清北學(xué)堂講義 高中物理競賽解題方法 五、 極限法

1 高中奧林匹克物理競賽解題方法  五、極限法  方法簡介    極限法是把某個物理量推向極端，即極大和極小或極左和極右，并依此做出科學(xué)的推理分析，從而給出判斷或?qū)С鲆话憬Y(jié)論。極限法在進行某些物理過程的分析時，具有獨特作用，恰當(dāng)應(yīng)用極限法能提高解題效率，使問題化難為易，化繁為簡，思路靈活，判斷準確。因此要求解題者，不僅具有嚴謹?shù)倪壿嬐评砟芰?，而且具有豐富的想象能力，從而得到事半功倍的效果。   賽題精講   例 1：如圖 5 1 所示，  一個質(zhì)量為 m 的小球位于一質(zhì)量可忽略的直立  彈簧上方 h 高度處，該小球從靜止開始落向彈簧，設(shè) 彈簧的勁度  系數(shù)為 k，則物塊可能獲得的最大動能為        。  解析：球跟彈簧接觸后，先做變加速運動，后做變減速運動，據(jù)此推理，  小球所受合力為零的位置速度、動能最大。所以速最大時有  mg=kx                                            圖 5 1 由機械能守恒有   221)( kxExhmgk      聯(lián)立式解得   kgmm g hEk2221  例 2：如圖 5 2 所示，傾角為 的斜面上方有一點 O，在 O 點放一至  斜面的光滑直軌道，要求一質(zhì)點從 O 點沿直軌道到達斜面 P 點  的時間最短。求該直軌道與豎直方向的夾角 。  解析：質(zhì)點沿 OP 做勻加速直線運動，運動的時間 t 應(yīng)該與 角有關(guān)，  求時間 t 對于 角的函數(shù)的極值即可。  由牛頓運動定律可知，質(zhì)點沿光滑軌道下滑的加速度為           cosga  該質(zhì)點沿軌道由靜止滑到斜面所 用的時間為 t，則         OPat 221    圖 5 2 清北學(xué)堂 2 所以cos2g OPt                          由圖可知，在 OPC 中有         )90s in ()90s in ( OCOP 所以)cos( cos OCOP                      將式代入式得   gOCg OCt )2c o s( c o s c o s4)c o s(c o s c o s2 顯然，當(dāng) 2,1)2c o s( 即時，上式有最小值 . 所以 當(dāng) 2 時，質(zhì)點沿直軌道滑到斜面所用的時間最短。  此題也可以用作圖法求解。  例 3：從底角為 的斜面頂端，以初速度 0 水平拋出一小球，不計  空氣阻力，若斜面足夠長，如圖 5 3 所示，則小球拋出后，  離開斜面的最大距離 H 為多少？  解析：當(dāng)物體的速度方向與斜面平行時，物體離斜面最遠。  以水平向右為 x 軸正方向，豎直向下為 y 軸正方向，  則由： gtvv y tan0 ，解 得運動時間為 tan0gvt 該點的坐標(biāo)為   2202200 t a n221t a n gvgtygvtvx 由幾何關(guān)系得： ta nc os/ xyH  解得小球離開斜面的最大距離為   sinta n220 gvH。  這道題若以沿斜面方向和垂直于斜面方向建立坐標(biāo)軸，求解則更加簡便。  例 4：如圖 5 4 所示，一水槍需將水射到離噴口的水平距離為 3.0m 的墻外，  從噴口算起，  墻高為 4.0m。  若不計空氣阻力，取  2/10 smg ，求 所需的最小初速及對應(yīng)的發(fā)射仰角。   圖 5 3  圖 5 4 清北學(xué)堂 3 解析：水流做斜上拋運動，以噴口 O 為原點建立如圖所示的  直角坐標(biāo)，本題的任務(wù)就是水流能通過點 A（ d、 h）的最小初速度和發(fā)射仰角。  