清北學(xué)堂講義 高中物理競(jìng)賽解題方法 五、 極限法

1 高中奧林匹克物理競(jìng)賽解題方法  五、極限法  方法簡(jiǎn)介    極限法是把某個(gè)物理量推向極端，即極大和極小或極左和極右，并依此做出科學(xué)的推理分析，從而給出判斷或?qū)С鲆话憬Y(jié)論。極限法在進(jìn)行某些物理過(guò)程的分析時(shí)，具有獨(dú)特作用，恰當(dāng)應(yīng)用極限法能提高解題效率，使問題化難為易，化繁為簡(jiǎn)，思路靈活，判斷準(zhǔn)確。因此要求解題者，不僅具有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评砟芰?，而且具有豐富的想象能力，從而得到事半功倍的效果。   賽題精講   例 1：如圖 5 1 所示，  一個(gè)質(zhì)量為 m 的小球位于一質(zhì)量可忽略的直立  彈簧上方 h 高度處，該小球從靜止開始落向彈簧，設(shè) 彈簧的勁度  系數(shù)為 k，則物塊可能獲得的最大動(dòng)能為        。  解析：球跟彈簧接觸后，先做變加速運(yùn)動(dòng)，后做變減速運(yùn)動(dòng)，據(jù)此推理，  小球所受合力為零的位置速度、動(dòng)能最大。所以速最大時(shí)有  mg=kx                                            圖 5 1 由機(jī)械能守恒有   221)( kxExhmgk      聯(lián)立式解得   kgmm g hEk2221  例 2：如圖 5 2 所示，傾角為 的斜面上方有一點(diǎn) O，在 O 點(diǎn)放一至  斜面的光滑直軌道，要求一質(zhì)點(diǎn)從 O 點(diǎn)沿直軌道到達(dá)斜面 P 點(diǎn)  的時(shí)間最短。求該直軌道與豎直方向的夾角 。  解析：質(zhì)點(diǎn)沿 OP 做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間 t 應(yīng)該與 角有關(guān)，  求時(shí)間 t 對(duì)于 角的函數(shù)的極值即可。  由牛頓運(yùn)動(dòng)定律可知，質(zhì)點(diǎn)沿光滑軌道下滑的加速度為           cosga  該質(zhì)點(diǎn)沿軌道由靜止滑到斜面所 用的時(shí)間為 t，則         OPat 221    圖 5 2 清北學(xué)堂 2 所以cos2g OPt                          由圖可知，在 OPC 中有         )90s in ()90s in ( OCOP 所以)cos( cos OCOP                      將式代入式得   gOCg OCt )2c o s( c o s c o s4)c o s(c o s c o s2 顯然，當(dāng) 2,1)2c o s( 即時(shí)，上式有最小值 . 所以 當(dāng) 2 時(shí)，質(zhì)點(diǎn)沿直軌道滑到斜面所用的時(shí)間最短。  此題也可以用作圖法求解。  例 3：從底角為 的斜面頂端，以初速度 0 水平拋出一小球，不計(jì)  空氣阻力，若斜面足夠長(zhǎng)，如圖 5 3 所示，則小球拋出后，  離開斜面的最大距離 H 為多少？  解析：當(dāng)物體的速度方向與斜面平行時(shí)，物體離斜面最遠(yuǎn)。  以水平向右為 x 軸正方向，豎直向下為 y 軸正方向，  則由： gtvv y tan0 ，解 得運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 tan0gvt 該點(diǎn)的坐標(biāo)為   2202200 t a n221t a n gvgtygvtvx 由幾何關(guān)系得： ta nc os/ xyH  解得小球離開斜面的最大距離為   sinta n220 gvH。  這道題若以沿斜面方向和垂直于斜面方向建立坐標(biāo)軸，求解則更加簡(jiǎn)便。  例 4：如圖 5 4 所示，一水槍需將水射到離噴口的水平距離為 3.0m 的墻外，  從噴口算起，  墻高為 4.0m。  