求多元函數(shù)極限的方法.doc

求多元函數(shù)極限的方法【摘要】對(duì)于大部分學(xué)生,尤其是初接觸高等數(shù)學(xué)的同學(xué)而言,極限是一道很難過的關(guān),因?yàn)槟欠N“無限逼近”卻又“無法達(dá)到”的抽象對(duì)于剛剛結(jié)束中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí),習(xí)慣于具體圖形分析、函數(shù)計(jì)算的同學(xué)來說,在思維上有了更高的要求。而對(duì)于高等數(shù)學(xué)來講,極限又是相當(dāng)重要的基礎(chǔ),不管是函數(shù)連續(xù)性的驗(yàn)證,亦或是單側(cè)導(dǎo)數(shù)的求解,極限都是很重要的一個(gè)環(huán)節(jié),它就相當(dāng)于一條線慣于始終,所以說學(xué)好極限,是學(xué)好高等數(shù)學(xué)的一個(gè)起點(diǎn)?！?】【關(guān)鍵詞】多元函數(shù)；求極限多種方法；求極限常出現(xiàn)的錯(cuò)誤【引言】之前學(xué)過如連續(xù)、導(dǎo)數(shù)微分和積分等都要用極和秋極限的方法，例如：利用定義來求極限、用柯西收斂準(zhǔn)則、利用兩邊夾定理等等。這些方法雖然簡便易于理解和掌握，但對(duì)于一些特殊的極限題目很難解決，例如：設(shè)，求的問題題目盡給出了第項(xiàng)和第+1項(xiàng)的關(guān)系若用利用定義來求極限、用柯西收斂準(zhǔn)則及求一些復(fù)合函數(shù)極限的問題本文將探討一些特殊的求極限的方法，對(duì)某些用常見方法不易求解的題目運(yùn)用此方法可以容易地解出?！?】本文將從多個(gè)方面,通過利用極限的性質(zhì)及相關(guān)概念和幾個(gè)典型例題對(duì)常用求極限的方法進(jìn)行解析，并列出容易出錯(cuò)的地方。1 利用極限定義的思想觀察函數(shù)的極限例1、討論當(dāng)時(shí)函數(shù)=的極限。我們列出了當(dāng)時(shí)某些函數(shù)值，考察函數(shù)的變化趨勢，如下表所示。0.4930.4960.4980.4990.5010.5020.5030.5050.7570.7540.7520.7510.7490.7480.7450.745從列表可以看出，當(dāng)趨向于時(shí)，就趨向于0.7，即時(shí)，=的極限是0.75。2、利用四則運(yùn)算法則求極限例2（1）求（2）解（2）=3、利用無窮小量與無窮大量的關(guān)系及無窮小量的性質(zhì)求極限例3求解因?yàn)?0，且即有界，所以=04、利用兩個(gè)重要極限求極限例4 求解=1（因?yàn)闀r(shí)）。令則當(dāng)時(shí)所以=也可以直接計(jì)算=5、利用初等函數(shù)的連續(xù)性求極限例5求解：點(diǎn)是初等函數(shù)的一個(gè)定義區(qū)間內(nèi)的點(diǎn)，所以6、利用等價(jià)無窮小代換求極限例6 求解：當(dāng)時(shí)， 所以7、利用羅比達(dá)法則求極限例7 求解：=8、利用左、右極限來確定分段函數(shù)在分界點(diǎn)處的極限求，解：因?yàn)?1所以不存在因?yàn)?利用極限的定義來驗(yàn)證極限的存在極限定義并未給出求極限的具體方法,但卻可以驗(yàn)證極限的存在,而且它是研究理論問題的基本方法,用極限定義驗(yàn)證極限存在,一般需經(jīng)過變形放大,由或去尋找滿足條件的充分大的正整數(shù) N或充分小的正數(shù)或充分充分的正數(shù) X。比如:證明證明對(duì)，要使，只要因?yàn)?，不妨設(shè)，此時(shí)，從而，因此，,于是取，從而，當(dāng)時(shí)，總有，從而2利用化簡來求極限(分子有理化、分母有理化、分解、恒等變形)比如 求此題要用到兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)將分子有理化分母分解因式解：=3利用極限運(yùn)算法則和無窮小的性質(zhì)求極限比如 求本題是“-”型的極限,先對(duì)分子有理化,可轉(zhuǎn)化為型將分子分母同時(shí)除以 x的最高次冪變形后求解。解=在無窮小量的諸多性質(zhì)中,常用無窮小乘以有界變量仍為無窮小及用等價(jià)無窮小代換來求極限。比如 求解 注意到且所以由無窮小的性質(zhì)得又比如求解 當(dāng)時(shí)，所以=4.2重要極限2，特征:“1 ”型;底數(shù)中要轉(zhuǎn)化為有“1”的形式; “1”的后面的變量與冪指數(shù)互為倒數(shù)。比如 求解=5利用極限存在準(zhǔn)則(夾逼定理、單調(diào)有界原理)來求極限5.1利用夾逼定理求極限比如 求解 因?yàn)椋?1，2，3，從而而，所以5.2利用“單調(diào)有界數(shù)列必有極限”定理求極限特點(diǎn):能出現(xiàn)關(guān)系式;可轉(zhuǎn)化為關(guān)系式解題方法 :一是利用數(shù)學(xué)歸納法證有界,二是證單調(diào)。比如 設(shè)試證數(shù)列極限存在，并求此極限。顯然，假設(shè)因由數(shù)學(xué)歸納法知對(duì),02,又 有界, 0 ,所以單調(diào)增加。因此存在。不妨設(shè)=，由得，從而=2即6利用洛必達(dá)法則求極限用洛必達(dá)法則時(shí)要注意:要注意洛必達(dá)法法則條件,有時(shí)要用多次洛必達(dá)法則,無限次循環(huán)型號(hào)不能用洛必達(dá)法則,如,每次用洛必達(dá)法則前,要先化簡,x0(或x)時(shí),極限中含有sin,cos (或sinx,cox)不能用洛必達(dá)法則?！?g”,“-”,“1 ”,“”,“”,“”型未定式,通過變形、通分、有理化分子、取對(duì)數(shù)等方式轉(zhuǎn)化為“”或“”未定式極限后再用洛必達(dá)法則。比如求解7利用連續(xù)性求極限比如 求解注意到在x=1處連續(xù),所以=8利用函數(shù)極限存在的充要條件求極限主要用來解決在求分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的極限或某些特殊函數(shù)在一些點(diǎn)處的極限時(shí),可用此方法。如求解，所以不存在。9利用導(dǎo)數(shù)求極限 比如設(shè)求解=10利用泰勒公式求極限特點(diǎn)“”型;或或用洛必達(dá)法則較復(fù)雜或根本不可能用。解題的關(guān)鍵是展開到含項(xiàng),或相互抵消后的后一項(xiàng)。比如求解=11利用定積分和積分中值定理求極限比如設(shè)=，求解因?yàn)樗?12利用函數(shù)極限與數(shù)列極限關(guān)系求極限比如求解=13利用級(jí)數(shù)收斂的必要條件求極限比如 求,考察級(jí)數(shù),而0時(shí)成立，而當(dāng)0時(shí)本例的正確解法應(yīng)該是由有可見不論動(dòng)點(diǎn)沿什么曲線，趨向于點(diǎn)（0，0）時(shí)，總有此不等式成立。由夾逼定理知=0忽視算數(shù)跟所造成的錯(cuò)誤，在求一元函數(shù)極限時(shí)也常發(fā)生。例9例10這兩個(gè)例子的錯(cuò)誤均是由于忽視了例9的正確解