2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第8章平面解析幾何第5節(jié)橢圓教學(xué)案含解析

第五節(jié)橢圓考綱傳真1.了解橢圓的實(shí)際背景，了解橢圓在刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問(wèn)題中的作用.2.掌握橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)1橢圓的定義平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a0，c0，且a，c為常數(shù)：(1)若ac，則集合P為橢圓(2)若ac，則集合P為線段(3)若ac，則集合P為空集2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程1(ab0)1(ab0)圖形性質(zhì)范圍axa，bybbxb，aya對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)軸：坐標(biāo)軸；對(duì)稱(chēng)中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)A1(a,0)，A2(a,0)，B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a) ，B1(b,0)，B2(b,0)離心率e，且e(0,1)a，b，c的關(guān)系c2a2b2與橢圓定義有關(guān)的結(jié)論以橢圓1(ab0)上一點(diǎn)P(x0，y0)(y00)和焦點(diǎn)F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)為頂點(diǎn)的PF1F2中，若F1PF2，則(1)|PF1|PF2|2a.(2)4c2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos .(3)SPF1F2|PF1|PF2|sin ，當(dāng)|y0|b，即P為短軸端點(diǎn)時(shí)，SPF1F2取最大值，為bc.(4)焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)為2(ac)(5)已知過(guò)焦點(diǎn)F1的弦AB，則ABF2的周長(zhǎng)為4a.基礎(chǔ)自測(cè)1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是橢圓 ( )(2)橢圓上一點(diǎn)P與兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2構(gòu)成PF1F2的周長(zhǎng)為2a2c(其中a為橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，c為橢圓的半焦距) ( )(3)橢圓的離心率e越大，橢圓就越圓 ( )(4)方程mx2ny21(m0，n0，mn)表示的曲線是橢圓( )答案(1)(2)(3)(4)2(教材改編)設(shè)P是橢圓1上的點(diǎn)，若F1，F(xiàn)2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則|PF1|PF2|等于( )A4 B5 C8 D10D依橢圓的定義知：|PF1|PF2|2510.3若方程1表示橢圓，則m的取值范圍是( )A(3,5) B(5,3)C(3,1)(1,5) D(5,1)(1,3)C由方程表示橢圓知解得3m0)的左焦點(diǎn)為F1(4,0)，則m( )A2 B3 C4 D9B由左焦點(diǎn)為F1(4,0)知c4.又a5，25m216，解得m3或3.又m0，故m3.5(教材改編)已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為F(1,0)，離心率為，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)1設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0)因?yàn)闄E圓的一個(gè)焦點(diǎn)為F(1,0)，離心率e，所以解得故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程1已知ABC的頂點(diǎn)B，C在橢圓y21上，頂點(diǎn)A是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)在BC邊上，則ABC的周長(zhǎng)是( )A2 B6 C4 D12C由橢圓的方程得a.設(shè)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)為F，則由橢圓的定義得|BA|BF|CA|CF|2a，所以ABC的周長(zhǎng)為|BA|BC|CA|BA|BF|CF|CA|(|BA|BF|)(|CF|CA|)2a2a4a4.2(2019濟(jì)南調(diào)研)已知兩圓C1：(x4)2y2169，C2：(x4)2y29，動(dòng)圓在圓C1內(nèi)部且和圓C1相內(nèi)切，和圓C2相外切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為( )A.1 B.1C.1 D.1D設(shè)圓M的半徑為r，則|MC1|MC2|(13r)(3r)168|C1C2|，所以M的軌跡是以C1，C2為焦點(diǎn)的橢圓，且 2a16,2c8，故所求的軌跡方程為1.3(2019徐州模擬)已知F1、F2是橢圓C：1(ab0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓C上的一點(diǎn)，且PF1PF2，若PF1F2的面積為9，則b_.3設(shè)|PF1|r1，|PF2|r2，則 所以2r1r2(r1r2)2(rr)4a24c24b2，所以SPF1F2r1r2b29，所以b3.4已知橢圓的中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱(chēng)軸，且經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，(，)，則橢圓方程為_(kāi)1設(shè)橢圓方程為mx2ny21(m，n0，mn)由解得m，n.橢圓方程為1.規(guī)律方法1.