_； 若兩圓相外切，則_，公切線條數(shù)為_； 若兩圓相交，則_，公切線條數(shù)為_； 若兩圓內(nèi)切，則_，公切線條數(shù)為_； 若兩圓內(nèi)含，則_，公切線條數(shù)為_ (2) 設(shè)兩圓C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0，C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0，若兩圓相交，則兩圓的公共弦所在的直線方程是_ 3. 已知切點(diǎn)為P(x0，y0)，則圓x2+y2=r2的切線方程為_.,4. 圓系方程 (1)以點(diǎn)C(x0，y0)為圓心的圓系方程為_； (2)過(guò)圓C：x2+y2+Dx+Ey+F=0和直線l：ax+by+c=0的交點(diǎn)的圓系方程為_； (3)過(guò)兩圓C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0，C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交點(diǎn)的圓系方程為_(不表示圓C2),答案： 1. (1)dr d=r dr (2)直線與圓相交 直線與圓相切 2. (1)dR+r 4 d=R+r 3 R-rdR+r 2 d=R-r 1 dR-r 0 (2)(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0 3. x0x+y0y=r2 4. (1)(x-x0)2+(y-y0)2=r2(r0) (2)x2+y2+Dx+Ey+F+l(ax+by+c)=0 (3)x2+y2+D1x+E1y+F1+l(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0,基礎(chǔ)達(dá)標(biāo),1. (2011湛江模擬)直線y=x+1與圓x2+y2=1的位置關(guān)系為( ) A. 相切 B. 相交但直線不過(guò)圓心 C. 直線過(guò)圓心 D. 相離 2. (教材改編題)若直線x-y=2被圓(x-a)2+y2=4所截得的弦長(zhǎng)為2 ，則實(shí)數(shù)a的值為( ) A. -1或 B. 1或3 C. -2或6 D. 0或4,3. (教材改編題)圓O1：x2+y2-2x=0和圓O2：x2+y2-4y=0的位置關(guān)系是( ) A. 相離 B. 相交 C. 外切 D. 內(nèi)切,4. 直線y=x-1上的點(diǎn)到圓x2+y2+4x-2y+4=0上的點(diǎn)的最近距離是( ) A. 2 B. -1 C.2 -1 D.1,5. 過(guò)圓C1：(x-4)2+(y-5)2=10與圓C2：(x+2)2+(y-7)2=12的交點(diǎn)的直線方程為_.,答案： 1. B 解析：圓心(0,0)到直線y=x+1，即x-y+1=0的距離d= = ，而01，故選B. 2. D 解析：由題意知，d= = ，即|a-2|=2，解得a=4或a=0.,3. B 解析：由圓O1：x2+y2-2x=0得(x-1)2+y2=1，故圓心O1(1,0)，半徑r=1； 由圓O2：x2+y2-4y=0得x2+(y-2)2=4，故圓心O2(0,2)，半徑R=2； 因?yàn)镽-r=2-1|O1O2|= = 1+2=r+R，兩圓相交，故選B. 4. C 解析：圓心坐標(biāo)為(-2,1)，則圓心到直線y=x-1的距離為 d= =2 1=r，故最近距離是2 -1. 5. 6x-2y+5=0 解析：聯(lián)立兩圓方程 兩式相減得 12x-4y+10=0，即6x-2y+5=0， 所以所求的直線方程為6x-2y+5=0.,題型一 直線與圓的位置關(guān)系 【例1】 直線y=kx+3與圓(x-3)2+(y-2)2=4相交于M，N兩點(diǎn)，若|MN|2 ，則k的取值范圍是( ),解：由圓的方程知圓心為(3,2)，圓心到y(tǒng)=kx+3的距離d= ，且r=2， |MN|2=r2-d2=4- 23， 化簡(jiǎn)得4k2+3k0，解得- k0，故選A.,變式1-1 直線 x-y+m=0與圓x2+y2-2x-2=0相切，則實(shí)數(shù)m等于( ),答案：C 解析：化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+y2=3，因?yàn)橹本€與圓相切，所以圓心(1,0)到直線的距離等于半徑，即 = ，即| +m|=2 ，所以m= 或m=-3 ，故選C.,題型二 圓與圓位置關(guān)系的判斷及應(yīng)用 【例2】 已知圓C1：x2+y2-2mx+4y+m2-5=0，圓C2：x2+y2+2x-2my+m2-3=0，試就m的取值討論兩圓的位置關(guān)系,解：圓C1：(x-m)2+(y+2)2=9， 圓C2：(x+1)2+(y-m)2=4. 