（江蘇專用）2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第二十一章選修4系列21.1矩陣與變換課件.pptx

第二十一章 選修4系列 21.1 矩陣與變換,高考數(shù)學(xué) (江蘇省專用),考點(diǎn) 矩陣與變換,五年高考,自主命題江蘇卷題組,1.(2019江蘇,21A,10分)已知矩陣A= . (1)求A2; (2)求矩陣A的特征值.,解析 本題主要考查矩陣的運(yùn)算、特征值等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力. (1)因?yàn)锳= ,所以A2= = = . (2)矩陣A的特征多項(xiàng)式為 f()= =2-5+4. 令f()=0,解得A的特征值1=1,2=4.,2.(2018江蘇,21B,10分)已知矩陣A= . (1)求A的逆矩陣A-1; (2)若點(diǎn)P在矩陣A對(duì)應(yīng)的變換作用下得到點(diǎn)P(3,1),求點(diǎn)P的坐標(biāo).,解析 本題主要考查矩陣的運(yùn)算、線性變換等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力. (1)解法一:因?yàn)锳= ,det(A)=22-13=10,所以A可逆. 從而A-1= . 解法二:設(shè)A-1= , 則AA-1=E(E為二階單位矩陣), = ,得到a=2,b=-3,c=-1,d=2, A-1= . (2)設(shè)P(x,y),則 = , 所以 =A-1 = . 因此,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,-1).,3.(2017江蘇,21B,10分)已知矩陣A= ,B= . (1)求AB; (2)若曲線C1: + =1在矩陣AB對(duì)應(yīng)的變換作用下得到另一曲線C2,求C2的方程.,解析 本題主要考查矩陣的乘法、線性變換等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力. (1)因?yàn)锳= ,B= , 所以AB= = . (2)設(shè)Q(x0,y0)為曲線C1上的任意一點(diǎn),它在矩陣AB對(duì)應(yīng)的變換作用下變?yōu)镻(x,y), 則 = ,即 所以 因?yàn)辄c(diǎn)Q(x0,y0)在曲線C1上,則 + =1, 從而 + =1,即x2+y2=8. 因此曲線C1在矩陣AB對(duì)應(yīng)的變換作用下得到曲線C2:x2+y2=8.,4.(2016江蘇,21B,10分)已知矩陣A= ,矩陣B的逆矩陣B-1= ,求矩陣AB.,解析 解法一:設(shè)B= , 則B-1B= = , 即 = , 故 解得 所以B= . 因此,AB= = . 解法二:因?yàn)锽-1= ,所以B=(B-1)-1= = . 因此,AB= = .,5.(2015江蘇,21B,10分)已知x,yR,向量= 是矩陣A= 的屬于特征值-2的一個(gè)特征向 量,求矩陣A以及它的另一個(gè)特征值.,解析 由已知,得A=-2,即 = = , 則 即 所以矩陣A= . 從而矩陣A的特征多項(xiàng)式f()=(+2)(-1), 所以矩陣A的另一個(gè)特征值為1.,教師專用題組 考點(diǎn) 矩陣與變換,1.(2014江蘇,21B,10分)已知矩陣A= ,B= ,向量= ,x,y為實(shí)數(shù),若A=B,求x+y的 值.,解析 由已知,得A= = ,B= = . 因?yàn)锳=B,所以 = .故 解得 所以x+y= .,2.(2014福建,21,14分)已知矩陣A的逆矩陣A-1= . (1)求矩陣A; (2)求矩陣A-1的特征值以及屬于每個(gè)特征值的一個(gè)特征向量.,解析 (1)因?yàn)榫仃嘇是矩陣A-1的逆矩陣,且|A-1|=22-11=30, 所以A= = . (2)矩陣A-1的特征多項(xiàng)式為f()= =2-4+3=(-1)(-3), 令f()=0,得矩陣A-1的特征值為1=1或2=3, 所以1= 是矩陣A-1的屬于特征值1=1的一個(gè)特征向量, 2= 是矩陣A-1的屬于特征值2=3的一個(gè)特征向量.,3.(2013福建,21(1),7分)已知直線l:ax+y=1在矩陣A= 對(duì)應(yīng)的變換作用下變?yōu)橹本€l:x+by=1. (1)求實(shí)數(shù)a,b的值; (2)若點(diǎn)P(x0,y0)在直線l上,且A = ,求點(diǎn)P的坐標(biāo).,解析 (1)設(shè)直線l:ax+y=1上任意點(diǎn)M(x,y)在矩陣A對(duì)應(yīng)的變換作用下的像是M(x,y). 