數(shù)學(xué)建模論文-瓷石和高嶺土的分類研究.doc

瓷石和高嶺土的分類研究一、問題重述瓷石是我國陶瓷工業(yè)生產(chǎn)中常用的傳統(tǒng)礦物原料。早在唐宋以前，我國瓷器可能就是只用瓷石一種原料單獨(dú)成瓷。經(jīng)過長期實(shí)踐, 到了宋末元初, 人們開始改進(jìn)配方, 采用瓷石與高嶺土配制, 燒成了很好的瓷器。至今, 我國以景德鎮(zhèn)為代表的南方各省日用瓷配方仍是在高嶺土與瓷石配料為30:7070: 30 之間變化。目前,人們在此基礎(chǔ)上逐漸增加長石及其他原料的含量, 燒出的瓷器在質(zhì)量上有了相應(yīng)改進(jìn)與提高。在瓷器生產(chǎn)中, 如何確定高嶺土、瓷石和長石配料比例, 取決于它們的化學(xué)成份。而高嶺土、瓷石的化學(xué)成分卻又隨產(chǎn)地不同而呈現(xiàn)出差異。所以, 根據(jù)對瓷石與高嶺土的化學(xué)成分的測定, 將瓷石與高嶺土按樣品分類,找出它們的相似關(guān)系, 是很有應(yīng)用價(jià)值的課題。本題就附件一所給兩組數(shù)據(jù)，分別用三種分類方法研究瓷石與高嶺土的分類。二、問題分析針對本題要對瓷石和高嶺土分別進(jìn)行分類，本文以瓷石和高嶺土各自的化學(xué)成分為變量，以不同產(chǎn)地的瓷石和高嶺土為類別，通過Q型聚類分析、K-means算法和層次聚類分析分別對瓷石和高嶺土進(jìn)行分類，從而得到兩者之間的相似性。三、基本假設(shè)（1）假設(shè)同一類高嶺土或瓷石的價(jià)值相近；（2）假設(shè)瓷石和高嶺土的主要成分為題中所列，其余成分對瓷器的制造不產(chǎn)生影響；四、符號說明xij:第i個(gè)化學(xué)成分的第j類樣本的原始分析結(jié)果；xj:第j個(gè)化學(xué)成分的算術(shù)平均數(shù)sj:第j個(gè)化學(xué)成分的標(biāo)準(zhǔn)差n：樣品總數(shù)M：分析化學(xué)成分?jǐn)?shù)ni、np、nq分別為第i、p、q類所包含的樣品個(gè)數(shù)K:選擇對象作為初始的簇的中心的個(gè)數(shù)mk：第k個(gè)簇的簇中心N代表第k個(gè)簇中數(shù)據(jù)對象的個(gè)數(shù)E：所有對象的平方誤差的總和P：空間中的對象mi：簇的平均值五、模型的建立于求解基于Q型系統(tǒng)聚類方法的模型的建立與求解：1、 模型的建立（1） 將原始數(shù)據(jù)進(jìn)行變換有標(biāo)準(zhǔn)化、正規(guī)化、對數(shù)變換、數(shù)據(jù)中心化等多種方法，對于陶石和嶺土的分類，本文采用標(biāo)準(zhǔn)化方法，取xij=xij-xjsj其中： xj=1Ni=1Nxij; sj=i=1NXij-xj2N-1(2) 相似性統(tǒng)計(jì)量 有距離、相關(guān)系數(shù)、相似系數(shù)等多種。在系統(tǒng)聚類分析中為了將樣品間的距離與類間距離的計(jì)算方法統(tǒng)一起來，本文用歐幾里德距離來計(jì)算：dij=k=1MXik-Xjk2 i,j=1,2,N.用離差平方和法計(jì)算類間距離，當(dāng)有p類和q類合并為r類時(shí)，其余第i類與r類的距離Dir取為：Dir=ni+npni+nr-Dip2+ni+nqni+nrDiq2-nini+nr-Dpq2適中，ni、np、nq分別為第i、p、q類所包含的樣品個(gè)數(shù):nr=np+nq.(3)類平均值的計(jì)算每一類的水化學(xué)特點(diǎn)可用此類中各種樣品的分析結(jié)果的算術(shù)平均值來表示：xlk=1nli=1nlxik ；k=1,M;l=1,p。式中p為分的類數(shù)，nl為第l類的樣品數(shù)，即N=l=1pnl。