高中數(shù)學(xué)第一章常用邏輯用語(yǔ)1.1命題及其關(guān)系1.1.2_1.1.3四種命題四種命題間的相互關(guān)系學(xué)案.docx

1.1.2四種命題1.1.3四種命題間的相互關(guān)系學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解命題的原命題、逆命題、否命題與逆否命題.2.理解四種命題之間的關(guān)系，會(huì)利用互為逆否命題的等價(jià)關(guān)系判斷命題的真假知識(shí)點(diǎn)一四種命題的概念思考分析下列四個(gè)命題，請(qǐng)指出命題(1)的條件和結(jié)論分別與其它三個(gè)命題的條件和結(jié)論間的關(guān)系(1)若，則sinsin；(2)若sinsin，則；(3)若，則sinsin；(4)若sinsin，則.答案命題(1)的條件和結(jié)論與命題(2)的條件和結(jié)論恰好互換了命題(1)的條件與結(jié)論恰好是命題(3)條件的否定和結(jié)論的否定命題(1)的條件和結(jié)論恰好是命題(4)結(jié)論的否定和條件的否定梳理(1)四種命題的概念對(duì)于兩個(gè)命題，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和條件，那么把這樣的兩個(gè)命題叫做互逆命題，如果恰好是另一個(gè)命題的條件的否定和結(jié)論的否定，那么把這樣的兩個(gè)命題叫做互否命題，如果恰好是另一個(gè)命題結(jié)論的否定和條件的否定，那么把這樣的兩個(gè)命題叫做互為逆否命題，把第一個(gè)叫做原命題時(shí)，另三個(gè)可分別稱為原命題的逆命題、否命題、逆否命題(2)四種命題結(jié)構(gòu)知識(shí)點(diǎn)二四種命題之間的相互關(guān)系知識(shí)點(diǎn)三四種命題的真假性之間的關(guān)系思考如果原命題是真命題，那么它的逆命題、否命題、逆否命題一定是真命題嗎？答案原命題是真命題，其逆否命題一定是真命題；而逆命題、否命題不一定是真命題梳理(1)兩個(gè)命題互為逆否命題，它們有相同真假性；(2)兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒(méi)有關(guān)系1任何一個(gè)命題都有逆命題、否命題和逆否命題()2兩個(gè)互逆命題的真假性相同()3四種形式的命題中，真命題的個(gè)數(shù)為0或2或4.()類型一四種命題的概念命題角度1四種命題的概念例1寫(xiě)出下列命題的逆命題、否命題和逆否命題(1)若xA，則x(AB)；(2)若a，b都是偶數(shù)，則ab是偶數(shù)；(3)在ABC中，若ab，則AB.考點(diǎn)四種命題題點(diǎn)四種命題概念的理解解(1)逆命題：若x(AB)，則xA.否命題：若xA，則x(AB)逆否命題：若x(AB)，則xA.(2)逆命題：若ab是偶數(shù)，則a，b都是偶數(shù)否命題：a，b不都是偶數(shù)，則ab不是偶數(shù)逆否命題：若ab不是偶數(shù)，則a，b不都是偶數(shù)(3)逆命題：在ABC中，若AB，則ab.否命題：在ABC中，若ab，則AB.逆否命題：在ABC中，若AB，則ab.反思與感悟(1)寫(xiě)命題的四種形式時(shí)，首先要找出命題的條件和結(jié)論，然后寫(xiě)出命題的條件的否定和結(jié)論的否定，再根據(jù)四種命題的結(jié)構(gòu)寫(xiě)出所求命題(2)在寫(xiě)命題時(shí)，為了使句子更通順，可以適當(dāng)?shù)靥砑右恍┰~語(yǔ)，但不能改變條件和結(jié)論跟蹤訓(xùn)練1命題“若函數(shù)f(x)logax(a0，a1)在其定義域內(nèi)是減函數(shù)，則loga20”的逆否命題是()A若loga20，a1)，則函數(shù)f(x)logax(a0，a1)在其定義域內(nèi)不是減函數(shù)B若loga20(a0，a1)，則函數(shù)f(x)logax(a0，a1)在其定義域內(nèi)不是減函數(shù)C若loga20，a1)，則函數(shù)f(x)logax(a0，a1)在其定義域內(nèi)是減函數(