由 = = ,得 又點(diǎn)M(x,y)在l上,所以x+by=1,即x+(b+2)y=1, 依題意得 解得 (2)由A = ,得 解得y0=0. 又點(diǎn)P(x0,y0)在直線l上,所以x0=1. 故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,0).,評(píng)析 本題主要考查矩陣、矩陣與變換等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.,4.(2013江蘇,21B,10分)已知矩陣A= ,B= ,求矩陣A-1B.,解析 設(shè)矩陣A的逆矩陣為 ,則 = , 即 = , 故a=-1,b=0,c=0,d= ,從而A的逆矩陣為A-1= , 所以A-1B= = .,5.(2012江蘇,21B,10分)已知矩陣A的逆矩陣A-1= ,求矩陣A的特征值.,解析 因?yàn)锳-1A=E,所以A=(A-1)-1. 因?yàn)锳-1= ,所以A=(A-1)-1= , 于是矩陣A的特征多項(xiàng)式為f()= =2-3-4. 令f()=0,解得A的特征值1=-1,2=4.,評(píng)析 本題主要考查矩陣的基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力.,6.(2011江蘇,21B,10分)已知矩陣A= ,向量= .求向量,使得A2=.,解析 A2= = . 設(shè)= .由A2=,得 = ,從而 解得x=-1,y=2,所以= .,評(píng)析 本題考查矩陣運(yùn)算法則等基礎(chǔ)知識(shí),對(duì)運(yùn)算能力有一定的要求,屬中等難度題.,7.(2011福建,21(1),7分)設(shè)矩陣M= (其中a0,b0). (1)若a=2,b=3,求矩陣M的逆矩陣M-1; (2)若曲線C:x2+y2=1在矩陣M所對(duì)應(yīng)的線性變換作用下得到曲線C: +y2=1,求a,b的值.,解析 (1)設(shè)矩陣M的逆矩陣M-1= , 則MM-1= .又M= , 所以 = , 所以2x1=1,2y1=0,3x2=0,3y2=1, 即x1= ,y1=0,x2=0,y2= , 故所求的逆矩陣M-1= . (2)設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)P(x,y),它在矩陣M所對(duì)應(yīng)的線性變換作用下得到點(diǎn)P(x,y),則 = ,即 又點(diǎn)P(x,y)在曲線C上,所以 +y2=1, 則 +b2y2=1為曲線C的方程.,又已知曲線C的方程x2+y2=1,故 又a0,b0,所以,三年模擬,A組 20172019年高考模擬考點(diǎn)基礎(chǔ)題組,1.(2019無錫期末,21A)設(shè)旋轉(zhuǎn)變換矩陣A= ,若 A= ,求ad-bc的值.,解析 A= , = , 得 (6分) 即a=-4,b=3,c=2,d=-1. (8分) ad-bc=(-4)(-1)-23=-2. (10分),2.(2019金陵中學(xué)檢測(cè),21B)若點(diǎn)A(2,1)在矩陣M= 對(duì)應(yīng)變換作用下得到點(diǎn)B(4,5),求矩陣M 的逆矩陣.,解析 由題意得M = ,即 = ,所以 解得 所以M= . (5分) 解法一:因?yàn)閐etM= =-7, 所以M-1= = . (10分) 解法二:設(shè)M-1= ,由M-1M= ,得 = ,所以 解得c= ,d= ,e= , f=- , 所以M-1= . (10分),3.(2019蘇中、蘇北七市第二次調(diào)研,21A)已知m,nR,向量= 是矩陣M= 的屬于特征 值3的一個(gè)特征向量,求矩陣M及另一個(gè)特征值.,解析 由題意得,M=3,即 = = , 所以m=2,n=1,即矩陣M= . (5分) 矩陣M的特征多項(xiàng)式f()= =(-1)2-4=0, 解得矩陣M的另一個(gè)特征值=-1. (10分),4.(2019蘇北三市(徐州、連云港、淮安)期末,21A)已知矩陣A= ,B= ,求A-1B.,解析 由公式易得A-1= . (5分) 所以A-1B= = . (10分),5.(2019蘇州期末,21A)已知矩陣M= 的逆矩陣M-1= ,求實(shí)數(shù)m,n.,解析 由于MM-1= = = , 所以 解得,6.