(4)計(jì)算出樣品間的距離的平方值dij2,i= 2 , ,N ;j=1 , ,N-l;(5)取 t=1,N=N ,R E ( i )=i,RAN ( i )=i,NQ(i)=l,i= 1 , ,N ,(6)在 dijN*N中找 出最小值元素di0,j0 ,取 下w( 1 ,t)= R E ( i0 ),W( 2 ,t)=RE(i0 ),w( 2,t)=RE(j0), vt=di0,j02;(7)計(jì)算類間距離di0,j02將di0,j02存入原di0,j02的位置 ,去掉i0行及i0列 ,N=N-1;(8)重新確定RAN(i),其 中i= 1 , ,N ,RE(i),其中i=l, ,N-t,計(jì)算NQ(RE（j0)）,取NQ(RE(i0)=0 ;(9).l=t+1,若t N-1 轉(zhuǎn)(10),否則轉(zhuǎn)(6);（10）確定XL(i),i=1 , ,N-1 ;（11）繪制譜系圖;（12）需要繼續(xù)進(jìn)行分類時(shí),輸入要分的類數(shù)p,轉(zhuǎn)（11），否則 ,結(jié)束計(jì)算,（13）重新確定XL(i),i= l, ,P-1 ;(14)計(jì)算類的各分析項(xiàng) 目的平 均 值xlk ,l = 1 , ,P;k = 1, ,M ,輸出各類的樣品數(shù)nl及nl個(gè)樣號 ,打印出xlk,轉(zhuǎn)第 (11)步。2、模型的求解：通過matlab軟件編程（具體程序見附件）得到如下結(jié)果：陶石分類結(jié)果第1類4第2類5 7 8 9第3類3 10 11 12 13第4類2第5類1第6類6高嶺土分類結(jié)果第1類9 10第2類16 17 18 19第3類1 2 3 4 5 6 7 8第4類15第5類14第6類11 12 133結(jié)果分析：從上所得出的結(jié)果可以得出：江西貴溪倒樟樹瓷石為一類；江西弋陽柴源瓷石、湖南醴陵馬勁坳瓷石、浙江紹興花街瓷石、江蘇吳縣光福瓷石為一類；江西萍鄉(xiāng)江下瓷石、湖南醴陵溈山瓷石、湖南醴陵新棚瓷石、遼寧法庫瓷土、遼寧西豐瓷土為一類；江西東鄉(xiāng)小璜瓷石為一類；景德鎮(zhèn)三寶蓬瓷石為一類；江西弋陽柴源瓷石（淘洗源）為一類。山西大同（細(xì)硝屑狀高嶺土）、山西大同（粗屑狀高嶺土）為一類；景德鎮(zhèn)高嶺村淘洗泥、景德鎮(zhèn)大州淘洗料、九江星廬淘洗料、臨川砂子嶺淘洗料為一類；蘇州青山礦高嶺土 （手選一號）、蘇州青山礦高嶺土（硫一號）、蘇州青山礦高嶺土（硫三號）、蘇州青山礦高嶺土（二號屑）、蘇州青山礦高嶺土（硫三號屑）、山西大同（細(xì)晶蟲狀高嶺土）、山西大同（粗晶蟲狀高嶺土）、山西大同（隱昌狀高嶺土）為一類；廣東飛天燕高嶺土（土膽）為一類；廣東飛天燕高嶺土（洗泥）為一類；廣東飛天燕高嶺土（原礦）、廣東飛天燕高嶺土（原礦）、廣東飛天燕高嶺土（原礦）為一類。基于k-means聚類方法的模型的建立與求解1、 模型的建立（1） 從整個(gè)樣本 n 中，任意選擇 k 個(gè)對象作為初始的簇的中心 mi ( i=1,2,k )，本文中k取6；（2） 利用公式 ：di,j=xi1-xj1+xi2-xj2+xin-xjn其中i=（xi1,xi2,xin）和j=（ji1，ji2,jin）是兩個(gè)n維數(shù)據(jù)對象計(jì)算數(shù)據(jù)集中的每個(gè) p 到 k 個(gè)簇中心的距離 d ( p , mi )（3） 找到每個(gè)對象 p 的最小的 d ( p , mi )，將 p 歸入到與 mi 相同的簇中。（4） 遍歷完所有對象之后，利用公式:mk=i=1NxiNmk代表第k個(gè)簇的簇中心，N代表第k個(gè)簇中數(shù)據(jù)對象的個(gè)數(shù)重新計(jì)算 mi 的值，作為新的簇中心。（5） 重新將整個(gè)數(shù)據(jù)集中的對象賦給最類似的簇。這個(gè)過程反復(fù)進(jìn)行直至平方誤差 準(zhǔn)則最小。平方誤差準(zhǔn)則試圖使聚類結(jié)果盡可能地獨(dú)立和緊湊，即簇內(nèi)對象的相似度盡可能的高。