根據(jù)平拋運動的規(guī)律，水流的運動方程為20021si nc o sgttvytvx   把 A 點坐標(biāo)（ d、 h）代入以上兩式，消去 t，得：  hhdhhddhdgdhdgddhgdv2c o s2si n/)12( c o s2si n/)t a n(c o s2/222222222220 令  ,s in/,c o s/,t a n/ 2222 hdhhdddh 則 上式可變?yōu)? ,6.7134a r c t a n45a r c t a n2145245902,1)2s i n (,)2s i n (/022220最小時亦即發(fā)射角即當(dāng)顯然vdhhhdgdv 且最小初速 0v = ./5.9/103)( 22 smsmhhdg  例 5：如圖 5 5 所示，一質(zhì)量為 m 的人，從長為 l、質(zhì)量為  M 的鐵板的一端勻加速跑向另一端，并在另一端驟然停止。  鐵板和水平面間摩擦因數(shù)為 ，人和鐵板間摩擦因數(shù)為   ，且 >> 。這樣，人能使鐵板朝其跑動方向移動  的最大距離 L 是多少？  解析：人驟然停止奔跑后，其原有動量轉(zhuǎn)化為與鐵板一起向 前沖的動量，此后，地面對載人鐵板的阻力是地面對鐵板的摩擦力 f，其加速度 gmM gmMmM fa )(1。   由于鐵板移動的距離 vavL 故,2 12 越大， L 越大。 v 是人與鐵板一起開始地運動的速度，因此人應(yīng)以不會引起鐵板運動的最大加速度奔跑。       人在鐵板上奔跑但鐵板沒有移動時，人若達到最大加速度，則地面與鐵板之間的摩擦力達到最大靜摩擦 gmM )( ，根據(jù)系統(tǒng)的牛頓第二定律得：             02 MmaF   所以  gm mMmFa 2                   哈   圖 5 5 清北學(xué)堂 4  設(shè) v 、 v 分別是人奔跑結(jié)束及人和鐵板一起運動時的速度   因為  vmMmv )(                           且 Lavlav 1222 2,2   并將 1a 、 2a 代入式解得鐵板移動的最大距離     lmMmL  例 6：設(shè)地球的質(zhì)量為 M，人造衛(wèi)星的質(zhì)量為 m，地球的半徑為 R0，人造衛(wèi)星環(huán)繞地球做圓周運動的半徑為 r。試證明：從地面上將衛(wèi)星發(fā)射至運行軌道，發(fā)射速度    )2( 00 rRgRv ，并用該式求出這個發(fā)射速度的最小值和最大值。（取 R0=6.4 106m），設(shè)大氣層對衛(wèi)星的阻力忽略不計，地面的重力加速度為 g）  解析：由能量守恒定律，衛(wèi)星在地球的引力場中運動時總機械能為 一常量。設(shè)衛(wèi)星從地面發(fā)射的速度為 發(fā)v ，衛(wèi)星發(fā)射時具有的機械能為   021 21 RMmGmvE 發(fā)                                   進入軌道后衛(wèi)星的機械能為 rMmGmvE 22 21 軌         由 E1=E2，并代入 ,rGMv 軌解得發(fā)射速度為  )2( 00 rRRGMv 發(fā)     又因為在地面上萬有引力等于重力，即： gRRGMmgRMmG 0020 所以   把式代入式即得： )2( 00 rRgRv 發(fā)  （ 1）如果 r=R0，即當(dāng)衛(wèi)星貼近地球表面做勻速圓周運動時，所需發(fā)射速度最小  為 smgRv /109.7 30m i n . （ 2）如果 r ，所需發(fā)射速度最大（稱為第二宇宙速度或脫離速度）為       smgRv /102.112 30m a x  例 7：如圖 5 6 所示，半徑為 R 的勻質(zhì)半球體，其重心在球心  O 點正下方 C 點處， OC=3R/8，  半球重為 G，半球放在   清北學(xué)堂 5 水平 面上，在半球的平面上放一重為 G/8 的物體，它與半  球平在間的動摩擦因數(shù) 2.0 ，  求無滑動時物體離球心        圖 5 6 O 點最大距離是多少？  解析：物體離 O 點放得越遠，根據(jù)力矩的平衡，半球體轉(zhuǎn)過的角度 越大，但物體在球體斜面上保持相對靜止時， 有限度。      