畢業(yè)論文 輔助函數(shù)在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 .doc.doc

09級畢業(yè)論文答辯稿輔助函數(shù)在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用學(xué)號：902091126組別：第（9）組內(nèi)容提要高等數(shù)學(xué)中運用輔助函數(shù)就像是在幾何中添加輔助線，在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用是非常重要的.當(dāng)我們遇到特殊的題目時，用常規(guī)方法可能比較復(fù)雜.這時我們就需要構(gòu)造輔助函數(shù)，就如同架起一座橋梁，不需要大量的算法就可以得到結(jié)果.因此，學(xué)習(xí)構(gòu)造輔助函數(shù)對于我們證明、解題是非常有幫助的.本論文是從證明定理與解題兩方面分別來闡述輔助函數(shù)的作用，通過本文我們會更好的了解輔助函數(shù)在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用.關(guān)鍵詞：輔助函數(shù)定理證明AbstractSummary：Theauxiliaryfunctionisappliedtohighermathematicsasaddingauxiliarylineingeometry.Itsapplicationsofmathematicsisveryimportant.Usetheconventionalmethodmaybecomplicatedwhenweencounterspecialproblems.Thenwecanconstructtheauxiliaryfunctionlikeabridgedonotneedalotofalgorithmtogettheresult.Therefore,itisveryhelpfulforustostudythestructureofauxiliaryfunctiontoproveandsolveproblem.Thispaperexpoundstheapplicationofauxiliaryfunctionrespectivelyfromtwoaspectsoftheoremprovingandproblemsolving.Throughthispaperwewillknowbetterinmathematics.Keywords:auxiliaryfunctiontheoremtestify目錄一、緒論.1二、輔助函數(shù)在定理證明中的應(yīng)用.1(一)構(gòu)造輔助證明牛頓-萊布尼茲公式.1(二)構(gòu)造輔助函數(shù)證明泰勒公式.2(三)構(gòu)造輔助函數(shù)證明拉格朗日中值定理.4三、輔助函數(shù)在解題中的應(yīng)用.5(一)構(gòu)造輔助函數(shù)證明恒等式.5(二)構(gòu)造輔助函數(shù)證明不等式.7(三)構(gòu)造輔助函數(shù)討論方程的根.9(四)構(gòu)造輔助函數(shù)證明中值問題.10(五)構(gòu)造輔助函數(shù)求極限.11四、總結(jié).12參考文獻.13后記.131輔助函數(shù)在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用一、緒論輔助函數(shù)是一種讓我們更好的，更簡單的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的方法，.我在本文討論了一下輔助函數(shù)的應(yīng)用，發(fā)現(xiàn)它在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用是非常廣泛的.我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不只是探索與發(fā)現(xiàn)，還有找到最簡單的方法解決問題，本文主要內(nèi)容是關(guān)于一些定理的證明，如牛頓-萊布尼茲公式的證明，泰勒公式的證明和拉格朗日中值定理的證明.這三個定理是我們在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中經(jīng)常用到的，掌握它們的證明非常關(guān)鍵.當(dāng)然它們的證明有很多方法，這里我們只研究用構(gòu)造輔助函數(shù)的方法來證明.另外還有關(guān)于解題時運用構(gòu)造輔助函數(shù)的方法，有關(guān)于不等式的證明，恒等式的證明等.我們可以知道在解題方面，輔助函數(shù)也是比較適用的，本文就輔助函數(shù)的構(gòu)造舉例來說明.二、輔助函數(shù)在定理證明中的應(yīng)用(一)構(gòu)造輔助證明牛頓-萊布尼茲公式牛頓-萊布尼茲公式是微積分基本定理，他把定積分和不定積分兩者聯(lián)系起來，使得定積分的計算更加簡潔和完善，關(guān)于它的證明是我們必需要掌握的，學(xué)好牛頓-萊布尼茲公式也使我們能夠更好地了解微積分.下面我們來看這個公式的證明.定理1若()fx在,ab上是連續(xù)的，且()Fx是()fx在,ab上的一個原函數(shù)，那么()()()baftdtFbFa分析首先我們來構(gòu)造輔助函數(shù)()()xaxftdt，現(xiàn)在，我們來研究這個()x函數(shù)的性質(zhì).我們定義函數(shù)()()xaxftdt，那么()x連續(xù)，若()fx連續(xù)，則有()()xfx.證明：讓函數(shù)()x獲得一個增加的量x，則對應(yīng)的函數(shù)增量()()()()xxxaaxxxxftdtftdt那么可以根據(jù)區(qū)間的可加性，()()()xxxxxaaxftdtftdtftdt假設(shè)m、M分別是()fx在,ab上的最小值和最大值，我們可以根據(jù)積分第一中值定理，則存在實數(shù),mM，使得()xxxftdtx2當(dāng)()fx連續(xù)時，存在(,)xxx，使得()f于是當(dāng)x趨近于0時，趨近于0，即()x是連續(xù)的.