若不計(jì)空氣阻力，取  2/10 smg ，求 所需的最小初速及對(duì)應(yīng)的發(fā)射仰角。   圖 5 3  圖 5 4 清北學(xué)堂 3 解析：水流做斜上拋運(yùn)動(dòng)，以噴口 O 為原點(diǎn)建立如圖所示的  直角坐標(biāo)，本題的任務(wù)就是水流能通過(guò)點(diǎn) A（ d、 h）的最小初速度和發(fā)射仰角。  根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，水流的運(yùn)動(dòng)方程為20021si nc o sgttvytvx   把 A 點(diǎn)坐標(biāo)（ d、 h）代入以上兩式，消去 t，得：  hhdhhddhdgdhdgddhgdv2c o s2si n/)12( c o s2si n/)t a n(c o s2/222222222220 令  ,s in/,c o s/,t a n/ 2222 hdhhdddh 則 上式可變?yōu)? ,6.7134a r c t a n45a r c t a n2145245902,1)2s i n (,)2s i n (/022220最小時(shí)亦即發(fā)射角即當(dāng)顯然vdhhhdgdv 且最小初速 0v = ./5.9/103)( 22 smsmhhdg  例 5：如圖 5 5 所示，一質(zhì)量為 m 的人，從長(zhǎng)為 l、質(zhì)量為  M 的鐵板的一端勻加速跑向另一端，并在另一端驟然停止。  鐵板和水平面間摩擦因數(shù)為 ，人和鐵板間摩擦因數(shù)為   ，且 >> 。這樣，人能使鐵板朝其跑動(dòng)方向移動(dòng)  的最大距離 L 是多少？  解析：人驟然停止奔跑后，其原有動(dòng)量轉(zhuǎn)化為與鐵板一起向 前沖的動(dòng)量，此后，地面對(duì)載人鐵板的阻力是地面對(duì)鐵板的摩擦力 f，其加速度 gmM gmMmM fa )(1。   由于鐵板移動(dòng)的距離 vavL 故,2 12 越大， L 越大。 v 是人與鐵板一起開始地運(yùn)動(dòng)的速度，因此人應(yīng)以不會(huì)引起鐵板運(yùn)動(dòng)的最大加速度奔跑。       人在鐵板上奔跑但鐵板沒有移動(dòng)時(shí)，人若達(dá)到最大加速度，則地面與鐵板之間的摩擦力達(dá)到最大靜摩擦 gmM )( ，根據(jù)系統(tǒng)的牛頓第二定律得：             02 MmaF   所以  gm mMmFa 2                   哈   圖 5 5 清北學(xué)堂 4  設(shè) v 、 v 分別是人奔跑結(jié)束及人和鐵板一起運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度   因?yàn)? vmMmv )(                           且 Lavlav 1222 2,2   并將 1a 、 2a 代入式解得鐵板移動(dòng)的最大距離     lmMmL  例 6：設(shè)地球的質(zhì)量為 M，人造衛(wèi)星的質(zhì)量為 m，地球的半徑為 R0，人造衛(wèi)星環(huán)繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為 r。試證明：從地面上將衛(wèi)星發(fā)射至運(yùn)行軌道，發(fā)射速度    )2( 00 rRgRv ，并用該式求出這個(gè)發(fā)射速度的最小值和最大值。（取 R0=6.4 106m），設(shè)大氣層對(duì)衛(wèi)星的阻力忽略不計(jì)，地面的重力加速度為 g）  解析：由能量守恒定律，衛(wèi)星在地球的引力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)總機(jī)械能為 一常量。