（課標(biāo)專用）2020屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用3.2導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用課件.pptx

3.2 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,高考文數(shù) (課標(biāo)專用),考點(diǎn)一 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性,五年高考,A組 統(tǒng)一命題課標(biāo)卷題組,1.(2016課標(biāo)全國,12,5分)若函數(shù)f(x)=x- sin 2x+asin x在(-,+)單調(diào)遞增,則a的取值范圍是 ( ) A.-1,1 B. C. D.,答案 C 解法一:f (x)=1- cos 2x+acos x=1- (2cos2x-1)+acos x=- cos2x+acos x+ .因?yàn)閒(x) 在R上單調(diào)遞增,所以f (x)0在R上恒成立.令cos x=t,t-1,1,則- t2+at+ 0在-1,1上恒成 立,即4t2-3at-50在-1,1上恒成立. 令g(t)=4t2-3at-5,則 解得- a ,故選C. 解法二:函數(shù)f(x)=x- sin 2x+asin x的導(dǎo)數(shù)為f (x)=1- cos 2x+acos x. 由題意可得f (x)0恒成立, 即1- cos 2x+acos x0恒成立, 即有 - cos2x+acos x0恒成立. 令t=cos x(-1t1),即有5-4t2+3at0. 當(dāng)t=0時(shí),不等式顯然成立; 當(dāng)0t1時(shí),3a4t- , 由y=4t- 在(0,1上遞增,可得t=1時(shí),y取得最大值-1,可得3a-1,即a- ; 當(dāng)-1t0時(shí),3a4t- , 由y=4t- 在-1,0)上遞增,可得t=-1時(shí),y取得最小值1, 可得3a1,即a . 綜上,可得a的取值范圍是 .故選C.,2.(2019課標(biāo)全國,20,12分)已知函數(shù)f(x)=2x3-ax2+2. (1)討論f(x)的單調(diào)性; (2)當(dāng)0a3時(shí),記f(x)在區(qū)間0,1的最大值為M,最小值為m,求M-m的取值范圍.,解析 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用的基礎(chǔ)知識(shí),考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系以及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的方法,考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力、推理論證能力以及分類討論思想的應(yīng)用. (1)f (x)=6x2-2ax=2x(3x-a). 令f (x)=0,得x=0或x= . 若a0,則當(dāng)x(-,0) 時(shí), f (x)0; 當(dāng)x 時(shí), f (x)0; 當(dāng)x 時(shí), f (x)0.,故f(x)在 ,(0,+)單調(diào)遞增,在 單調(diào)遞減. (2)當(dāng)0a3時(shí),由(1)知, f(x)在 單調(diào)遞減,在 單調(diào)遞增,所以f(x)在0,1的最小值為f =- +2,最大值為f(0)=2或f(1)=4-a. 于是m=- +2,M= 所以M-m= 當(dāng)0a2時(shí),可知2-a+ 單調(diào)遞減,所以M-m的取值范圍是 . 當(dāng)2a3時(shí), 單調(diào)遞增,所以M-m的取值范圍是 . 綜上,M-m的取值范圍是 .,規(guī)律總結(jié) 含參函數(shù)單調(diào)性的討論,關(guān)鍵在于確定參數(shù)的分界值,確定分界值的順序:(1)f(x)最 高次項(xiàng)系數(shù)是否等于0;(2)方程f(x)=0是否有實(shí)數(shù)解;(3)方程f(x)=0的解是否在定義域內(nèi);(4)f(x) =0的解x1,x2之間的大小比較. 易錯(cuò)警示 解題時(shí),易犯以下兩個(gè)錯(cuò)誤:對(duì)參數(shù)a未討論或?qū)分類討論不全面,尤其易忽略a =0的情形而導(dǎo)致失分;當(dāng)a0時(shí), f(x)在(-,0), 單調(diào)遞增,將這兩個(gè)區(qū)間合并表示為f(x) 在(-,0) 單調(diào)遞增導(dǎo)致錯(cuò)誤,從而失分.,3.(2017課標(biāo)全國,21,12分)已知函數(shù)f(x)=ex(ex-a)-a2x. (1)討論f(x)的單調(diào)性; (2)若f(x)0,求a的取值范圍.,解析 (1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-,+), f (x)=2e2x-aex-a2=(2ex+a)(ex-a). 若a=0,則f(x)=e2x,在(-,+)上單調(diào)遞增. 若a0,則由f (x)=0得x=ln a. 當(dāng)x(-,ln a)時(shí), f (x)0. 故f(x)在(-,ln a)上單調(diào)遞減,在(ln a,+)上單調(diào)遞增. 若a0. 故f(x)在 上單調(diào)遞減,在 上單調(diào)遞增.,考點(diǎn)二 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值 1.(2019課標(biāo)全國,21,12分)已知函數(shù)f(x)=(x-1)ln x-x-1.證明: (1)f(x)存在唯一的極值點(diǎn); (2)f(x)=0有且僅有兩個(gè)實(shí)根,且兩個(gè)實(shí)根互為倒數(shù).,解析 本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值點(diǎn)及方程根的問題,考查推理論證能力、運(yùn)算 求解能力,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理及數(shù)學(xué)運(yùn)算. (1)f(x)的定義域?yàn)?0,+). f (x)= +ln x-1=ln x- . 因?yàn)閥=ln x單調(diào)遞增,y= 單調(diào)遞減,所以f (x)單調(diào)遞增.又f (1)=-10,故 存在唯一x0(1,2),使得f (x0)=0. 又當(dāng)xx0時(shí), f (x)0, f(x)單調(diào)遞增. 因此, f(x)存在唯一的極值點(diǎn).,思路分析 (1)求函數(shù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù),實(shí)質(zhì)是求導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù),注意應(yīng)用零點(diǎn)存在性定理; (2)由第(1)問易知方程f(x)=0在(x0,+)上存在唯一根,根據(jù)所要證明的結(jié)論,只需求出f =0 即可.,2.