高考數(shù)學(xué)第2章函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第3節(jié)函數(shù)的奇偶性與周期性教學(xué)案（含解析）.docx

第三節(jié)函數(shù)的奇偶性與周期性考綱傳真1.了解函數(shù)奇偶性的含義.2.會運(yùn)用基本初等函數(shù)的圖象分析函數(shù)的奇偶性.3.了解函數(shù)周期性、最小正周期的含義，會判斷、應(yīng)用簡單函數(shù)的周期性1函數(shù)的奇偶性偶函數(shù)奇函數(shù)定義如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x都有f(x)f(x)，那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù)都有f(x)f(x)，那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù)圖象特征關(guān)于y軸對稱關(guān)于原點(diǎn)對稱2.函數(shù)的周期性(1)周期函數(shù)：對于函數(shù)f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時，都有f(xT)f(x)，那么就稱函數(shù)f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期1函數(shù)奇偶性常用結(jié)論(1)如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)f(|x|)(2)奇函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性(3)如果一個奇函數(shù)f(x)在原點(diǎn)處有定義，即f(0)有意義，那么一定有f(0)0.2函數(shù)周期性常用結(jié)論對f(x)定義域內(nèi)任一自變量的值x：(1)若f(xa)f(x)，則T2a(a0)(2)若f(xa)，則T2a(a0)(3)若f(xa)，則T2a(a0)基礎(chǔ)自測1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)偶函數(shù)圖象不一定過原點(diǎn)，奇函數(shù)的圖象一定過原點(diǎn)( )(2)若函數(shù)yf(xa)是偶函數(shù)，則函數(shù)yf(x)關(guān)于直線xa對稱( )(3)若函數(shù)yf(xb)是奇函數(shù)，則函數(shù)yf(x)關(guān)于點(diǎn)(b,0)中心對稱( )(4)函數(shù)f(x)在定義域上滿足f(xa)f(x)(a0)，則f(x)是周期為2a的周期函數(shù)( )答案(1)(2)(3)(4)2已知f(x)ax2bx是定義在a1,2a上的偶函數(shù)，那么ab的值是( )A B.C. DB依題意b0，且2a(a1)，b0且a，則ab.3下列函數(shù)中，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)的是( )Ayxsin 2x Byx2cos xCy2x Dyx2sin xDA項(xiàng)，定義域?yàn)镽，f(x)xsin 2xf(x)，為奇函數(shù)，故不符合題意；B項(xiàng)，定義域?yàn)镽，f(x)x2cos xf(x)，為偶函數(shù)，故不符合題意；C項(xiàng)，定義域?yàn)镽，f(x)2x2xf(x)，為偶函數(shù)，故不符合題意；D項(xiàng)，定義域?yàn)镽，f(x)x2sin x，f(x)x2sin x，因?yàn)閒(x)f(x)，且f(x)f(x)，故為非奇非偶函數(shù)4已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x4)f(x)，則f(8)的值為( )A1 B0C1 D2Bf(x)為定義在R上的奇函數(shù)，f(0)0，又f(x4)f(x)，f(8)f(0)0.5(教材改編)已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，在(0，)上是減函數(shù)，且在區(qū)間a，b(ab0)上的值域?yàn)?,4，則在區(qū)間b，a上有( )A最大值4 B最小值4C最大值3 D最小值3B法一：根據(jù)題意作出yf(x)的簡圖，由圖知，選B.法二：當(dāng)xb，a時，xa，b，由題意得f(b)f(x)f(a)，即3f(x)4，4f(x)3，即在區(qū)間b，a上f(x)min4，f(x)max3，故選B.