設(shè)衛(wèi)星從地面發(fā)射的速度為 發(fā)v ，衛(wèi)星發(fā)射時(shí)具有的機(jī)械能為   021 21 RMmGmvE 發(fā)                                   進(jìn)入軌道后衛(wèi)星的機(jī)械能為 rMmGmvE 22 21 軌         由 E1=E2，并代入 ,rGMv 軌解得發(fā)射速度為  )2( 00 rRRGMv 發(fā)     又因?yàn)樵诘孛嫔先f(wàn)有引力等于重力，即： gRRGMmgRMmG 0020 所以   把式代入式即得： )2( 00 rRgRv 發(fā)  （ 1）如果 r=R0，即當(dāng)衛(wèi)星貼近地球表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，所需發(fā)射速度最小  為 smgRv /109.7 30m i n . （ 2）如果 r ，所需發(fā)射速度最大（稱為第二宇宙速度或脫離速度）為       smgRv /102.112 30m a x  例 7：如圖 5 6 所示，半徑為 R 的勻質(zhì)半球體，其重心在球心  O 點(diǎn)正下方 C 點(diǎn)處， OC=3R/8，  半球重為 G，半球放在   清北學(xué)堂 5 水平 面上，在半球的平面上放一重為 G/8 的物體，它與半  球平在間的動(dòng)摩擦因數(shù) 2.0 ，  求無(wú)滑動(dòng)時(shí)物體離球心        圖 5 6 O 點(diǎn)最大距離是多少？  解析：物體離 O 點(diǎn)放得越遠(yuǎn)，根據(jù)力矩的平衡，半球體轉(zhuǎn)過(guò)的角度 越大，但物體在球體斜面上保持相對(duì)靜止時(shí)， 有限度。      設(shè)物體距球心為 x 時(shí)恰好無(wú)滑動(dòng)，對(duì)整體以半球體和地面接觸點(diǎn)為軸，根據(jù)平衡條件有： c o s8s in83 xGRG   得   tan3Rx   可見， x 隨 增大而增大。臨界情況對(duì)應(yīng)物體所受摩擦力為最大靜摩擦力，則：       RRxNf mm 6.03,2.0t an 所以. 例 8：有一質(zhì)量為 m=50kg 的直桿，豎立在水平地面上，桿與地面間  靜摩擦因數(shù) 3.0 ，桿的上端固定在地面上的繩索拉住，繩  與桿的夾角 30 ，如圖 5 7 所示。  （ 1）若以水平力 F 作用在桿上， 作用點(diǎn)到地面的距離 LLh (5/21 為桿長(zhǎng)），要使桿不滑倒，力 F 最大不能越過(guò)多少？  （ 2）若將作用點(diǎn)移到 5/42 Lh 處時(shí)，情況又如何？  解析：桿不滑倒應(yīng)從兩方面考慮，桿與地面間的靜摩擦力達(dá)到極限的前提下，力的大小還與 h 有關(guān)，討論力與 h 的關(guān)系是關(guān)鍵。   桿的受力如圖 5 7 甲所示，由平衡條件得       0)(0c o s0si nfLhLFmgTNfTF       另由上式可知， F 增大時(shí)， f 相應(yīng)也增大，故當(dāng) f 增大到最大靜摩擦力時(shí)，桿剛要滑倒，此時(shí)滿 足： Nf   解得：hhL m g LF m a s /ta n)( ta n  由上式又可知，當(dāng) LhhhL 66.0,/t a n)( 0 即當(dāng) 時(shí)對(duì) F 就沒有限制了。   圖 5 7  圖 5 7 甲  清北學(xué)堂 6  （ 1）當(dāng)01 52 hLh ，將有關(guān)數(shù)據(jù)代入 maxF 的表達(dá)式得             NF 385max   （ 2）當(dāng) ,5402 hLh 無(wú)論 F 為何值，都不可能使桿滑倒，這種現(xiàn)象即稱為自鎖。  例 9： 放在光滑水平面上的木板質(zhì)量為 M，如圖 5 8 所示，板上有  質(zhì)量為 m 的小狗以與木板成 角的初速度 0v （相對(duì)于地面）  由 A 點(diǎn)跳到 B 點(diǎn)，已知 AB 間距離為 s。求初速度的最小值。      圖 5 8 解析：小狗跳起后，做斜上拋運(yùn)動(dòng)，水平位移向右，由于水平方向動(dòng)量守恒，木板向左運(yùn)動(dòng)。小狗落到板上的 B 點(diǎn)時(shí)，小狗和木板對(duì)地位移的大小之和，是小狗對(duì)木板的水平位移。   