(2018課標(biāo)全國,21,12分)已知函數(shù)f(x)=aex-ln x-1. (1)設(shè)x=2是f(x)的極值點(diǎn),求a,并求f(x)的單調(diào)區(qū)間; (2)證明:當(dāng)a 時(shí), f(x)0.,解析 (1)f(x)的定義域?yàn)?0,+), f (x)=aex- . 由題設(shè)知, f (2)=0,所以a= . 從而f(x)= ex-ln x-1, f (x)= ex- . 當(dāng)02時(shí), f (x)0. 所以f(x)在(0,2)上單調(diào)遞減,在(2,+)上單調(diào)遞增.,(2)證明:當(dāng)a 時(shí), f(x) -ln x-1. 設(shè)g(x)= -ln x-1,則g(x)= - . 當(dāng)01時(shí),g(x)0. 所以x=1是g(x)的最小值點(diǎn). 故當(dāng)x0時(shí),g(x)g(1)=0. 因此,當(dāng)a 時(shí), f(x)0.,方法總結(jié) 利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的常用方法: (1)證明f(x)g(x),x(a,b),可以構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)-g(x),若F(x)0,則F(x)在(a,b)上是增函數(shù),同時(shí) 若F(a)0,則由增函數(shù)的定義可知,x(a,b)時(shí),有F(x)0,即證明了f(x)g(x).,3.(2015課標(biāo),21,12分)已知函數(shù)f(x)=ln x+a(1-x). (1)討論f(x)的單調(diào)性; (2)當(dāng)f(x)有最大值,且最大值大于2a-2時(shí),求a的取值范圍.,解析 (1)f(x)的定義域?yàn)?0,+), f (x)= -a. 若a0,則f (x)0,所以f(x)在(0,+)上單調(diào)遞增. 若a0,則當(dāng)x 時(shí), f (x)0;當(dāng)x 時(shí),f (x)0時(shí), f(x)在x= 處取得最大值,最大值為 f =ln +a =-ln a+a-1. 因此f 2a-2等價(jià)于ln a+a-11時(shí),g(a)0. 因此,a的取值范圍是(0,1).,考點(diǎn)三 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用 1.(2019課標(biāo)全國,20,12分)已知函數(shù)f(x)=2sin x-xcos x-x, f (x)為f(x)的導(dǎo)數(shù). (1)證明:f (x)在區(qū)間(0,)存在唯一零點(diǎn); (2)若x0,時(shí), f(x)ax,求a的取值范圍.,解析 (1)設(shè)g(x)=f (x),則g(x)=cos x+xsin x-1,g(x)=xcos x. 當(dāng)x 時(shí),g(x)0;當(dāng)x 時(shí),g(x)0,g()=-2,故g(x)在(0,)存在唯一零點(diǎn).所以f (x)在(0,)存在唯一零點(diǎn). (2)由題設(shè)知f()a,f()=0,可得a0. 由(1)知,f (x)在(0,)只有一個(gè)零點(diǎn),設(shè)為x0,且當(dāng)x(0,x0)時(shí),f (x)0; 當(dāng)x(x0,)時(shí),f (x)0,所以f(x)在(0,x0)單調(diào)遞增,在(x0,)單調(diào)遞減. 又f(0)=0,f()=0,所以,當(dāng)x0,時(shí),f(x)0. 又當(dāng)a0,x0,時(shí),ax0,故f(x)ax. 因此,a的取值范圍是(-,0.,2.(2018課標(biāo)全國,21,12分)已知函數(shù)f(x)= x3-a(x2+x+1). (1)若a=3,求f(x)的單調(diào)區(qū)間; (2)證明:f(x)只有一個(gè)零點(diǎn).,解析 (1)當(dāng)a=3時(shí),f(x)= x3-3x2-3x-3,f (x)=x2-6x-3. 令f (x)=0,解得x=3-2 或x=3+2 . 當(dāng)x(-,3-2 )(3+2 ,+)時(shí),f (x)0; 當(dāng)x(3-2 ,3+2 )時(shí),f (x)0. 故f(x)在(-,3-2 ),(3+2 ,+)上單調(diào)遞增,在(3-2 ,3+2 )上單調(diào)遞減.,(2)由于x2+x+10,所以f(x)=0等價(jià)于 -3a=0. 設(shè)g(x)= -3a,則g(x)= 0,僅當(dāng)x=0時(shí)g(x)=0,所以g(x)在(-,+)上單調(diào)遞 增.故g(x)至多有一個(gè)零點(diǎn),從而f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn). 又f(3a-1)=-6a2+2a- =-6 - 0,故f(x)有一個(gè)零點(diǎn). 綜上,f(x)只有一個(gè)零點(diǎn).,方法總結(jié) 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)的方法: 方法一:(1)利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值; (2)根據(jù)函數(shù)f(x)的性質(zhì)作出圖象; (3)判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù). 方法二:(1)利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值; (2)分類討論,判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).,3.(2016課標(biāo)全國,20,12分)已知函數(shù)f(x)=(x+1)ln x-a(x-1). (1)當(dāng)a=4時(shí),求曲線y=f(x)在(1, f(1)處的切線方程; (2)若當(dāng)x(1,+)時(shí), f(x)0,求a的取值范圍.,解析 (1)f(x)的定義域?yàn)?0,+).當(dāng)a=4時(shí), f(x)=(x+1)ln x-4(x-1), f (x)=ln x+ -3, f (1)=-2, f(1)=0. 曲線y=f(x)在(1, f(1)處的切線方程為2x+y-2=0. (3分) (2)當(dāng)x(1,+)時(shí), f(x)0等價(jià)于ln x- 0. (4分) 設(shè)g(x)=ln x- ,則 g(x)= - = ,g(1)=0. (6分),(i)當(dāng)a2,x(1,+)時(shí),x2+2(1-a)x+1x2-2x+10,故g(x)0,g(x)在(1,+)上單調(diào)遞增,因此g(x) 0; (8分) (ii)當(dāng)a2時(shí),令g(x)=0得 x1=a-1- ,x2=a-1+ . (10分) 由x21和x1x2=1得x11,故當(dāng)x(1,x2)時(shí),g(x)0,g(x)在(1,x2)上單調(diào)遞減,因此g(x)0. (11分) 綜上,a的取值范圍是(-,2. (12分),思路分析 (1)先求f (x),得到y(tǒng)=f(x)在點(diǎn)(1, f(1)處的切線斜率,列出切線的點(diǎn)斜式方程.