shù)D若loga20(a0，a1)，則函數(shù)f(x)logax(a0，a1)在其定義域內(nèi)是減函數(shù)考點(diǎn)四種命題題點(diǎn)四種命題概念的理解答案B解析直接根據(jù)逆否命題的定義，將其條件與結(jié)論進(jìn)行否定，再互換，值得注意的是“是減函數(shù)”的否定不能寫(xiě)成“是增函數(shù)”，而應(yīng)寫(xiě)成不是減函數(shù)命題角度2四種命題的相互關(guān)系例2若命題p：“若xy0，則x，y互為相反數(shù)”的否命題為q，命題q的逆命題為r，則r與p的逆命題的關(guān)系是()A互為逆命題B互為否命題C互為逆否命題D同一命題考點(diǎn)四種命題的相互關(guān)系題點(diǎn)四種命題相互關(guān)系的應(yīng)用答案B解析已知命題p：若xy0，則x，y互為相反數(shù)命題p的否命題q為：若xy0，則x，y不互為相反數(shù)，命題q的逆命題r為：若x，y不互為相反數(shù)，則xy0，r是p的逆否命題，r是p的逆命題的否命題，故選B.反思與感悟判斷四種命題之間四種關(guān)系的兩種方法(1)利用四種命題的定義判斷(2)巧用“逆、否”兩字進(jìn)行判斷，如“逆命題”與“逆否命題”中不同有“否”一個(gè)字，是互否關(guān)系；而“逆命題”與“否命題”中不同有“逆、否”二字，其關(guān)系為逆否關(guān)系跟蹤訓(xùn)練2已知命題p的逆命題是“若實(shí)數(shù)a，b滿足a1且b2，則abbc2，則ab”的逆命題其中是真命題的是_考點(diǎn)四種命題的真假判斷題點(diǎn)利用四種命題的關(guān)系判斷真假答案解析“若xy1，則x，y互為倒數(shù)”的逆命題是“若x，y互為倒數(shù)，則xy1”，是真命題；“四條邊相等的四邊形是正方形”的否命題是“四條邊不都相等的四邊形不是正方形”，是真命題；“梯形不是平行四邊形”本身是真命題，所以其逆否命題也是真命題；“若ac2bc2，則ab”的逆命題是“若ab，則ac2bc2”，是假命題故填.反思與感悟要判斷四種命題的真假：首先，要熟練掌握四種命題的相互關(guān)系，注意它們之間的相互性；其次，利用其他知識(shí)判斷真假時(shí)，一定要對(duì)有關(guān)知識(shí)熟練掌握跟蹤訓(xùn)練3下列命題為真命題的是()“正三角形都相似”的逆命題；“若m0，則x22xm0有實(shí)根”的逆否命題；“若x是有理數(shù)，則x是無(wú)理數(shù)”的逆否命題ABCD考點(diǎn)四種命題的真假判斷題點(diǎn)利用四種命題的關(guān)系判斷真假答案B解析原命題的逆命題為“若兩個(gè)三角形相似，則這兩個(gè)三角形都是正三角形”，故為假命題原命題的逆否命題為“若x22xm0無(wú)實(shí)根，則m0”方程無(wú)實(shí)根，判別式44m0，m1，即m0成立，故為真命題原命題的逆否命題為“若x不是無(wú)理數(shù)，則x不是有理數(shù)”x不是無(wú)理數(shù)，x是有理數(shù)又是無(wú)理數(shù)，x是無(wú)理數(shù)，不是有理數(shù)，故為真命題正確的命題為，故選B.類型三等價(jià)命題的應(yīng)用例4判斷命題“已知a，x為實(shí)數(shù)，若關(guān)于x的不等式x2(2a1)xa220的解集非空，則a1”的逆否命題的真假考點(diǎn)四種命題的相互關(guān)系題點(diǎn)逆否證法解方法一原命題的逆否命題：已知a，x為實(shí)數(shù)，若a1，則關(guān)于x的不等式x2(2a1)xa220的解集為，判斷如下：二次函數(shù)yx2(2a1)xa22的開(kāi)口向上，令x2(2a1)xa220，則(2a1)24(a22)4a7.