江蘇省南京市六校聯(lián)合體2018_2019學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末聯(lián)考試題.docx

江蘇省南京市六校聯(lián)合體2018-2019學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末聯(lián)考試題參考公式：樣本數(shù)據(jù)的方差其中.一、填空題:本大題共14小題，每小題5分，共計(jì)70分。1.復(fù)數(shù)z=(l+2i)(3-i)，其中i為虛數(shù)單位，則z的實(shí)部是 .2.為調(diào)查某髙校學(xué)生對“一帶一路”政策的了解情況，現(xiàn)采用分層抽樣的方法抽取一個容量為500的樣本，其中大一年級抽取200人，大二年級抽取100人。若其他年級共有學(xué)生2000 人，則該校學(xué)生總?cè)藬?shù)是.3.下圖是一個算法流程圖,若輸入x的值為2,則輸出y的值為.4.為了了解一片經(jīng)濟(jì)林的生長情況，隨機(jī)抽測了其中60株樹木的底部周長（單位：cm),所得數(shù)據(jù)均在區(qū)間80, 130上，其頻率分布直方圖如圖所示，則在抽測的60株樹木中，有 株樹木的底部周長大于110 cm.5.已知一組數(shù)據(jù)6, 7, 8, x，y的平均數(shù)是8,且xy= 90,則該組數(shù)據(jù)的方差為 6.某種產(chǎn)品每箱裝6個，其中有4個合格，2個不合格，現(xiàn)質(zhì)檢人員從中隨機(jī)抽取2個進(jìn)行檢測，則檢測出至少有一個不合格產(chǎn)品的概率是 7.執(zhí)行右圖所示的偽代碼，則輸出的5的值是_.8.在區(qū)間2, 4上隨機(jī)地取一個實(shí)數(shù)x，若實(shí)數(shù)x滿足的概率為,則 9.已知命題任意，恒成立，命題方程表示雙曲線。若“”為真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 .10.在的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為.(用數(shù)字作答）11.已知雙曲線 (a0,b0)的左頂點(diǎn)A和右焦點(diǎn)F到一條漸近線的距離之比為1:2, 則該雙曲線的漸近線方程為.12.場晚會共有7個節(jié)目丄B、C、D、E、F、G,要求第一個節(jié)目不能排G，節(jié)目A必須排在前4個，節(jié)目D必須后3個，則有 種不同的排法。(用數(shù)字作答）13.觀察下列數(shù)表，如此繼續(xù)下去，則此表最后一行的數(shù)為 .(用數(shù)字作答） 14.己知函數(shù)，若函數(shù)恰有4個不同的零點(diǎn)， 則的取值范圍為 .二、解答題:本大體共6小題，共計(jì)90分.請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明, 證明過程或演算步驟。15.(本小題滿分14分）己知矩陣.（1）求A2.（2）求矩陣A的特征值和特征向量。16.(本小題滿分14分)如圖，在棱長為3的正方體ABCD-A1B1C1D1中，A1E=CF=1.（1）求異面直線所成角的余弦值；（2）求二面角B1EBF的余弦值.17.(本小題滿分14分） 為了紀(jì)念國慶70周年，學(xué)校決定舉辦班級黑板報(bào)主題設(shè)計(jì)大賽，高二某班的同學(xué)將班級長AB=4米、寬BC=2米的黑板做如圖所示的區(qū)域劃分：取AB中點(diǎn)F，連接CF,以AB為對稱軸，過A、C兩點(diǎn)作一拋物線弧，在拋物線弧上取一點(diǎn)P，作PE丄AB垂足為E.作PG/AB交CF于點(diǎn)G.在四邊形PEFG內(nèi)設(shè)計(jì)主題LOGO,其余區(qū)域用于文字排版，設(shè)PE的長度為t米.（1）求PG長度的表達(dá)式，并寫出定義域；（2）設(shè)四邊形PEFG面積為S，求當(dāng)為何值時(shí)，S取最大值，最大為多少平方米？18.(本小題滿分16分） 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓C: (a0,b0)的離心率為，點(diǎn)(2, 1)在橢圓C上.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線與圓O: 相切，與橢圓C相交于P，Q兩點(diǎn).若直線過橢圓C的右焦點(diǎn)F，且與圓O切于第一象限，求OPQ的面積；求證：的值為定值.19.