高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)《直接證明和間接證明》理.pptVIP

理數(shù) 課標(biāo)版,第四節(jié) 直接證明和間接證明,1.直接證明,教材研讀,2.間接證明 間接證明是不同于直接證明的又一類(lèi)證明方法,反證法是一種常用的間 接證明方法. (1)反證法的定義:假設(shè)原命題 不成立 (即在原命題的條件下,結(jié)論 不成立),經(jīng)過(guò)正確的推理,最后得出 矛盾 ,因此說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤,從 而證明 原命題成立 的證明方法. (2)用反證法證明的一般步驟:(i)反設(shè)假設(shè)命題的結(jié)論不成立;(ii)歸 謬根據(jù)假設(shè)進(jìn)行推理,直到推出矛盾為止;(iii)結(jié)論斷言假設(shè)不 成立,從而肯定原命題的結(jié)論成立.,3.數(shù)學(xué)歸納法的步驟 (1)(歸納奠基)證明當(dāng)n取第一個(gè)值 n0(n0N*) 時(shí)命題成立; (2)(歸納遞推)假設(shè) n=k (kn0,kN*)時(shí)命題成立,證明當(dāng)n= k+1 時(shí)命題也成立. 只要完成以上兩個(gè)步驟,就可以斷定命題對(duì)從n0開(kāi)始的所有正整數(shù)n都 成立.,1.用分析法證明時(shí)出現(xiàn):欲使AB,只需CD,這里是的 ( ) A.充分條件 B.必要條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 答案 B 由題意可知,應(yīng)用,故是的必要條件.,2.用反證法證明命題:“三角形的內(nèi)角中至少有一個(gè)不大于60度”,假設(shè) 正確的是 ( ) A.假設(shè)三個(gè)內(nèi)角都不大于60度 B.假設(shè)三個(gè)內(nèi)角都大于60度 C.假設(shè)三個(gè)內(nèi)角至多有一個(gè)大于60度 D.假設(shè)三個(gè)內(nèi)角至多有兩個(gè)大于60度 答案 B 根據(jù)反證法的定義,假設(shè)是對(duì)原命題結(jié)論的否定,故假設(shè)三個(gè) 內(nèi)角都大于60度.故選B.,3.設(shè)a,b,c都是正數(shù),則a+ ,b+ ,c+ 三個(gè)數(shù) ( ) A.都大于2 B.都小于2 C.至少有一個(gè)不大于2 D.至少有一個(gè)不小于2 答案 D + + = + + 6, 當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等號(hào), 三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)不小于2.,4.已知點(diǎn)An(n,an)為函數(shù)y= 圖象上的點(diǎn),Bn(n,bn)為函數(shù)y=x圖象上的 點(diǎn),其中nN*,設(shè)cn=an-bn,則cn與cn+1的大小關(guān)系為 . 答案 cncn+1 解析 由題意知,an= ,bn=n, cn= -n= . 顯然,cn隨著n的增大而減小, cncn+1.,5.用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1+2+3+(2n+1)=(n+1)(2n+1)時(shí),當(dāng)n=1時(shí),左 邊表達(dá)式是 ;從kk+1需增添的項(xiàng)是 . 答案 1+2+3;4k+5(或(2k+2)+(2k+3) 解析 用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1+2+3+(2n+1)=(n+1)(2n+1)時(shí),當(dāng)n=1 時(shí),2n+1=3,所求左邊表達(dá)式是1+2+3;從kk+1需增添的項(xiàng)是4k+5(或(2k +2)+(2k+3).,考點(diǎn)一 綜合法 典例1 (2016天津,18,13分)已知an是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列,公差 為d.