(對應(yīng)學(xué)生用書第14頁)判斷函數(shù)的奇偶性【例1】(1)設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)的定義域都為R，且f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是( )Af(x)g(x)是偶函數(shù) B|f(x)|g(x)是奇函數(shù)Cf(x)|g(x)|是奇函數(shù) D|f(x)g(x)|是奇函數(shù)C對于A：令h(x)f(x)g(x)，則h(x)f(x)g(x)f(x)g(x)h(x)，h(x)是奇函數(shù)，A錯對于B：令h(x)|f(x)|g(x)，則h(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)h(x)，h(x)是偶函數(shù)，B錯對于C：令h(x)f(x)|g(x)|，則h(x)f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|h(x)，h(x)是奇函數(shù)，C正確對于D：令h(x)|f(x)g(x)|，則h(x)|f(x)g(x)|f(x)g(x)|f(x)g(x)|h(x)，h(x)是偶函數(shù)，D錯(2)判斷下列函數(shù)的奇偶性f(x)lg；f(x)ln(x)；f(x)；f(x).解由0得x1或x1，即函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?，1)(1，)，關(guān)于原點(diǎn)對稱又f(x)lglglgf(x)f(x)為奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，f(x)(lnx)lnln(x)f(x)，f(x)為奇函數(shù)由得x1，f(x)的定義域?yàn)?,1又f(1)f(1)0，f(1)f(1)0，f(x)f(x)f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)易知函數(shù)的定義域?yàn)?，0)(0，)，關(guān)于原點(diǎn)對稱，又當(dāng)x0時，f(x)x2x，則當(dāng)x0時，x0，故f(x)x2xf(x)；當(dāng)x0時，f(x)x2x，則當(dāng)x0時，x0，故f(x)x2xf(x)，故原函數(shù)是偶函數(shù)規(guī)律方法1.判定函數(shù)奇偶性的3種常用方法(1)定義法(2)圖象法(3)性質(zhì)法設(shè)f(x)，g(x)的定義域分別是D1，D2，那么在它們的公共定義域上：奇奇奇，奇奇偶，偶偶偶，偶偶偶，奇偶奇2判斷分段函數(shù)奇偶性應(yīng)注意的問題判斷分段函數(shù)的奇偶性應(yīng)分段分別證明f(x)與f(x)的關(guān)系，只有對各段上的x都滿足相同關(guān)系時，才能判斷其奇偶性如本例(2)第小題 (1)設(shè)f(x)exex，g(x)exex，f(x)，g(x)的定義域均為R，下列結(jié)論錯誤的是( )A|g(x)|是偶函數(shù) Bf(x)g(x)是奇函數(shù)Cf(x)|g(x)|是偶函數(shù) Df(x)g(x)是奇函數(shù)Df(x)exexf(x)，f(x)為偶函數(shù)g(x)exexg(x)，g(x)為奇函數(shù)|g(x)|g(x)|g(x)|，|g(x)|為偶函數(shù)，A正確；f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)，所以f(x)g(x)為奇函數(shù)，B正確；f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|，所以f(x)|g(x)|是偶函數(shù)，C正確；f(x)g(x)2ex，f(x)g(x)2ex(f(x)g(x)，且f(x)g(x)2exf(x)g(x)，所以f(x)g(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，D錯誤，故選D.(2)判斷下列函數(shù)的奇偶性f(x)ln(ex)ln(ex)；f(x)；f(x).解由得exe，即函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?e，e)，關(guān)于原點(diǎn)對稱又f(x)ln(ex)ln(ex)f(x)，所以函數(shù)f(x)是偶函數(shù)由2x10得x0，即函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?，0)(0，)，關(guān)于原點(diǎn)對稱又f(x)f(x)，所以函數(shù)f(x)是奇函數(shù)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?，0)(0，)，關(guān)于原點(diǎn)對稱當(dāng)x0時，x0，則f(x)(x)21x21f(x)，當(dāng)x0時，x0，則f(x)(x)21x21f(x)，綜上所述，f(x)f(x)因此函數(shù)f(x)是奇函數(shù)函數(shù)奇偶性的應(yīng)用【例2】(1)(2018全國卷)已知函數(shù)f(x)ln(x)1，f(a)4，則f(a)_.