設(shè)物體距球心為 x 時恰好無滑動，對整體以半球體和地面接觸點為軸，根據(jù)平衡條件有： c o s8s in83 xGRG   得   tan3Rx   可見， x 隨 增大而增大。臨界情況對應(yīng)物體所受摩擦力為最大靜摩擦力，則：       RRxNf mm 6.03,2.0t an 所以. 例 8：有一質(zhì)量為 m=50kg 的直桿，豎立在水平地面上，桿與地面間  靜摩擦因數(shù) 3.0 ，桿的上端固定在地面上的繩索拉住，繩  與桿的夾角 30 ，如圖 5 7 所示。  （ 1）若以水平力 F 作用在桿上， 作用點到地面的距離 LLh (5/21 為桿長），要使桿不滑倒，力 F 最大不能越過多少？  （ 2）若將作用點移到 5/42 Lh 處時，情況又如何？  解析：桿不滑倒應(yīng)從兩方面考慮，桿與地面間的靜摩擦力達到極限的前提下，力的大小還與 h 有關(guān)，討論力與 h 的關(guān)系是關(guān)鍵。   桿的受力如圖 5 7 甲所示，由平衡條件得       0)(0c o s0si nfLhLFmgTNfTF       另由上式可知， F 增大時， f 相應(yīng)也增大，故當(dāng) f 增大到最大靜摩擦力時，桿剛要滑倒，此時滿 足： Nf   解得：hhL m g LF m a s /ta n)( ta n  由上式又可知，當(dāng) LhhhL 66.0,/t a n)( 0 即當(dāng) 時對 F 就沒有限制了。   圖 5 7  圖 5 7 甲  清北學(xué)堂 6  （ 1）當(dāng)01 52 hLh ，將有關(guān)數(shù)據(jù)代入 maxF 的表達式得             NF 385max   （ 2）當(dāng) ,5402 hLh 無論 F 為何值，都不可能使桿滑倒，這種現(xiàn)象即稱為自鎖。  例 9： 放在光滑水平面上的木板質(zhì)量為 M，如圖 5 8 所示，板上有  質(zhì)量為 m 的小狗以與木板成 角的初速度 0v （相對于地面）  由 A 點跳到 B 點，已知 AB 間距離為 s。求初速度的最小值。      圖 5 8 解析：小狗跳起后，做斜上拋運動，水平位移向右，由于水平方向動量守恒，木板向左運動。小狗落到板上的 B 點時，小狗和木板對地位移的大小之和，是小狗對木板的水平位移。   由于水平方向動量守恒，有 MmvvMvmv s inco s 00 即     小狗在空中做斜拋運動的時間為  gvt sin2 0         又 vttvs cos0                               將、代入式得  2si n)(0 mM M g sv  當(dāng)0,4,12s in v時即 有最小值，mMM gsv min0。  例 10：一小物塊以速度 smv /100 沿光滑地面滑行，然后沿光滑   曲面上升到頂部水平的高臺上 ，并由高臺上飛出，如圖 5 9  所示，  當(dāng)高臺的高度 h 多大時，小物塊飛行的水平距離 s 最  大？這個距離是多少？（ g 取 10m/s2）  解析：依題意，小物塊經(jīng)歷兩個過程。在脫離曲面頂部之前，小物塊受重力和支持力，由于支持力不做功，物塊的機械能守恒，物塊從高臺上飛出后，做平拋運動，其水平距離 s 是高度 h 的函數(shù)。   設(shè)小物塊剛脫離曲面頂部的速度為 v ，根據(jù)機械能守恒定律，     m g hmvmv 220 2121                 小物塊做平拋運動 的水平距離 s 和高度 h 分別為： 221gth        圖 5 9 清北學(xué)堂 7  vts                                                     以上三式聯(lián)立解得： 22022020 )4()4(222 gvhgvghghvs  當(dāng) mgvh 5.2420 時，飛行距離最大，為 mgvs 5220max 。  例 11：軍訓(xùn)中，戰(zhàn)士距墻 s，以速度 0v 起跳， 如圖 5 10 所示，  再用腳蹬墻面一次，使身體變?yōu)樨Q直向上的運動以繼續(xù)  升高，墻面與鞋底之間的靜摩擦因數(shù)為 。