橢圓定義的應(yīng)用技巧(1)橢圓定義的應(yīng)用主要有：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)、面積及弦長(zhǎng)、最值和離心率等(2)通常定義和余弦定理結(jié)合使用，求解關(guān)于焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)和面積問(wèn)題2求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程多采用定義法和待定系數(shù)法(2)利用定義法求橢圓方程，要注意條件2a|F1F2|；利用待定系數(shù)法要先定形(焦點(diǎn)位置)，再定量，也可把橢圓方程設(shè)為mx2ny21(m0，n0，mn)的形式橢圓的幾何性質(zhì) 考法1求離心率的值或取值范圍【例1】(1)(2017浙江高考)橢圓1的離心率是( )A. B.C. D.(2)若橢圓上存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之比為21，則此橢圓離心率的取值范圍是( )A. B.C. D.(1)B(2)D(1)橢圓方程為1，a3，c.e.故選B.(2)設(shè)P到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離分別為2k，k，根據(jù)橢圓定義可知：3k2a，又結(jié)合橢圓的性質(zhì)可知，橢圓上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)距離之差的最大值為2c，即k2c，2a6c，即e.又0e1，e0)，過(guò)右焦點(diǎn)作垂直于x軸的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，且|AB|1，則該橢圓的離心率為_(kāi)(1)C(2)(1)如圖所示，線段PF1的中垂線經(jīng)過(guò)F2，|PF2|F1F2|2c，即橢圓上存在一點(diǎn)P，使得|PF2|2c，ac2cac.e.(2)因?yàn)闄E圓y21(a0)的焦點(diǎn)在x軸上，所以c，又過(guò)右焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線為xc，將其代入橢圓方程中，得y21，則y ，又|AB|1，所以21，得，所以該橢圓的離心率e(負(fù)值舍去)直線與橢圓的位置關(guān)系【例3】已知直線l：y2xm，橢圓C：1.試問(wèn)當(dāng)m取何值時(shí)，直線l與橢圓C：(1)有兩個(gè)不重合的公共點(diǎn)；(2)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；(3)沒(méi)有公共點(diǎn)解將直線l的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，得方程組將代入，整理得9x28mx2m240.方程根的判別式(8m)249(2m24)8m2144.(1)當(dāng)0，即3m3時(shí)，方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，可知原方程組有兩組不同的實(shí)數(shù)解這時(shí)直線l與橢圓C有兩個(gè)不重合的公共點(diǎn)(2)當(dāng)0，即m3時(shí)，方程有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)根，可知原方程組有兩組相同的實(shí)數(shù)解這時(shí)直線l與橢圓C有兩個(gè)互相重合的公共點(diǎn)，即直線l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)(3)當(dāng)0，即m3時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，可知原方程組沒(méi)有實(shí)數(shù)解這時(shí)直線l與橢圓C沒(méi)有公共點(diǎn)規(guī)律方法 直線與橢圓的位置關(guān)系的類(lèi)型及解題方法(1)類(lèi)型：一是判斷位置關(guān)系；二是根據(jù)位置關(guān)系確定參數(shù)的取值范圍.(2)解題方法：一是聯(lián)立方程，借助一元二次方程的判別式來(lái)判斷，二是借助幾何性質(zhì)來(lái)判斷，如下面的跟蹤訓(xùn)練. 直線ykx1與橢圓1相切，則k，a的取值范圍分別是( )Aa(0,1)，kBa(0,1，kCa(0,1)，kDa(0,1，kB直線ykx1是橢圓的切線，且過(guò)點(diǎn)(0，1)，點(diǎn)(0，1)必在橢圓上或其外部，a(0,1由方程組消去x，得(a4k2)y22aya4ak20.直線和橢圓相切，(2a)24(a4k2)(a4ak2)16ak2(a14k2)0，k0或a14k2.0a1，014k21，k22，k1(2018全國(guó)卷)已知橢圓C：1的一個(gè)焦點(diǎn)為(2,0)，則C的離心率為( )A. B. C. D.C不妨設(shè)a0，因?yàn)闄E圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為(2,0)，所以c2，所以a2448，所以a2，所以橢圓C的離心率e.2(2018全國(guó)卷)已知F1，F(xiàn)2是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是C上的一點(diǎn)若PF1PF2，且PF2F160，則C的離心率為( )A1 B2C. D.1D由題設(shè)知F1PF290，PF2F160，|F1F2|2c，所以|PF2|c，|PF1|c.由橢圓的定義得|PF1|PF2|2a，即cc2a，所以(1)c2a，故橢圓C的離心率e1.故選D.3(2016全國(guó)卷)直線l經(jīng)過(guò)橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓中心到l的距離為其短軸長(zhǎng)的，則該橢圓的離心率為( )A. B. C. D.B不妨設(shè)直線l經(jīng)過(guò)橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)B(0，b)和一個(gè)焦點(diǎn)F(c,0)，則直線l的方程為1，即bxcybc0.由題意知2b，解得，即e.故選B.4(2017全國(guó)卷)設(shè)A，B是橢圓C：1長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)若C上存在點(diǎn)M滿足AMB120，則m的取值范圍是( )A(0,19，) B(0，9，)C(0,14，) D(0，4，)A法一：設(shè)焦點(diǎn)在x軸上，點(diǎn)M(x，y)過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線，交x軸于點(diǎn)N，則N(x,0)故tanAMBtan(AMNBMN).又tanAMBtan 120，且由1可得x2