(2)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x0時，f(x)x24x，則f(x)_.(3)函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則a_.(1)2(2)(3)1(1)由f(a)ln(a)14，得ln(a)3，所以f(a)ln(a)1ln 1ln(a)1312.(2)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，f(0)0.又當(dāng)x0時，x0，f(x)x24x.又f(x)為奇函數(shù)，f(x)f(x)，即f(x)x24x(x0)，f(x)(3)由題意得f(1)f(1)0，即2(a1)0，解得a1，經(jīng)檢驗(yàn)，a1時，函數(shù)f(x)為奇函數(shù)規(guī)律方法已知函數(shù)奇偶性可以解決的4個問題(1)求函數(shù)值：將待求值利用奇偶性轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的函數(shù)值求解.(2)求解析式：將待求區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，再利用奇偶性求出.(3)求解析式中的參數(shù)：利用待定系數(shù)法求解，根據(jù)f(x)f(x)0得到關(guān)于參數(shù)的恒等式，由多項(xiàng)式恒等列出關(guān)于參數(shù)的方程或方程組，進(jìn)而得出參數(shù)的值，也可利用特殊值求解.如利用f(1)f(1)直接求參數(shù)的值.(4)畫函數(shù)圖象：利用奇偶性可畫出另一對稱區(qū)間上的圖象.(1)設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(x)則g(f(8)( )A1 B2C1 D2(2)已知函數(shù)f(x)x3sin x1(xR)，若f(a)2，則f(a)的值為( )A3 B0C1 D2(3)已知f(x)為偶函數(shù)，當(dāng)x0時，f(x)ex1x，則f(x)_.(4)設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x0時，f(x)2x2xb(b為常數(shù))，則f(1)_.(1)A(2)B(3)(4)(1)因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，所以f(8)f(8)log392，所以g(f(8)g(2)f(2)f(2)log331.(2)設(shè)F(x)f(x)1x3sin x，顯然F(x)為奇函數(shù)，又F(a)f(a)11，所以F(a)f(a)11，從而f(a)0.故選B.(3)當(dāng)x0時，x0，則f(x)ex1x，又f(x)f(x)，因此f(x)ex1x.所以f(x).(4)由題意知f(0)2020b0，解得b1.所以當(dāng)x0時，f(x)2x2x1，所以f(1)f(1)212(1)1.函數(shù)的周期性及應(yīng)用【例3】(1)(2019沈陽模擬)函數(shù)f(x)滿足f(x1)f(x)，且當(dāng)0x1時，f(x)2x(1x)，則f的值為( )A. B.C D(2)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(4)2，且對任意的x都有f(x2)，則f(2 018)( )A2 B2C2 D2(3)已知定義在R上的函數(shù)滿足f(x2)，當(dāng)x(0,2時，f(x)2x1.則f(1)f(2)f(3)f(2 018)的值為_(1)A(2)A(3)1 348(1)由f(x1)f(x)得f(x2)f(x)，即函數(shù)f(x)的周期為2，則ff2，故選A.(2)由f(x2)得f(x4)f(x)所以函數(shù)f(x)的周期為4，所以f(2 018)f(2)又f(4)f(22)2，所以f(2)2，即f(2)2，故選A.(3)f(x2)，f(x4)f(x)，函數(shù)yf(x)的周期T4.又x(0,2時，f(x)2x1，f(1)1，f(2)3，f(3)1，f(4).f(1)f(2)f(3)f(2 018)504f(1)f(2)f(3)f(4)f(50441)f(50442)504131 348.