(2)轉(zhuǎn)化 不等式,引入輔助函數(shù)g(x)=ln x- ,求g(x),分情況討論確定參數(shù)a的取值范圍.,4.(2016課標(biāo)全國,21,12分)已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2. (1)討論f(x)的單調(diào)性; (2)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍.,解析 (1)f (x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a). (i)設(shè)a0,則當(dāng)x(-,1)時(shí), f (x)0.所以f(x)在(-,1)上單調(diào)遞減,在(1, +)上單調(diào)遞增. (2分) (ii)設(shè)a- ,則ln(-2a)0;當(dāng)x(ln(-2a),1)時(shí), f (x)1,故當(dāng)x(-,1)(ln(-2a),+)時(shí), f (x)0;當(dāng)x(1,ln(-2a)時(shí), f (x)0.所 以f(x)在(-,1),(ln(-2a),+)上單調(diào)遞增,在(1,ln(-2a)上單調(diào)遞減. (6分),(2)(i)設(shè)a0,則由(1)知, f(x)在(-,1)上單調(diào)遞減,在(1,+)上單調(diào)遞增. 又f(1)=-e, f(2)=a,取b滿足b (b-2)+a(b-1)2=a 0, 所以f(x)有兩個(gè)零點(diǎn). (8分),(ii)設(shè)a=0,則f(x)=(x-2)ex,所以f(x)只有一個(gè)零點(diǎn). (9分) (iii)設(shè)a0,若a- ,則由(1)知, f(x)在(1,+)上單調(diào)遞增,又當(dāng)x1時(shí)f(x)0,故f(x)不存在兩個(gè)零 點(diǎn); (10分) 若a- ,則由(1)知, f(x)在(1,ln(-2a)上單調(diào)遞減,在(ln(-2a),+)上單調(diào)遞增,又當(dāng)x1時(shí)f(x)0, 故f(x)不存在兩個(gè)零點(diǎn). (11分) 綜上,a的取值范圍為(0,+). (12分),5.(2015課標(biāo),21,12分)設(shè)函數(shù)f(x)=e2x-aln x. (1)討論f(x)的導(dǎo)函數(shù)f (x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù); (2)證明:當(dāng)a0時(shí), f(x)2a+aln .,解析 (1)f(x)的定義域?yàn)?0,+), f (x)=2e2x- (x0). 當(dāng)a0時(shí), f (x)0, f (x)沒有零點(diǎn); 當(dāng)a0時(shí),因?yàn)閥=e2x單調(diào)遞增,y=- 單調(diào)遞增, 所以f (x)在(0,+)上單調(diào)遞增. 又f (a)0,當(dāng)b滿足00時(shí), f (x)存在唯一零點(diǎn). (6分) (2)證明:由(1),可設(shè)f (x)在(0,+)上的唯一零點(diǎn)為x0,當(dāng)x(0,x0)時(shí), f (x)0. 故f(x)在(0,x0)上單調(diào)遞減,解題思路 (1)由題設(shè)可得f (x)=2e2x- (x0).當(dāng)a0時(shí),容易得到f (x)沒有零點(diǎn),而當(dāng)a0時(shí),由函 數(shù)的性質(zhì)可知f (x)在(0,+)上單調(diào)遞增,從而得到f (x)在(0,+)上至多有一個(gè)零點(diǎn)的結(jié)論.又 f (a)0,從而問題的關(guān)鍵是找到b使得f (b)0時(shí), f (x)存在唯一的零點(diǎn)x0,進(jìn)而可以得到f(x0)為函數(shù)f(x)的最小值,所以可將 問題轉(zhuǎn)化為證明f(x0)2a+aln .,評(píng)析 本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)零點(diǎn)及利用導(dǎo)數(shù)研究不等式,考查分類討論思想,是綜合 性較強(qiáng)的題,屬難題.,B組 自主命題省(區(qū)、市)卷題組 考點(diǎn)一 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性,1.(2017浙江,7,5分)函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f (x)的圖象如圖所示,則函數(shù)y=f(x)的圖象可能是 ( ),答案 D 本題考查函數(shù)圖象的識(shí)辨,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和極值. 不妨設(shè)導(dǎo)函數(shù)y=f (x)的零點(diǎn)依次為x1,x2,x3,其中x10,排除B,故選D.,2.(2017山東,10,5分)若函數(shù)exf(x)(e=2.718 28是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))在f(x)的定義域上單調(diào)遞增, 則稱函數(shù)f(x)具有M性質(zhì).下列函數(shù)中具有M性質(zhì)的是 ( ) A.f(x)=2-x B.f(x)=x2 C.f(x)=3-x D.f(x)=cos x,答案 A 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性. 當(dāng)f(x)=2-x時(shí),exf(x)=ex2-x= ,令y= , 則y= = = (1-ln 2). ex0,2x0,ln 20. 當(dāng)f(x)=2-x時(shí),exf(x)在f(x)的定義域上單調(diào)遞增,故具有M性質(zhì),易知B、C、D不具有M性質(zhì),故 選A.,3.(2017江蘇,11,5分)已知函數(shù)f(x)=x3-2x+ex- ,其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).若f(a-1)+f(2a2)0,則實(shí) 數(shù)a的取值范圍是 .,答案,解析 本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用. 