高一教學(xué)中數(shù)學(xué)思想方法訓(xùn)練初探.doc

高一教學(xué)中數(shù)學(xué)思想方法訓(xùn)練初探楊思中學(xué) 呂敏華數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù)是培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，提高學(xué)生的素質(zhì)，最終目的是促進其身心發(fā)展。數(shù)學(xué)學(xué)科的內(nèi)容，包括數(shù)學(xué)知識和蘊含于數(shù)學(xué)知識中的數(shù)學(xué)思想方法兩個部分組成。概念、定理、公式等知識是數(shù)學(xué)的外在表現(xiàn)形式，而數(shù)學(xué)思想方法則是數(shù)學(xué)發(fā)展的內(nèi)在動力。把握住它就可以把握數(shù)學(xué)發(fā)展的?？墒?，很多教材往往注重演繹法和形式化，學(xué)生即使把定理的意義和證明都搞清楚，仍然不能抓住有關(guān)數(shù)學(xué)思想方法的實質(zhì)內(nèi)容，正如高斯形容的那樣：“數(shù)學(xué)家就象建造數(shù)學(xué)大廈的工匠，等到抹好四壁之后，就拆走了腳手架，展現(xiàn)給人們的只是雄偉壯觀的建筑物了?！泵鎸χ@種學(xué)科特點，如果教師只是注解似的照本宣科，學(xué)生只是死記硬搬書本上的知識，即使大搞“題海戰(zhàn)術(shù)”，培養(yǎng)出來的只會是高分低能的學(xué)生。因此，在中學(xué)數(shù)學(xué)中必須有意識地以數(shù)學(xué)知識為載體，把藏在知識背后的數(shù)學(xué)思想方法顯示出來，作為教學(xué)的對象，訓(xùn)練學(xué)生有意識地運用數(shù)學(xué)思想來理解、掌握所學(xué)的數(shù)學(xué)知識和分析問題、解決問題，以達到數(shù)學(xué)教育之目的。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識和思想方法可以相互促進。學(xué)生有意識地應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法，可以更深刻地理解數(shù)學(xué)知識，完善數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提高分析問題和解決問題的能力。另一方面，由于數(shù)學(xué)思想方法較之?dāng)?shù)學(xué)知識更概括、更抽象，因此，比數(shù)學(xué)知識更容易遷移。學(xué)生在學(xué)校里接受的許多數(shù)學(xué)知識因畢業(yè)進入社會后很少有機會得到應(yīng)用而淡忘；但是不管他們從事什么工作，唯有深深銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)思維方法，卻隨時隨地發(fā)生著作用，收益終生。數(shù)學(xué)思想方法訓(xùn)練，象數(shù)學(xué)知識的教學(xué)一樣，從“規(guī)定”到“實施”到“取得成效”，其中有大量的工作需要我們扎扎實實地去做，有許許多多的問題等待著我們?nèi)パ芯?、去解決。這是一個存在于整個數(shù)學(xué)教育各個階段的一個長期的重要任務(wù)。根據(jù)我的了解，所教的高一新生一般不知數(shù)學(xué)思想指何物，更談不上有意識地運用數(shù)學(xué)思想的觀念了。我在上海版97版教材高一數(shù)學(xué)教學(xué)中，就數(shù)學(xué)思想的訓(xùn)練作了一些研究和嘗試。囿于本人的水平和精力，肯定是不夠全面和深入的，在許多方面需要今后加以改進，也存在許多有待進一步解決的問題。一、對高一數(shù)學(xué)涉及的數(shù)學(xué)思想方法的思考中學(xué)數(shù)學(xué)教材涉及的數(shù)學(xué)思想方法，僅是豐富的數(shù)學(xué)思想方法的一部分。