由于水平方向動(dòng)量守恒，有 MmvvMvmv s inco s 00 即     小狗在空中做斜拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為  gvt sin2 0         又 vttvs cos0                               將、代入式得  2si n)(0 mM M g sv  當(dāng)0,4,12s in v時(shí)即 有最小值，mMM gsv min0。  例 10：一小物塊以速度 smv /100 沿光滑地面滑行，然后沿光滑   曲面上升到頂部水平的高臺(tái)上 ，并由高臺(tái)上飛出，如圖 5 9  所示，  當(dāng)高臺(tái)的高度 h 多大時(shí)，小物塊飛行的水平距離 s 最  大？這個(gè)距離是多少？（ g 取 10m/s2）  解析：依題意，小物塊經(jīng)歷兩個(gè)過(guò)程。在脫離曲面頂部之前，小物塊受重力和支持力，由于支持力不做功，物塊的機(jī)械能守恒，物塊從高臺(tái)上飛出后，做平拋運(yùn)動(dòng)，其水平距離 s 是高度 h 的函數(shù)。   設(shè)小物塊剛脫離曲面頂部的速度為 v ，根據(jù)機(jī)械能守恒定律，     m g hmvmv 220 2121                 小物塊做平拋運(yùn)動(dòng) 的水平距離 s 和高度 h 分別為： 221gth        圖 5 9 清北學(xué)堂 7  vts                                                     以上三式聯(lián)立解得： 22022020 )4()4(222 gvhgvghghvs  當(dāng) mgvh 5.2420 時(shí)，飛行距離最大，為 mgvs 5220max 。  例 11：軍訓(xùn)中，戰(zhàn)士距墻 s，以速度 0v 起跳， 如圖 5 10 所示，  再用腳蹬墻面一次，使身體變?yōu)樨Q直向上的運(yùn)動(dòng)以繼續(xù)  升高，墻面與鞋底之間的靜摩擦因數(shù)為 。求能使人體  重心有最大總升高的起跳角 。                            圖 5 10 解析：人體重心最大總升高分為兩部分，一部分是人做斜上拋運(yùn)動(dòng)上升的高度，另一部分是人蹬墻所能上升的高度。   如圖 5 10 甲，人做斜拋運(yùn)動(dòng) cos0vvx ，        gtvv y sin0   重心升高為  2001 )c o s(21ta n v sgsH   腳蹬墻面，利用最大靜摩擦力的沖量可使人向上的動(dòng)量增加，即     ,)(,)()()()( xyy mvttNttNttNtfvmmv 而  xy vv ，所以人蹬墻后，其重心在豎直方向向上的速度為   xyyyy vvvvv ，繼續(xù)升高gvH y222 ，人的重心總升高   H=H1+H2= 1t a n,)s inc o s(2 10220 當(dāng)sgv時(shí)，重心升高最大。  例 12：如圖 5 11 所示，一質(zhì)量為 M 的平頂小車，以速度 0v 沿水  平的光滑軌道做勻速直線運(yùn)動(dòng)。現(xiàn)將一質(zhì)量為 m 的小物塊無(wú)  初速地放置在車頂前緣。已知物塊和車頂之間的滑動(dòng)摩擦因  數(shù)為 。   （ 1）若要求物塊不會(huì)從車頂后緣掉下，則該車頂最少要多長(zhǎng)？   （ 2）若車頂長(zhǎng)度符合（ 1）問中的要求，整個(gè)過(guò)程中摩擦力共做多少功？  解析：當(dāng)兩物體具有共同速度時(shí)，相對(duì)位移最大，這個(gè)相對(duì)位移的大小即為車頂?shù)淖钚? 圖 5 10 甲   圖 5 11 清北學(xué)堂 8 長(zhǎng)度。   設(shè)車長(zhǎng)至少為 l，則根據(jù) 動(dòng)量守恒      vmMMv )(0   根據(jù)功能關(guān)系   220 )(2121 vmMMvlmg  解得   gmMMvl )(220，摩擦力共做功          )(220mMM m vlmgW 例 13：一質(zhì)量 m=200kg，高 2.00m 的薄底大金屬桶倒扣在寬廣的    水池底部，如圖 5 12 所示。