在恒定電場作用下電子的運(yùn)動(dòng).ppt

見黃昆書5.2節(jié)p245,本節(jié)以一維緊束縛近似下能帶論的結(jié)果為例，進(jìn)一步討論晶體中電子在恒定外電場作用下的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，以加深對(duì)Bloch 電子的理解。,在 k 空間中的運(yùn)動(dòng)圖象 在實(shí)空間中的運(yùn)動(dòng)圖象,7.2 在恒定電場作用下電子的運(yùn)動(dòng),一維緊束縛近似：,i 為某原子能級(jí)。設(shè) J1 0，則 k0 點(diǎn)為能帶底； k/a 為能帶頂。,在能帶底 k = 0 和能帶頂 k= /a 處，電子速度 v(k)=0； 而在 k= /2a 處， v(k)分別為極大和極小。,一維緊束縛近似下的 E(k), v(k), m*隨 k 值的變化如上圖。圖中只畫出一個(gè)能帶，且只是繪出第一布里淵區(qū)。從圖中明顯看出在帶底和帶頂處，電子速度為零。中間有極大和極小值，帶底處：m*0，帶頂處：m*0，中間處 m*。 我們從該圖出發(fā)討論恒定電場作用下電子的運(yùn)動(dòng)。,在準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動(dòng)中，電子在同一能帶中運(yùn)動(dòng)。因此，電 子在 k 空間中的勻速運(yùn)動(dòng)意味著電子的能量本征值沿 E(k) 函數(shù)曲線周期性變化，即電子在 k 空間中做循環(huán)運(yùn)動(dòng)。 可從下頁布里淵區(qū)圖來理解。,一. 在 k 空間中的運(yùn)動(dòng)圖象,當(dāng)有電場加在固體上時(shí)，固體中的電子被加速，在 k 空間研究它的運(yùn)動(dòng)是很方便的。若沿 x 方向加一恒定電 場 ，則電子受到的力： F = e 沿 +x 方向。 由于： ， 得. 這表明電子在 k 空間中做勻速運(yùn)動(dòng)。,見黃昆書p247,電子在 k 空間的勻速運(yùn)動(dòng)，意味著電子的本征能量沿E(k) 函數(shù)曲線周期性變化，當(dāng)電子運(yùn)動(dòng)到布里淵區(qū)邊界 處， 由于 和 相差一個(gè)倒格矢 ，實(shí)際代表同一 狀態(tài)，所以電子從 移出等于又從 移進(jìn)來。形成 循環(huán)運(yùn)動(dòng)。,電子在 k 空間的循環(huán)運(yùn)動(dòng)，表現(xiàn)在電子速度上是 v 隨時(shí)間 的振蕩變化，假設(shè) t = 0 時(shí)，電子處在帶底，k =0，m*0， 外力作用使電子加速，v 增大，當(dāng)?shù)竭_(dá) 時(shí)， m*，速度 v 到達(dá)極大，k 超過該點(diǎn)后，m*0，使反向速 度減小，直至 k = 0 處，v = 0。這就是在恒定外場作用下 速度的振蕩。（見前面圖）,二. 在實(shí)空間中的運(yùn)動(dòng)圖象,E,x,=0,受電場作用，能帶傾斜,電子速度的振蕩，意味著電子在實(shí)空間（坐標(biāo)空間）的振蕩，因?yàn)?E(k) 表示的是電子在周期場中的能量本征值，當(dāng)有外電場時(shí)，會(huì)附加一個(gè)靜電位能 ,使能帶發(fā)生傾斜，如圖所示。,電子速度的周期性振蕩也就是電子在實(shí)空間中的振蕩。設(shè) t = 0 時(shí)電子在較低的能帶底 A 點(diǎn)，在電場力的作用下，電子從（能 帶底）AB C（能帶頂），對(duì)應(yīng)于電子從k = 0 運(yùn)動(dòng)到 在 C 點(diǎn)電子遇到能隙，相當(dāng)于存在一個(gè)勢壘。在準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動(dòng) 中，電子被限制在同一能帶中運(yùn)動(dòng)，因此電子遇到勢壘后將全 部被反射回來，電子從CB A，對(duì)應(yīng)于k=/a到 k = 0的運(yùn) 動(dòng)，完成一次振蕩過程。