易知函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱. f(x)=x3-2x+ex- , f(-x)=(-x)3-2(-x)+e-x- =-x3+2x+ -ex=-f(x), f(x)為奇函數(shù), 又f (x)=3x2-2+ex+ 3x2-2+2=3x20(當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí),取“=”),從而f(x)在R上單調(diào)遞增, 所以f(a-1)+f(2a2)0f(a-1)f(-2a2)-2a2a-1,解得-1a .,方法小結(jié) 函數(shù)不等式的求解思路: (1)轉(zhuǎn)化為f(x)f(g(x); (2)結(jié)合單調(diào)性轉(zhuǎn)化為(x)g(x)或(x)g(x).,考點(diǎn)二 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值 1.(2016四川,6,5分)已知a為函數(shù)f(x)=x3-12x的極小值點(diǎn),則a= ( ) A.-4 B.-2 C.4 D.2,答案 D 由題意可得f (x)=3x2-12=3(x-2)(x+2), 令f (x)=0,得x=-2或x=2, 則f (x), f(x)隨x的變化情況如下表:,函數(shù)f(x)在x=2處取得極小值,則a=2.故選D.,評(píng)析 本題考查了函數(shù)的極值問題.正確理解函數(shù)的極值點(diǎn)的概念是解題的關(guān)鍵.,2.(2018江蘇,11,5分)若函數(shù)f(x)=2x3-ax2+1(aR)在(0,+)內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn),則f(x)在-1,1 上的最大值與最小值的和為 .,答案 -3,解析 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和最值. f(x)=2x3-ax2+1,f (x)=6x2-2ax=2x(3x-a). 若a0,則x0時(shí),f (x)0, f(x)在(0,+)上為增函數(shù), +又f(0)=1,f(x)在(0,+)上沒有零點(diǎn),a0. 當(dāng)0 時(shí), f (x)0, f(x)為增函數(shù),x0時(shí), f(x)有極小值,為 f =- +1. f(x)在(0,+)內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn),f =0,a=3. f(x)=2x3-3x2+1,則f (x)=6x(x-1). 令f (x)=0,得x=0或x=1.,f(x)在-1,1上的最大值為1,最小值為-4. 最大值與最小值的和為-3.,3.(2019北京,20,14分)已知函數(shù)f(x)= x3-x2+x. (1)求曲線y=f(x)的斜率為1的切線方程; (2)當(dāng)x-2,4時(shí),求證:x-6f(x)x; (3)設(shè)F(x)=|f(x)-(x+a)|(aR),記F(x)在區(qū)間-2,4上的最大值為M(a).當(dāng)M(a)最小時(shí),求a的值.,解析 本題考查利用導(dǎo)數(shù)求三次函數(shù)圖象的切線,及函數(shù)的最大值、最小值,考查分類討論的 思想,要求學(xué)生有良好的邏輯推理和運(yùn)算求解能力. (1)由f(x)= x3-x2+x得f (x)= x2-2x+1. 令f (x)=1,即 x2-2x+1=1,得x=0或x= . 又f(0)=0, f = , 所以曲線y=f(x)的斜率為1的切線方程是y=x與y- =x- , 即y=x與y=x- . (2)令g(x)=f(x)-x,x-2,4. 由g(x)= x3-x2得g(x)= x2-2x.令g(x)=0得x=0或x= . g(x),g(x)的情況如下:,所以g(x)的最小值為-6,最大值為0. 故-6g(x)0,即x-6f(x)x. (3)由(2)知, 當(dāng)a3; 當(dāng)a-3時(shí),M(a)F(-2)=|g(-2)-a|=6+a3; 當(dāng)a=-3時(shí),M(a)=3. 綜上,當(dāng)M(a)最小時(shí),a=-3.,4.(2017山東,20,13分)已知函數(shù)f(x)= x3- ax2,aR. (1)當(dāng)a=2時(shí),求曲線y=f(x)在點(diǎn)(3, f(3)處的切線方程; (2)設(shè)函數(shù)g(x)=f(x)+(x-a)cos x-sin x,討論g(x)的單調(diào)性并判斷有無極值,有極值時(shí)求出極值.,解析 本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義;用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性;用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值、最值. (1)由題意f (x)=x2-ax, 所以當(dāng)a=2時(shí), f(3)=0, f (x)=x2-2x,所以f (3)=3, 因此,曲線y=f(x)在點(diǎn)(3, f(3)處的切線方程是y=3(x-3),即3x-y-9=0. (2)因?yàn)間(x)=f(x)+(x-a)cos x-sin x, 所以g(x)=f (x)+cos x-(x-a)sin x-cos x =x(x-a)-(x-a)sin x=(x-a)(x-sin x), 令h(x)=x-sin x,則h(x)=1-cos x0, 所以h(x)在R上單調(diào)遞增. 因?yàn)閔(0)=0,所以當(dāng)x0時(shí),h(x)0; 當(dāng)x0時(shí),h(x)0.,當(dāng)a0,g(x)單調(diào)遞增; 當(dāng)x(a,0)時(shí),x-a0,g(x)0,g(x)0,g(x)單調(diào)遞增. 所以當(dāng)x=a時(shí)g(x)取到極大值,極大值是g(a)=- a3-sin a, 當(dāng)x=0時(shí)g(x)取到極小值,極小值是g(0)=-a. 當(dāng)a=0時(shí),g(x)=x(x-sin x), 當(dāng)x(-,+)時(shí),g(x)0,g(x)單調(diào)遞增; 所以g(x)在(-,+)上單調(diào)遞增,g(x)無極大值也無極小值. 當(dāng)a0時(shí),g(x)=(x-a)(x-sin x), 當(dāng)x(-,0)時(shí),x-a0,g(x)單調(diào)遞增; 當(dāng)x(0,a)時(shí),x-a0,g(x)0,g(x)單調(diào)遞增. 所以當(dāng)x=0時(shí)g(x)取到極大值,極大值是g(0)=-a;,當(dāng)x=a時(shí)g(x)取到極小值,極小值是g(a)=- a3-sin a. 綜上所述: 當(dāng)a0時(shí),函數(shù)g(x)在(-,0)和(a,+)上單調(diào)遞增,在(0,a)上單調(diào)遞減,函數(shù)既有極大值,又有極小 值,極大值是g(0)=-a,極小值是g(a)=- a3-sin a.,5.