概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課件第五周2.ppt

第三章 多維隨機(jī)變量及其分布,3.1 二維隨機(jī)變量,在很多實(shí)際問題中，需要考慮兩個(gè)或兩個(gè)以上的隨機(jī)變量。 先看兩個(gè)隨機(jī)變量： 二維隨機(jī)變量（X,Y)的性質(zhì)不僅與X及Y 有關(guān)，而且還依賴于這兩個(gè)隨機(jī)變量的相互關(guān)系。,聯(lián)合分布函數(shù)與邊緣分布函數(shù),1定義,設(shè)（X,Y)是二維隨機(jī)變量，對(duì)任意的實(shí)數(shù) x, y, 令 F(x, y)=PXx, Yy . 則稱 F(x, y)為（X,Y）的聯(lián)合分布函數(shù)。,分布函數(shù)的幾何意義,(x, y),2F(x, y)的性質(zhì),性質(zhì)1 對(duì)于x 和y, F(x, y)都是單調(diào)不減函數(shù)，即若x1 x2,對(duì)任意的實(shí)數(shù)y，則有 F(x1,y) F(x2, y)； 若y1y2,對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，則有 F(x,y1) F(x,y2),性質(zhì)2 對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x, y , 均有 0 F(x, y ) 1,性質(zhì)3 對(duì)于x 和y，F(xiàn)(x, y)都是右連續(xù)的，即對(duì)任意的實(shí)數(shù)x0和y0，均有,F(x, y)=F(x0 , y),F( x, y )=F(x, y0 ),性質(zhì)4 若x1 x2, y1y2, 則 Px1X x2, y1Y y2 = F(x2, y2)F(x2 ,y1)F(x1,y2)+F(x1, y1),幾何意義如下:,3邊緣分布函數(shù) 記(X,Y )的分量X，Y 的分布函數(shù)分別為FX(x)和FY(y)稱它們?yōu)閄，Y 的邊緣分布函數(shù),4. 聯(lián)合分布函數(shù)與邊緣分布函數(shù)的關(guān)系,FX(x)=PX x=PX x,- Y+ =F(x,+ )，,FY (y)=PY y=P- X+,Y y =F(+, y),例1： 設(shè),求 (X, Y )的邊緣分布函數(shù)。,二維離散型隨機(jī)變量及其 聯(lián)合分布律,如果二維隨機(jī)變量(X, Y)全部可能取到的不同的值是有限對(duì)或可列無限多對(duì)，則稱(X, Y)是離散型的隨機(jī)變量,設(shè)二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)所有可能的取值為 (xi , yj), i，j=1,2,., 取這些值的概率為,聯(lián)合分布律,pij = PX=xi,Y=yj i, j=1,2,稱 上式為(X,Y)的聯(lián)合分布律.,性質(zhì),(1) pij 0，i, j=1,2,(2),問：如何用表格表示(X, Y)分布情況？ 答:見書p56. 并且有例子.,二維連續(xù)型隨機(jī)變量及其聯(lián)合概率分布,定義 設(shè)二維隨機(jī)變量(X , Y )的分布函數(shù)為F(x, y)。若存在非負(fù)函數(shù)f (x , y), 對(duì)任意實(shí)數(shù)x , y 有 則稱(X , Y )為連續(xù)型二維隨機(jī)變量，且稱函數(shù) f (x , y)為二維隨機(jī)變量(X , Y )的聯(lián)合密度函數(shù)，簡稱為聯(lián)合密度或概率密度。,性質(zhì):,(1),(2),若f (x , y)在點(diǎn)(x , y)處連續(xù)，則,(3),(4) 設(shè)G是xOy平面上的一個(gè)區(qū)域，則有,在幾何上z = f (x , y)表示空間的一張曲面。 由性質(zhì)(2)知，介于該曲面和xy平面之間的空間區(qū)域的體積是1。 由性質(zhì)(4)知, 的值等于以G為底，以曲面z = f (x , y)為頂?shù)那斨w的體積。,pi. = PX = x i , i=1, 2, p.j = PY = y j , j=1, 2, ,稱上面兩式分別為(X,Y)關(guān)于X 和Y 的邊緣分布律， 簡稱為(X,Y)的邊緣分布律。,若(X,Y)為離散型隨機(jī)變量, 則X,Y均為離散型 隨機(jī)變量 。記分量X 和Y 的分布律分別為,二維離散型隨機(jī)變量的邊緣分布律,聯(lián)合分布律與邊緣分布律的關(guān)系,設(shè)二維離散型隨機(jī)變量(X,Y) 的聯(lián)合分布律為 pi j = PX = x i , Y = y i i , j=1,2,則,二維連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣密度函數(shù),2. 若(X, Y)是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，其聯(lián)合密度函數(shù)是f (x , y)，此時(shí)X 和Y也是連續(xù)型隨機(jī)變量，分別稱X 和Y 的概率密度函數(shù)fX(x)和fY(y)為(X, Y)關(guān)于X和Y 的邊緣密度函數(shù), 簡稱為邊緣密度。且有,1. 若(X,Y)為連續(xù)型隨機(jī)變量, 則X,Y均為連續(xù)型隨機(jī)變量,(3) f (x, y)與 fX (x), fY (y)之間的關(guān)系,例2 設(shè)隨機(jī)變量X 和Y 具有聯(lián)合分布,求X 和Y 邊緣密度 (我們分析被積函數(shù)在xy平面上不為0 的區(qū)域如下:),(1,1),x,y,例3 設(shè)(X,Y)的概率密度是,求 (1) c的值； （2）兩個(gè)邊緣密度。,=5c/24=1,c =24/5,解：(1),(分析被積函數(shù)在xy平面上不為0 的區(qū)域),例3(續(xù)) 設(shè)(X,Y)的概率密度是,解: (2),求 (1) c的值; (2) 兩個(gè)邊緣密度 .,例3(續(xù)) 設(shè)(X,Y)的概率密度是,解: (2),求 (1) c的值; (2) 兩個(gè)邊緣密度 .,即,(4). 二維均勻分布,設(shè)D為平面上的有界區(qū)域, D的面積大于零. 若二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合密度為,則稱(X,Y)在D上服從均勻分布,向平面上有界區(qū)域D上任投一質(zhì)點(diǎn)，若質(zhì)點(diǎn)落在D內(nèi)任一小區(qū)域B的概率與小區(qū)域的面積成正比，而與B的形狀及位置無關(guān). 則質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)（ X,Y）在D上服從均勻分