,電場作用下，電子在實(shí)空間的運(yùn)動(dòng)示意圖（黃昆書p248),有兩點(diǎn)必須指出： 上述的振蕩現(xiàn)象實(shí)際上很難觀察到。由于電子在運(yùn)動(dòng)過程中不斷受到聲子、雜質(zhì)和缺陷的散射，若相鄰兩次散射（碰撞）間的平均時(shí)間間隔為，如果很小，電子還來不及完成一次振蕩過程就已被散射。而電子完成一次振蕩所需的時(shí)間為：,為了觀察到電子的振蕩過程，要求 T。 在晶體中， 1014 s，a 31010 m，由此可估算出若要觀察到振蕩現(xiàn)象，需加的電場 2105 V/cm。對(duì)金屬，無法實(shí)現(xiàn)高電場；對(duì)絕緣體，將被擊穿。,注：一般情況 T 10-5s，10-14s，一個(gè)周期內(nèi)碰撞 109次?。?振蕩現(xiàn)象完全被“沖掉”了,2. 在準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動(dòng)中，當(dāng)電子運(yùn)動(dòng)到能隙時(shí)，將全部被 反射回來。而根據(jù)量子力學(xué)，電子遇到勢壘時(shí)，將 有一定幾率穿透勢壘，而部分被反射回來。電子穿 透勢壘的幾率與勢壘的高度（即能隙Eg）和勢壘的 長度（由外場決定）有關(guān)。,對(duì)于絕緣體或?qū)щ姾懿畹陌雽?dǎo)體，材料內(nèi)部會(huì)建立很強(qiáng)的電場，導(dǎo)致電子的帶間隧穿，稱為電擊穿，或者齊納擊穿。 相應(yīng)于電場產(chǎn)生電擊穿，強(qiáng)磁場也會(huì)造成磁擊穿。,在有靜電場存在時(shí)，Bloch電子在真實(shí)空間做周期性振蕩，完全與自由電子不同，這是晶體中電子動(dòng)力學(xué)的一個(gè)驚人結(jié)論。下面給出二維情況的簡要描述：,開始電子處于任意點(diǎn) P，受電場作用，它在 k 空間做直線運(yùn)動(dòng)，遇到邊界回到對(duì)稱點(diǎn)，重新開始。,滿帶電子不導(dǎo)電 未滿帶電子導(dǎo)電 近滿帶和空穴導(dǎo)電 導(dǎo)體、絕緣體和半導(dǎo)體,見黃昆書 5.3節(jié)p250,雖然所有固體都含有大量電子，但卻有導(dǎo)體和絕緣體之分，這一基本事實(shí)曾長期得不到嚴(yán)格解釋，能帶論首次從理論上做了嚴(yán)格說明，是能帶論發(fā)展初期的重大成就，也由此開辟了金屬電導(dǎo)、絕緣體和半導(dǎo)體的現(xiàn)代理論。,7.3 導(dǎo)體、絕緣體和半導(dǎo)體的能帶論解釋,能帶中每個(gè)電子對(duì)電流密度的貢獻(xiàn) -ev(k)，因此帶中所有電子的貢獻(xiàn)為：,積分包括能帶中所有被占據(jù)態(tài)。,有電場存在時(shí)，由于不同材料中電子在能帶中的填充情況不同，對(duì)電場的響應(yīng)也不同，導(dǎo)電能力也各不相同。我們分三種情況討論： 滿 帶：電子已填滿了能帶中所有的能態(tài)。 導(dǎo) 帶：一個(gè)能帶中只有部分能態(tài)填有電子，而其余的能 態(tài)為沒有電子填充的空態(tài)。 近滿帶：一個(gè)能帶的絕大部分能態(tài)已填有電子，只有少數(shù) 能態(tài)是空的。,在 k 空間中，對(duì)于同一能帶有,容易證明，對(duì)于同一能帶，處于k態(tài)和處于k態(tài)的電子具有大小相等方向相反的速度。,當(dāng)沒有外加電場時(shí)，在一定溫度下，電子占據(jù)k態(tài)和k態(tài)的幾率只與該狀態(tài)的能量有關(guān)。所以，電子占據(jù) k 態(tài)和k態(tài)的幾率相同，這兩態(tài)的電子對(duì)電流的貢獻(xiàn)相互抵消。由于能帶相對(duì)于 k是對(duì)稱的，所以，電流密度對(duì)整條能帶積分后也沒有宏觀電流，即I0。,一. 滿帶電子不導(dǎo)電,當(dāng)存在外加電場時(shí)，由于滿帶中所有能態(tài)均已被電子填滿，外電場并不改變電子在滿帶中的對(duì)稱分布，所以不產(chǎn)生宏觀電流，I0。,從速度公式 ，我們可以得到一個(gè)重要結(jié)果： 一個(gè)完全充滿電子的能帶不能形成電流。