(本小題滿分16分） 已知數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，.(1)若,求a2，a3, a4的值：猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式知，并用數(shù)學(xué)歸納法證明; (2)若，證明：當(dāng)時(shí)，.20. (本小題滿分16分） 己知函數(shù)有極值，且函數(shù)的極值點(diǎn)是的極值點(diǎn)，其中e是自然對數(shù)的底數(shù).（極值點(diǎn)是指函數(shù)取得極值時(shí)對應(yīng)的自變量的值).(1)若，求函數(shù)在處的切線方程；(2)求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；(3)當(dāng)a0時(shí)，若函數(shù)的最小值為，證明：/南京市六校聯(lián)合體高二年級期末考試試卷 數(shù)學(xué)參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn) 2019.06一、填空題（本大題共14小題，每小題5分，計(jì)70分. 不需寫出解答過程，請把答案寫在答題紙的指定位置上）15 25000 35 418 52 6 7110 8290,1) 106 11yx 121224 132816 1416,0)二、解答題（本大題共6小題，計(jì)90分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟，請把答案寫在答題紙的指定區(qū)域內(nèi)）15(本小題滿分14分) (1)A2 6分(2)矩陣A的特征多項(xiàng)式f()(3)( 4)6(1)( 6) 8分令f()0得11，26 9分11時(shí) 解得xy，取y2得11分26時(shí) 解得xy，取y1得13分矩陣A的特征值為11，26，分別對應(yīng)特征向量，14分（注：特征向量答案不唯一，只要共線即可）16. (本小題滿分14分)解答 (1) 因?yàn)镈A，DC，DD1兩兩垂直，所以分別以DA，DC，DD1所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示因?yàn)槔忾L為 3, A1ECF1，則D(0,0,0)，A(3,0,0)，B(3,3,0)，D1(0,0,3)，C1(0,3,3)，E(3,0,2)，F(xiàn)(0,3,1)所以(3,3,3)，(3,0,1)， 3分所以cos， ，6分所以異面直線 AC1與 D1E 所成角的余弦值是. 7分(2)平面的法向量是 8分設(shè)平面 BED1F的法向量是n(x，y，z)，又因?yàn)?0，3,2)，(3,0,1)，n，n，所以n0，n0，即令z3，則x1，y2，所以n(1,2,3)11分所以， 13分所以二面角B1-EB-F的余弦值是 14分17(本小題滿分14分)解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在的直線為軸，軸建立平面直角坐標(biāo)系.所以,所以直線為 2分因?yàn)閽佄锞€是以AB 為對稱軸， 設(shè)拋物線的方程為， 因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以，所以 4分因?yàn)?，所以，所?7分因?yàn)?，所以四邊形的面積 9分設(shè)，由，解得： 11分t+0-極大值來源:Z_xx_k.Com 所以當(dāng)t=1時(shí)，g(t)取極大值且是最大值g(t)max 13分答：當(dāng)時(shí)，四邊形面積取得最大值為 14分（注：不答扣一分）18(本小題滿分16分)解：（1）由題意，得，1，解得a26，b23 2分所以橢圓的方程為1 3分（2）橢圓C的右焦點(diǎn)F(，0)設(shè)切線方程為yk(x)，即kxyk0，所以，解得k，所以切線方程為y(x) 5分把切線方程 y(x)代入橢圓C的方程，消去y得5x28x60設(shè)P(x1，y1) ，Q(x2，y2)，則有x1x2 由橢圓定義可得，PQPFFQ2ae( x1x2)27分所以，OPQ的面積為 8分解法一：(i)若直線PQ的斜率不存在，則直線PQ的方程為x或x當(dāng)x時(shí)，P (，)，Q(，)因?yàn)?，所以O(shè)POQ9分當(dāng)x時(shí)，同理可得OPOQ。 由等面積法可知 10分(ii) 若直線PQ的斜率存在，設(shè)直線PQ的方程為ykxm，即kxym0因?yàn)橹本€與圓相切，所以，即m22k22 12分將直線PQ方程代入橢圓方程，得(12k2) x24kmx2m260.