(2017北京,20,13分)已知函數(shù)f(x)=excos x-x. (1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0, f(0)處的切線方程; (2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間 上的最大值和最小值.,解析 (1)因?yàn)閒(x)=excos x-x,所以f (x)=ex(cos x-sin x)-1, f (0)=0. 又因?yàn)閒(0)=1,所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(0, f(0)處的切線方程為y=1. (2)設(shè)h(x)=ex(cos x-sin x)-1, 則h(x)=ex(cos x-sin x-sin x-cos x)=-2exsin x. 當(dāng)x 時(shí),h(x)0, 所以h(x)在區(qū)間 上單調(diào)遞減. 所以對(duì)任意x 有h(x)h(0)=0,即f (x)0. 所以函數(shù)f(x)在區(qū)間 上單調(diào)遞減. 因此f(x)在區(qū)間 上的最大值為f(0)=1,最小值為f =- .,解題思路 (1)先求導(dǎo),再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率,最后利用點(diǎn)斜式求出切線方 程.(2)設(shè)h(x)=ex(cos x-sin x)-1,對(duì)h(x)求導(dǎo),進(jìn)而確定h(x)的單調(diào)性,最后求出最值.,方法總結(jié) 1.求切線方程問題:(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出指定點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值,即切線的斜率; (2)求出指定點(diǎn)處的函數(shù)值;(3)求出切線方程.,2.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性:(1)求出函數(shù)f(x)的定義域;(2)求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f (x);(3)令 f (x)0得到f(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)遞增區(qū)間,令f (x)0得到f(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)遞減區(qū)間.,考點(diǎn)三 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用 1.(2019天津,20,14分)設(shè)函數(shù)f(x)=ln x-a(x-1)ex,其中aR. (1)若a0,討論f(x)的單調(diào)性; (2)若0x0,證明3x0-x12.,解析 本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、不等式證明、運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)和 方法.考查函數(shù)思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想.考查綜合分析問題和解決問題的能力,體現(xiàn)了邏輯推理 和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng). (1)由已知, f(x)的定義域?yàn)?0,+),且f (x)= -aex+a(x-1)ex= . 因此當(dāng)a0時(shí),1-ax2ex0, 從而f (x)0,所以f(x)在(0,+)內(nèi)單調(diào)遞增. (2)證明:(i)由(1)知, f (x)= . 令g(x)=1-ax2ex,由00,且g =1-a = 1- =0,所以f(x)在(0,x0)內(nèi)單調(diào)遞增;當(dāng)x(x0,+)時(shí), f (x)= =0, 所以f(x)在(x0,+)內(nèi)單調(diào)遞減,因此x0是f(x)的唯一極值點(diǎn).,令h(x)=ln x-x+1,則當(dāng)x1時(shí),h(x)= -11時(shí),h(x)f(1)=0, 所以f(x)在(x0,+)內(nèi)有唯一零點(diǎn). 又f(x)在(0,x0)內(nèi)有唯一零點(diǎn)1, 從而, f(x)在(0,+)內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn). (ii)由題意, 即 從而ln x1= , 即 = . 因?yàn)楫?dāng)x1時(shí),ln xx-1,又x1x01, 故 2.,思路分析 (1)求出導(dǎo)函數(shù),結(jié)合a0判定f (x)0,從而得f(x)在(0,+)上遞增;(2)(i)利用導(dǎo)數(shù)的 零點(diǎn)判斷f(x)的單調(diào)區(qū)間,結(jié)合零點(diǎn)存在性定理判斷f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù);(ii)由極值點(diǎn)x0及零點(diǎn)x1建 立方程組 從而得到 = ,又由x1時(shí),ln xx-1,得到 = , 兩邊取對(duì)數(shù)即可得結(jié)論.,2.(2017天津,19,14分)設(shè)a,bR,|a|1.已知函數(shù)f(x)=x3-6x2-3a(a-4)x+b,g(x)=exf(x). (1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間; (2)已知函數(shù)y=g(x)和y=ex的圖象在公共點(diǎn)(x0,y0)處有相同的切線, (i)求證:f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)等于0; (ii)若關(guān)于x的不等式g(x)ex在區(qū)間x0-1,x0+1上恒成立,求b的取值范圍.,解析 (1)由f(x)=x3-6x2-3a(a-4)x+b, 可得f (x)=3x2-12x-3a(a-4)=3(x-a)x-(4-a). 令f (x)=0,解得x=a,或x=4-a. 由|a|1,得a4-a. 當(dāng)x變化時(shí), f (x), f(x)的變化情況如下表:,所以, f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-,a),(4-a,+),單調(diào)遞減區(qū)間為(a,4-a). (2)(i)證明:因?yàn)間(x)=ex(f(x)+f (x),由題意知 所以 解得 所以, f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)等于0. (ii)因?yàn)間(x)ex,xx0-1,x0+1,由ex0,可得f(x)1.又因?yàn)閒(x0)=1, f (x0)=0,故x0為f(x)的極大值點(diǎn), 由(1)知x0=a.