根據(jù)公式可知：,（見右下圖）,這可以從能量對(duì)稱關(guān)系中給出。 能帶中所有電子產(chǎn)生的總電流密度是：,由于上面的關(guān)系，求和為零。 所以滿帶不能形成電流。,簡易說明：,二. 未滿帶電子導(dǎo)電導(dǎo)帶：,下圖所示部分填充的能帶和滿帶不同，在外電場作用下，可以產(chǎn)生電流。,不存在電場時(shí)，由于電子在能帶中的對(duì)稱填充，非滿帶也不存在宏觀電流。,當(dāng)存在電場時(shí)，由于導(dǎo)帶中還有部分沒有電子填充的空態(tài)， 因而導(dǎo)帶中的電子在外場的作用下會(huì)產(chǎn)生能級(jí)躍遷， 從而使導(dǎo)帶中的對(duì)稱分布被破壞，產(chǎn)生宏觀電流，I0。,三. 近滿帶和空穴導(dǎo)電,在有外場時(shí)，由于近滿帶中仍有少量沒有電子占據(jù)的空態(tài)，所以在外場的作用下，電子也會(huì)發(fā)生能級(jí)躍遷，導(dǎo)致電子的不對(duì)稱分布，所以， I 0。 假設(shè)近滿帶中有一個(gè) k 態(tài)中沒有電子，設(shè) I(k) 為這種情況下整個(gè)近滿帶的總電流。設(shè)想在空的 k 態(tài)中填入一個(gè)電子，這個(gè)電子對(duì)電流的貢獻(xiàn)為ev(k)。但由于填入這個(gè)電子后，能帶變?yōu)闈M帶，因此總電流為 0 。,這表明，近滿帶的總電流就如同一個(gè)帶正電荷e，其速度 為空狀態(tài) k 的電子速度一樣。,在有電磁場存在時(shí)，設(shè)想在 k 態(tài)中仍填入一個(gè)電子形成滿帶。而滿帶電流始終為0，對(duì)任意 t 時(shí)刻都成立。,作用在 k 態(tài)中電子上的外力為,電子的準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動(dòng)：,而在能帶頂附近，電子的有效質(zhì)量為負(fù)值，m* 0。,為正電荷e在電磁場中所受的力。,所以，在有電磁場存在時(shí)，近滿帶的電流變化就如同 一個(gè)帶正電荷 e，具有正有效質(zhì)量 m*的粒子一樣。,定義：當(dāng)滿帶頂附近有空狀態(tài) k 時(shí)，整個(gè)能帶中的電流 以及電流在外電磁場作用下的變化，完全如同一個(gè)帶正 電荷e、具有正有效質(zhì)量m*和速度v(k)的粒子的情況一 樣。我們將這種假想的粒子稱為空穴。,兩種載流子導(dǎo)電行為 空穴導(dǎo)電性：滿帶中缺少一些電子所產(chǎn)生的導(dǎo)電性； 電子導(dǎo)電性：導(dǎo)帶底有少量電子所產(chǎn)生的導(dǎo)電性。 引入空穴概念后，在金屬自由電子論中所無法解釋的正Hall系數(shù)問題，就很容易解釋了。在金屬中參與導(dǎo)電的載流子既可以是電子，也可以是空穴。,空穴是一個(gè)帶有正電荷，具有正有效質(zhì)量的準(zhǔn)粒子。 它是在整個(gè)能帶的基礎(chǔ)上提出來的，它代表的是近滿帶中 所有電子的集體行為，因此，空穴不能脫離晶體而單獨(dú)存 在，它只是一種準(zhǔn)粒子。,引入空穴概念的必要性的進(jìn)一步說明： 滿帶中缺了少數(shù)電子就會(huì)有一定的導(dǎo)電性，這種近滿帶的情形在半導(dǎo)體中特別重要，要描述近滿帶中電子的運(yùn)動(dòng)，由于涉及到數(shù)目很大的電子的集體運(yùn)動(dòng)，因而在表述上十分不便，為此，引入空穴的概念，將大量電子的集體運(yùn)動(dòng)等價(jià)地變?yōu)樯贁?shù)空穴的運(yùn)動(dòng)，從而大大簡化了有關(guān)近滿帶的問題，使?jié)M帶頂附近缺乏一些電子的問題與導(dǎo)帶底有少數(shù)電子的問題十分相似。 還應(yīng)特別強(qiáng)調(diào)：我們雖然賦予空穴有質(zhì)量、電荷等屬性，但它不是客觀存在的一種實(shí)物粒子，而只是客觀實(shí)物粒子電子集體運(yùn)動(dòng)的一種等價(jià)描述，就像聲子一樣，也是一種”準(zhǔn)粒子“或說：元激發(fā),四. 