設(shè)P(x1，y1) ，Q(x2，y2)，則有x1x2，x1x213分因?yàn)閤1x2y1y2x1x2(kx1m)(kx2m)(1k2)x1x2km(x1x2)m2(1k2)km()m2將m22k22代入上式可得0， 15分所以O(shè)POQ由等面積法可知 為定值 16分解法二：設(shè)切點(diǎn)T(x0，y0)，則其切線方程為x0xy0y20，且xy2(i)當(dāng)y00時(shí)，則直線PQ的直線方程為x或x當(dāng)x時(shí)，P (，)，Q(，)因?yàn)?，所以O(shè)POQ當(dāng)x時(shí)，同理可得OPOQ 由等面積法可知 為定值 10分(ii) 當(dāng)y00時(shí)，由方程組消去y得(2xy)x28x0x86y0設(shè)P(x1，y1) ，Q(x2，y2)，則有x1x2，x1x2 12分所以x1x2y1y2x1x2因?yàn)閤y2，代入上式可得0，所以O(shè)POQ15分綜上所述，OPOQ 由等面積法可知 為定值 16分19(本小題滿分16分)解析： (1) 當(dāng)m=2時(shí)，即 當(dāng)n=2時(shí)，a2=341分當(dāng)n=3時(shí)，a3=15162分當(dāng)n=4時(shí)，a4=2552563分由此猜想：an=22n-1-122n-1=1-122n-1證明如下：當(dāng)n=1時(shí)，a1=1-12=12，成立；4分假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，猜想也成立，即ak=22k-1-122k-1=1-122k-1,則當(dāng)n=k+1時(shí)，=1-122k-11+122k-1=1-122k-12=1-122k. 7分即當(dāng)n=k+1時(shí)，猜想也成立。由得，猜想成立，即an=22n-1-122n-1=1-122n-1.() 8分(2) 當(dāng)m=1時(shí)，即當(dāng)n=2時(shí)，由知不等式成立。10分假設(shè)當(dāng)n=k(k鈮?)時(shí)，命題也成立，即.由12分=k+1k+22k+1k2+4k+3=k+1k+1k+3=1k+1+215分即當(dāng)n=k+1時(shí)，命題也成立。由得，原命題成立，即當(dāng)。16分20(本小題滿分16分)解：（1）當(dāng)a1時(shí)，f(x)(x1)ex，f (x)(x2)ex，f(1)2e，f (1)3e，所以切線方程為y3e xe 2分（2）因?yàn)椋?，解?列表如下.單調(diào)減極小值單調(diào)增所以時(shí)，取得極小值. 4分因?yàn)?，由題意可知，且所以，化簡得， 6分由，得.所以，. 7分（2）因?yàn)?，所?9分記，則，令，解得.列表如下.單調(diào)減極小值單調(diào)增所以時(shí)，取得極小值，也是最小值，此時(shí)，. 11分令，解得.列表如下.單調(diào)減極小值單調(diào)增所以時(shí)，取得極小值，也是最小值.所以. 13分令，則，記，則，.因?yàn)?，所以，所以單調(diào)遞增.所以，所以. 16分南京市六校聯(lián)合體高二年級期末考試試卷 數(shù)學(xué)附加題參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn) 2019.0621A（1）解得a1；b0 4分（2）由（1）知MTM：設(shè)直線l上任意一點(diǎn)P(x0，y0)經(jīng)矩陣M變換為P(x，y)則 7分2x4y102(2x0y0)4y010即4x06y010直線l的方程為4x6y10 10分21B解：將直線的極坐標(biāo)方程化直角坐標(biāo)系方程為 2分將曲線C的參數(shù)方程化為普通方程可得： 5分由得，解得或，又，所以，所以直線與曲線C的交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為（1,1）. 10分注：結(jié)果多一解的扣2分21C解 因?yàn)檎龜?shù)a，b，c滿足a+b+c=1，所以，5分即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，原式取最小值1 10分22（本小題滿分10分）解：（1）設(shè)“選出的3名同學(xué)是來自不同班級”為事件A，則P(A)=C21C21C61+C21C21C62+C63C103=1315. 4分答：選出的3名同學(xué)是來自不同班級的概率為12.（2）隨機(jī)變量的所有可能值為 PX=0=C30C73C103=724, 5分 P(X=1)=C31C72C103=2140,