對(duì)任意的nN*,bn是an和an+1的等比中項(xiàng). (1)設(shè)cn= - ,nN*,求證:數(shù)列cn是等差數(shù)列; (2)設(shè)a1=d,Tn= (-1)k ,nN*,求證: .,考點(diǎn)突破,證明 (1)由題意得 =anan+1,有cn= - =an+1an+2-anan+1=2dan+1,因此cn+1-cn= 2d(an+2-an+1)=2d2,所以cn是等差數(shù)列. (2)Tn=(- + )+(- + )+(- + ) =2d(a2+a4+a2n) =2d =2d2n(n+1). 所以 =,= = .,方法技巧 用綜合法證明是從已知條件出發(fā),逐步推向結(jié)論,綜合法的適用范圍:(1) 定義明確的問(wèn)題,如判斷函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性;(2)已知條件明確,并且 容易通過(guò)分析和應(yīng)用條件逐步逼近結(jié)論的題型,在使用綜合法證明時(shí), 易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是因果關(guān)系不明確,邏輯混亂. 1-1 設(shè)a,b,c0,證明: + + a+b+c. 證明 因?yàn)閍,b,c0,根據(jù)基本不等式, 有 +b2a, +c2b, +a2c, 三式相加, + + +a+b+c2(a+b+c), 即 + + a+b+c.,1-2 (2016山東臨沂模擬)在ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知 sin Asin B+sin Bsin C+cos 2B=1. (1)求證:a,b,c成等差數(shù)列; (2)若C= ,求證:5a=3b. 證明 (1)由已知得sin Asin B+sin Bsin C=2sin2B, 因?yàn)閟in B0,所以sin A+sin C=2sin B, 由正弦定理,有a+c=2b,即a,b,c成等差數(shù)列. (2)由C= ,c=2b-a及余弦定理得,(2b-a)2=a2+b2+ab,即有5ab-3b2=0, 所以 = ,即5a=3b.,考點(diǎn)二 分析法 典例2 已知函數(shù)f(x)=3x-2x,求證:對(duì)于任意的x1,x2R,均有 f . 證明 要證明 f , 即證明 -2 , 因此只要證明 -(x1+x2) -(x1+x2), 即證明 , 因此只要證明 ,由于x1,x2R,所以 0, 0,由基本不等式知 成立,故原結(jié)論成立.,方法技巧 (1)分析法采用逆向思維,當(dāng)已知條件與結(jié)論之間的聯(lián)系不夠明顯、直 接,或證明過(guò)程中所需要用的知識(shí)不太明確、具體時(shí),往往采用分析法, 特別是含有根號(hào)、絕對(duì)值的等式或不等式,從正面不易推導(dǎo)時(shí),?？紤] 用分析法.(2)應(yīng)用分析法的關(guān)鍵在于需保證分析過(guò)程的每一步都是可 逆的,它的常用書(shū)面表達(dá)形式為“要證只需要證”或“ ”.注意用分析法證明時(shí),一定要嚴(yán)格按照格式書(shū)寫(xiě). 2-1 已知 ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列,A,B,C的對(duì)邊分別為a,b, c.求證: + = .,證明 要證 + = ,即證 + =3, 也就是 + =1, 只需證c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c), 需證c2+a2=ac+b2, 又ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列,故B=60, 由余弦定理,得,b2=c2+a2-2accos 60, 即b2=c2+a2-ac, 故c2+a2=ac+b2成立. 于是原等式成立.,考點(diǎn)三 反證法 典例3 (2015湖南,16,6分)設(shè)a0,b0,且a+b= + .證明: (1)a+b2; (2)a2+a0,b0,得ab=1. (1)由基本不等式及ab=1,有a+b2 =2,即a+b2. (2)假設(shè)a2+a0得0a1;同理,0b 1,從而0ab1,這與ab=1矛盾.故a2+a2與b2+b2不可能同時(shí)成立.,易錯(cuò)警示 用反證法證明不等式要把握三點(diǎn):(1)必須先否定結(jié)論,即肯定結(jié)論的反 面;(2)必須從結(jié)論的反面出發(fā)進(jìn)行推理,即應(yīng)把結(jié)論的反面作為條件,且 必須依據(jù)這一條件進(jìn)行推證;(3)推導(dǎo)出的矛盾可能多種多樣,有的與已 知條件矛盾,有的與假設(shè)矛盾,有的與基本事實(shí)矛盾等,且推導(dǎo)出的矛盾 必須是明顯的. 