（教育學(xué)專業(yè)論文）初中數(shù)學(xué)中圖形變換的相關(guān)教學(xué)研究.pdf

初中數(shù)學(xué)中圖形變換的相關(guān)教學(xué)研究中文摘要 中文摘要 全日制義務(wù)教育教學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)( 實(shí)驗(yàn)稿) ( 2 0 0 1 ) 將“圖形的變換”引入初中 幾何教學(xué)目標(biāo)，并強(qiáng)調(diào)了發(fā)展學(xué)生合情推理的重要性，這成為了新課改下初中幾 何的一大亮點(diǎn)。與此同時(shí)，“圖形的變換”在歷年中考中所占比例呈逐年上升趨勢(shì)， 特別是在2 0 0 8 、2 0 1 0 、2 0 1 1 年蘇州市數(shù)學(xué)中考中，“圖形的變換”成為了當(dāng)年中考 的“把關(guān)題”之一，也是最大的亮點(diǎn)之一，可見“圖形的變換”在初中幾何教學(xué)中的重 要性。 如今新課改已進(jìn)入了第十個(gè)年頭，初中數(shù)學(xué)中“圖形的變換”這部分內(nèi)容的教與 學(xué)的現(xiàn)狀如何? 學(xué)生在這部分內(nèi)容上的認(rèn)識(shí)水平與推理能力發(fā)展得如何? 教師對(duì) 這部分內(nèi)容的教學(xué)有怎樣的看法與困難? 這些問題都是一線教師非常關(guān)心的問 題，只有全面地了解了教與學(xué)的現(xiàn)狀，一線教師才能更好的反思教學(xué)過程、改善 教學(xué)設(shè)計(jì)、積累教學(xué)資源，為更順利、有效的開展“圖形的變換”的教學(xué)作一些貢獻(xiàn)。 本研究對(duì)蘇州市彩香中學(xué)6 5 名初二學(xué)生進(jìn)行了圖形變換相關(guān)內(nèi)容的測(cè)試，對(duì) 該校1 8 名一線數(shù)學(xué)教師進(jìn)行了關(guān)于圖形變換教學(xué)的問卷調(diào)查。通過對(duì)學(xué)生在測(cè)試 中的解題情況和解題過程的分析，了解了學(xué)生在此內(nèi)容上的認(rèn)知水平與推理能力； 通過對(duì)教師調(diào)查問卷的分析，了解教師在此內(nèi)容上的教學(xué)方法與觀點(diǎn)，以及在教 學(xué)過程中存在的困難與迷惑；同時(shí)又以2 0 1 0 、2 0 1 1 年蘇州市數(shù)學(xué)中考第2 8 題為 例，分析以“圖形的變換”為內(nèi)容的中考?jí)狠S題所考查學(xué)生的知識(shí)類型與能力類型。 在上述基礎(chǔ)上，筆者對(duì)“圖形的變換”的教學(xué)提出三項(xiàng)教學(xué)建議：一、注意教學(xué)過程 中，數(shù)學(xué)問題情境的創(chuàng)設(shè)；二、注意解題過程中，數(shù)學(xué)能力的訓(xùn)練、數(shù)學(xué)思想的 滲透；三、注意分析相關(guān)中考題所考查的知識(shí)與能力的類型，研究中考導(dǎo)向。希 望本研究對(duì)“圖形的變換”的教學(xué)能引起更多專家與一線教師的思考與討論。 關(guān)鍵詞：圖形的變換認(rèn)知水平推理能力教學(xué)建議 作者：何佳 指導(dǎo)老師：嚴(yán)亞強(qiáng) 英文摘要 初中數(shù)學(xué)中圖形變換的相關(guān)教學(xué)研究 m a t h e m a t i c st e a c h i n gr e s e a r c ho i lg r a p h t r a n f o r m a t i o ni nj u n i o rm i d d l es c h o o l n i o r m a t l o n1 0 rc i i 0 0 1 a b s t r a c t i th a sb e c o m eab r i g h ts p o to ft h eg e o m e t r ya s p e c td u r i n gt h en e wc u r r i c u l u m r e f o r mt h a t “t h ec u r r i c u l u ms t a n d a r do ff u l l - t i m e c o m p u l s o r ye d u c a t i o n ( e x p e r i m e n t a ld r a f t ) ”( 2 0 01 ) ，l e a d s ”t h eg r a p ht r a n s f o r m a t i o n ”i n t ot h ee d u c a t i o nt a r g e t o fj u n i o rm i d d l es c h o o l ，a n de m p h a s i z e st h ei m p o r t a n c eo fd e v e l o p m e n to fp l a u s i b l e r e a s o n i n g m e a n w h i l e ，t h ep r o p o r t i o no f ”t h eg r a p ht r a n s f o r m a t i o n ”i nt h es e n i o r m i d d l es c h o o le n t r a n c ee x a m i n a t i o n so v e rt h ey e a r si s i n c r e a s i n g ，e s p e c i a l l yi nt h e m a t h e m a t i c se x a m so fs u z h o us e n i o rm i d d l es c h o o le n t r a n c ee x a m i n a t i o ni n2 0 0 8 ， 2 010 ，a n d2 011 ，”t h eg r a p ht r a n s f o r m a t i o n ”h a sb e c o m eo n eo ft h ec h e c k i n gp o i n t sa n d a l s oo n eo ft h e b i g g e s tb r i g h ts p o t s ，t h e r e f o r e ，t h ei m p o r t a n c e o f “t h eg r a p h t r a n s f o r m a t i o n ”i nj u n i o rm i d d l es c h o o lg e o m e