中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)選擇數(shù)學(xué)思想方法中最常見、最基本的內(nèi)容，它們不僅可以包括中學(xué)數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容，而且是中學(xué)生進一步學(xué)習(xí)、深造所必須的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，另一方面也應(yīng)有可能被中學(xué)生較好理解和掌握應(yīng)用的數(shù)學(xué)思想方法。其數(shù)量不宜過多，難度不宜過大，其本身不一定能形成嚴(yán)格的體系結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)思想方法大體上可分為三種類型。第一類是宏觀型思想方法，包括抽象概括、化歸、數(shù)學(xué)建模、數(shù)形結(jié)合、歸納猜想等。有的（如抽象概括、數(shù)學(xué)建模、歸納猜想等）常常與數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)現(xiàn)過程緊密聯(lián)系，是將現(xiàn)實世界數(shù)學(xué)化的重點方法；有的（如化歸等）是我們處理數(shù)學(xué)問題的一種基本思想，具有很強的思維導(dǎo)向功能；有的（如數(shù)形結(jié)合等）則反映了數(shù)學(xué)各科之間的內(nèi)部聯(lián)系和統(tǒng)一性，體現(xiàn)了人們對數(shù)學(xué)的總體認(rèn)識。第二類是邏輯型思想方法，包括分類討論、完全歸納法、反證法、演繹法、特殊化方法等。這類方法都具有確定的邏輯表達結(jié)構(gòu)。第三類是技巧型思想，包括換元、配方、待定系數(shù)等方法。這類方法常常用于具體解題，具有一定的操作步驟。高中數(shù)學(xué)內(nèi)容涉及其中相當(dāng)部分?jǐn)?shù)學(xué)思想方法，但出現(xiàn)的頻率有高有低，學(xué)生基礎(chǔ)有好有差，訓(xùn)練的難度有大有小，因此應(yīng)有計劃分布進行。有些數(shù)學(xué)思想方法，例如抽象概括、化歸、演繹、換元、配方、待定系數(shù)法等，學(xué)生在初中階段接觸較多或是需要在今后學(xué)習(xí)中加以明確、逐步鞏固（如：抽象概括、化歸、演繹等），或是在高一數(shù)學(xué)內(nèi)容中出現(xiàn)時面目變化不大（如：換元、配方、待定系數(shù)法等），在教學(xué)中主要應(yīng)與初中內(nèi)容相聯(lián)系予以復(fù)習(xí)，并加以適當(dāng)提高。例如初中在學(xué)習(xí)二次函數(shù)等內(nèi)容時以訓(xùn)練過配方。高一在第二章用作差比較法證明不等式應(yīng)用配方法時可予以復(fù)習(xí)，并提高到對二元二次式兩處配方，為日后解析幾何中坐標(biāo)平移作好準(zhǔn)備。有些數(shù)學(xué)思想，例如歸納猜想、反證法等，在初中、高一數(shù)學(xué)中均出現(xiàn)不多或尚未出現(xiàn)，可放于高二、高三時著重訓(xùn)練。高一教學(xué)中遇到時可讓學(xué)生有個大致印象。有些數(shù)學(xué)思想，例如數(shù)學(xué)建模、數(shù)形結(jié)合、分類討論等，雖然在初中也有接觸，但在高中不同階段出現(xiàn)時差異較大。對學(xué)生掌握知識、解決問題、提高能力作用較大，應(yīng)特別予以重視。我在高一數(shù)學(xué)教學(xué)中，以這三個數(shù)學(xué)思想方法為重點，作為從初中階段到高中階段的過渡、鞏固與提高。二、對三種數(shù)學(xué)思想方法的訓(xùn)練（一）數(shù)形結(jié)合思想方法訓(xùn)練數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實世界中關(guān)于空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)。“數(shù)”和“形”是數(shù)學(xué)研究中既有區(qū)別又有聯(lián)系的兩個主要對象，它們是同一事務(wù)的兩個方面。數(shù)量問題有時借助圖形可以直觀地解決；反之，圖形問題有時可以轉(zhuǎn)化為數(shù)量問題，通過計算得到解決。