桶的內(nèi)橫截面積 S=0.500m2，   桶壁加桶底的體積為 V0=2.5010 2m3。桶內(nèi)封有高度為   l=0.200m 的空氣。池深 H0=20.0m，大氣壓強(qiáng) p0=10.00m 水   柱高，水的密度 33 /10000.1 mkg ，重力加速度取 g=10.00m/s2。若用圖中所示吊繩將桶上提，使桶底到達(dá)水面處，求繩子拉力對(duì)桶所需何等的最小功為多少焦耳？（結(jié)果要保留三位有效數(shù)字）。不計(jì)水的阻力，設(shè)水溫很低，不計(jì)其飽和蒸汽壓的影響。并設(shè)水溫上下均勻且保持不變。  解析：當(dāng)桶沉到池底時(shí)，桶自身重力大于浮力。在繩子的作用下        桶被緩慢提高過(guò)程中，桶內(nèi)氣體體積逐步增加，排開水的   體積也逐步增加，桶受到的浮力也逐漸增加，繩子的拉力   逐漸減小，當(dāng)桶受到的浮力等于重力時(shí)，即繩子拉力恰好   減為零時(shí)，桶將處于不穩(wěn)定平衡的狀態(tài)，因?yàn)槿粲幸粩_動(dòng)   使桶略有上升，則浮力大于重力，無(wú)需繩的拉力，桶就會(huì)       圖 5 12 甲   自動(dòng)浮起，而不需再拉繩。因此繩對(duì)桶的拉力所需做的最   小功等于將桶從池底緩慢地提高到浮力等于重力的位置時(shí)繩子拉桶所做的功。      設(shè)浮力等于重力的不穩(wěn)定平衡位置到池底的距離為 H，桶內(nèi)氣體的厚度為 l ,如圖 5 12 甲所示。因?yàn)榭偟母×Φ扔谕暗闹亓?mg，因而有         mggVSl )( 0   有 l =0.350m                                              在桶由池底上升高度 H 到達(dá)不穩(wěn)定平衡位置的過(guò)程中，桶內(nèi)氣體做等溫變化，由玻意耳定律得        lSllHpSlllHHp )()( 000000     由、兩式可得        H=12.240m  圖 5 12  清北學(xué)堂 9      由式可知 H<（ H0 l ），所以桶由池底到達(dá)不穩(wěn)定平 衡位置時(shí)，整個(gè)桶仍浸在水中。       由上分析可知，繩子的拉力在整個(gè)過(guò)程中是一個(gè)變力。對(duì)于變力做功，可以通過(guò)分析水和桶組成的系統(tǒng)的能量變化的關(guān)系來(lái)求解：先求出桶內(nèi)池底緩慢地提高了 H 高度后的總機(jī)械能量 E E 由三部分組成：   （ 1）桶的重力勢(shì)能增量             mgHE 1                                       （ 2）由于桶本身體積在不同高度處排開水的勢(shì)能不同所產(chǎn)生的機(jī)械能的改變量   E2，可認(rèn)為在 H 高度時(shí)桶本身體積所排開的 水是去填充桶在池底時(shí)桶所占有的空間，這時(shí)水的重力勢(shì)能減少了。  所以 gHVE 02                                （ 3）由于桶內(nèi)氣體在不同高度處所排開水的勢(shì)能不同所產(chǎn)生的機(jī)械能的改變   E3，由于桶內(nèi)氣體體積膨脹，因而桶在 H 高度時(shí)桶本身空氣所排開的水可分為兩部分：一部分可看為填充桶在池底時(shí)空氣所占空間，體積為 lS 的水，這部分水增加的重力勢(shì)能為     SgHlE 31                                  另一部分體積為 Sll )( 的水上升到水池表面，這部分水上升的平均高度為  2/)( 00 llllHH ，  增加的重力勢(shì)能為  2/)()( 0032 llllHHSgllE          由整個(gè)系統(tǒng)的功能關(guān)系得，繩子拉力所需做的最小功為  