t r yt e a c h i n gi sc l e a r l yv i s i b l e n o ww h e nt h en e wc u r r i c u l u mr e f o r mh a se n t e r e di t st e n t hy e a r ，w h a ti st h e c u r r e n ts t a t u so f ”t h eg r a p ht r a n s f o r m a t i o n ”i nt h ej u n i o rm i d d l es c h o o lm a t h e m a t i c s t e a c h i n g ? h o wa b o u tt h el e v e lo fu n d e r s t a n d i n ga n dr e a s o n i n ga b i l i t yo ft h es t u d e n t si n t h i sp a r to ft h ec o n t e n t s ? w h a tk i n do fv i e w sa n dd i f f i c u l t i e st h ef r o n t l i n et e a c h e r s t o w a r dt h i sp a r to ft h ec o n t e n t sh a v e ? t h e s ep r o b l e m sa r ea l lt h ei s s u e st h ef r o n f l i n e t e a c h e r sc o n c e m e da b o u t w i t hac o m p r e h e n s i v eu n d e r s t a n d i n go ft h ec u r r e n ts i t u a t i o n o ft e a c h i n ga n dl e a r n i n g ，t h ef r o n t l i n et e a c h e r sc a nb e t t e rr e f l e c tt h et e a c h i n gp r o c e s s ， i m p r o v et h et e a c h i n gd e s i g n , a n da c c u m u l a t et h et e a c h i n gr e s o u r c e s ，s oa st om a k e s o m ec o n t r i b u t i o nf o rc a r r y i n go u tm o r es m o o t ha n de f f e c t i v et e a c h i n go f ”t h eg r a p h t r a n s f o r m a t i o n ” t h i sr e s e a r c hb a s e do nt h et e s to ft h er e l a t i v ec o n t e n to ft h eg r a p ht r a n s f o r m a t i o n t o w a r d ss i x t yf i v eg r a d e - t w os t u d e n t so fs u z h o uc a i x i a n gj u n i o rm i d d l es c h o o la n d o nt h eq u e s t i o n n a i r ei n v e s t i g a t i o na b o u tt e a c h i n go n ”t h eg r a p ht r a n s f o r m a t i o n ”t o w a r d t h ee i g h t e e nf r o n t l i n em a t h e m a t i c st e a c h e r so ft h es a m es c h 0 0 1 t h r o u g ht h et e s to f i i 初中數(shù)學(xué)中圖形變換的相關(guān)教學(xué)研究英文摘要 s t u d e n t si np r o b l e ms o l v i n gs i t u a t i o n sa n dp r o b l e ms o l v i n gp r o c e s sa n a l y s i s ，w e u n d e r s t a n dt h ec o g n i t i v el e v e la n dr e a s o n i n ga b i l i t yo ft h es t u d e n t so i lt h i sc o n t e n t ； t l l r o u g hq u e s t i o n n a i r ea n a l y s i so ft e a c h e r s ，w ek n o wt h ec o n t e n tt e a c h i n gm e t h o d sa n d p e r s p e c t i v e so ft e a c h e r s ，a sw e l l 緞t h ed i f f i c u l t i e sa n dc o n f u s i o ni nt h et e a c h i n gp r o c e s s m e a n w h i l e ，t a k i n gt h ee x a m p l e sa st h et w e n t y - e i g h t hq u e s t i o n si nt h em a t h e m a t i c st e s t o fs u z h o us e n i o rs c h o o le n t r a n c ee x a mi n2 010a n d2 011 ，i ta n a l y s i st h ek n o w l e d g e a n da b i l i t y t y p e s o fs t u d e n t s t h r o u g ht h e s e f i n a l e q u e s t i o n st a k i n g ”t h eg r a p h t r a n s f o r m a t i o n ”a st h ec o n t e n t o nt h eb a s i so ft h ea b o v e ，t h ea u t h o rp u tf o r w a r dt h r e e s u g g e s t i o n st o w a r d s ”t h eg r a p ht r a