這就是數(shù)形結(jié)合的思想方法。正如華羅庚所說的那樣：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微”。在數(shù)學(xué)教學(xué)中突出數(shù)形結(jié)合的思想方法，有利于學(xué)生從不同側(cè)面加深對問題的認(rèn)識和理解，提供解決問題的方法，也有利于培養(yǎng)學(xué)生將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力。把抽象的數(shù)量關(guān)系形象化，具有直觀性強、易于理解、易接受的作用。將直觀圖形數(shù)量化、轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)運算，會降低難度，并可對知識的理解達到更深刻的程度。在數(shù)學(xué)教學(xué)中突出數(shù)形結(jié)合的思想，不僅對解決問題的一種手段，而且加深了對數(shù)學(xué)實質(zhì)的認(rèn)識。1、在高一數(shù)學(xué)各部分內(nèi)容中，借助以下不同的數(shù)形結(jié)合的載體，進一步掌握數(shù)形之間的關(guān)系：利用函數(shù)圖象解不等式；利用數(shù)軸求不等式（組）的解集；用復(fù)平面上的點表示復(fù)數(shù)；函數(shù)的各種性質(zhì)在函數(shù)圖象上的表現(xiàn)；有函數(shù)圖象看方程的解；計算三角形有關(guān)問題；利用單位圓看三角函數(shù)的性質(zhì)。以上是教材中出現(xiàn)并要求的，在教學(xué)中要注意加以整理，有的還需加以具體補充，使學(xué)生掌握數(shù)、形之間有關(guān)特點的關(guān)系，便于應(yīng)用。例如關(guān)于函數(shù)的性質(zhì)與圖象特點的關(guān)系，需指出以下方面：（1）是的函數(shù)：垂直于軸的直線與函數(shù)圖象最多只有一個交點。（2）函數(shù)的定義域。（3）函數(shù)的值域。（4）函數(shù)的最值：函數(shù)圖象的最高（低）點的縱坐標(biāo)。（5）函數(shù)的奇偶性：函數(shù)圖象是否關(guān)于原點中心對稱或關(guān)于軸對稱。（6）函數(shù)的增減性：自左向右看函數(shù)圖象是向上還是向下。（7）函數(shù)式中的常數(shù)與圖象變換的關(guān)系。（8）函數(shù)存在反函數(shù)：垂直于軸的直線與函數(shù)圖象最多只有一個交點。（9）函數(shù)與它的反函數(shù)的圖象的關(guān)系。其中（1）（5）（9）在教材中有明確結(jié)論，（6）（7）有練習(xí)。其余各條則需適時具體引導(dǎo)補充，使學(xué)生有較為完整的認(rèn)識，便于應(yīng)用。例如教材在5.7反函數(shù)一節(jié)中引進反函數(shù)概念時沒有與函數(shù)圖象結(jié)合起來，在教學(xué)中可補充有關(guān)存在反函數(shù)與不存在反函數(shù)的函數(shù)圖象，讓學(xué)生直觀了解它們的特點，易于掌握、加深理解反函數(shù)概念，進而看出怎樣改變定義域，使函數(shù)存在反函數(shù)。在反三角函數(shù)這一章，學(xué)生就自己能從三角函數(shù)圖象得出應(yīng)在什么區(qū)間內(nèi)存在反三角函數(shù)。2、經(jīng)常指導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合記憶知識、思考問題。中學(xué)階段學(xué)過許多函數(shù)，其性質(zhì)都是需要記憶的。由于圖象直觀易記，在掌握函數(shù)的性質(zhì)與圖象特點的關(guān)系后，學(xué)生不僅可以根據(jù)記憶的圖象說出函數(shù)性質(zhì)，而且可以清晰地思考、解決有關(guān)問題。例如：4.3函數(shù)運算一節(jié)中，例2給出了形如（）函數(shù)的圖象。在以后的教學(xué)中，我們一方面可以讓學(xué)生觀察圖象，說出它的性質(zhì)；另一方面可以結(jié)合不等式求它在的最小值和的最大值，還可以根據(jù)函數(shù)增減性的定義證明它在各單調(diào)區(qū)間的增減性。