求能使人體  重心有最大總升高的起跳角 。                            圖 5 10 解析：人體重心最大總升高分為兩部分，一部分是人做斜上拋運動上升的高度，另一部分是人蹬墻所能上升的高度。   如圖 5 10 甲，人做斜拋運動 cos0vvx ，        gtvv y sin0   重心升高為  2001 )c o s(21ta n v sgsH   腳蹬墻面，利用最大靜摩擦力的沖量可使人向上的動量增加，即     ,)(,)()()()( xyy mvttNttNttNtfvmmv 而  xy vv ，所以人蹬墻后，其重心在豎直方向向上的速度為   xyyyy vvvvv ，繼續(xù)升高gvH y222 ，人的重心總升高   H=H1+H2= 1t a n,)s inc o s(2 10220 當(dāng)sgv時，重心升高最大。  例 12：如圖 5 11 所示，一質(zhì)量為 M 的平頂小車，以速度 0v 沿水  平的光滑軌道做勻速直線運動?，F(xiàn)將一質(zhì)量為 m 的小物塊無  初速地放置在車頂前緣。已知物塊和車頂之間的滑動摩擦因  數(shù)為 。   （ 1）若要求物塊不會從車頂后緣掉下，則該車頂最少要多長？   （ 2）若車頂長度符合（ 1）問中的要求，整個過程中摩擦力共做多少功？  解析：當(dāng)兩物體具有共同速度時，相對位移最大，這個相對位移的大小即為車頂?shù)淖钚? 圖 5 10 甲   圖 5 11 清北學(xué)堂 8 長度。   設(shè)車長至少為 l，則根據(jù) 動量守恒      vmMMv )(0   根據(jù)功能關(guān)系   220 )(2121 vmMMvlmg  解得   gmMMvl )(220，摩擦力共做功          )(220mMM m vlmgW 例 13：一質(zhì)量 m=200kg，高 2.00m 的薄底大金屬桶倒扣在寬廣的    水池底部，如圖 5 12 所示。桶的內(nèi)橫截面積 S=0.500m2，   桶壁加桶底的體積為 V0=2.5010 2m3。桶內(nèi)封有高度為   l=0.200m 的空氣。池深 H0=20.0m，大氣壓強 p0=10.00m 水   柱高，水的密度 33 /10000.1 mkg ，重力加速度取 g=10.00m/s2。若用圖中所示吊繩將桶上提，使桶底到達水面處，求繩子拉力對桶所需何等的最小功為多少焦耳？（結(jié)果要保留三位有效數(shù)字）。不計水的阻力，設(shè)水溫很低，不計其飽和蒸汽壓的影響。并設(shè)水溫上下均勻且保持不變。  解析：當(dāng)桶沉到池底時，桶自身重力大于浮力。在繩子的作用下        桶被緩慢提高過程中，桶內(nèi)氣體體積逐步增加，排開水的   體積也逐步增加，桶受到的浮力也逐漸增加，繩子的拉力   逐漸減小，當(dāng)桶受到的浮力等于重力時，即繩子拉力恰好   減為零時，桶將處于不穩(wěn)定平衡的狀態(tài)，因為若有一擾動   使桶略有上升，則浮力大于重力，無需繩的拉力，桶就會       圖 5 12 甲   自動浮起，而不需再拉繩。因此繩對桶的拉力所需做的最   小功等于將桶從池底緩慢地提高到浮力等于重力的位置時繩子拉桶所做的功。      設(shè)浮力等于重力的不穩(wěn)定平衡位置到池底的距離為 H，桶內(nèi)氣體的厚度為 l ,如圖 5 12 甲所示。因為總的浮力等于桶的重力 mg，因而有         mggVSl )( 0   有 l =0.350m                                              在桶由池底上升高度 H 到達不穩(wěn)定平衡位置的過程中，桶內(nèi)氣體做等溫變化，由玻意耳定律得        lSllHpSlllHHp )()( 000000     由、兩式可得        H=12.240m  圖 5 12  清北學(xué)堂 9      由式可知 H<（ H0 l ），所以桶由池底到達不穩(wěn)定平 衡位置時，整個桶仍浸在水中。       