另一方面,由于|a|1,故a+14-a, 由(1)知f(x)在(a-1,a)內(nèi)單調(diào)遞增,在(a,a+1)內(nèi)單調(diào)遞減,故當(dāng)x0=a時(shí), f(x)f(a)=1在a-1,a+1上恒 成立,從而g(x)ex在x0-1,x0+1上恒成立. 由f(a)=a3-6a2-3a(a-4)a+b=1, 得b=2a3-6a2+1,-1a1. 令t(x)=2x3-6x2+1,x-1,1, 所以t(x)=6x2-12x, 令t(x)=0,解得x=2(舍去),或x=0.,因?yàn)閠(-1)=-7,t(1)=-3,t(0)=1, 因此,t(x)的值域?yàn)?7,1. 所以,b的取值范圍是-7,1.,思路分析 (1)求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)及極值點(diǎn),通過列表判斷函數(shù)的單調(diào)性,求出單調(diào)區(qū)間即 可. (2)(i)對(duì)函數(shù)y=g(x)和y=ex求導(dǎo),根據(jù)已知條件得方程組 解方程組可得出f (x0)=0. (ii)不等式g(x)ex在區(qū)間x0-1,x0+1上恒成立,由ex0,可得f(x)1.根據(jù)(1)可知f(x)f(a)=1在a- 1,a+1上恒成立.由f(a)=1,得b=2a3-6a2+1,-1a1,利用導(dǎo)數(shù)即可求出b的取值范圍.,C組 教師專用題組 考點(diǎn)一 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性,1.(2015陜西,9,5分)設(shè)f(x)=x-sin x,則f(x) ( ) A.既是奇函數(shù)又是減函數(shù) B.既是奇函數(shù)又是增函數(shù) C.是有零點(diǎn)的減函數(shù) D.是沒有零點(diǎn)的奇函數(shù),答案 B 易得f(x)是奇函數(shù),由f (x)=1-cos x0恒成立,可知f(x)是增函數(shù),故選B.,2.(2015安徽,10,5分)函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d的圖象如圖所示,則下列結(jié)論成立的是 ( ) A.a0,b0,d0 B.a0,b0 C.a0,d0 D.a0,b0,c0,d0,答案 A 由f(x)的圖象易知d0,且f (x)=3ax2+2bx+c的圖象是開口向上的拋物線,與x軸正半軸 有兩個(gè)不同的交點(diǎn),則 即 故選A.,評(píng)析 本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用及運(yùn)用圖象解題的能力.,3.(2014課標(biāo),11,5分)若函數(shù)f(x)=kx-ln x在區(qū)間(1,+)單調(diào)遞增,則k的取值范圍是 ( ) A.(-,-2 B.(-,-1 C.2,+) D.1,+),答案 D 依題意得f (x)=k- 0在(1,+)上恒成立,即k 在(1,+)上恒成立, x1,0 1, k1,故選D.,4.(2017課標(biāo)全國,21,12分)設(shè)函數(shù)f(x)=(1-x2)ex. (1)討論f(x)的單調(diào)性; (2)當(dāng)x0時(shí), f(x)ax+1,求a的取值范圍.,解析 (1)f (x)=(1-2x-x2)ex. 令f (x)=0,得x=-1- 或x=-1+ . 當(dāng)x(-,-1- )時(shí), f (x)0; 當(dāng)x(-1+ ,+)時(shí), f (x)0),因此h(x)在0,+)上單調(diào)遞減,而h(0)=1, 故h(x)1,所以f(x)=(x+1)h(x)x+1ax+1. 當(dāng)00(x0),所以g(x)在0,+)上單調(diào)遞增,而g(0)=0,故ex x+1.當(dāng)0(1-x)(1+x)2,(1-x)(1+x)2-ax-1 =x(1-a-x-x2),取x0= ,則x0(0,1),(1-x0)(1+x0)2-ax0-1=0,故f(x0)ax0+1. 當(dāng)a0時(shí),取x0= , 則x0(0,1), f(x0)(1-x0)(1+x0)2=1ax0+1. 綜上,a的取值范圍是1,+).,解題思路 (1)求f (x),令f (x)0,求出f(x)的單調(diào)增區(qū)間,令f (x)ax0+1,從而說明 命題不成立;當(dāng)a0時(shí),舉反例x0= 說明不等式不成立.,疑難突破 (1)求單調(diào)區(qū)間的一般步驟:求定義域;求f (x),令f (x)0,求出f(x)的增區(qū)間,令f (x)0,求出f(x)的減區(qū)間;寫出結(jié)論,注意單調(diào)區(qū)間不能用“”連接. (2)恒成立問題的三種常見解法:分離參數(shù),化為最值問題求解,如a(x)max或a(x)min;構(gòu) 造函數(shù),分類討論,如f(x)g(x),即F(x)=f(x)-g(x),求F(x)min0;轉(zhuǎn)變主元,選取適當(dāng)?shù)闹髟墒?問題簡化.,5.(2016課標(biāo)全國,21,12分)設(shè)函數(shù)f(x)=ln x-x+1. (1)討論f(x)的單調(diào)性; (2)證明當(dāng)x(1,+)時(shí),11,證明當(dāng)x(0,1)時(shí),1+(c-1)xcx.,解析 (1)由題設(shè)知, f(x)的定義域?yàn)?0,+), f (x)= -1,令f (x)=0,解得x=1. 當(dāng)00, f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x1時(shí), f (x)1,設(shè)g(x)=1+(c-1)x-cx, 則g(x)=c-1-cxln c,令g(x)=0, 解得x0= .,當(dāng)x0,g(x)單調(diào)遞增;當(dāng)xx0時(shí),g(x)0. 所以當(dāng)x(0,1)時(shí),1+(c-1)xcx. (12分),疑難突破 在(3)中,首先要解方程g(x)=0,為了判斷g(x)的單調(diào)性,必須比較極值點(diǎn)x0與區(qū)間(0, 1)的關(guān)系,注意到g(0)=g(1)=0是求解本題的突破點(diǎn).,評(píng)析 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用及不等式的證明.,6.(2016天津,20,14分)設(shè)函數(shù)f(x)=x3-ax-b,xR,其中a,bR. (1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間; (2)若f(x)存在極值點(diǎn)x0,且f(x1)=f(x0),其中x1x0,求證:x1+2x0=0; (3)設(shè)a0,函數(shù)g(x)=|f(x)|,求證:g(x)在區(qū)間-1,1上的最大值 .,解析 (1)由f(x)=x3-ax-b,可得f (x)=3x2-a. 下面分兩種情況討論: 當(dāng)a0時(shí),有f (x)=3x2-a0恒成立,所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-,+). 當(dāng)a0時(shí),令f (x)=0,解得x= ,或x=- . 