在日后遇到求這類函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)最值時，學(xué)生很容易想到它的圖象，然后根據(jù)所給的區(qū)間采用不同方法求出最值。另一方面，我們還可以應(yīng)用數(shù)學(xué)計算解決有關(guān)圖形問題。例如求三角形的邊、角或判斷它的形狀，以及證明圖形性質(zhì)。3、在其它數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中，也應(yīng)該注意把抽象的數(shù)學(xué)概念圖形化，并借助圖形幫助思考。例如，我們常用文氏圖表示集合，并用來解決有關(guān)問題，中學(xué)數(shù)學(xué)要求也限于此。其實也需具體知道各種集合關(guān)系在圖中的反映。例如：學(xué)生容易理解“若，則”；但許多問題中需要由“”得到“”這一結(jié)論。這就不僅需要利用把集合概念圖形化的載體文氏圖，而且需要具體掌握兩集合各種關(guān)系的有關(guān)圖形，才能形象地解決這一抽象問題，而教科書中與參考書中都未見具體說明。注意數(shù)形結(jié)合，可以使學(xué)生在發(fā)展邏輯思維的同時發(fā)展形象思維，兩者相輔相成，互相促進。人的大腦左半球主要從事抽象和邏輯思維，右半球主要從事形象和直覺思維。形象思維善于提出解決問題的各種嘗試，抽象思維則善于按一定的程序有條理地解決問題。兩者通過胼胝體互相作用。我們平時有意識地把這兩者更好地結(jié)合起來，更充分開發(fā)和發(fā)揮大腦兩半球的共同作用，人就會更加聰明，具有更大的創(chuàng)造性。（二）數(shù)學(xué)建模的思想方法訓(xùn)練無論是數(shù)學(xué)研究，還是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，其最終目的是將數(shù)學(xué)運用于社會、服務(wù)于社會，而運用數(shù)學(xué)解決實際問題是通過數(shù)學(xué)建模這個橋梁來實現(xiàn)的。當(dāng)今是數(shù)學(xué)廣泛應(yīng)用的時代，數(shù)學(xué)建模的地位也得到顯著提高，計算機的出現(xiàn)和普及又使數(shù)學(xué)建模插上了翅膀，它已不僅使數(shù)學(xué)學(xué)科的背景材料，更重要的使已成為人們改造自然的一種技術(shù)。目前，中學(xué)數(shù)學(xué)實際應(yīng)用問題成了中學(xué)數(shù)學(xué)教育界的熱門話題。廣義地說，一切數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)理論（公式、定理、法則等）、數(shù)學(xué)事實（各種方程、各種函數(shù)式等）都可稱之為數(shù)學(xué)建模。而在應(yīng)用數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)建模是指狹義理解的數(shù)學(xué)建模，即指反映特定現(xiàn)實原型的數(shù)學(xué)關(guān)系結(jié)構(gòu)（數(shù)學(xué)問題）。數(shù)學(xué)本身是為解決各個領(lǐng)域所產(chǎn)生的各種類型的問題的需要而產(chǎn)生的，它為解決實踐中的問題提供了一種表述的語言、抽象的思維能力和計算的方法和工具，從而使解決有關(guān)的生活、生產(chǎn)和科學(xué)理論問題成為可能。九年制義務(wù)教育大綱指出：“要使學(xué)生受到把實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題的訓(xùn)練，形成應(yīng)用數(shù)學(xué)意識”。