向量代數(shù)與空間解析幾何第五節(jié)平面與直線方程.ppt

- 1 -,第五節(jié) 平面與直線方程,一 平面方程的各種形式 二 直線方程的各種形式 三 平面直線間的夾角及相互關(guān)系,- 2 -,如果一非零向量垂直于一平面，這向量就叫做該平面的法向量,法向量的特征：,垂直于平面內(nèi)的任一向量,已知平面的法向量為,設(shè)平面上的任一點(diǎn)為,必有,1 平面方程的點(diǎn)法式,且過(guò)點(diǎn),一 平面方程的各種形式,- 3 -,平面的點(diǎn)法式方程,平面上的點(diǎn)都滿足上方程，不在平面上的點(diǎn)都不滿足上方程，上方程稱為平面的方程，平面稱為方程的圖形,其中法向量,已知點(diǎn),- 4 -,解,所求平面方程為,化簡(jiǎn)得,例1求過(guò)三點(diǎn),和,的平面方程.,- 5 -,由平面的點(diǎn)法式方程,平面的一般方程,法向量,- 6 -,取法向量,化簡(jiǎn)得,所求平面方程為,解,例2 求過(guò)點(diǎn),，且垂直于平面,和,的平面方程.,- 7 -,平面一般方程的幾種特殊情況：,平面通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)；,平面通過(guò) 軸；,平面平行于 軸；,平面平行于 坐標(biāo)面；,類似地可討論 情形.,類似地可討論 情形.,- 8 -,設(shè)平面為,由平面過(guò)原點(diǎn)知,所求平面方程為,解,例3 設(shè)平面過(guò)原點(diǎn)及點(diǎn),且與平面,垂直，求此平面方程.,- 9 -,設(shè)平面為,將三點(diǎn)坐標(biāo)代入得,解,例4 設(shè)平面與,三軸分別交于,（其中,求此平面方程.,代入所設(shè)方程得,平面的截距式方程,軸上截距,軸上截距,軸上截距,- 10 -,設(shè)平面為,由所求平面與已知平面平行得,解,例5 求平行于平面,坐標(biāo)面所圍成的四面體體積為一個(gè)單位的平面方程.,而與三個(gè),代入體積式,所求平面方程為,- 11 -,空間直線可看成不平行兩平面的交線,空間直線的一般方程,1 空間直線的一般方程,二 直線方程的各種形式,- 12 -,如果一非零向量平行于一條已知直線，這個(gè)向量稱為這條直線的方向向量,2 空間直線的對(duì)稱式方程與參數(shù)方程,設(shè)直線過(guò)點(diǎn),方向向量為,為直線上任意一點(diǎn),直線的對(duì)稱式方程,（點(diǎn)向式）,（標(biāo)準(zhǔn)式）,- 13 -,令,方向向量的余弦稱為直線的方向余弦.,直線的參數(shù)方程,解,所求直線的方向向量為,所求直線方程為,直線兩點(diǎn)式方程,- 14 -,例7 用對(duì)稱式方程及參數(shù)方程表示直線,解,在直線上任取一點(diǎn),取,解得,點(diǎn)坐標(biāo),因所求直線與兩平面的法向量都垂直,取,對(duì)稱式方程,參數(shù)方程,- 15 -,解,所以交點(diǎn)為,所求直線方程,例8 一直線過(guò)點(diǎn),且和,軸垂直相交，,求其方程.,或,- 16 -,定義,（通常取銳角）,兩平面法向量之間的夾角稱為兩平面的夾角.,1 兩平面間的夾角,三 平面直線間的夾角及相互關(guān)系,- 17 -,按照兩向量夾角余弦公式有,兩平面夾角余弦公式,兩平面位置特征：,/,- 18 -,例9 研究以下各組里兩平面的位置關(guān)系：,解,兩平面相交，夾角,- 19 -,兩平面平行但不重合,兩平面重合.,解,解,- 20 -,解,例9 設(shè),是平面,外一點(diǎn)，求,到平面的距離.,- 21 -,點(diǎn)到平面距離公式,- 22 -,直線,直線,兩直線的夾角為兩直線的方向向量的夾角（銳角）.,兩直線的夾角公式,2 兩直線的夾角,- 23 -,兩直線的位置關(guān)系：,/,直線,直線,例如，,- 24 -,解,設(shè)所求直線的方向向量為,根據(jù)題意知,取,所求直線的方程,例10 求過(guò)點(diǎn),且與兩平面,和,的交線平行的直線方程.,- 25 -,3 直線與平面的夾角,- 26 -,直線與平面的夾角公式,直線與平面的位置關(guān)系：,/,- 27 -,解,為所求夾角,例11 設(shè)直線,平面,求直線與平面的夾角.,- 28 -,解,令,例12 求過(guò)點(diǎn),且與直線,垂直相交的直線方程，并求點(diǎn),到直線,的距離。,再求已知直線與該平面的交點(diǎn),- 29 -,代入平面方程得 ,交點(diǎn),取所求直線的方向向量為,所求直線方程為,- 30 -,建立三元一次方程：,或,4 平面束方程,- 31 -,因此方程(3)表示一個(gè)平面。,- 32 -,例13,求過(guò)直線,和點(diǎn),的,平面方程。,解法一,將直線方程化為標(biāo)準(zhǔn)式,所以已知直線的方向向量為,且過(guò)點(diǎn),因此所求平面的法向量為,- 33 -,所以所求平面方程為,即,解法二,過(guò)已知直線的平面束方程為,所求平面過(guò)點(diǎn),所以,所求平面方程為,- 34 -,例14,求直線,在平面,上的投影直