(2019南京、鹽城期末,21A)直線l:2x-y+3=0經(jīng)過矩陣M= 變換后還是直線l,求矩陣M的 特征值.,解析 設(shè)直線l上一點(diǎn)(x,y)經(jīng)矩陣M變換后得到點(diǎn)(x,y), 所以 = ,即 因?yàn)樽儞Q后的直線還是直線l,所以將點(diǎn)(x,y)代入直線l的方 程, 得2ax-(x+dy)+3=0,即(2a-1)x-dy+3=0, 所以 解得 (6分) 所以矩陣M的特征多項(xiàng)式f()= = (-1),令f()=0, 解得= 或=1,所以矩陣M的特征值為 與1. (10分),解答題(共80分),B組 20172019年高考模擬專題綜合題組 (時(shí)間：45分鐘 分值：80分),1.(2019蘇錫常鎮(zhèn)四市教學(xué)情況調(diào)查二,21A)已知矩陣A= ,其逆矩陣A-1= ,求A2.,解析 因?yàn)锳A-1= ,即 = , 所以 (2分) 解得a=1,b= ,c=- ,則A= . (5分) 所以A2= = . (10分),2.(2019南京期初調(diào)研,21A)已知矩陣A= ,向量= . (1)若向量= 滿足A=,求x,y的值; (2)求A-1.,解析 (1)因?yàn)榫仃嘇= ,向量= ,= ,且A=, 所以A= = = . (3分) 所以 解得 (5分) (2)因?yàn)榫仃嘙= (ad-bc0)的逆矩陣為M-1= ,且矩陣A= , 所以A-1= . (10分),3.(2019南京三模,21A)已知矩陣M= . (1)求M2; (2)求矩陣M的特征值和特征向量.,解析 (1)M2= = . (4分) (2)矩陣M的特征多項(xiàng)式f()= =(-1)(-3). 令f()=0,解得M的特征值為1=1,2=3. (6分) 當(dāng)=1時(shí), = ,得 令x=1,則y=-1,于是矩陣M屬于特征值1的一個(gè)特征向量為 . (8分) 當(dāng)=3時(shí), =3 ,得 令x=1,則y=1,于是矩陣M屬于特征值3的一個(gè)特征向量為 . 因此,矩陣M的特征值為1,3,分別對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量為 , . (10分),4.(2019南師大附中期中,21A)已知二階矩陣M= 的特征值=-2所對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量e = . (1)求矩陣M; (2)設(shè)曲線C在矩陣M作用下得到的曲線C的方程為x2+y2=1,求曲線C的方程.,解析 (1)因?yàn)镸e=e,所以 =-2 . (2分) 所以 所以 所以M= . (5分) (2)設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)P(x,y)在矩陣M作用下得到曲線x2+y2=1上的一點(diǎn)P(x,y), 則 = ,即 (7分) 又因?yàn)辄c(diǎn)P(x,y)在曲線x2+y2=1上,所以x2+y2=1,即(-x+y)2+(2x)2=1. 整理得5x2-2xy+y2-1=0. 所以曲線C的方程為5x2-2xy+y2-1=0. (10分),5.(2019南通基地學(xué)校3月聯(lián)考,21A)已知二階矩陣A有特征值=-4,其對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量為e= ,并且矩陣A對(duì)應(yīng)的變換將點(diǎn)(1,2)變換成點(diǎn)(8,4),求矩陣A.,解析 設(shè)所求二階矩陣A= . 由題意得Ae=-4e,且A = . (5分) 所以 解得 所以A= . (10分),6.(2019泰州期末,21A)已知矩陣M= 的一個(gè)特征值為-2,向量= ,求M.,解析 f()= =2-(x-1)-(x+5)=0,將=-2代入上式,解得x=3, 所以M= ,所以M= = .,7.(2019蘇中、蘇北七大市三模,21A)已知a,b,c,dR,矩陣A= 的逆矩陣A-1= .若曲線 C在矩陣A對(duì)應(yīng)的變換作用下得到曲線y=2x+1,求曲線C的方程.,解析 由題意得,AA-1= ,即 = = , 所以a=1,b=1,c=2,d=0, 即矩陣A= . (5分) 設(shè)P(x,y)為曲線C上的任意一點(diǎn),在矩陣A對(duì)應(yīng)的變換作用下變?yōu)辄c(diǎn)P(x,y), 則 = ,即 (8分) 由已知條件可知,P(x,y)滿足y=2x+1,整理得2x-