通過實際應(yīng)用的教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生理解、描述和解決他們熟悉的現(xiàn)實問題，認(rèn)識和掌握數(shù)學(xué)與相關(guān)學(xué)科及現(xiàn)實生活的聯(lián)系，從而更深刻地體會到數(shù)學(xué)理論的用途與威力，以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動機，提高學(xué)習(xí)興趣，增強學(xué)習(xí)信心，并進一步加深對數(shù)學(xué)知識和方法的理解，培養(yǎng)創(chuàng)造性地解決問題的意識和能力，以及實事求是、理論聯(lián)系實際的工作作風(fēng)，為今后參加工作作好各方面準(zhǔn)備。1、讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)建模思想方法的一般程序。把實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題就是建立數(shù)學(xué)模型，數(shù)學(xué)建模是針對或參照某種事務(wù)系統(tǒng)的特征或數(shù)量依存關(guān)系，采用數(shù)學(xué)語言，概括地或近似地表述出的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。通過數(shù)學(xué)建模的研究結(jié)果的解釋，使實際問題得到解決。用流程圖可以把數(shù)學(xué)建模思想方法的一般 程序表示如下：實際問題（1）建模數(shù)學(xué)模型（2）數(shù)學(xué)處理數(shù)學(xué)模型的解（3）解釋實際問題的解這是一種迂回的化歸方法。例（高一課本4.7函數(shù)的最大值和最小值）要建造一排靠墻的5間面積相同的長方形豬圈（圖略），可供建造圍墻的材料是60米，問寬為多少米時才能使所建造的豬圈面積最大？豬圈的最大面積是多少？解：（1）建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型設(shè)豬圈寬為米（）；總面積為平方米。則5間豬圈總長為米。那么（）（2）數(shù)學(xué)處理：本題即求二次函數(shù)在指定區(qū)間內(nèi)的最大值由得：當(dāng)時，（3）解釋答：當(dāng)豬圈得寬為5米時，豬圈最大面積為150平方米。2、高一數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)建模（1）兩個有限集的并集的元素個數(shù)（在統(tǒng)計中推測有關(guān)群體的人員數(shù)）（2）解不等式的應(yīng)用（求時間、距離、計劃數(shù)等的范圍）（3）用圖形表示函數(shù)（自動記錄儀及估計增長情況等）（4）求函數(shù)最大（?。┲担ㄟ@方面應(yīng)用最廣泛，有關(guān)多、快、好、省各類問題）（5）指數(shù)、對數(shù)方程的應(yīng)用（利率、產(chǎn)量、價格、人口等增長及放射元素的衰變等）（6）弧長公式（公路彎道長、圓輪旋轉(zhuǎn)等）（7）解三角形（測量問題、航海問題等）（8）正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)（物理中的振動和波）3、正確處理純數(shù)學(xué)應(yīng)用和實際應(yīng)用的關(guān)系中學(xué)數(shù)學(xué)的應(yīng)用，無論是純數(shù)學(xué)應(yīng)用還是實際應(yīng)用，都是為了掌握知識、培養(yǎng)能力和形成數(shù)學(xué)的意識。純數(shù)學(xué)應(yīng)用側(cè)重思維的訓(xùn)練，邏輯能力的培養(yǎng)，同時也使得數(shù)學(xué)的抽象性和嚴(yán)緊性得到充分體現(xiàn)。而實際應(yīng)用側(cè)重于知識的活動，思維靈活性和創(chuàng)造能力的培養(yǎng)，同時也使數(shù)學(xué)應(yīng)用廣泛性的特點得到充分體現(xiàn)。它實質(zhì)上是綜合運用各種知識，數(shù)學(xué)化地解決問題，其要求自然要比純數(shù)學(xué)高。因此，教學(xué)中對實際問題的接觸與訓(xùn)練，應(yīng)當(dāng)逐步地進行，不能偏急、貪多、過難與太集中。為了使學(xué)生順利地掌握數(shù)學(xué)建模的思想方法，也必須及時補充有關(guān)的學(xué)科知識和日常生活常識（如測量中的仰角、俯角、方位角；銀行的利率等），并鼓勵學(xué)生結(jié)合日常生活編寫、解決有關(guān)實際問題。