概率論與數理統計課件第五周2.ppt

第三章 多維隨機變量及其分布,3.1 二維隨機變量,在很多實際問題中，需要考慮兩個或兩個以上的隨機變量。 先看兩個隨機變量： 二維隨機變量（X,Y)的性質不僅與X及Y 有關，而且還依賴于這兩個隨機變量的相互關系。,聯合分布函數與邊緣分布函數,1定義,設（X,Y)是二維隨機變量，對任意的實數 x, y, 令 F(x, y)=PXx, Yy . 則稱 F(x, y)為（X,Y）的聯合分布函數。,分布函數的幾何意義,(x, y),2F(x, y)的性質,性質1 對于x 和y, F(x, y)都是單調不減函數，即若x1 x2,對任意的實數y，則有 F(x1,y) F(x2, y)； 若y1y2,對任意的實數x，則有 F(x,y1) F(x,y2),性質2 對于任意的實數x, y , 均有 0 F(x, y ) 1,性質3 對于x 和y，F(x, y)都是右連續(xù)的，即對任意的實數x0和y0，均有,F(x, y)=F(x0 , y),F( x, y )=F(x, y0 ),性質4 若x1 x2, y1y2, 則 Px1X x2, y1Y y2 = F(x2, y2)F(x2 ,y1)F(x1,y2)+F(x1, y1),幾何意義如下:,3邊緣分布函數 記(X,Y )的分量X，Y 的分布函數分別為FX(x)和FY(y)稱它們?yōu)閄，Y 的邊緣分布函數,4. 聯合分布函數與邊緣分布函數的關系,FX(x)=PX x=PX x,- Y+ =F(x,+ )，,FY (y)=PY y=P- X+,Y y =F(+, y),例1： 設,求 (X, Y )的邊緣分布函數。,二維離散型隨機變量及其 聯合分布律,如果二維隨機變量(X, Y)全部可能取到的不同的值是有限對或可列無限多對，則稱(X, Y)是離散型的隨機變量,設二維離散型隨機變量(X,Y)所有可能的取值為 (xi , yj), i，j=1,2,., 取這些值的概率為,聯合分布律,pij = PX=xi,Y=yj i, j=1,2,稱 上式為(X,Y)的聯合分布律.,性質,(1) pij 0，i, j=1,2,(2),問：如何用表格表示(X, Y)分布情況？ 答:見書p56. 并且有例子.,二維連續(xù)型隨機變量及其聯合概率分布,定義 設二維隨機變量(X , Y )的分布函數為F(x, y)。若存在非負函數f (x , y), 對任意實數x , y 有 則稱(X , Y )為連續(xù)型二維隨機變量，且稱函數 f (x , y)為二維隨機變量(X , Y )的聯合密度函數，簡稱為聯合密度或概率密度。,性質:,(1),(2),若f (x , y)在點(x , y)處連續(xù)，則,(3),(4) 設G是xOy平面上的一個區(qū)域，則有,在幾何上z = f (x , y)表示空間的一張曲面。 由性質(2)知，介于該曲面和xy平面之間的空間區(qū)域的體積是1。 由性質(4)知, 的值等于以G為底，以曲面z = f (x , y)為頂的曲頂柱體的體積。,pi. = PX = x i , i=1, 2, p.j = PY = y j , j=1, 2, ,稱上面兩式分別為(X,Y)關于X 和Y 的邊緣分布律， 簡稱為(X,Y)的邊緣分布律。,若(X,Y)為離散型隨機變量, 則X,Y均為離散型 隨機變量 。記分量X 和Y 的分布律分別為,二維離散型隨機變量的邊緣分布律,聯合分布律與邊緣分布律的關系,設二維離散型隨機變量(X,Y) 的聯合分布律為 pi j = PX = x i , Y = y i i , j=1,2,則,二維連續(xù)型隨機變量的邊緣密度函數,2. 若(X, Y)是二維連續(xù)型隨機變量，其聯合密度函數是f (x , y)，此時X 和Y也是連續(xù)型隨機變量，分別稱X 和Y 的概率密度函數fX(x)和fY(y)為(X, Y)關于X和Y 的邊緣密度函數, 簡稱為邊緣密度。且有,1. 若(X,Y)為連續(xù)型隨機變量, 則X,Y均為連續(xù)型隨機變量,(3) f (x, y)與 fX (x), fY (y)之間的關系,例2 設隨機變量X 和Y 具有聯合分布,求X 和Y 邊緣密度 (我們分析被積函數在xy平面上不為0 的區(qū)域如下:),(1,1),x,y,例3 設(X,Y)的概率密度是,求 (1) c的值； （2）兩個邊緣密度。,=5c/24=1,c =24/5,解：(1),(分析被積函數在xy平面上不為0 的區(qū)域),例3(續(xù)) 設(X,Y)的概率密度是,解: (2),求 (1) c的值; (2) 兩個邊緣密度 .,例3(續(xù)) 設(X,Y)的概率密度是,解: (2),求 (1) c的值; (2) 兩個邊緣密度 .,即,(4). 二維均勻分布,設D為平面上的有界區(qū)域, D的面積大于零. 若二維隨機變量(X,Y)的聯合密度為,則稱(X,Y)在D上服從均勻分布,向平面上有界區(qū)域D上任投一質點，若質點落在D內任一小區(qū)域B的概率與小區(qū)域的面積成正比，而與B的形狀及位置無關. 則質點的坐標（ X,Y）在D上服從均勻分