因?yàn)閍1，所以4a71，所以原命題為真，故其逆否命題為真引申探究判斷命題“已知a，x為實(shí)數(shù)，若關(guān)于x的不等式x2(2a1)xa220的解集為R，則a0的解集為R，且二次函數(shù)yx2(2a1)xa22的開(kāi)口向上，所以(2a1)24(a22)4a70，所以a0，則方程x2xm0有實(shí)根”的逆否命題是()A若方程x2xm0有實(shí)根，則m0B若方程x2xm0有實(shí)根，則m0C若方程x2xm0沒(méi)有實(shí)根，則m0D若方程x2xm0沒(méi)有實(shí)根，則m0考點(diǎn)四種命題題點(diǎn)四種命題概念的理解答案D解析原命題為“若p，則q”，則其逆否命題為“若綈q，則綈p”所求命題為“若方程x2xm0沒(méi)有實(shí)根，則m0”2下命題中為真命題的是()A命題“若a，b都大于0，則ab0”的逆命題B命題“若x1，則x2x20”的否命題C命題“若xy，則x|y|”的逆命題D命題“若tanx，則x”的逆否命題考點(diǎn)四種命題的真假判斷題點(diǎn)利用四種命題的關(guān)系判斷真假答案C解析對(duì)于A，命題“若a，b都大于0，則ab0”的逆命題是“若ab0，則a，b都大于0”，是假命題，如a，b都為負(fù)數(shù)時(shí)ab0也成立；對(duì)于B，命題“若x1，則x2x20”的否命題是“若x1，則x2x20”，是假命題，如x2；對(duì)于C，命題“若xy，則x|y|”的逆命題是“若x|y|，則xy”，是真命題；對(duì)于D，命題“若tanx，則x”是假命題，故其逆否命題也是假命題故選C.3給出以下四個(gè)命題：若ab0，則a0或b0；若ab，則am2bm2；在ABC中，若sinAsinB，則AB；在一元二次方程ax2bxc0中，若b24ac0，則a0且b0，是假命題；逆否命題：若a0且b0，則ab0，是真命題對(duì)于，原命題：若ab，則am2bm2，是假命題；逆命題：若am2bm2，則ab，是真命題；否命題：若ab，則am2bm2，是真命題；逆否命題：若am2bm2，則ab，是假命題對(duì)于，原命題：在ABC中，若sinAsinB，則AB，是真命題；逆命題：在ABC中，若AB，則sinAsinB，是真命題；否命題：在ABC中，若sinAsinB，則AB，是真命題；逆否命題：在ABC中，若AB，則sinAsinB，是真命題對(duì)于，原命題：在一元二次方程ax2bxc0中，若b24ac0，則方程有實(shí)數(shù)根，是假命題；逆命題：在一元二次方程ax2bxc0中，若方程有實(shí)數(shù)根，則b24ac0，是假命題；否命題：在一元二次方程ax2bxc0中，若b24ac0，則方程無(wú)實(shí)數(shù)根，是假命題；逆否命題：在一元二次方程ax2bxc0中，若方程無(wú)實(shí)數(shù)根，則b24ac0，是假命題綜上，以上命題中原命題、逆命題、否命題、逆否命題全都是真命題的是.故選C.4下列命題中：若一個(gè)四邊形的四條邊不相等，則它不是正方形；若一個(gè)四邊形對(duì)角互補(bǔ)，則它內(nèi)接于圓；正方形的四條邊相等；圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)；對(duì)角不互補(bǔ)的四邊形不內(nèi)接于圓；若一個(gè)四邊形的四條邊相等，則它是正方形其中互為逆命題的有_；互為否命題的有_；互為逆否命題的有_考點(diǎn)四種命題的相互關(guān)系題點(diǎn)四種命題相互關(guān)系的應(yīng)用答案和，和和，和和，和解析命題可改寫(xiě)為“若一個(gè)四邊形是正方形，則它的四條邊相等”；命題可改寫(xiě)為“若一個(gè)四邊形是圓內(nèi)接四邊形，則它的對(duì)角互補(bǔ)”；命題可改寫(xiě)為“若一個(gè)四邊形的對(duì)角不互補(bǔ)，則它不內(nèi)接于圓”，再依據(jù)四種命題間的關(guān)系便不難判斷5已知命題“若m1xm1，則1x2”的逆命題為真命題，則m的取值范圍是_考點(diǎn)四種命題的相互關(guān)系題點(diǎn)四種命題相互關(guān)系的應(yīng)用答案1,2解析命題：“若m1xm1，則1x2”的逆命題為“若1x2，則m1xm1”，該逆命題為真命題，由得1m2.1寫(xiě)四種命題可以按以下步驟進(jìn)行：(1)找出命題的條件p和結(jié)論q.(2)寫(xiě)出條件p的否定綈p和結(jié)論q的否定綈q.