定義如下：E=i=1kpcp-mi2其中E表示所有對象的平方誤差的總和，p表示空間中的對象，mi代表簇的平均值。2、模型的求解通過matlab軟件編程（具體程序見附件）得到如下結(jié)果：聚類中心為： 57.0800 26.5800 0.1500 0.2600 0.0220 1.7000 0.4500 6.2700 0.7000 72.7100 15.8200 0.5050 0.4950 0.0520 0.1900 0.3400 5.9500 0.5650 73.4300 16.8550 0.5775 0.1800 0.0720 0.0900 0.3850 3.9650 0.1600 77.3900 14.2850 0.4950 0 0 0.6550 0.3200 3.8700 0.3450 73.5400 15.0400 0.2000 0.5100 0.0270 0.4100 0.1500 3.2500 5.4000 76.6600 15.3200 0.1433 0.2200 0.0360 0.3700 0.1533 2.3633 0.3433第一類陶石：57.0800 26.5800 0.1500 0.2600 0.0220 1.7000 0.4500 6.2700 0.7000第二類陶石：73.4000 14.3300 0.3300 0.4600 0.0430 0.1800 0.2600 6.5000 1.0600 72.0200 17.3100 0.6800 0.5300 0.0610 0.2000 0.4200 5.4000 0.0700第三類陶石： 73.3400 16.7700 0.6400 0.1300 0.0370 0.0600 0.4900 4.6500 0.3300 73.7600 16.5100 0.3800 0.3000 0.0570 0.0600 0.7200 3.9300 0.0700 72.9000 17.1200 0.4000 0.1700 0.0500 0.0900 0.1500 3.5800 0.1000 73.7200 17.0200 0.8900 0.1200 0.1440 0.1500 0.1800 3.7000 0.1400第四類陶石： 76.3500 14.2100 0.7600 0 0 0.7500 0.4300 4.0400 0.2300 78.4300 14.3600 0.2300 0 0 0.5600 0.2100 3.7000 0.4600第五類陶石： 73.5400 15.0400 0.2000 0.5100 0.0270 0.4100 0.1500 3.2500 5.4000第六類陶石： 77.8000 15.3400 0 0.3600 0.0220 0.2500 0 0.4400 0.0600 75.6800 15.2700 0.1000 0.3000 0.0160 0.2500 0.4000 3.4700 0.0900 76.5000 15.3500 0.3300 0 0.0700 0.6100 0.0600 3.1800 0.8800聚類中心為： 47.9525 35.4125 1.5250 0.4075 0.2650 1.9500 0.6600 0.0200 0 49.0950 36.1750 0.3450 0 0.2550 0.1000 0.0500 1.0000 0.1700 45.9400 37.9350 0.6883 0.3933 0.0817 0.0733 0.0700 0.1967 0.4683 74.5225 17.0575 0.6225 0.1900 0.4675 3.1275 0.8900 0.0550 0 46.4800 36.4700 0.4000 1.0300 0.1100 4.9800 0.3800 0 0 44.5800 37.6200 0.8650 0.3000 0.1400 0.0600 0.0350 0.2250 0.2500第一類高嶺土：48.1800 36.3400 0.6500 