一般地說在教學(xué)過程中，首先應(yīng)當(dāng)進行的是扎實基礎(chǔ)的純數(shù)學(xué)訓(xùn)練，然后再過渡到綜合訓(xùn)練和實際問題的訓(xùn)練。這樣會更適應(yīng)學(xué)生的認(rèn)識背景和接受能力，從而使學(xué)生更順利地學(xué)好數(shù)學(xué)。（三）分類討論的思想方法訓(xùn)練當(dāng)我們再研究某一個較為復(fù)雜的問題時，若不能用同一種方法去處理，往往就需要把這個問題（全集）恰當(dāng)?shù)貏澇扇舾刹糠郑ㄗ蛹诮鉀Q了這些部分問題后，整個問題就得到了解決。這就是化整為零，各個擊破的分類討論的思想方法。分類討論思想時自然科學(xué)乃至社會科學(xué)研究中的基本邏輯方法。掌握分類討論思想，有助于理解知識、整理知識、消化知識和獨立獲取知識，它對培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生思維的條理性、縝密性、和提高分析問題和處理問題能力具有重要的意義。在中學(xué)數(shù)學(xué)的各個方面，都滲透著分類討論的思想，如概念的定義、定理的證明、具體問題的解決等等。如果離開了分類討論，就往往無法著手或顧此失彼，導(dǎo)致錯誤的發(fā)生。1、學(xué)生在初中階段接觸了許多蘊含分類討論思想的數(shù)學(xué)內(nèi)容。如數(shù)、方程、函數(shù)、三角形、四邊形的分類、直線和圓的位置關(guān)系、兩圓的位置關(guān)系等等。我們應(yīng)該充分利用學(xué)生的這一認(rèn)識基礎(chǔ)，在教學(xué)中經(jīng)常聯(lián)系初中的有關(guān)內(nèi)容不失時機地進行縱橫的聯(lián)想和回顧，加以強化。雖然當(dāng)時不能給出分類的定義，但學(xué)生知道每進行一種意義下的分類，都應(yīng)該有明確的標(biāo)準(zhǔn)；同一事務(wù)按不同的標(biāo)準(zhǔn)則有不同的分類；對一種事務(wù)的分類，應(yīng)該是無重復(fù)和無遺漏的。2、隨著學(xué)生年齡和知識的增長，閱歷的豐富，思維的進一步成熟，在獲得大量感性認(rèn)識的基礎(chǔ)上，對分類的實質(zhì)在頭腦中逐步產(chǎn)生“悟化”。特別在學(xué)習(xí)了集合知識后，可以給出分類的定義：在某一問題中，設(shè)符合一定條件的所有元素組成集合，按元素的某一性質(zhì)將進行分類，分成若干真子集（）（），在劃分時應(yīng)滿足下列兩條件：（1）（）（2）這樣就把分類的問題提高到新的高度來認(rèn)識。3、高一數(shù)學(xué)出現(xiàn)的蘊含分類討論思想的數(shù)學(xué)內(nèi)容。一般來說，當(dāng)研究的問題涉及到分類定義的概念；或運用了分類研究的定理、性質(zhì)、公式、法則；或在進行某些有限制的運算；或在計算、推理過程中遇到數(shù)量大小不確定或圖形位置不確定時，常?？梢赃\用分類討論的思想方法去研究解決。高一數(shù)學(xué)中這方面內(nèi)容有：兩集合各種關(guān)系；不等式某些性質(zhì)；某些不等式的證明；一元二次不等式的解；解無理不等式；復(fù)數(shù)的分類；實系數(shù)一元二次方程的解；分段函數(shù)；函數(shù)的某些性質(zhì)；冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)；三角函數(shù)性質(zhì)；擴充的正弦定理的證明；最簡單的三角方程的解。4、對分類思想的理解和運用必須有一個逐步深化的過程。（1）把初中階段出現(xiàn)過的內(nèi)容加以總結(jié)：例如：解一元一次不等式在初中階段常見具體實數(shù)和，解不等式，在高一數(shù)學(xué)不等式的教學(xué)中，則對任意的實數(shù)和，用分類討論的方法解不等式，這是一個從感性認(rèn)識到理性認(rèn)識的飛躍。（2）由淺入深，逐步深化，循序漸進。例如：初中數(shù)學(xué)中求二次函數(shù)（）的最值時，僅就、兩種情況加以區(qū)分計算。