由上分析可知，繩子的拉力在整個過程中是一個變力。對于變力做功，可以通過分析水和桶組成的系統(tǒng)的能量變化的關(guān)系來求解：先求出桶內(nèi)池底緩慢地提高了 H 高度后的總機械能量 E E 由三部分組成：   （ 1）桶的重力勢能增量             mgHE 1                                       （ 2）由于桶本身體積在不同高度處排開水的勢能不同所產(chǎn)生的機械能的改變量   E2，可認為在 H 高度時桶本身體積所排開的 水是去填充桶在池底時桶所占有的空間，這時水的重力勢能減少了。  所以 gHVE 02                                （ 3）由于桶內(nèi)氣體在不同高度處所排開水的勢能不同所產(chǎn)生的機械能的改變   E3，由于桶內(nèi)氣體體積膨脹，因而桶在 H 高度時桶本身空氣所排開的水可分為兩部分：一部分可看為填充桶在池底時空氣所占空間，體積為 lS 的水，這部分水增加的重力勢能為     SgHlE 31                                  另一部分體積為 Sll )( 的水上升到水池表面，這部分水上升的平均高度為  2/)( 00 llllHH ，  增加的重力勢能為  2/)()( 0032 llllHHSgllE          由整個系統(tǒng)的功能關(guān)系得，繩子拉力所需做的最小功為  WT= E                                          將、式代入式得  2/)()( 220 lllHllSgW T                將有關(guān)數(shù)據(jù) 代入式計算，并取三位有效數(shù)字，可得  WT=1.37104J 例 14：如圖 5 13 所示，勁度系數(shù)為 k 的水平輕質(zhì)彈簧，左端固定，  右端系一質(zhì)量為 m 的物體，物體可在有摩擦的水平桌面上滑  動，彈簧為原長時位于 O 點，現(xiàn)把物體拉到距 O 為 A0 的 P 點按住，放手后彈簧把物體拉動，設(shè)物體在第二次經(jīng)過 O 點前，  在 O 點左方停住，求：  （ 1）物體與桌面間的動摩擦因數(shù) 的大小應(yīng)在什么范圍內(nèi)？  （ 2）物體停住點離 O 點的距離的最大值，并回答這是不是物體在運動過程中所 圖 5 13 清北學(xué)堂 10 能達到的左方最遠值？ 為什么？（認為動摩擦因數(shù)與靜摩擦因數(shù)相等）  解析：要想物體在第二次經(jīng)過 O 點前，在 O 點左方停住，則需克服摩擦力做功消耗掉全部彈性勢能，同時還需合外力為零即滿足平衡條件。    （ 1）物體在距離 O 點為 l 處停住不動的條件是：     a物體的速度為零，彈性勢能的減小等于物體克服滑動摩擦力所做的功。     b彈簧彈力最大靜摩擦力     對物體運動做如下分析：     物體向左運動并正好停在 O 點的條件是：02021 mgAkA    得： 021 kAmg 若 021 kAmg，則物體將滑過 O 點，設(shè)它到 O 點左方 B 處（設(shè) OB=L1）時速度為零，則有：    )(2121102120 LAmgkLkA                        若物體能停住，則01 3 1, kAmgmgkL 故得      如果能滿足，但 031 kAmg，則物體不會停在 B 處而要向右運動。 值越小，則往右滑動的距離越遠。設(shè)物體正好停在 O 處，則有：12121 mgLkL 得： 041 kAmg。要求物體停在 O 點左方，則相應(yīng)地要求 041 kAmg。  綜合以上分析結(jié)果，物體停在 O 點左方而不是第二次經(jīng)過 O 點時， 的取值范圍為041 kAmg< <021 kAmg （ 2）當(dāng) 在031 kAmg <021 kAmg范圍內(nèi)時，物體向左滑動直至停止而不返回，由式可求出最遠停住點（設(shè)為 B1 點）到 O 點的距離為  .3)3)(2(2 0000 AmgkAkmgAkmgAL  清北學(xué)堂 11  當(dāng) <031 kAmg時，物體在 B1 點（ 301 AOB）的速度大于零，因此物體將繼續(xù)  向左運動，但它不可能停在 B1 點的左方。