北郵概率論講議第8講.ppt

2019/7/16,北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院,1,2019/7/16,北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院,2,1、關(guān)于事件的條件數(shù)學(xué)期望,定義3.5.1 設(shè)是概率空間(，F(xiàn)，P)上的隨機變量，且E()存在，B F ，P(B)0， (，F(xiàn)，PB)為(，F(xiàn)，P)在事件B下的條件概率空間，稱 為在給定事件B下的條件數(shù)學(xué)期望，記為E(|B)。,定理3.5.1 若在上關(guān)于P的數(shù)學(xué)期望E()存在，P(B) 0，則E(|B)存在，且,2019/7/16,北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院,3,證明：（1）當為示性函數(shù)時，不妨假設(shè),由定義3.5.3，有,2019/7/16,北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院,4,（2）當為非負簡單函數(shù)時，由可測函數(shù)積分的性質(zhì)，即可證明。 （3）當為非負隨機變量時，利用單調(diào)收斂定理即可得證。 （4）當為一般隨機變量時，顯然也成立。,2019/7/16,北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院,5,2019/7/16,北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院,6,則：,2019/7/16,北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院,7,是一A-可測函數(shù)。 可以從以下幾個方面來理解A-可測函數(shù)的意義:,2019/7/16,北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院,8,2、隨機變量關(guān)于隨機變量=x的條件數(shù)學(xué)期望 前面給出了在=x條件下的條件分布函數(shù)F|(y|x)，我們將F|(y|x)簡記為F(y|x)。考慮積分 。由于 是E()的積分表達式，那么將 理解為=x的條件下的條件數(shù)學(xué)期望是合理的，記為,2019/7/16,北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院,9,2019/7/16,北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院,10,二、關(guān)于給定-代數(shù)下的條件數(shù)學(xué)期望（不講）,為了幫助大家充分理解條件數(shù)學(xué)期望的概念，下面給出隨機變量的條件數(shù)學(xué)期望例。,僅對連續(xù)型隨機變量的情況給予說明：,2019/7/16,北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院,11,例1：隨機變量X、Y的取值為1,2，n，其概率分布為：,求E(Y|i)，E(X|j)。,解：首先求出條件分布律為：,那么：,2019/7/16,北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院,12,例2：設(shè)二維正態(tài)分布服從 N(0,1;0,1;r),試求f(y|x), f(x|y), E(Y|x), E(X|y)。 解：已知,2019/7/16,北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院,13,同理可得：,而：,同理可得：,從此例可以看出，E(Y|x)，E(X|y)分別是x和y的函數(shù)。 而E(Y|X)=rX； E(X|y)=rY。,2019/7/16,北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院,14,2019/7/16,北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院,15,2019/7/16,北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院,16,2019/7/16,北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院,17,第六節(jié) 幾個重要的不等式,一、Chebyshev不等式,2019/7/16,北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院,18,幾個重要的不等式,2019/7/16,北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院,19,2019/7/16,北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院,20,三、Cr-不等式,2019/7/16,北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院,21,2019/7/16,北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院,22,解,例,2019/7/16,北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院,23,解,例,2019/7/16,北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院,24,2019/7/16,北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院,25,解,例,2019/7/16,北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院,26,2019/7/16,北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院,27,2019/7/16,北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院,28,第四章 隨機變量的特征函數(shù),為什么要引入特征函數(shù)？,積分的逆運算是微分（或求導(dǎo)），而求導(dǎo)運算要比積分運算簡單得多，因此是否可將求數(shù)學(xué)期望的積分問題簡化為求導(dǎo)問題？,用分布函數(shù)求獨立隨機變量和的分布需要用卷積，是否可將卷積運算簡化為乘積運算？,2019/7/16,北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院,29,第一節(jié) 隨機變量的特征函數(shù),一、隨機變量的特征函數(shù),定義4.1.1,知特征函數(shù)的定義有意義。,2019/7/16,北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院,30,若為離散型隨機變量，其分布律為：,若為連續(xù)型隨機變量，分布函數(shù)為f(x)，則的特征函數(shù)為：,2019/7/16,北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院,31,例1,例2,2019/7/16,北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院,32,例3,例4,2019/7/16,北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院,33,例5,2019/7/16,北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院,34,另解：,2019/7/16,北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院,35,二、特征函數(shù)的性質(zhì),（1）,證明：,2019/7/16,北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院,36,（2）,2019/7/16,北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院,37,（3）,利用上述性質(zhì)，可求正態(tài)分布的特征函數(shù)如下