3-1 已知f(x)=ax2+bx+c,若a+c=0,f(x)在-1,1上的最大值為2,最小值為- .求證:a0且 2. 證明 假設(shè)a=0或 2. (1)當(dāng)a=0時(shí),由a+c=0,得f(x)=bx,由題意得b0, f(x)=bx在-1,1上是單調(diào)函數(shù), 所以f(x)在-1,1上的最大值為|b|,最小值為-|b|, 由已知條件,得|b|+(-|b|)=2- =- , 這與|b|+(-|b|)=0相矛盾,所以a0. (2)當(dāng) 2時(shí),a0,由二次函數(shù)f(x)的圖象的對(duì)稱(chēng)軸為x=- ,知f(x)在-1, 1上是單調(diào)函數(shù),故其最值在區(qū)間的端點(diǎn)處取得. 所以 或 又a+c=0,則b不存在,所以 2.,由(1)(2),得a0且 2.,考點(diǎn)四 數(shù)學(xué)歸納法 典例4 已知數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù),bn=n an(nN+),e為自然對(duì) 數(shù)的底數(shù).計(jì)算 , , ,由此推測(cè)計(jì)算 的公式,并給出證明. 解析 =1 =1+1=2; = =22 =(2+1)2=32; = =323 =(3+1)3=43. 由此推測(cè): =(n+1)n.(*),下面用數(shù)學(xué)歸納法證明(*). (1)當(dāng)n=1時(shí),左邊=右邊=2,(*)成立. (2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),(*)成立,即 =(k+1)k. 當(dāng)n=k+1時(shí),bk+1=(k+1) ak+1,由歸納假設(shè)可得 = =(k+1)k(k+1) =(k+2)k+1. 所以當(dāng)n=k+1時(shí),(*)也成立. 根據(jù)(1)(2),可知(*)對(duì)一切正整數(shù)n都成立.,易錯(cuò)警示 使用數(shù)學(xué)歸納法需注意的問(wèn)題: 數(shù)學(xué)歸納法證明中的兩個(gè)步驟體現(xiàn)了遞推思想,第一步是遞推的基礎(chǔ), 第二步是遞推的依據(jù),兩個(gè)步驟缺一不可,否則就會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤. (1)第一步中,驗(yàn)算n=n0中的n0不一定為1,根據(jù)題目要求,有時(shí)可為2或3等. (2)第二步中,證明n=k+1時(shí)命題成立的過(guò)程中,一定要用到歸納假設(shè),掌 握“一湊假設(shè),二湊結(jié)論”的技巧.由k到k+1的證明中尋找由k到k+1的 變化規(guī)律是難點(diǎn),突破難點(diǎn)的關(guān)鍵是掌握由k到k+1的證明方法.在運(yùn)用 歸納假設(shè)時(shí),應(yīng)分析P(k)與P(k+1)的差異及聯(lián)系,利用拆、添、并、放、 縮等方法,或從P(k)出發(fā)拼湊P(k+1),或從P(k+1)中分離出P(k),再進(jìn)行局 部調(diào)整;也可考慮尋求二者的“結(jié)合點(diǎn)”,以便順利過(guò)渡,切實(shí)掌握“觀 察歸納猜想證明”這一特殊到一般的推理方法.,4-1 已知等差數(shù)列an的公差d大于0,且a2,a5是方程x2-12x+27=0的兩 根,數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為T(mén)n且Tn=1- bn. (1)求數(shù)列an,bn的通項(xiàng)公式; (2)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,試比較 與Sn+1的大小,并說(shuō)明理由. 解析 (1)由已知得 又因?yàn)閍n的公差大于0, 所以a5a2,所以a2=3,a5=9, 所以d= = =2,a1=1,所以an=2n-1. 因?yàn)門(mén)n=1- bn, 所以b1= , 當(dāng)n2時(shí),Tn-1=1- bn-1, 因?yàn)閎n=Tn-Tn-1=1- bn- , 化簡(jiǎn),得bn= bn-1, 所以bn是首項(xiàng)為 ,公比為 的等比數(shù)列, 故bn= = .,所以an=2n-1,bn= . (2)因?yàn)镾n= n=n2, 所以Sn+1=(n+1)2, 以下比較 與Sn+1的大小: 當(dāng)n=1時(shí), = ,S2=4, 所以 S2, 當(dāng)n=2時(shí), = ,S3=9