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3.3 解對初值的連續(xù)性和可微性定理,解對初值的連續(xù)性 解對初值和參數(shù)的連續(xù)性 解對初值的可微性,主要內(nèi)容,圖例分析(見右),解對初值的對稱性:,Q:當初值發(fā)生變化時,對應(yīng)的解是如何變化的? 當初始值微小變動時,方程的解變化是否也是很小呢？,G,按解的存在范圍是否有限,又分成下面兩個問題:,3.3.1 解關(guān)于初值得對稱性,證明,3.3.2 解對初值的連續(xù)依賴性,定義,設(shè)初值問題,一、解對初值的連續(xù)依賴性定義,初值問題,引理 如果函數(shù) 于某域 內(nèi)連續(xù)，且關(guān)于 滿足利普希茨條件（利普希茨常數(shù)為L），則對方程 的任意兩個解 及 ,在它們的公共存在區(qū)間內(nèi)成立著不等式 .其中 為所考慮區(qū)間內(nèi)的某一值。,于是,因此,兩邊取平方根即得,證明,則,二、定理1 (解對初值的連續(xù)依賴性定理),條件,結(jié)論,方程,思路分析,記積分曲線段S：,第一步:找區(qū)域D,使 ,且 在D上滿足Lips.條件.,G,(見下圖),由已知條件,對 ,存在以它為中心的圓 ,使 在其內(nèi)滿足Lips.條件,利普希茨常數(shù)為 .根據(jù)有限 覆蓋定理,存在N,當 時,有,對 ,記,則以 為半徑的圓,當其圓心從S的 左端點沿S 運動到右端點時,掃過 的區(qū)域即為符合條件的要找區(qū)域D,b,a,顯然 是 平面上的有界閉集.,第二步:證明 在a,b上有定義.,假定 利用引理及 的連續(xù)性可得:,第三步:證明,根據(jù)上面定理及方程的解關(guān)于自變量的連續(xù)性,顯然有:,三、定理2 (解對初值的連續(xù)性定理),條件,結(jié)論,方程,證明,令,3.3.3 解對初值的可微性,一、解對初值和參數(shù)的連續(xù)依賴定理,二、解對初值和參數(shù)的連續(xù)性定理,三、解對初值可微性定理,證明,即,和,于是,設(shè),則,即,是初值問題,的解,根據(jù)解對初值和參數(shù)的連續(xù)性定理,的解,不難求得,即,和,于是,即,是初值問題,的解.,根據(jù)解對初值和參數(shù)的連

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