江蘇專用版高中數(shù)學4.4.4平擺線與圓的漸開線學案蘇教版.docx

4.4.4平擺線與圓的漸開線1了解平擺線、圓的漸開線的生成過程，能導出它們的參數(shù)方程2在欣賞曲線美的同時，體會參數(shù)方程在曲線研究中的地位3體會“參數(shù)”思想在處理較為復雜問題時的優(yōu)越性基礎初探1平擺線(1)如圖447所示，假設A為圓心，圓周上的定點為P，開始時位于O處，圓(半徑為r)在直線上滾動時，點P繞圓心做圓周運動，轉過(弧度)角后，圓與直線相切于B，線段OB的長等于的長，即OBr.這就是圓周上的定點P在圓A沿直線滾動過程中滿足的幾何條件我們把點P的軌跡叫做平擺線，簡稱擺線，又叫旋輪線圖447(2)以定直線為x軸，點O為原點建立直角坐標系，則定點P(x，y)的參數(shù)方程為(為參數(shù))2圓的漸開線有一條鋼絲緊箍在一個半徑為r的圓盤上，在鋼絲的外端系上一支鉛筆，逐漸撒開鋼絲，并使撒開的部分成為圓盤的切線，我們把筆尖畫出的曲線叫做圓的漸開線，相應的定圓叫做漸開線的基圓思考探究1用參數(shù)法求曲線的軌跡方程的步驟是什么？【提示】用參數(shù)法求曲線的軌跡方程，其步驟主要有三步：選參、用參、消參其中關鍵是選參，若題目沒有明確要求化為普通方程(或需判斷曲線的形狀和位置)，則可以用曲線的參數(shù)方程作為答案2圓的漸開線的參數(shù)方程中的參數(shù)的幾何意義是什么？【提示】根據(jù)漸開線的定義和求解參數(shù)方程的過程，可知其中的字母r是指基圓的半徑，而參數(shù)是指繩子外端運動時，半徑OB相對于Ox轉過的角度，如圖，其中的AOB即是角.顯然點P由參數(shù)惟一確定在我們解決有關問題時可以適當利用其幾何意義，把點的坐標轉化為與三角函數(shù)有關的問題，使求解過程更加簡單質(zhì)疑手記預習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：_解惑：_疑問2：_解惑：_疑問3：_解惑：_擺線已知一個圓的擺線過一定點(1,0)，請寫出該擺線的參數(shù)方程【自主解答】根據(jù)圓的擺線的參數(shù)方程的表達式(為參數(shù))可知，只需求出其中的r，也就是說，擺線的參數(shù)方程由圓的半徑惟一來確定，因此只需把點(1,0)代入?yún)?shù)方程求出r值再代入?yún)?shù)方程的表達式令r(1cos )0可得cos 1，所以2k(kZ)代入可得xr(2ksin 2k)1.所以r.又根據(jù)實際情況可知r是圓的半徑，故r0.所以，應有k0且kZ，即kN.所以，所求擺線的參數(shù)方程是(其中為參數(shù)，kN)再練一題1已知一個圓的平擺線過一定點(2,0)，請寫出該圓的半徑最大時該平擺線的參數(shù)方程【解】令y0，可得r(1cos )0，由于r0，即得cos 1，所以2k(kZ)代入xr(sin )，得xr(2ksin 2k)又因為x2，所以r(2ksin 2k)2，即得r(kN)易知，當k1時，r取最大值為.代入即可得圓的平擺線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).圓的漸開線已知圓的漸開線的參數(shù)方程(為參數(shù))求出該漸開線的基圓的方程，當參數(shù)取時，求對應曲線上點的坐標【思路探究】由圓的漸開線的參數(shù)方程形式可得r3，把代入即得對應的坐標【自主解答】，半徑為3.此漸開線的基圓方程為x2y29.把代入?yún)?shù)方程得即曲線上點的坐標為(，3)圓的漸開線參數(shù)方程其中為參數(shù)再練一題2已知圓的直徑為2，其漸開線的標準參數(shù)方程對應的曲線上兩點A、B對應的參數(shù)分別是和，求A、B兩點的距離【導學號：98990038】【解】根據(jù)條件可知圓的半徑是1，所以對應的漸開線參數(shù)方程是(為參數(shù))，分別把和代入，可得A、B兩點的坐標分別為A(，)，B(，1)那么，根據(jù)兩點之間的距離公式可得A、B兩點的距離為AB.即A、B兩點之間的距離為.1若某圓的漸開線方程是(為參數(shù))，則此圓的方程是_，對應0的點的坐標是_，對應的點是_【解析】圓的方程為x2y21，0的點的坐標是(1,0)，對應的點的坐標是(，1)【答案】x2y21(1,0)(，1)2擺線(02)與直線y1交點的直角坐標為_【導學號：98990039】【解析】當y1時，有2(1cos )1，cos ，又02，或，當時，x；當時，x.【答案】(，1)，(，1)3如圖448，ABCD是邊長為1的正方形，曲線AEFGH叫做“正方形的漸開線”，其中弧AE、EF、FG、GH的圓心依次按B、C、D、A循環(huán)，它們依次相連接，則曲線AEFGH長是_圖448【解析】2 ，相加得5.【答案】54已知一個圓的參數(shù)方程為(為參數(shù))那么圓的平擺線方程中與參數(shù)對應的點A與點B之間的距離為_【解析】根據(jù)圓的