級空間直角坐標(biāo)系、矢量、向量數(shù)量積、向量積.ppt

空間解析幾何與矢量代數(shù),一、空間直角坐標(biāo)系,二、向量的概念,三、向量的線性運(yùn)算,五、向量的模、方向角、投影,四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算,一、空間直角坐標(biāo)系,由三條互相垂直的數(shù)軸按右手規(guī)則,組成一個(gè)空間直角坐標(biāo)系.,坐標(biāo)原點(diǎn),坐標(biāo)軸,x軸(橫軸),y軸(縱軸),z 軸(豎軸),過空間一定點(diǎn) o ,坐標(biāo)面,卦限(八個(gè)),zox面,1. 空間直角坐標(biāo)系的基本概念,向徑,在直角坐標(biāo)系下,坐標(biāo)軸上的點(diǎn) P, Q , R ;,坐標(biāo)面上的點(diǎn) A , B , C,點(diǎn) M,特殊點(diǎn)的坐標(biāo) :,有序數(shù)組,(稱為點(diǎn) M 的坐標(biāo)),原點(diǎn) O(0,0,0) ;,坐標(biāo)軸 :,坐標(biāo)面 :,.,x,0,M點(diǎn)的對稱點(diǎn),關(guān)于xoy面:,(x,y,z) (x,y,-z),關(guān)于x軸:,(x,y,z) (x,-y,-z),Q,關(guān)于原點(diǎn):,(x,y,z) (-x,-y,-z),P,(x,y,-z),(x,-y,-z),(-x,-y,-z),M(x,y,z),R,表示法:,向量的模 :,向量的大小,二、向量的概念,向量:,(矢量).,既有大小, 又有方向的量稱為向量,向徑 (矢徑):,自由向量:,與起點(diǎn)無關(guān)的向量.,起點(diǎn)為原點(diǎn)的向量.,單位向量:,模為 1 的向量,零向量:,模為 0 的向量,有向線段 M1 M2 ,或 a ,規(guī)定: 零向量與任何向量平行 ;,記作,因平行向量可平移到同一直線上,故兩向量平行又稱,兩向量共線 .,若 k (3)個(gè)向量經(jīng)平移可移到同一平面上 ,則稱此 k,個(gè)向量共面 .,三、向量的線性運(yùn)算,1. 向量的加法,三角形法則:,平行四邊形法則:,運(yùn)算規(guī)律 :,交換律,結(jié)合律,三角形法則可推廣到多個(gè)向量相加 .,2. 向量的減法,三角不等式,3. 向量與數(shù)的乘法, 是一個(gè)數(shù) ,規(guī)定 :,可見,總之:,運(yùn)算律 :,結(jié)合律,分配律,因此,例1. 設(shè) M 為,解:,定理1.,設(shè) a 為非零向量 , 則,( 為唯一實(shí)數(shù)),4. 向量的坐標(biāo)表示,在空間直角坐標(biāo)系下,設(shè)點(diǎn) M,則,沿三個(gè)坐標(biāo)軸方向的分向量.,的坐標(biāo)為,四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算,設(shè),則,平行向量對應(yīng)坐標(biāo)成比例:,五、向量的模、方向角、投影,1. 向量的模與兩點(diǎn)間的距離公式,則有,由勾股定理得,因,得兩點(diǎn)間的距離公式:,對兩點(diǎn),與,例2. 在 z 軸上求與兩點(diǎn),等距,解: 設(shè)該點(diǎn)為,解得,故所求點(diǎn)為,及,思考:,如何求在 xoy 面上與A , B 等距離之點(diǎn)的軌跡方程?,離的點(diǎn) .,提示:,設(shè)動(dòng)點(diǎn)為,利用,得,且,2. 方向角與方向余弦,設(shè)有兩非零向量,任取空間一點(diǎn) O ,稱 =AOB (0 ) 為向量,的夾角.,類似可定義向量與軸, 軸與軸的夾角 .,與三坐標(biāo)軸的夾角 , , ,為其方向角.,方向角的余弦稱為其方向余弦.,方向余弦的性質(zhì):,例3. 已知兩點(diǎn),和,的模 、方向余弦和方向角 .,解:,計(jì)算向量,例4. 設(shè)點(diǎn) A 位于第一卦限,解: 已知,角依次為,求點(diǎn) A 的坐標(biāo) .,則,因點(diǎn) A 在第一卦限 ,故,于是,故點(diǎn) A 的坐標(biāo)為,向徑 OA 與 x 軸 y 軸的夾,備用題,解: 因,1. 設(shè),求向量,在 x 軸上的投影及在 y,軸上的分向量.,在 y 軸上的分向量為,故在 x 軸上的投影為,2.,設(shè),求以向量,行四邊形的對角線的長度 .,該平行四邊形的對角線的長度各為,對角線的長為,解：,為邊的平,三、向量的混合積,一、兩向量的數(shù)量積,二、兩向量的向量積,數(shù)量積、向量積、混合積,一、兩向量的數(shù)量積,沿與力夾角為,的直線移動(dòng),1. 定義,設(shè)向量,的夾角為 ,稱,數(shù)量積,(點(diǎn)積、內(nèi)積) .,故,2. 性質(zhì),為兩個(gè)非零向量,則有,3. 運(yùn)算律,(1) 交換律,(2) 結(jié)合律,(3) 分配律,事實(shí)上, 當(dāng),時(shí), 顯然成立 ;,4. 數(shù)量積的坐標(biāo)表示,設(shè),則,當(dāng),為非零向量時(shí),由于,兩向量的夾角公式, 得,例1. 已知三點(diǎn), AMB .,解:,則,求,故,例2. 已知向量,的夾角,且,解：,1. 定義,定義,向量,方向 :,(叉積、外積),記作,且符合右手規(guī)則,模 :,向量積 ,思考: 右圖三角形面積,S,二、兩向量的向量積,2. 性質(zhì),為非零向量, 則,3. 運(yùn)算律,(2) 分配律,(3) 結(jié)合律,證明:,4. 向量積的坐標(biāo)表示式,設(shè),則,向量積的行列式計(jì)算法,例3. 已知三點(diǎn),角形 ABC 的面積,解: 如圖所示,求三,三、向量的混合積,1. 定義,已知三向量,稱數(shù)量,混合積 .,幾何意義,為棱作平行六面體,底面積,高,故平行六面體體積為,則其,2. 混合積的坐標(biāo)表示,設(shè),3. 性質(zhì),(1) 三個(gè)非零向量,共面的充要條件是,(2) 輪換對稱性 :,例4. 證明四點(diǎn),共面 .,提示: 因,故 A , B , C , D 四點(diǎn)共面 .,