因為與 B1 點相對應(yīng)的 =031 kAmg，  L1=A0/3，如果停留在 B1 點的左方，則物體在 B1 點的彈力大于 30kA ，而摩擦力umg 30kA ，小于彈力大于摩  擦 力，所以物體不可能停住而一定返回，最后停留在 O 與 B1 之間。  所以無論 值如何，物體停住與 O 點的最大距離為 30A ，但這不是物體在運  動過程中所能達到的左方最遠值。  例 15：使一原來不帶電的導(dǎo)體小球與一帶電量為 Q 的導(dǎo)體大球接觸，分開之后，小球獲得電量 q。今讓小球與大球反復(fù)接觸，在每次分開后，都給大球補充電荷，使其帶電量恢復(fù)到原來的值 Q。求小球可能獲得的最大電量。  解析：兩球接觸后電荷的分配比例是由兩球的半徑?jīng)Q定的，這個比例是恒定 的。   根據(jù)兩球帶電比例恒定，第一次接觸，電荷量之比為qqQ  最后接觸電荷之比為qQ QqqqQq qQqQ mmm 有,  此題也可以用遞推法求解。  例 16：一系列相同的電阻 R，如圖 5 14 所示連接，求 AB 間   的等效電阻 RAB。  解析：無窮網(wǎng)絡(luò)，增加或減小網(wǎng)絡(luò)的格數(shù)，其等效電阻不變，   所以 RAB 跟從 CD 往右看的電阻是相等的。因此，有          RRRR RRRR ABAB ABAB )13(2 解得 例 17：如圖 5 15 所示，一個 U 形導(dǎo)體框架，寬度 L=1m，   其所在平面與水平面的夾角 30 ，其電阻可以忽   略不計，設(shè)勻強磁場為 U 形框架的平面垂直，磁感   應(yīng)強度 B=1T，質(zhì)量 0.2kg 的導(dǎo)體棒電阻 R=0.1 ，跨    圖 5 15 圖 5 14 圖 5 14 清北學(xué)堂 12       放在 U 形框上，并且能無摩擦地滑動。求：   （ 1）導(dǎo)體棒 ab 下滑的最大速度 mv ；   （ 2）在最大速度 mv 時， ab 上釋放出來的電功率。  解析：導(dǎo)體棒做變加速下滑，當(dāng)合力為零時速度最大，以后保持勻速運動   （ 1）棒 ab 勻速下滑時，有 RB lvIB I lmg 而,s in             解得最大速度   smlB Rmgvm /1.0si n 22  （ 2）速度最大時， ab 釋放的電功率 1.0sin mvmgP W  針對訓(xùn)練   1如圖 5 16 所示，原長 L0 為 100 厘米的輕質(zhì)彈簧放置在一光滑      的直槽內(nèi)，彈簧的一端固定在槽的 O 端，另一端連接一小球，  這一裝置可以從水平位置開始繞 O 點緩緩地轉(zhuǎn)到豎直位置。設(shè)  彈簧的形變總是在其彈性限度內(nèi)。試在下述（ a）、（ b）兩種情  況下，分別 求出這種裝置從原來的水平位置開始緩緩地繞 O 點  轉(zhuǎn)到豎直位置時小球離開原水平面的高度 h0。（ a）在轉(zhuǎn)動過程  中，發(fā)現(xiàn)小球距原水平面的高度變化出現(xiàn)極大值，且極大值 hm 為 40 厘米，（ b）在轉(zhuǎn)動的過程中，發(fā)現(xiàn)小球離原水平面的高度  不斷增大。  2如圖 5 17 所示，一滑雪運動員自 H 為 50 米高處滑至 O 點，由   于運動員的技巧（阻力不計），運動員在 O 點保持速率 0v 不變，   并以仰角 起跳，落至 B 點，令 OB 為 L，試問 為 30時， L  的最大值是多大？當(dāng) L 取極值時， 角為多大？  3如圖 5 18 所示，質(zhì)量為 M 的長滑塊靜止放在光滑水平面上，左   側(cè)固定一勁度系數(shù)為 K 且足夠長的水平輕質(zhì)彈簧，右側(cè)用一不可   伸長的細輕繩連接于豎直墻上，細線所能承受的最大拉力為 T。   使一質(zhì)量為 m，初速度為 0v 的小物體，在滑塊上無摩擦地向左運