導(dǎo)體、絕緣體和半導(dǎo)體,非導(dǎo)體：電子剛好填滿能量最低的一系列能帶，而能量再 高的各能帶都是沒有電子填充的空帶。 導(dǎo) 體：電子除填滿能量最低的一系列能帶外，在滿帶和 空帶間還有部分填充的導(dǎo)帶。 半導(dǎo)體：其禁帶寬度一般較窄。 常規(guī)半導(dǎo)體：如 Si：Eg 1.1eV； Ge： Eg 0.7 eV；GaAs： Eg 1.5 eV 寬帶隙半導(dǎo)體：如SiC： Eg 2.3 eV； 4HSiC： Eg3 eV 絕緣體：禁帶寬度一般都較寬， Eg 幾個(gè)eV。 如Al2O3： Eg8 eV；NaCl： Eg6 eV。,半金屬：介于金屬與半導(dǎo)體之間的中間狀態(tài)。 電子密度：As：2.11020cm-3; Sb： 5.7 1019cm-3; Bi： 2.7 1017cm-3; Cu： 8.45 1022cm-3 電阻率：Bi：c 127 10-6(cm)；c 100 10-6(cm) Sb：c 29.310-6(cm)；c 38.4 10-6(cm) Cu： 1.55 10-6(cm)；Al：2.5 10-6(cm),由于半導(dǎo)體材料的能隙較窄，因而在一定溫度下，有少量電子從價(jià)帶頂躍遷到導(dǎo)帶底，從而在價(jià)帶中產(chǎn)生少量空穴，而在導(dǎo)帶底出現(xiàn)少量電子。因此，在一定溫度下，半導(dǎo)體具有一定的導(dǎo)電性，稱為本征導(dǎo)電性。電子的躍遷幾率exp(-Eg/kBT)，在一般情況下，由于EgkBT，所以，電子的躍遷幾率很小，半導(dǎo)體的本征導(dǎo)電率較低。T升高，電子躍遷幾率指數(shù)上升，半導(dǎo)體的本征電導(dǎo)率也隨之迅速增大。,在金屬中，其導(dǎo)帶部分填充，導(dǎo)帶中有足夠多的載流子（電子或空穴），溫度升高，載流子的數(shù)目基本上不增加。但溫度升高，原子的熱振動(dòng)加劇，電子受聲子散射的幾率增大，電子的平均自由程減小。因此，金屬的電導(dǎo)率隨溫度的升高而下降。,如果半導(dǎo)體中存在一定的雜質(zhì)，其能帶的填充情況將有所改變，可使導(dǎo)帶中出現(xiàn)少量電子或價(jià)帶中出現(xiàn)少量空穴，從而使半導(dǎo)體有一定的導(dǎo)電性，稱為非本征導(dǎo)電性。,絕緣體的帶隙寬，在一般情況下，絕緣體沒有可觀察到的導(dǎo)電性。,幾個(gè)實(shí)例：,堿金屬 晶體結(jié)構(gòu)：體心立方（ bcc）結(jié)構(gòu)，每個(gè)原胞中 有一個(gè)原子。堿金屬原子基態(tài)：內(nèi)殼層飽和，最外層的 ns態(tài)有一個(gè)價(jià)電子。Li：1s22s1；Na：1s22s22p63s1 等。 由N個(gè)堿金屬原子結(jié)合成晶體時(shí)，原子的內(nèi)層電子剛好 填滿相應(yīng)的能帶，而與外層ns態(tài)相應(yīng)的能帶卻只填充了 一半。因此，堿金屬是典型的金屬導(dǎo)體。 貴金屬（Cu、Ag和Au）的情況（fcc結(jié)構(gòu)）與堿金屬相 似，也是典型的金屬導(dǎo)體。,第三族元素也有類似的情況，只不過這時(shí)形成導(dǎo)帶的是np電子，而不是ns電子。所以，第三族元素的晶體絕大多數(shù)為金屬。 對(duì)于二價(jià)的堿土金屬元素，與堿金屬元素相似，其最外層有兩個(gè)ns電子，如Be：1s22s2；Mg：1s22s22p63s2等。若按對(duì)堿金屬的討論，N個(gè)堿土金屬原子中有2N個(gè)ns電子，應(yīng)剛好填滿其相應(yīng)的ns能帶而形成非導(dǎo)體。但實(shí)際上它們是金屬導(dǎo)體，而不是非導(dǎo)體。這是由于在這些晶體中，與ns態(tài)相應(yīng)的能帶與上面的能帶發(fā)生重疊，因此，2N個(gè)ns電子尚未填滿相應(yīng)的能帶就已開始填入更高的能帶，結(jié)果使得這兩個(gè)能帶都是部分填充的。,周期表中第四族及其以上的元素，由于其電子態(tài)和結(jié)合形式比較復(fù)雜，所以必須經(jīng)過具體計(jì)算之后，才能判斷是金屬還是