概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)2-4.ppt

一、概率密度的概念與性質(zhì),二、常見(jiàn)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布,三、小結(jié),第四節(jié) 連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度,一、概率密度的概念與性質(zhì),1.定義,1,證明,性質(zhì),證明,同時(shí)得以下計(jì)算公式,注意 對(duì)于任意可能值 a ,連續(xù)型隨機(jī)變量取 a 的概率等于零.即,證明,由此可得,連續(xù)型隨機(jī)變量取值落在某一 區(qū)間的概率與區(qū)間的開(kāi)閉無(wú)關(guān),若X是連續(xù)型隨機(jī)變量， X=a 是不 可能事件，則有,若 X 為離散型隨機(jī)變量,注意,連 續(xù) 型,離 散 型,解,例1,例2,故有,解,(1) 因?yàn)?X 是連續(xù)型隨機(jī)變量,二、常見(jiàn)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布,1. 均勻分布,均勻分布概率密度函數(shù)演示,均勻分布的意義,分布函數(shù),均勻分布分布函數(shù)圖形演示,解,由題意,R 的概率密度為,故有,例3 設(shè)電阻值 R 是一個(gè)隨機(jī)變量，均勻分布在 1100 求 R 的概率密度及 R 落在 950 1050 的概率,例4 設(shè)隨機(jī)變量 X 在 2, 5 上服從均勻分布, 現(xiàn) 對(duì) X 進(jìn)行三次獨(dú)立觀測(cè) ,試求至少有兩次觀測(cè)值 大于3 的概率.,X 的分布密度函數(shù)為,設(shè) A 表示“對(duì) X 的觀測(cè)值大于 3 的次數(shù)”,解,即 A= X 3 .,因而有,設(shè)Y 表示3次獨(dú)立觀測(cè)中觀測(cè)值大于3的次數(shù),則,2. 指數(shù)分布,指數(shù)分布密度 函數(shù)圖形演示,某些元件或設(shè)備的壽命服從指數(shù)分布.例如無(wú)線(xiàn)電元件的壽命 、電力設(shè)備的壽命、動(dòng)物的壽命等都服從指數(shù)分布.,應(yīng)用與背景,分布函數(shù),指數(shù)分布分布函數(shù)圖形演示,例5 設(shè)某類(lèi)日光燈管的使用壽命 X 服從參數(shù)為 =2000的指數(shù)分布(單位:小時(shí)). (1)任取一只這種燈管, 求能正常使用1000小時(shí)以 上的概率. (2) 有一只這種燈管已經(jīng)正常使用了1000 小時(shí)以 上,求還能使用1000小時(shí)以上的概率.,X 的分布函數(shù)為,解,指數(shù)分布的重要性質(zhì) :“無(wú)記憶性”.,3. 正態(tài)分布(或高斯分布),高斯資料,正態(tài)概率密度函數(shù)的幾何特征,正態(tài)分布密度函數(shù)圖形演示,正態(tài)分布的分布函數(shù),正態(tài)分布分布函數(shù)圖形演示,正態(tài)分布是最常見(jiàn)最重要的一種分布,例如 測(cè)量誤差, 人的生理特征尺寸如身高、體重等 ; 正常情況下生產(chǎn)的產(chǎn)品尺寸:直徑、長(zhǎng)度、重量 高度等都近似服從正態(tài)分布.,正態(tài)分布的應(yīng)用與背景,正態(tài)分布下的概率計(jì)算,原函數(shù)不是 初等函數(shù),方法一:利用MATLAB軟件包計(jì)算(演示),方法二:轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布查表計(jì)算,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度表示為,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)表示為,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的圖形,解,例6,證明,解,例7,例8 證明,證明,(1) 所求概率為,解,例9,三、小結(jié),2. 常見(jiàn)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布,正態(tài)分布有極其廣泛的實(shí)際背景, 例如測(cè)量 誤差, 人的生理特征尺寸如身高、體重等 ,正常 情況下生產(chǎn)的產(chǎn)品尺寸:直徑、長(zhǎng)度、重量高度, 炮彈的彈落點(diǎn)的分布等, 都服從或近似服從正態(tài) 分布.可以說(shuō),正態(tài)分布是自然界和社會(huì)現(xiàn)象中最 為常見(jiàn)的一種分布, 一個(gè)變量如果受到大量微小 的、獨(dú)立的隨機(jī)因素的影響, 那么這個(gè)變量一般 是一個(gè)正態(tài)隨機(jī)變量.,3. 正態(tài)分布是概率論中最重要的分布,另一方面,有些分布(如二項(xiàng)分布、泊松分布)的極 限分布是正態(tài)分布.所以,無(wú)論在實(shí)踐中,還是在理 論上,正態(tài)分布是概率論中最重要的一種分布.,二項(xiàng)分布向正態(tài)分布的轉(zhuǎn)換,Born: 30 Apr. 1777 in Brunswick, Duchy of Brunswick (now Germany) Died