在高一數(shù)學(xué)中不僅要對的正負(fù)進行討論，還要根據(jù)所給區(qū)間是否包括頂點進行計算和討論，并進一步應(yīng)用于求形如（）的復(fù)合函數(shù)的極值和反過來由極值求（在某區(qū)間）中的某個字母的值。（3）引導(dǎo)學(xué)生自覺運用分類討論思想解決問題。學(xué)生在學(xué)習(xí)中經(jīng)常遇到把條件分類得不到結(jié)果的問題，往往也反過來根據(jù)結(jié)論的啟示來分析該如何分類。這就需要學(xué)生自覺地運用分類的思想去分析問題和解決問題。例如在說明 “若，則”時，因結(jié)論是兩集合、的關(guān)系，因此可以用文氏圖列舉兩集合的所有可能的關(guān)系，剔除其中不符合者，就可得到結(jié)論。（4）根據(jù)需要，多級分類。例：解不等式解：1、當(dāng)時，原不等式為一元一次不等式，2、當(dāng)時，原不等式為一元二次不等式，但與時它的解有不同形式，而且對相應(yīng)一元二次方程兩根、2的大小還需進一步討論。（1）當(dāng)時，當(dāng)，即時，得或當(dāng)，即時，得或當(dāng)，即時，得或（2）當(dāng)時，最后整理結(jié)果得：（1）當(dāng)時，；（2）當(dāng)時，；（3）當(dāng)時，或；（4）當(dāng)時，或。三、關(guān)于實施數(shù)學(xué)思想方法訓(xùn)練的體會1、注意發(fā)掘隱藏于知識中的思想方法數(shù)學(xué)科學(xué)是知識和方法的有機結(jié)合，沒有不包含數(shù)學(xué)方法的知識，也沒有游離于數(shù)學(xué)指數(shù)之外的方法，而許多思想方法并不是以明顯的形式呈現(xiàn)出來，學(xué)生學(xué)習(xí)知識時不一定注意到它們，是要靠教師去發(fā)掘和整理。例如函數(shù)與圖象的各方面有著密切的關(guān)系，只要抓住“自變量是圖象上點的橫坐標(biāo)，函數(shù)值是圖象上點的縱坐標(biāo)”，這一聯(lián)系函數(shù)與圖象的橋梁，幫助、啟發(fā)學(xué)生掌握函數(shù)各種性質(zhì)與圖象特點之間的關(guān)系，以至運用這些關(guān)系，用數(shù)形結(jié)合的思想方法理解知識、解決問題。只有在教學(xué)中有意識地把數(shù)學(xué)思想方法作為教學(xué)對象，學(xué)生才會注意并掌握和應(yīng)用它們。2、突出基本的數(shù)學(xué)思想方法，根據(jù)不同年級的教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生情況，進行數(shù)學(xué)思想方法訓(xùn)練。中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中蘊含著大量的數(shù)學(xué)思想方法，它們滲透于各類知識中，在教學(xué)的各個階段都起著重要作用。突出了基本數(shù)學(xué)思想方法就相當(dāng)于抓住了中學(xué)數(shù)學(xué)知識的精髓。數(shù)形結(jié)合、數(shù)學(xué)建模和分類討論的思想就是三種基本數(shù)學(xué)思想。數(shù)學(xué)思想方法的形成難于知識的理解和掌握，數(shù)學(xué)思想方法的訓(xùn)練應(yīng)與知識教學(xué)、學(xué)生認(rèn)知水平相適應(yīng)，經(jīng)過多次反復(fù)，才能逐步完成。因此在教學(xué)中要結(jié)合不同年級的教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生情況，不僅要安排基本數(shù)學(xué)思想方法的訓(xùn)練，也要逐步安排其它數(shù)學(xué)思想方法的訓(xùn)練；不僅要學(xué)生學(xué)習(xí)第一次接觸的數(shù)學(xué)思想方法，也要使過去接觸過的數(shù)學(xué)思想方法得以進一步明確、鞏固和深化。3、數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動的教學(xué)。只有突出數(shù)學(xué)理論的形成過程，暴露數(shù)學(xué)家的思維過程，引導(dǎo)學(xué)生參與數(shù)學(xué)的“發(fā)現(xiàn)”，學(xué)生才能獲得活