0.5300 0.1700 1.9000 1.4400 0 0 48.2400 34.3000 1.6600 0.4500 0.3200 2.7500 0.8500 0.0800 0 48.5000 35.1400 1.9600 0.3400 0.2100 1.0000 0.1000 0 0 46.8900 35.8700 1.8300 0.3100 0.3600 2.1500 0.2500 0 0第二類高嶺土： 49.0900 36.8900 0.3200 0 0.2800 0.0800 0.0500 1.1000 0.1600 49.1000 35.4600 0.3700 0 0.2300 0.1200 0.0500 0.9000 0.1800第三類高嶺土： 46.5000 38.7800 0.1700 0.6300 0 0.1000 0.0500 0.0800 0 47.2000 37.6800 0.6600 0.4800 0 0 0.0500 0 0.1000 46.1000 37.7000 1.1600 0.5300 0.0800 0.1000 0.1000 0 0.7700 45.1600 37.8700 1.9900 0.7200 0 0 0 0 1.6500 45.2200 37.8400 0.0700 0 0.2300 0.1200 0.1100 0.3000 0.1800 45.4600 37.7400 0.0800 0 0.1800 0.1200 0.1100 0.8000 0.1100第四類高嶺土： 76.0300 14.8200 0.8000 0.1000 1.0200 2.8200 0.3700 0 0 77.4500 14.3100 0.7100 0.0800 0.0800 3.4100 0.0800 0.1100 0 78.0800 14.5400 0.6300 0.0300 0.1700 3.3000 0.1300 0.1100 0 66.5300 24.5600 0.3500 0.5500 0.6000 2.9800 2.9800 0 0第五類高嶺土： 46.4800 36.4700 0.4000 1.0300 0.1100 4.9800 0.3800 0 0第六類高嶺土： 44.4600 37.8700 1.5700 0.6000 0 0 0 0 0.3200 44.7000 37.3700 0.1600 0 0.2800 0.1200 0.0700 0.4500 0.18003 結(jié)果分析：從上所得出的結(jié)果可以看出：江西弋陽柴源瓷石（淘洗源）分為一類；江西東鄉(xiāng)小璜瓷石、遼寧西豐瓷土分為一類；江西萍鄉(xiāng)江下瓷石、湖南醴陵溈山瓷石、湖南醴陵新棚瓷石、遼寧法庫瓷土分為一類；湖南醴陵馬勁坳瓷石、江蘇吳縣光福瓷石分為一類；景德鎮(zhèn)三寶蓬瓷石分為一類；江西貴溪倒樟樹瓷石、江西弋陽柴源瓷石、浙江紹興花街瓷石分為一類。景德鎮(zhèn)高嶺村淘洗泥、景德鎮(zhèn)大州淘洗料、九江星廬淘洗料、臨川砂子嶺淘洗料分為一類；山西大同（細(xì)硝屑狀高嶺土）、山西大同（粗屑狀高嶺土）分為一類；蘇州青山礦高嶺土 （手選一號）、蘇州青山礦高嶺土（硫一號）、蘇州青山礦高嶺土（硫三號）、蘇州青山礦高嶺土（硫三號屑）、山西大同（粗晶蟲狀高嶺土）、山西大同（隱昌狀高嶺土）分為一類；廣東飛天燕高嶺土（原礦）、廣東飛天燕高嶺土（原礦）、廣東飛天燕高嶺土（原礦）、廣東飛天燕高嶺土（洗泥）分為一類；廣東飛天燕高嶺土（土膽）分為一類；蘇州青山礦高嶺土（二號屑）、山西大同（細(xì)晶蟲狀高嶺土）分為一類?；趯哟尉垲惙椒ǖ哪Ｐ偷慕⑴c求解1模型的建立與求解：層次方法對給定的數(shù)據(jù)集合進(jìn)行層次的分級，稱為樹聚類算法。它使用數(shù)據(jù)的聯(lián)接規(guī)則， 透過一種層次架構(gòu)方式，反復(fù)將數(shù)據(jù)進(jìn)行分裂或聚合，以形成一個(gè)層次序列的聚類問題解。 