(免費(fèi)資料)2007年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題分析及答案

2007年全國(guó)碩士入學(xué)統(tǒng)考數(shù)學(xué)(二)試題及答案一、選擇題（本題共10小題，每小題4分，滿分40分. 每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)）（1）當(dāng)時(shí)，與等價(jià)的無(wú)窮小量是(A). (B) (C) . (D) . 【分析】 因此選（）（2）函數(shù)在上的第一類間斷點(diǎn)是(A)0. (B) 1 (C) . (D). A 【分析】 的第一類間斷點(diǎn)。選（A）。（3）如圖,連續(xù)函數(shù)在區(qū)間3, 2，2，3上的圖形分別是直徑為1的上、下半圓周，在區(qū)間2，0，0，2的圖形分別是直徑為2的上、下半圓周。設(shè)，則下列結(jié)論正確的是（A） (B) (C) (D) C 【分析】注意，大、小半圓的面積分別為與。按定積分的幾何意義知，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)。 因?yàn)闉槠婧瘮?shù)為偶函數(shù)。 因此 選（C） （4）設(shè)函數(shù)在x=0處連續(xù)，下列命題錯(cuò)誤的是(A) 若存在，則(B) 若存在，則 (C) 若存在，則存在(D) 若存在，則存. D 【分析】 設(shè)，則存在，但不存在因此（D）是錯(cuò)誤的。選（D）。 (5) 曲線漸進(jìn)線的條數(shù)為 (A) . (B) . (C) . (D) . 【分析】 只有間斷點(diǎn)由于故為垂直漸進(jìn)線.又 故時(shí)有水平漸進(jìn)線又 故時(shí)有漸進(jìn)線因此選(D).（6）設(shè)函數(shù)在（0，+）上具有二階的導(dǎo)數(shù)，且令，則下列結(jié)論正確的是 (A) 若則必收斂。 (B) 若則必發(fā)散。(C) 若則必收斂。 (D) 若則必發(fā)散。 D 【分析】 由單調(diào)上升。只有以下三種情況：（1）在（0，），在,又時(shí)（2）對(duì)所有且（3）對(duì)，則或。如， ，又如， 但不正確由（1），（2）（C）不正確，而（D）正確。因此，選（D）。（7）二元函數(shù)在點(diǎn)(0,0)處可微的一個(gè)充分條件是(A) . (B) . (C) (D) . C 【分析】 按可微性定義，在(0,0)可微其中A，B是與無(wú)關(guān)的常數(shù)。題中（C）即A=B=0的情形。因此由（C）在(0,0)可微，因此選（C）。（8）設(shè)函數(shù)連續(xù),則二次積分等于(A) (B) (C) . (D) B 【分析】 這是交換積分順序的問(wèn)題。先將二次積分表成由累次積分限確定區(qū)域D如圖所示。記的反函數(shù)是，則改換積分順序得由此知（C），（D）不正確現(xiàn)在的關(guān)鍵是求出的反函數(shù)：因此. 選（B）. （9）設(shè)向量組線性無(wú)關(guān)，則下列向量組線性相關(guān)的是(A) (B) (C) . (D) 【分析】因?yàn)樗韵蛄拷M線性相關(guān)，故選（），至于（）、（）、（）的線性相關(guān)性可以用的方法來(lái)處理。例如由于，故知線性相關(guān)。（10）設(shè)矩陣則與(A) 合同，且相似 (B)合同但不相似 (C)不和同，但相似. (D)既不合同，也不相似 B 【分析】 根據(jù)跡相等是兩矩陣相似的必要條件，易見(jiàn)和肯定不相似。由此可以排除（）與（）。而合同的充要條件是有相同的正、負(fù)慣性指數(shù)。為此可以用特征值來(lái)加以判斷。由，矩陣的特征值為，3，0。故二次型的正慣性指數(shù)，負(fù)慣性指數(shù)，而二次型的正慣性指數(shù)也為，負(fù)慣性指數(shù)，所以A、B合同。故應(yīng)選（B）。二、填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上）（11） 【分析】 （12） 曲線上對(duì)應(yīng)于的點(diǎn)處的法線斜率為 【分析】 先求切線斜率于是因此法線斜率為 .（13） 設(shè)函數(shù),則 【分析】 用歸納法求解.易歸納證得因此（14） 二階常系數(shù)非齊次線性方程的通解為y【分析】 特征方程的根為非齊次項(xiàng)不是特征根，非齊次方程有特解代入方程得因此，通解為（15） 設(shè)是二元可微函數(shù),則 【分析】 由多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得（16） 設(shè)矩陣，則的秩為【分析】因?yàn)榭梢灾热?、解答題：1724小題，共86分。請(qǐng)將解答寫在答題紙指定的位置，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明的過(guò)程或演算的步驟。 （17）（本題滿分11分） 設(shè)是區(qū)間上的單調(diào)、可導(dǎo)函數(shù),且滿足,其中是的反函數(shù),求.【分析與求解】對(duì)題設(shè)等式兩邊求導(dǎo)得注意于是在原式中令得由條件(18) （本題滿分10分） 設(shè)D是位于曲線下方、軸上方的無(wú)界區(qū)域.（）求區(qū)域D繞軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體的體積;（）當(dāng)為何值時(shí)，最小?并求此最小值,【分析與求解】()() (19) （本題滿分11分） 求微分方程滿足初始條件的特解.【分析與求解】令得.改寫成這是一階線性方程,兩邊乘得由初值由 (20) （本題滿分10分）已知函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù),且,函數(shù)由方程所確定.設(shè),求.【分析與求解】由方程求導(dǎo)得在求導(dǎo)得現(xiàn)由 (21) （本題滿分11分） 設(shè)函數(shù)在上連續(xù),在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)且存在相等的最大值,證明:存在,使得.【分析與證明】下，要證存在已知只須由題設(shè)再證（1） 由題設(shè)若取若不妨設(shè)則（2）由對(duì)分別在用羅爾定理使得再對(duì)用羅爾定理使得即 (22) （本題滿分11分）設(shè)二元函數(shù)計(jì)算二重積分,其中.【分析與求解解】 D如圖（1）所示,它關(guān)于軸對(duì)稱,又對(duì)均為偶函數(shù)其中是D的第一象限部分.由于被積函數(shù)分塊表示，將分成(如圖(2): ，且于是 而 因此 (23) （本題滿分11分）設(shè)線性方程組與方程有公共的解,求的值及所有的公共解【解】 將與聯(lián)立，加減消元有如果則從而方程組的通解為即是方程組與的公共解。如果則從而方程組的通解為即是方程組與的公共解。(24)（本題滿分11分） 設(shè)三階實(shí)對(duì)稱矩陣A的特征值是A的屬于 的一個(gè)特征向量.記,其中E為3階單位矩陣.() 驗(yàn)證是矩陣B的特征向量,并求B的全部特征值的特征向量;() 求矩陣B.【解】 （）由知那么所以是矩陣B屬于特征值的特征向量。類似地，若有因此，矩陣B的特征值為由