高中數(shù)學(xué)選修4-2矩陣與變換知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)課課件蘇教版.ppt

2.1.1 矩陣的概念 1.矩陣的概念，零矩陣，行矩陣，列矩陣; 2.矩陣的表示； 3.相等的矩陣; 2.1.2 二階矩陣與平面列向量的乘法 1.二階矩陣與平面向量的乘法規(guī)則; 2.理解矩陣對(duì)應(yīng)著向量集合到向量集合的映射; 3.待定系數(shù)法是由原象和象確定矩陣的常用方法.,2.1 二階矩陣與平面向量,的矩形數(shù)字（或字母）陣列稱為矩陣.通常用大寫黑體的拉丁字母A、B、C表示，或者用(aij)表示，其中i,j 分別表示元素aij 所在的行與列. 同一橫排中按原來次序排列的一行數(shù)（或字母）叫做矩陣的行，同一豎排中按原來次序排列的一行數(shù)（或字母）叫做矩陣的列. 組成矩陣的每一個(gè)數(shù)（或字母）稱為矩陣的元素。,2.2.1 恒等變換 2.2.2 伸壓變換 2.2.3 反射變換 2.2.4 旋轉(zhuǎn)變換 2.2.5 投影變換 2.2.6 切變變換,2.2 幾種常見的平面變換,恒等變換矩陣(單位矩陣):,恒等變換:,對(duì)平面上任何一點(diǎn)(向量)或圖形施以矩陣 對(duì)應(yīng)的變換,都把自己變成自己。這種特殊的矩陣稱為恒等變換矩陣(單位矩陣).,恒等變換矩陣實(shí)施的對(duì)應(yīng)變換稱為恒等變換。,二階單位矩陣一般記為E,垂直伸壓變換矩陣：,伸壓變換：,將平面圖形作沿y軸方向伸長(zhǎng)或壓縮,或作沿x軸方向伸長(zhǎng)或壓縮的變換矩陣,通常稱做沿y軸或x軸的垂直伸壓變換矩陣.,伸壓變換矩陣對(duì)應(yīng)的變換稱為垂直伸壓變換,簡(jiǎn)稱伸壓變換.,一般地，稱形如M1,M2,M3,M4,M5這樣的矩陣為反射變換矩陣，對(duì)應(yīng)的變換叫做反射變換，其中（2）叫做中心反射，其余叫軸反射.其中定直線叫做反射軸，定點(diǎn)稱為反射點(diǎn).,M(l1a+l2b) = l1Ma+l2Mb,上式表明，在矩陣M的作用下，直線l1a+l2b 變成直線 l1Ma+l2Mb.,這種把直線變成直線的變換，通常叫做線性變換。,反之，平面上的線性變換可以用矩陣來表示，但二階矩陣不能刻畫所有平面圖形的性變換。,(即形如 的幾何變換叫做線性變換),旋轉(zhuǎn)變換,矩陣 通常叫做旋轉(zhuǎn)變換矩陣.,對(duì)應(yīng)的變換稱做旋轉(zhuǎn)變換.,其中的角q做旋轉(zhuǎn)角.,點(diǎn)O叫做旋轉(zhuǎn)中心.,旋轉(zhuǎn)變換只改變幾何圖形的位置，不會(huì)改變幾何圖形的形狀.,圖形的旋轉(zhuǎn)由旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角度決定.,(1)投影變換的幾何要素: 投影方向, 投影到的某條直線L. (2)投影變換矩陣能反映投影變換的幾何要素 (3)與投影方向平行的直線投影于L的情況是某個(gè)點(diǎn) (4)投影變換是映射,但不是一一映射,像 這類將平面內(nèi)圖形投影到某條直線,相應(yīng)的變換稱做投影變換.,(或某個(gè)點(diǎn)),上的矩陣,我們稱之為投影變換矩陣,投影變換,平移|ky|個(gè)單位: 當(dāng)ky0時(shí)，沿x軸正方向移動(dòng)； 當(dāng)ky0時(shí)，沿x軸負(fù)方向移動(dòng)； 當(dāng)ky=0時(shí)，原地不動(dòng). 在此變換作用下，圖形在x軸上的點(diǎn)是不動(dòng)點(diǎn)。,切變變換,矩陣 把平面上的點(diǎn)P(x, y)沿x軸方向,像由矩陣 確定的變換通常叫做切變變換,對(duì)應(yīng)的矩陣叫做切變變換矩陣。,2.3.1 矩陣乘法的概念 2.3.2 矩陣乘法的的簡(jiǎn)單性質(zhì),2.3 變換的復(fù)合與矩陣的乘法,規(guī)定：矩陣乘法的法則是:,建構(gòu)數(shù)學(xué),矩陣的乘法的幾何意義：,矩陣乘法MN的幾何意義為：對(duì)向量連續(xù)實(shí)施的兩次幾何變換(先TN,后TM)的復(fù)合變換.,建構(gòu)數(shù)學(xué),當(dāng)連續(xù)對(duì)向量實(shí)施n(nN*)次變換TM時(shí)，記作：Mn=MM M,在數(shù)學(xué)中，一一對(duì)應(yīng)的平面幾何變換都可以看做是伸壓、反射、旋轉(zhuǎn)、切變變換的一次或多次復(fù)合，而伸壓、反射、旋轉(zhuǎn)、切變等變換通常叫做初等變換，對(duì)應(yīng)的矩陣叫做初等變換矩陣。,2.4.1 逆矩陣的概念 2.4.2 二階矩陣與二元一次方程組,2.4 逆變換與逆矩陣,對(duì)于二矩陣 A,B 若有 AB=BA=E 則稱 A 是可逆的, B 稱為A 的逆矩陣.,通常記 A的逆矩陣為 A-1,若二階矩陣 A 存在逆矩陣 B,則逆矩陣是唯一的.,建構(gòu)數(shù)學(xué),逆矩陣的唯一性：,思考： A的逆矩陣有多少個(gè)？,若二階矩陣 A,B 均存在逆矩陣,則 AB 也存在逆矩陣,且 (AB)-1=B-1A-1,建構(gòu)數(shù)學(xué),對(duì)于二階矩陣什么條件下可以滿足消去律?,已知 A, B, C 為二階矩陣,且 AB=AC ,若矩陣 A 存在逆矩陣,則 B = C,建構(gòu)數(shù)學(xué),用逆矩陣的知識(shí)理解二元一次方程組的求解過程。,設(shè)矩陣A ，如果對(duì)于實(shí)數(shù)l，存在一個(gè),非零向量a，使得Aa= la，則稱l是矩陣A的一個(gè)特征值。,a是矩陣A的屬于特征值l的一個(gè)特征向量。,從幾何上看，特征向量的方向經(jīng)過變換矩陣A的作用后，保持在同一條直線上。,這時(shí)，特征向量或者方向不變(l0)， 或者方向相反(l0).,特別地，當(dāng)l=0時(shí)，特征向量被變換成了0向量.,2.5 特征值與特征向量,建構(gòu)數(shù)學(xué),設(shè)矩陣A ，lR，我們把行列式,稱為A的特征多項(xiàng)式。,分析表明，如果l是矩陣A的特征值，則f (l)=0,此時(shí)，將l代入方程組(*)，得到一組非零解,即 為矩陣A的屬于l的一個(gè)特征向量.,如果a是矩陣A的屬于特征值l的一個(gè)特征向量，則對(duì)任意的非零常數(shù)t，ta也是矩陣