根據(jù)分解形成的過程，層次聚類可以分為凝聚的和分裂。凝聚的方法,也稱為自底向上方法, 首先將每個(gè)對象作為單獨(dú)的一個(gè)組，然后相繼地合并相近的對象、組，直到所有的組合合并 為一個(gè)，或者達(dá)到一個(gè)中止條件。分裂的方法，也稱為自頂向下的方法,首先將所有的對象 置于一個(gè)簇中。在迭代的每一步中，一個(gè)簇被分裂為更小的簇，直到最終每個(gè)對象在單獨(dú)的 一個(gè)簇中，或者達(dá)到一個(gè)終止條件。一種純粹的層次聚類方法的缺點(diǎn)在于一旦合并或是分裂 執(zhí)行，就不能修正，也就是說，如果某個(gè)合并或是分裂效果在后來證明是不好的選擇，該方 法無法退回或是更正。層次聚合算法的計(jì)算復(fù)雜性為 O(n2)，適合于小型數(shù)據(jù)集的分類。具體步驟如下：1. 將每個(gè)對象歸為一類, 共得到N類, 每類僅包含一個(gè)對象. 類與類之間的距離就是它們所包含的對象之間的距離.2. 找到最接近的兩個(gè)類并合并成一類, 于是總的類數(shù)少了一個(gè).3. 重新計(jì)算新的類與所有舊類之間的距離.可將層次式聚類2方法分為幾類: single-linkage, complete-linkage 以及average-linkage 聚類方法等.本文采用average-linkage 聚類方法。4. 重復(fù)第2步和第3步, 直到最后合并成一個(gè)類為止(此類包含了N個(gè)對象).2模型的求解：通過matlab軟件編程（具體程序見附件）得到如下結(jié)果：陶石分類結(jié)果：Z =T = 10.0000 12.0000 0.95885 3.0000 14.0000 1.07023 11.0000 15.0000 1.17774 5.0000 8.0000 1.33341 7.0000 17.0000 1.66182 13.0000 16.0000 2.18396 9.0000 18.0000 2.48602 4.0000 20.0000 3.65962 2.0000 19.0000 3.72682 21.0000 22.0000 4.86534 1.0000 23.0000 6.01954 6.0000 24.0000 21.07444高嶺土分類結(jié)果：Z =T = 7.0000 8.0000 0.57023 12.0000 13.0000 0.69383 6.0000 20.0000 0.82633 2.0000 3.0000 1.38953 9.0000 10.0000 1.44643 1.0000 23.0000 1.56023 4.0000 5.0000 1.56523 22.0000 25.0000 2.02273 11.0000 21.0000 2.10551 18.0000 19.0000 2.12371 17.0000 29.0000 2.18806 26.0000 27.0000 2.35516 16.0000 30.0000 2.37926 24.0000 32.0000 3.21215 31.0000 33.0000 4.33704 15.0000 34.0000 5.06452 14.0000 28.0000 14.91082 35.0000 36.0000 34.3159223結(jié)果分析：從上所得出的結(jié)果可以看出：景德鎮(zhèn)三寶蓬瓷石分為一類；江西東鄉(xiāng)小璜瓷石分為一類；江西萍鄉(xiāng)江下瓷石、湖南醴陵新棚瓷石、遼寧法庫瓷土、遼寧西豐瓷土分為一類；江西貴溪倒樟樹瓷石分為一類；江西弋陽柴源瓷石、湖南醴陵馬勁坳瓷石、浙江紹興花街瓷石、江蘇吳縣光福瓷石分為一類；江西弋陽柴源瓷石（淘洗源）分為一類。蘇州青山礦高嶺土 （手選一號）、蘇州青山礦高嶺土（硫一號）、蘇州青山礦高嶺土（硫三號）、蘇州青山礦高嶺土（二號屑）、蘇州青山礦高嶺土（硫三號屑）、山西大同（細(xì)晶蟲狀高嶺土）、山西大同（粗晶蟲狀高嶺土）、山西大同（隱昌狀高嶺土