規(guī)律方法(1)判斷函數(shù)周期性的方法,定義法：判斷函數(shù)的周期性只需證明f(xT)f(x)(T0)便可證明函數(shù)是周期函數(shù)，且周期為T.,結(jié)論法：對f(x)定義域內(nèi)任一自變量的值x，(2)函數(shù)周期性的應(yīng)用,根據(jù)函數(shù)的周期性，可以由函數(shù)局部的性質(zhì)得到函數(shù)的整體性質(zhì)，即周期性可將未知區(qū)間上的函數(shù)值、解析式、圖象轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，在解決具體問題時，要注意結(jié)論：若T是函數(shù)的周期，則kT(kZ且k0)也是函數(shù)的周期. (1)(2019長沙模擬)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x1)f(x)，且f(x)則下列函數(shù)值為1的是( )Af(2.5) Bf(f(2.5)Cf(f(1.5) Df(2)(2)設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x2)f(x)，且當(dāng)x0,2)時，f(x)2xx2，則f(0)f(1)f(2)f(2 019)_.(1)D(2)1 010(1)由f(x1)f(x)知f(x2)f(x1)f(x)，于是f(x)是以2為周期的周期函數(shù)，從而f(2.5)f(0.5)1，f(f(2.5)f(1)f(1)1，f(f(1.5)f(f(0.5)f(1)1，f(2)f(0)1，故選D.(2)f(x2)f(x)，函數(shù)f(x)的周期T2.又當(dāng)x0,2)時，f(x)2xx2，f(0)0，f(1)1，f(0)f(1)1.f(0)f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(2 018)f(2 019)1，f(0)f(1)f(2)f(2 019)1 010.函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用考法1奇偶性與單調(diào)性結(jié)合【例4】(2017全國卷)函數(shù)f(x)在(，)單調(diào)遞減，且為奇函數(shù)若f(1)1，則滿足1f(x2)1的x的取值范圍是( )A2,2 B1,1C0,4 D1,3Df(x)為奇函數(shù)，f(x)f(x)f(1)1，f(1)f(1)1.故由1f(x2)1，得f(1)f(x2)f(1)又f(x)在(，)單調(diào)遞減，1x21，1x3.故選D.考法2奇偶性與周期性結(jié)合【例5】(2017山東高考)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(x4)f(x2)若當(dāng)x3,0時，f(x)6x，則f(919)_.6f(x4)f(x2)，f(x2)4)f(x2)2)，即f(x6)f(x)，f(x)是周期為6的周期函數(shù)，f(919)f(15361)f(1)又f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，f(1)f(1)6，即f(919)6.考法3奇偶性、周期性與單調(diào)性結(jié)合【例6】已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x4)f(x)，且在區(qū)間0,2上是增函數(shù)，則( )Af(25)f(11)f(80)Bf(80)f(11)f(25)Cf(11)f(80)f(25)Df(25)f(80)f(11)D因?yàn)閒(x)滿足f(x4)f(x)，所以f(x8)f(x)，所以函數(shù)f(x)是以8為周期的周期函數(shù)，則f(25)f(1)，f(80)f(0)，f(11)f(3)由f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足f(x4)f(x)，得f(11)f(3)f(1)f(1)因?yàn)閒(x)在區(qū)間0,2上是增函數(shù)，f(x)在R上是奇函數(shù)，所以f(x)在區(qū)間2,2上是增函數(shù)，所以f(1)f(0)f(1)，即f(25)f(80)f(11)故選D.規(guī)律方法函數(shù)性質(zhì)綜合應(yīng)用問題的常見類型及解題方法(1)函數(shù)單調(diào)性與奇偶性結(jié)合注意函數(shù)單調(diào)性及奇偶性的定義，以及奇、偶函數(shù)圖象的對稱性(2)周期性與奇偶性結(jié)合此類問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進(jìn)行交換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解(3)周期性、奇偶性與單調(diào)性結(jié)合解決此類問題通常先利用周期性轉(zhuǎn)化自變量所在的區(qū)間，然后利用奇偶性和單調(diào)性求解 (1)已知偶函數(shù)f(x)在區(qū)間0，)上單調(diào)遞增，則滿足f(2x1)f的x的取值范圍是( )A. B.C. D.(2)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，