WT= E                                          將、式代入式得  2/)()( 220 lllHllSgW T                將有關(guān)數(shù)據(jù) 代入式計(jì)算，并取三位有效數(shù)字，可得  WT=1.37104J 例 14：如圖 5 13 所示，勁度系數(shù)為 k 的水平輕質(zhì)彈簧，左端固定，  右端系一質(zhì)量為 m 的物體，物體可在有摩擦的水平桌面上滑  動(dòng)，彈簧為原長(zhǎng)時(shí)位于 O 點(diǎn)，現(xiàn)把物體拉到距 O 為 A0 的 P 點(diǎn)按住，放手后彈簧把物體拉動(dòng)，設(shè)物體在第二次經(jīng)過(guò) O 點(diǎn)前，  在 O 點(diǎn)左方停住，求：  （ 1）物體與桌面間的動(dòng)摩擦因數(shù) 的大小應(yīng)在什么范圍內(nèi)？  （ 2）物體停住點(diǎn)離 O 點(diǎn)的距離的最大值，并回答這是不是物體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所 圖 5 13 清北學(xué)堂 10 能達(dá)到的左方最遠(yuǎn)值？ 為什么？（認(rèn)為動(dòng)摩擦因數(shù)與靜摩擦因數(shù)相等）  解析：要想物體在第二次經(jīng)過(guò) O 點(diǎn)前，在 O 點(diǎn)左方停住，則需克服摩擦力做功消耗掉全部彈性勢(shì)能，同時(shí)還需合外力為零即滿足平衡條件。    （ 1）物體在距離 O 點(diǎn)為 l 處停住不動(dòng)的條件是：     a物體的速度為零，彈性勢(shì)能的減小等于物體克服滑動(dòng)摩擦力所做的功。     b彈簧彈力最大靜摩擦力     對(duì)物體運(yùn)動(dòng)做如下分析：     物體向左運(yùn)動(dòng)并正好停在 O 點(diǎn)的條件是：02021 mgAkA    得： 021 kAmg 若 021 kAmg，則物體將滑過(guò) O 點(diǎn)，設(shè)它到 O 點(diǎn)左方 B 處（設(shè) OB=L1）時(shí)速度為零，則有：    )(2121102120 LAmgkLkA                        若物體能停住，則01 3 1, kAmgmgkL 故得      如果能滿足，但 031 kAmg，則物體不會(huì)停在 B 處而要向右運(yùn)動(dòng)。 值越小，則往右滑動(dòng)的距離越遠(yuǎn)。設(shè)物體正好停在 O 處，則有：12121 mgLkL 得： 041 kAmg。要求物體停在 O 點(diǎn)左方，則相應(yīng)地要求 041 kAmg。  綜合以上分析結(jié)果，物體停在 O 點(diǎn)左方而不是第二次經(jīng)過(guò) O 點(diǎn)時(shí)， 的取值范圍為041 kAmg< <021 kAmg （ 2）當(dāng) 在031 kAmg <021 kAmg范圍內(nèi)時(shí)，物體向左滑動(dòng)直至停止而不返回，由式可求出最遠(yuǎn)停住點(diǎn)（設(shè)為 B1 點(diǎn)）到 O 點(diǎn)的距離為  .3)3)(2(2 0000 AmgkAkmgAkmgAL  清北學(xué)堂 11  當(dāng) <031 kAmg時(shí)，物體在 B1 點(diǎn)（ 301 AOB）的速度大于零，因此物體將繼續(xù)  向左運(yùn)動(dòng)，但它不可能停在 B1 點(diǎn)的左方。因?yàn)榕c B1 點(diǎn)相對(duì)應(yīng)的 =031 kAmg，  L1=A0/3，如果停留在 B1 點(diǎn)的左方，則物體在 B1 點(diǎn)的彈力大于 30kA ，而摩擦力umg 30kA ，小于彈力大于摩  擦 力，所以物體不可能停住而一定返回，最后停留在 O 與 B1 之間。  所以無(wú)論 值如何，物體停住與 O 點(diǎn)的最大距離為 30A ，但這不是物體在運(yùn)  動(dòng)過(guò)程中所能達(dá)到的左方最遠(yuǎn)值。  