2020版高考數(shù)學一輪復習第8章平面解析幾何第5節(jié)橢圓教學案含解析

第五節(jié)橢圓考綱傳真1.了解橢圓的實際背景，了解橢圓在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用.2.掌握橢圓的定義、幾何圖形、標準方程及簡單幾何性質(zhì)1橢圓的定義平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a0，c0，且a，c為常數(shù)：(1)若ac，則集合P為橢圓(2)若ac，則集合P為線段(3)若ac，則集合P為空集2橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)標準方程1(ab0)1(ab0)圖形性質(zhì)范圍axa，bybbxb，aya對稱性對稱軸：坐標軸；對稱中心：原點頂點A1(a,0)，A2(a,0)，B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a) ，B1(b,0)，B2(b,0)離心率e，且e(0,1)a，b，c的關系c2a2b2與橢圓定義有關的結(jié)論以橢圓1(ab0)上一點P(x0，y0)(y00)和焦點F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)為頂點的PF1F2中，若F1PF2，則(1)|PF1|PF2|2a.(2)4c2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos .(3)SPF1F2|PF1|PF2|sin ，當|y0|b，即P為短軸端點時，SPF1F2取最大值，為bc.(4)焦點三角形的周長為2(ac)(5)已知過焦點F1的弦AB，則ABF2的周長為4a.基礎自測1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)的點的軌跡是橢圓 ( )(2)橢圓上一點P與兩焦點F1，F(xiàn)2構(gòu)成PF1F2的周長為2a2c(其中a為橢圓的長半軸長，c為橢圓的半焦距) ( )(3)橢圓的離心率e越大，橢圓就越圓 ( )(4)方程mx2ny21(m0，n0，mn)表示的曲線是橢圓( )答案(1)(2)(3)(4)2(教材改編)設P是橢圓1上的點，若F1，F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點，則|PF1|PF2|等于( )A4 B5 C8 D10D依橢圓的定義知：|PF1|PF2|2510.3若方程1表示橢圓，則m的取值范圍是( )A(3,5) B(5,3)C(3,1)(1,5) D(5,1)(1,3)C由方程表示橢圓知解得3m0)的左焦點為F1(4,0)，則m( )A2 B3 C4 D9B由左焦點為F1(4,0)知c4.又a5，25m216，解得m3或3.又m0，故m3.5(教材改編)已知橢圓的一個焦點為F(1,0)，離心率為，則橢圓的標準方程為_1設橢圓的標準方程為1(ab0)因為橢圓的一個焦點為F(1,0)，離心率e，所以解得故橢圓的標準方程為1.橢圓的定義與標準方程1已知ABC的頂點B，C在橢圓y21上，頂點A是橢圓的一個焦點，且橢圓的另外一個焦點在BC邊上，則ABC的周長是( )A2 B6 C4 D12C由橢圓的方程得a.設橢圓的另一個焦點為F，則由橢圓的定義得|BA|BF|CA|CF|2a，所以ABC的周長為|BA|BC|CA|BA|BF|CF|CA|(|BA|BF|)(|CF|CA|)2a2a4a4.2(2019濟南調(diào)研)已知兩圓C1：(x4)2y2169，C2：(x4)2y29，動圓在圓C1內(nèi)部且和圓C1相內(nèi)切，和圓C2相外切，則動圓圓心M的軌跡方程為( )A.1 B.1C.1 D.1D設圓M的半徑為r，則|MC1|MC2|(13r)(3r)168|C1C2|，所以M的軌跡是以C1，C2為焦點的橢圓，且 2a16,2c8，故所求的軌跡方程為1.3(2019徐州模擬)已知F1、F2是橢圓C：1(ab0)的兩個焦點，P為橢圓C上的一點，且PF1PF2，若PF1F2的面積為9，則b_.3設|PF1|r1，|PF2|r2，則 所以2r1r2(r1r2)2(rr)4a24c24b2，所以SPF1F2r1r2b29，所以b3.4已知橢圓的中心在原點，以坐標軸為對稱軸，且經(jīng)過兩點，(，)，則橢圓方程為_1設橢圓方程為mx2ny21(m，n0，mn)由解得m，n.橢圓方程為1.規(guī)律方法1.