當(dāng)x變化時(shí), f (x), f(x)的變化情況如下表:,所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為 ,單調(diào)遞增區(qū)間為 , . (2)證明:因?yàn)閒(x)存在極值點(diǎn),所以由(1)知a0,且x00.由題意,得f (x0)=3 -a=0,即 = ,進(jìn)而f(x0) = -ax0-b=- x0-b. 又f(-2x0)=-8 +2ax0-b=- x0+2ax0-b=- x0-b=f(x0), 且-2x0x0,由題意及(1)知,存在唯一實(shí)數(shù)x1滿足 f(x1)=f(x0),且x1x0,因此x1=-2x0. 所以x1+2x0=0. (3)證明:設(shè)g(x)在區(qū)間-1,1上的最大值為M,maxx,y表示x,y兩數(shù)的最大值.下面分三種情況討 論: 當(dāng)a3時(shí),- -11 ,由(1)知, f(x)在區(qū)間-1,1上單調(diào)遞減,所以f(x)在區(qū)間-1,1上的 取值范圍為f(1), f(-1), 因此M=max|f(1)|,|f(-1)|=max|1-a-b|,|-1+a-b|=max|a-1+b|,|a-1-b|= 所以M=a-1+|b|2.,當(dāng) af = f ,所以f(x)在區(qū)間-1,1上的取值范圍為f(-1), f(1), 因此M=max|f(-1)|,|f(1)|=max|-1+a-b|,|1-a-b| =max|1-a+b|,|1-a-b|=1-a+|b| . 綜上所述,當(dāng)a0時(shí),g(x)在區(qū)間-1,1上的最大值不小于 .,思路分析 (1)求含參數(shù)的函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間,需要進(jìn)行分類討論;(2)由第(1)問可知a0,要證x1 +2x0=0,只需證出f(-2x0)=f(x0),其中x1=-2x0,即可得結(jié)論;(3)求g(x)在-1,1上的最大值,對(duì)a分情況 討論即可.,評(píng)析 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)、證明不等式等基礎(chǔ)知識(shí)和方 法.考查分類討論思想和化歸思想.考查綜合分析問題和解決問題的能力.,7.(2015四川,21,14分)已知函數(shù)f(x)=-2xln x+x2-2ax+a2,其中a0. (1)設(shè)g(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù),討論g(x)的單調(diào)性; (2)證明:存在a(0,1),使得f(x)0恒成立,且f(x)=0在區(qū)間(1,+)內(nèi)有唯一解.,解析 (1)由已知,函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+), g(x)=f (x)=2(x-1-ln x-a), 所以g(x)=2- = . 當(dāng)x(0,1)時(shí),g(x)0,g(x)單調(diào)遞增. (2)證明:由f (x)=2(x-1-ln x-a)=0, 解得a=x-1-ln x. 令(x)=-2xln x+x2-2x(x-1-ln x)+(x-1-ln x)2=(1+ln x)2-2xln x, 則(1)=10,(e)=2(2-e)0. 于是,存在x0(1,e),使得(x0)=0. 令a0=x0-1-ln x0=u(x0),其中u(x)=x-1-ln x(x1). 由u(x)=1- 0知,函數(shù)u(x)在區(qū)間(1,+)上單調(diào)遞增. 故0=u(1)a0=u(x0)u(e)=e-21.即a0(0,1).,當(dāng)a=a0時(shí),有f (x0)=0, f(x0)=(x0)=0. 再由(1)知, f (x)在區(qū)間(1,+)上單調(diào)遞增, 當(dāng)x(1,x0)時(shí), f (x)f(x0)=0; 當(dāng)x(x0,+)時(shí), f (x)0, 從而f(x)f(x0)=0; 又當(dāng)x(0,1時(shí), f(x)=(x-a0)2-2xln x0. 故x(0,+)時(shí), f(x)0. 綜上所述,存在a(0,1),使得f(x)0恒成立,且f(x)=0在區(qū)間(1,+)內(nèi)有唯一解.,評(píng)析 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用、函數(shù)的零點(diǎn)等基礎(chǔ)知識(shí),考查 推理論證能力、運(yùn)算求解能力、創(chuàng)新意識(shí),考查函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類與整合、化歸 與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想.,8.(2015天津,20,14分)已知函數(shù)f(x)=4x-x4,xR. (1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間; (2)設(shè)曲線y=f(x)與x軸正半軸的交點(diǎn)為P,曲線在點(diǎn)P處的切線方程為y=g(x),求證:對(duì)于任意的實(shí) 數(shù)x,都有f(x)g(x); (3)若方程f(x)=a(a為實(shí)數(shù))有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1,x2,且x1x2,求證:x2-x1- + .,解析 (1)由f(x)=4x-x4, 可得f (x)=4-4x3. 當(dāng)f (x)0,即x1時(shí),函數(shù)f(x)單調(diào)遞減. 所以, f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-,1), 單調(diào)遞減區(qū)間為(1,+). (2)證明:設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,0),則x0= , f (x0)=-12.曲線y=f(x)在點(diǎn)P處的切線方程為y=f (x0)(x- x0),即g(x)=f (x0)(x-x0).令函數(shù)F(x)=f(x)-g(x),即F(x)=f(x)-f (x0)(x-x0),則F(x)=f (x)-f (x0). 由于f (x)=-4x3+4在(-,+)上單調(diào)遞減,故F(x)在(-,+)上單調(diào)遞減.又因?yàn)镕(x0)=0,所以當(dāng) x(-,x0)時(shí),F(x)0,當(dāng)x(x0,+)時(shí),F(x)0,所以F(x)在(-,x0)上單調(diào)遞增,在(x0,+)上單調(diào) 遞減,所以對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x,F(x)F(x0)=0, 即對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x,都有f(x)g(x). (3)證明:由(2)知g(x)=-12(x- ).