例 15：使一原來(lái)不帶電的導(dǎo)體小球與一帶電量為 Q 的導(dǎo)體大球接觸，分開之后，小球獲得電量 q。今讓小球與大球反復(fù)接觸，在每次分開后，都給大球補(bǔ)充電荷，使其帶電量恢復(fù)到原來(lái)的值 Q。求小球可能獲得的最大電量。  解析：兩球接觸后電荷的分配比例是由兩球的半徑?jīng)Q定的，這個(gè)比例是恒定 的。   根據(jù)兩球帶電比例恒定，第一次接觸，電荷量之比為qqQ  最后接觸電荷之比為qQ QqqqQq qQqQ mmm 有,  此題也可以用遞推法求解。  例 16：一系列相同的電阻 R，如圖 5 14 所示連接，求 AB 間   的等效電阻 RAB。  解析：無(wú)窮網(wǎng)絡(luò)，增加或減小網(wǎng)絡(luò)的格數(shù)，其等效電阻不變，   所以 RAB 跟從 CD 往右看的電阻是相等的。因此，有          RRRR RRRR ABAB ABAB )13(2 解得 例 17：如圖 5 15 所示，一個(gè) U 形導(dǎo)體框架，寬度 L=1m，   其所在平面與水平面的夾角 30 ，其電阻可以忽   略不計(jì)，設(shè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)為 U 形框架的平面垂直，磁感   應(yīng)強(qiáng)度 B=1T，質(zhì)量 0.2kg 的導(dǎo)體棒電阻 R=0.1 ，跨    圖 5 15 圖 5 14 圖 5 14 清北學(xué)堂 12       放在 U 形框上，并且能無(wú)摩擦地滑動(dòng)。求：   （ 1）導(dǎo)體棒 ab 下滑的最大速度 mv ；   （ 2）在最大速度 mv 時(shí)， ab 上釋放出來(lái)的電功率。  解析：導(dǎo)體棒做變加速下滑，當(dāng)合力為零時(shí)速度最大，以后保持勻速運(yùn)動(dòng)   （ 1）棒 ab 勻速下滑時(shí)，有 RB lvIB I lmg 而,s in             解得最大速度   smlB Rmgvm /1.0si n 22  （ 2）速度最大時(shí)， ab 釋放的電功率 1.0sin mvmgP W  針對(duì)訓(xùn)練   1如圖 5 16 所示，原長(zhǎng) L0 為 100 厘米的輕質(zhì)彈簧放置在一光滑      的直槽內(nèi)，彈簧的一端固定在槽的 O 端，另一端連接一小球，  這一裝置可以從水平位置開始繞 O 點(diǎn)緩緩地轉(zhuǎn)到豎直位置。設(shè)  彈簧的形變總是在其彈性限度內(nèi)。試在下述（ a）、（ b）兩種情  況下，分別 求出這種裝置從原來(lái)的水平位置開始緩緩地繞 O 點(diǎn)  轉(zhuǎn)到豎直位置時(shí)小球離開原水平面的高度 h0。（ a）在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程  中，發(fā)現(xiàn)小球距原水平面的高度變化出現(xiàn)極大值，且極大值 hm 為 40 厘米，（ b）在轉(zhuǎn)動(dòng)的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)小球離原水平面的高度  不斷增大。  2如圖 5 17 所示，一滑雪運(yùn)動(dòng)員自 H 為 50 米高處滑至 O 點(diǎn)，由   于運(yùn)動(dòng)員的技巧（阻力不計(jì)），運(yùn)動(dòng)員在 O 點(diǎn)保持速率 0v 不變，   并以仰角 起跳，落至 B 點(diǎn)，令 OB 為 L，試問 為 30時(shí)， L  的最大值是多大？當(dāng) L 取極值時(shí)， 角為多大？  3如圖 5 18 所示，質(zhì)量為 M 的長(zhǎng)滑塊靜止放在光滑水平面上，左   側(cè)固定一勁度系數(shù)為 K 且足夠長(zhǎng)的水平輕質(zhì)彈簧，右側(cè)用一不可   伸長(zhǎng)的細(xì)輕繩連接于豎直墻上，細(xì)線所能承受的最大拉力為 T。   使一質(zhì)量為 m，初速度為 0v 的小物體，在滑塊上無(wú)摩擦地向左運(yùn)