橢圓定義的應用技巧(1)橢圓定義的應用主要有：求橢圓的標準方程，求焦點三角形的周長、面積及弦長、最值和離心率等(2)通常定義和余弦定理結(jié)合使用，求解關于焦點三角形的周長和面積問題2求橢圓標準方程的常用方法(1)求橢圓的標準方程多采用定義法和待定系數(shù)法(2)利用定義法求橢圓方程，要注意條件2a|F1F2|；利用待定系數(shù)法要先定形(焦點位置)，再定量，也可把橢圓方程設為mx2ny21(m0，n0，mn)的形式橢圓的幾何性質(zhì) 考法1求離心率的值或取值范圍【例1】(1)(2017浙江高考)橢圓1的離心率是( )A. B.C. D.(2)若橢圓上存在點P，使得點P到兩個焦點的距離之比為21，則此橢圓離心率的取值范圍是( )A. B.C. D.(1)B(2)D(1)橢圓方程為1，a3，c.e.故選B.(2)設P到兩個焦點的距離分別為2k，k，根據(jù)橢圓定義可知：3k2a，又結(jié)合橢圓的性質(zhì)可知，橢圓上的點到兩個焦點距離之差的最大值為2c，即k2c，2a6c，即e.又0e1，e0)，過右焦點作垂直于x軸的直線交橢圓于A，B兩點，且|AB|1，則該橢圓的離心率為_(1)C(2)(1)如圖所示，線段PF1的中垂線經(jīng)過F2，|PF2|F1F2|2c，即橢圓上存在一點P，使得|PF2|2c，ac2cac.e.(2)因為橢圓y21(a0)的焦點在x軸上，所以c，又過右焦點且垂直于x軸的直線為xc，將其代入橢圓方程中，得y21，則y ，又|AB|1，所以21，得，所以該橢圓的離心率e(負值舍去)直線與橢圓的位置關系【例3】已知直線l：y2xm，橢圓C：1.試問當m取何值時，直線l與橢圓C：(1)有兩個不重合的公共點；(2)有且只有一個公共點；(3)沒有公共點解將直線l的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，得方程組將代入，整理得9x28mx2m240.方程根的判別式(8m)249(2m24)8m2144.(1)當0，即3m3時，方程有兩個不同的實數(shù)根，可知原方程組有兩組不同的實數(shù)解這時直線l與橢圓C有兩個不重合的公共點(2)當0，即m3時，方程有兩個相同的實數(shù)根，可知原方程組有兩組相同的實數(shù)解這時直線l與橢圓C有兩個互相重合的公共點，即直線l與橢圓C有且只有一個公共點(3)當0，即m3時，方程沒有實數(shù)根，可知原方程組沒有實數(shù)解這時直線l與橢圓C沒有公共點規(guī)律方法 直線與橢圓的位置關系的類型及解題方法(1)類型：一是判斷位置關系；二是根據(jù)位置關系確定參數(shù)的取值范圍.(2)解題方法：一是聯(lián)立方程，借助一元二次方程的判別式來判斷，二是借助幾何性質(zhì)來判斷，如下面的跟蹤訓練. 直線ykx1與橢圓1相切，則k，a的取值范圍分別是( )Aa(0,1)，kBa(0,1，kCa(0,1)，kDa(0,1，kB直線ykx1是橢圓的切線，且過點(0，1)，點(0，1)必在橢圓上或其外部，a(0,1由方程組消去x，得(a4k2)y22aya4ak20.直線和橢圓相切，(2a)24(a4k2)(a4ak2)16ak2(a14k2)0，k0或a14k2.0a1，014k21，k22，k1(2018全國卷)已知橢圓C：1的一個焦點為(2,0)，則C的離心率為( )A. B. C. D.C不妨設a0，因為橢圓C的一個焦點為(2,0)，所以c2，所以a2448，所以a2，所以橢圓C的離心率e.2(2018全國卷)已知F1，F(xiàn)2是橢圓C的兩個焦點，P是C上的一點若PF1PF2，且PF2F160，則C的離心率為( )A1 B2C. D.1D由題設知F1PF290，PF2F160，|F1F2|2c，所以|PF2|c，|PF1|c.由橢圓的定義得|PF1|PF2|2a，即cc2a，所以(1)c2a，故橢圓C的離心率e1.故選D.3(2016全國卷)直線l經(jīng)過橢圓的一個頂點和一個焦點，若橢圓中心到l的距離為其短軸長的，則該橢圓的離心率為( )A. B. C. D.B不妨設直線l經(jīng)過橢圓的一個頂點B(0，b)和一個焦點F(c,0)，則直線l的方程為1，即bxcybc0.由題意知2b，解得，即e.故選B.4(2017全國卷)設A，B是橢圓C：1長軸的兩個端點若C上存在點M滿足AMB120，則m的取值范圍是( )A(0,19，) B(0，9，)C(0,14，) D(0，4，)A法一：設焦點在x軸上，點M(x，y)過點M作x軸的垂線，交x軸于點N，則N(x,0)故tanAMBtan(AMNBMN).又tanAMBtan 120，且由1可得x2