設(shè)方程g(x)=a的根為x2,可得x2=- + .因?yàn)間(x)在(-,+)上單 調(diào)遞減,又由(2)知g(x2)f(x2)=a=g(x2),因此x2x2.,類似地,設(shè)曲線y=f(x)在原點(diǎn)處的切線方程為y=h(x),可得h(x)=4x.對(duì)于任意的x(-,+),有f(x) -h(x)=-x40,即f(x)h(x). 設(shè)方程h(x)=a的根為x1,可得x1= .因?yàn)閔(x)=4x在(-,+)上單調(diào)遞增,且h(x1)=a=f(x1)h(x1), 因此x1x1.由此可得x2-x1x2-x1=- + .,評(píng)析 本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知 識(shí).考查函數(shù)思想、化歸思想,考查綜合分析問題和解決問題的能力.,考點(diǎn)二 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值 1.(2013課標(biāo),11,5分,0.371)已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c,下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是 ( ) A.x0R, f(x0)=0 B.函數(shù)y=f(x)的圖象是中心對(duì)稱圖形 C.若x0是f(x)的極小值點(diǎn),則f(x)在區(qū)間(-,x0)單調(diào)遞減 D.若x0是f(x)的極值點(diǎn),則f (x0)=0,答案 C A.由于當(dāng)x-時(shí),y-,當(dāng)x+時(shí),y+,故x0R, f(x0)=0,故A正確; B.f +f(x)= +a +b +c+x3+ax2+bx+c= - +2c, f = +a +b +c= - +c, f +f(x)=2f , 點(diǎn) 為對(duì)稱中心,故B正確; C.若y=f(x)有極值點(diǎn),則其導(dǎo)數(shù)y=f (x)必有2個(gè)零點(diǎn),設(shè)為x1,x2(x1x2),則有f (x)=3x2+2ax+b=3(x-x1) (x-x2),所以f(x)在(-,x1)上遞增,在(x1,x2)上遞減,在(x2,+)上遞增,則x2為極小值點(diǎn),所以C項(xiàng)錯(cuò) 誤;D.易知f(x)在定義域上可導(dǎo),故當(dāng)x0是f(x)的極值點(diǎn)時(shí),一定有f (x0)=0.故D正確.,2.(2015陜西,15,5分)函數(shù)y=xex在其極值點(diǎn)處的切線方程為 .,答案 y=-,解析 由y=xex可得y=ex+xex=ex(x+1),從而可得y=xex在(-,-1)上遞減,在(-1,+)上遞增,所以當(dāng)x =-1時(shí),y=xex取得極小值-e-1,因?yàn)閥|x=-1=0,故切線方程為y=-e-1,即y=- .,3.(2017課標(biāo)全國,21,12分)已知函數(shù)f(x)=ln x+ax2+(2a+1)x. (1)討論f(x)的單調(diào)性; (2)當(dāng)a0時(shí),證明f(x)- -2.,解析 (1)f(x)的定義域?yàn)?0,+), f (x)= +2ax+2a+1= . 若a0,則當(dāng)x(0,+)時(shí), f (x)0,故f(x)在(0,+)單調(diào)遞增. 若a0; 當(dāng)x 時(shí), f (x)0, 故f(x)在 單調(diào)遞增,在 單調(diào)遞減.,(2)由(1)知,當(dāng)a0;當(dāng)x(1,+)時(shí),g(x)0時(shí),g(x)0.從而當(dāng)a0時(shí),ln + +10, 即f(x)- -2.,4.(2017江蘇,20,16分)已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+1(a0,bR)有極值,且導(dǎo)函數(shù)f (x)的極值點(diǎn)是 f(x)的零點(diǎn).(極值點(diǎn)是指函數(shù)取極值時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量的值) (1)求b關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式,并寫出定義域; (2)證明:b23a; (3)若f(x), f (x)這兩個(gè)函數(shù)的所有極值之和不小于- ,求a的取值范圍.,解析 本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究初等函數(shù)的單調(diào)性、極值及零點(diǎn)問題,考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué) 思想方法分析與解決問題以及邏輯推理能力. (1)由f(x)=x3+ax2+bx+1,得f (x)=3x2+2ax+b=3 +b- . 當(dāng)x=- 時(shí), f (x)有極小值b- . 因?yàn)閒 (x)的極值點(diǎn)是f(x)的零點(diǎn), 所以f =- + - +1=0, 又a0,故b= + . 因?yàn)閒(x)有極值,故f (x)=0有實(shí)根,從而b- = (27-a3)0,即a3. 當(dāng)a=3時(shí), f (x)0(x-1),故f(x)在R上是增函數(shù), f(x)沒有極值; 當(dāng)a3時(shí), f (x)=0有兩個(gè)相異的實(shí)根x1= ,x2= . 列表如下:,故f(x)的極值點(diǎn)是x1,x2. 從而a3. 因此b= + ,定義域?yàn)?3,+). (2)證明:由(1)知, = + . 設(shè)g(t)= + ,則g(t)= - = . 當(dāng)t 時(shí),g(t)0,從而g(t)在 上單調(diào)遞增. 因?yàn)閍3,所以a 3 , 故g(a )g(3 )= ,即 . 因此b23a. (3)由(1)知, f(x)的極值點(diǎn)是x1,x2, 且x1+x2=- a, + = . 從而f(x1)+f(x2)= +a +bx1+1+ +a +bx2+1,= (3 +2ax1+b)+ (3 +2ax2+b)+ a( + )+ b(x1+x2)+2= - +2=0. 記f(x), f (x)所有極值之和為h(a), 因?yàn)閒 (x)的極值為b- =- a2+ , 所以h(a)=- a2+ ,a3. 因?yàn)閔(a)=- a- 0, 于是h(a)在(3,+)上單調(diào)遞減. 因?yàn)閔(6)=- ,于是h(a)h(6),故a6. 因此a的取值范圍為(3,6.,易錯(cuò)警示 (1)函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)x0滿足f (x0)=0,函數(shù)f(x)的零點(diǎn)x0滿足f(x0)=0,而f (x)的極值點(diǎn)x0 應(yīng)滿足f (x0)=0.(