若()fx連續(xù)，當(dāng)0x，x，()()ffx，則0lim()xfxx.從而我們得出()()xfx現(xiàn)在，我們來證明牛頓-萊布尼茲公式.證明我們在上面已經(jīng)證得()()xfx，所以，()()xCFx.顯然，()0a（因為積分區(qū)間為,aa，故面積為0），所以()FaC.于是有()()()xFxFa,當(dāng)xb時()()()bFbFa.此時，我們就得到了牛頓-萊布尼茲公式.證畢.(二)構(gòu)造輔助函數(shù)證明泰勒公式泰勒公式是一個用函數(shù)在已知某一點的信息描述這一點附近所取值的公式，在函數(shù)某一點的各階導(dǎo)數(shù)值已知的情況下，泰勒公式可以將這些導(dǎo)數(shù)值的相應(yīng)倍數(shù)作系數(shù)構(gòu)建多項式來近似函數(shù)在這一點的值.這樣，有時不必計算大量的式子，用泰勒公式來直接近似函數(shù)值，會更簡單，更快捷的得出結(jié)果.我們接下來證明泰勒公式（拉格朗日余項型）.定理2若函數(shù)()fx在開區(qū)間,ab有直到1n階導(dǎo)數(shù)，則當(dāng)函數(shù)在此區(qū)間內(nèi)時，可以展開為一個關(guān)于0()xx的多項式和一個余項的和，即()20000000()()()()()()()()1!2!nnnfxfxfxfxfxxxxxxxRn分析我們知道000()()+()()fxfxfxxx，那么由拉格朗日中值定理導(dǎo)出的有限增量定理，得到0000lim()()()xfxxfxfxx3當(dāng)lim0x，則0limxx時，誤差0.因此，在近似計算時時不夠精確，那么我們就需要構(gòu)造一個足夠精確的能把誤差估計出來的多項式，這個多項式是2010200()()()()nnPxAAxxAxxAxx來近似表示函數(shù)()fx，并且，還要寫出誤差()()fxPx的具體表達式.這時，我們開始證明.證明設(shè)函數(shù)()Px滿足00()()Pxfx，00()()Pxfx，00()()Pxfx，()()00()()nnPxfx，依次求出012,nAAAA顯然，00()PxA，則00()Afx；01()PxA,10()Afx；02()2!PxA，02()=2!fxA，()0()!nPxnAn,()0()!nfxAnn；至此，這個多項式的各項系數(shù)都已經(jīng)求出，得()20000000()()()()()()()()2!nnfxfxPxfxfxxxxxxxn接下來，我們需要求出誤差的具體表達式.設(shè)()()()nRxfxPx，則000()()()0nRxfxPx故得出()0000()()()()0nnnnnRxRxRxRx由柯西中值定理可以得到01110010()()()()()()0(1)()nnnnnnnRxRxRxRxxxxnx，10(,)xx.繼續(xù)使用柯西中值定理得1021102()()()(1)()0(1)()nnnnnRRxRnxnnx，這里2在1與0x之間；連續(xù)使用1n此后，得出(1)210()()()(1)!nnnnRxRxxn，4但是(1)(1)(1)()()()nnnnRxfxPx，因為()!nPnAn，!nAn是一個常數(shù)，所以(1)()0nPx，于是得(1)(1)()()nnnRxfx.綜上所述，余項(1)10()()()(1)!nnnfRxxxn，這樣，泰勒公式得證.(三)構(gòu)造輔助函數(shù)證明拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是羅爾定理的推廣，也是柯西中值定理的特殊情況.它的應(yīng)用非常廣泛，像洛必達法則，泰勒展開式都是它的應(yīng)用.對于它的證明，我們知道有很多的方法來證明它，現(xiàn)在我們做輔助函數(shù)來證明.定理3設(shè)函數(shù)()fx在,ab上連續(xù)，在,ab內(nèi)可導(dǎo)，則在,ab至少存在一點，使得()()()fbfafba分析從結(jié)論中可以看出，若將換成變量x，則可得到一階微分方程()()()fbfafxba其通解為()()()fbfafxxCba.若將函數(shù)C變?yōu)閤函數(shù)()Cx，那么得到一個輔助函數(shù)，()()()()fbfaCxfxxba.現(xiàn)在我們來開始證明證明做輔助函數(shù)()()()()fbfaCxfxxba，有()()()()bfaafbCaCbba.則()Cx滿足羅爾定理的三個條件，故在,ab至少存在一點使5()()()()0fbfaCfba所以()()()0fbfafba.拉格朗日中值定理證畢.三、輔助函數(shù)在解題中的應(yīng)用(一)構(gòu)造輔助函數(shù)證明恒等式恒等式是很常見的一種題型，對于這種題型的證明，找到簡單快速的證明方法可以節(jié)省很多時間.如對于下面的題，形式比較復(fù)雜，還存在一階導(dǎo)數(shù)，我們可以構(gòu)造輔助函數(shù)，然后變幻形式，創(chuàng)建出中值定理的成立條件，利用中值定理來證明，就會很簡單了.例1設(shè)函數(shù)()fx在,ab上連續(xù)，在,ab內(nèi)可導(dǎo)，證明在,ab內(nèi)至少存在一點，使得()()()()bfbafaffba分析令()()bfbafakba，則()()bfakbafaka為關(guān)于a與b的對稱式，故取()()Fxxfxkx.證明令()()()()bfbafaFxxfxxba則()Fx在,ab上連續(xù)，在,ab內(nèi)可導(dǎo)，又因為()()0FaFb，所以()Fx在,ab上滿足羅爾定理，那么存在一個(,)ab，使得()0F.即()()()+()0bfbafaffba，6即()()()+()bfbafaffba.上題構(gòu)造輔助函數(shù)后應(yīng)用了羅爾定理，使得上式證明變得簡單明了.下面這個題屬于條件恒等式，我們要看好條件，可以適當(dāng)?shù)倪M行變形，做輔助函數(shù).例2設(shè)()fx在0,上連續(xù)，在0,內(nèi)可導(dǎo)，且20()1xfxx，則至少存在一點0,，使得2221().(1)f分析我們先把看成變量x，由