兩圓的圓心距|C1C2|= ，r1=3，r2=2. (1)當(dāng)|C1C2|=r1+r2， 即 =5時(shí)， 解得m=-5或m=2， 故當(dāng)m=-5或m=2時(shí)，兩圓外切；,(2)當(dāng)|C1C2|=r1-r2， 即 =1時(shí)， 解得m=-2或m=-1， 故當(dāng)m=-2或m=-1時(shí)，兩圓內(nèi)切； (3)當(dāng)r1-r2r1+r2，即m2時(shí)，兩圓外離； (5)當(dāng)|C1C2|r1-r2，即-2m-1時(shí)，兩圓內(nèi)含,變式2-1 已知圓x2+y2=25與圓心為C(1， )，半徑為r(r0)的圓相切，則r的值為 _.,答案：3或7 解析：由圓x2+y2=25的圓心為C1(0,0)，半徑為5，因此兩圓的圓心距d=|CC1|=2，故兩圓只能是內(nèi)切，不能外切，故d=|CC1|=2=|5-r|，解得r=3或r=7.,題型三 圓的弦長(zhǎng)問(wèn)題 【例3】 過(guò)原點(diǎn)且傾斜角為60的直線被圓x2+y2-4y=0所截得的弦長(zhǎng)為 ( ),A. B.2 C. D.,解：過(guò)原點(diǎn)且傾斜角為60的直線方程為y= x，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x2+(y-2)2=4，所以圓心(0,2)到直線的距離d= =1，由垂徑定理知所求弦長(zhǎng)為2 =2 ，故選D.,變式3-1 若O1：x2+y2=5與O2：(x-m)2+y2=20(mR)相交于A、B兩點(diǎn)，且兩圓在點(diǎn)A處的切線互相垂直，則線段AB的長(zhǎng)是_,答案：4 解析：由題知O1(0,0)，O2(m,0)，r1= ，r2=2 ， 因?yàn)閮蓤A相交，所以 |m|3 ， 又O1AAO2，在RtO1O2A中， m2=( )2+(2 )2=25m=5， 所以AB=2* =4.,題型四 有關(guān)圓的最值問(wèn)題 【例4】 與直線x+y-2=0和曲線x2+y2-12x-12y+54=0都相切的半徑最小的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是_,解：x2+y2-12x-12y+54=0配方得(x-6)2+(y-6)2=18，如下圖所示： 要使所求圓與直線和已知圓都相切且半徑最小，必須使所求圓在直線和已知圓之間 圓心(6,6)到直線x+y-2=0的距離為d= =5 ， 則所求圓的直徑2r=5 -3 =2 ， r= ， 易求所求圓的圓心坐標(biāo)為(2,2)， 故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+(y-2)2=2.,變式4-1 由直線y=x+1上的一點(diǎn)向圓(x-3)2+y2=1引切線，則切線長(zhǎng)的最小值為( ) A. 1 B. 2 C. D. 3,答案：C 解析：設(shè)圓心到直線y=x+1的距離為d，則切線長(zhǎng)的最小值為 ，而r=1. d= =2 ， = ，故選C.,題型五 簡(jiǎn)單的圓系方程及應(yīng)用 【例5】 求過(guò)直線2x+y+4=0和圓x2+y2+2x-4y+1=0的交點(diǎn)，且過(guò)原點(diǎn)的圓的方程,解：方法一：由 解得交點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(-3,2)，B . 設(shè)所求圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0， 則 解得D= ，E=- ，F(xiàn)=0. 故所求圓的方程為x2+y2+ x- y=0.,方法二：設(shè)所求圓的方程為x2+y2+2x-4y+1+l(2x+y+4)=0，即x2+y2+2(1+l)x+(l-4)y+(1+4l)=0， 此圓過(guò)原點(diǎn)，1+4l=0，即l=- . 故所求圓的方程為x2+y2+ x- y=0.,故所求直線方程為y-5= (x-3)，即4x-3y+3=0.,易錯(cuò)警示,【例】 求過(guò)A(3,5)且與圓C：x2+y2-4x-4y+7=0相切的直線方程 錯(cuò)解 設(shè)所求直線l的斜率為k，方程為y-5=k(x-3)， 即kx-y+5-3k=0，已知圓C的圓心(2,2)，r=1. 則圓心到l的距離為,k2-6k+9=k2+1，解得k=,錯(cuò)解分析 過(guò)圓外一點(diǎn)的圓的切線有兩條，若求出k的值 唯一，則應(yīng)補(bǔ)上與x軸垂直的那一條，錯(cuò)解中漏掉了斜率不存 在的情況。,正解： (1)若所求直線斜率存在，設(shè)其為k，方法同“錯(cuò)解”，得k= ，即方程為4x-3y+3=0. (2)若所求直線斜率不存在，則l的方程為x=3，經(jīng)驗(yàn)證x=3與圓C相切 綜上，所求切線方程為x=3或4x-3y+3=0.,鏈接高考,(2010山東) 已知圓C過(guò)點(diǎn)(1,0)，且圓心在x軸的正半軸上，直線l：y=x-1被該圓所截得的弦長(zhǎng)為2 ，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為_,知識(shí)準(zhǔn)備：1. 設(shè)圓心坐標(biāo)(a,