(3)按照四種命題的結(jié)構(gòu)寫(xiě)出所有命題2判斷命題的真假可以根據(jù)互為逆否命題的命題真假性相同來(lái)判斷，這也是反證法的理論基礎(chǔ)一、選擇題1已知a，bR，命題“若ab1，則a2b2”的否命題是()A若a2b2，則ab1B若ab1，則a2b2C若ab1，則a2b2D若a2b2，則ab1考點(diǎn)四種命題題點(diǎn)四種命題概念的理解答案C解析“ab1”，“a2b2”的否定分別是“ab1”，“a2b2”，故否命題為“若ab1，則a2b2”2命題“若(綈p)，則q”的逆否命題為()A若p，則(綈q) B若(綈q)，則(綈p)C若(綈q)，則pD若q，則p考點(diǎn)四種命題題點(diǎn)四種命題概念的理解答案C3命題“對(duì)角線相等的四邊形是矩形”是命題“矩形的對(duì)角線相等”的()A逆命題B否命題C逆否命題D無(wú)關(guān)命題考點(diǎn)四種命題的相互關(guān)系題點(diǎn)四種命題相互關(guān)系的應(yīng)用答案A4若命題p的否命題為q，命題p的逆否命題為r，則q與r的關(guān)系是()A互逆命題B互否命題C互為逆否命題D以上都不正確考點(diǎn)四種命題的相互關(guān)系題點(diǎn)四種命題相互關(guān)系的應(yīng)用答案A解析設(shè)p為“若A，則B”，那么q為“若綈A，則綈B”，r為“若綈B，則綈A”故q與r為互逆命題5有下列四個(gè)命題：“若xy0，則x，y互為相反數(shù)”的逆命題；“全等三角形的面積相等”的否命題；“若q1，則x22xq0有實(shí)根”的逆否命題；“不等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角相等”的逆命題其中真命題為()ABCD考點(diǎn)四種命題的真假判斷題點(diǎn)利用四種命題的關(guān)系判斷真假答案C解析命題：“若x，y互為相反數(shù)，則xy0”是真命題；命題：可考慮其逆命題“面積相等的三角形是全等三角形”，是假命題，因此命題是假命題；命題：“若q1，則x22xq0有實(shí)根”是真命題，則其逆否命題也為真命題；命題是假命題6已知命題“若a，b，c成等比數(shù)列，則b2ac”，在它的逆命題、否命題、逆否命題中，真命題的個(gè)數(shù)是()A0B1C2D3考點(diǎn)四種命題的真假判斷題點(diǎn)利用四種命題的關(guān)系判斷真假答案B解析命題“若a，b，c成等比數(shù)列，則b2ac”是真命題，故其逆否命題是真命題該命題的逆命題為“若b2ac，則a，b，c成等比數(shù)列”是假命題，故其否命題也是假命題，故選B.7若命題p的否命題為r，命題r的逆命題為s，p的逆命題為t，則s是t的()A逆否命題B逆命題C否命題D原命題考點(diǎn)四種命題的相互關(guān)系題點(diǎn)四種命題相互關(guān)系的應(yīng)用答案C解析特例：p：ABC中，若AB，則ab；r：ABC中，若AB，則ab；s：ABC中，若ab，則AB；t：ABC中，若ab，則AB.8設(shè)原命題：若ab2，則a，b中至少有一個(gè)不小于1，則原命題與其逆命題的真假情況是()A原命題真，逆命題假B原命題假，逆命題真C原命題與逆命題均為真命題D原命題與逆命題均為假命題考點(diǎn)四種命題的真假判斷題點(diǎn)利用四種命題的關(guān)系判斷真假答案A解析因?yàn)樵}“若ab2，則a，b中至少有一個(gè)不小于1”的逆否命題為“若a，b都小于1，則ab1且b1，則ab2”的否命題其中真命題的序號(hào)是_考點(diǎn)四種命題的真假判斷題點(diǎn)利用四種命題的關(guān)系判斷真假答案解析顯然為真；為假；對(duì)于中，原命題“若x是有理數(shù)，則x是無(wú)理數(shù)”為假命題，所以其逆否命題為假命題；對(duì)于中，“若a1且b1，則ab2”的否命題是“若a1或b1，則ab2”為假命題12命題“如果a22abb2ab20，那么ab1”的逆命題、否命題、逆否命題三個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)是_考點(diǎn)四種命題的真假判斷題點(diǎn)利用四種命題的關(guān)系判斷真假答案1解析a22abb2ab20化簡(jiǎn)得(ab1)(ab2)0，即ab1且ab2.命題“如果a22abb2ab20，那么ab1”的逆命題為“如果ab1，那么a22abb2ab20”，為假命題