n s f o r m a t i o n ”t e a c h i n g ：f i r s t ，f o c u so ne s t a b l i s h i n gt h e m a t h e m a t i c a lp r o b l e ms i t u a t i o ni nt h et e a c h i n gp r o c e s s ；s e c o n d ，f o c u so nt r a i n i n go n m a t h e m a t i c a la b i l i t ya n di n f i l t r a t i n go fm a t h e m a t i c a lt h i n k i n gd u r i n gt h ep r o b l e m s o l v i n gp r o c e s s ；“r d ，f o c u so ns t u d y i n gt h ee x a mg u i d et h r o u g ht h ea n a l y s i so ft h e k n o w l e d g ea n da b i l i t i e st y p ei nr e l a t e dq u e s t i o n si ns e n i o rs c h o o le n t r a n c ee x a m h i g h l yh o p et h a tt h i ss t u d yo n ”t h eg r a p ht r a n s f o r m a t i o n ”t e a c h i n g c a l lc a u s et h e t h i n k i n ga n dd i s c u s s i o no f m o r ee x p e r t sa n dt e a c h e r s k e yw o r d s ：g r a p ht r a n s f o r m a t i o n ，c o g n i t i v el e v e l ，r e a s o n i n ga b i l i t y ，t e a c h i n g d e s i g n i i i w r i t t e n b y ： s u p e r v i s e db y ： h ej i a y a ny aq i a n g 初中數(shù)學(xué)中圖形變換的相關(guān)教學(xué)研究第1 章緒論 第1 章緒論 1 1 研究的背景 1 1 1 新一輪課程改革 “圖形的變換”進(jìn)入中學(xué)數(shù)學(xué)教材，是近幾十年來國內(nèi)外數(shù)學(xué)改革的一個(gè)主要特 征。雖然各國中學(xué)的“圖形的變換”教學(xué)內(nèi)容不盡相同，但存在著非常一致的觀點(diǎn)， 即“國際數(shù)學(xué)課程改革核心將運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)引入幾何，成了一種時(shí)尚。 引入“圖形 的變換”能使圖形動(dòng)起來，有助于發(fā)現(xiàn)圖形的幾何性質(zhì)，是研究幾何問題的有效工 具。特別是平移、旋轉(zhuǎn)以及軸對(duì)稱、中心對(duì)稱等觀念已被不少國家的中小學(xué)教材 所吸收，并放在比較重要的位置。 全日制義務(wù)教育教學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)( 實(shí)驗(yàn)稿) ( 2 0 0 1 ) ( 以下簡(jiǎn)稱標(biāo)準(zhǔn) ) 將“圖形的變換”引入初中幾何教學(xué)目標(biāo)，提出“在7 9 年級(jí)中，學(xué)習(xí)平移、旋 轉(zhuǎn)、對(duì)稱的基本性質(zhì)，欣賞并體驗(yàn)變換在現(xiàn)實(shí)生活中的廣泛應(yīng)用，并將“圖 形的變換”放在一個(gè)非常重要的地位。 新課改下數(shù)學(xué)教材的編排充分體現(xiàn)了標(biāo)準(zhǔn)的這一精神，如華師大版不僅 設(shè)置獨(dú)立的章節(jié)來教授圖形的軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)、相似，并且借助圖形變換的 方法來探索其他平面圖形的性質(zhì)( 如等腰三角形、平行四邊形的性質(zhì)與識(shí)別等) ； 蘇科版更是將圖形的變換作為幾何教材編排的一條主線，完全打破了傳統(tǒng)教材以 公理體系為主線的教材體系。 隨著標(biāo)準(zhǔn)將“圖形的變換”引入初中幾何教學(xué)目標(biāo)，與之相對(duì)應(yīng)的幾何推 理方式，即合情推理也成為了新課改下幾何部分的又一大亮點(diǎn)。標(biāo)準(zhǔn)在推理與 論證的方面提出：“在探索圖形性質(zhì)、與他人合作交流等活動(dòng)過程中，發(fā)展合情推 理，進(jìn)一步學(xué)習(xí)有條理地思考與表達(dá)?！?由此可見，標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)從具體情景 或前提出發(fā)進(jìn)行合情推理。對(duì)推理的要求從傳統(tǒng)的“純粹的演繹推理”轉(zhuǎn)向“先合情 推理，后演繹推理”的模式；從單純強(qiáng)調(diào)幾何的推理價(jià)值轉(zhuǎn)向更全面地體現(xiàn)幾何的 教育價(jià)值，特別是幾何在發(fā)展學(xué)生空間觀念，以及觀察、操作、探索、合情推理 ?？追舱堋⒋抻⒚菲揭?、旋轉(zhuǎn)課程內(nèi)容的中韓對(duì)比 j 小學(xué)教學(xué)研究，2 0 0 6 ( 4 ) 2 6 - 2 7 o 中華人民共和國教育部全日制義務(wù)教育教學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)( 實(shí)驗(yàn)稿) 北京：北京師范大學(xué)出版社，2 0 0 1 ：3 7 同上。 1 第1 章緒論初中數(shù)學(xué)中圖形變換的相關(guān)教學(xué)研究 等方面“過程性”的教育價(jià)值。 1 1 2 圖形的變換在中考的地位 【近四年江蘇省十三大市中考圖形與圖形的變換的分值與比率】 2 0 0 6 年2 0 0 7 年2 0 0 8 年 分值( 分)比率( )分值( 分)比率( )分值( 分) 比率( ) 南京市 75 8 321 6 786 6 7 蘇州市 1 51 2 o o97 2 01 07 6 9 無錫市 1 31 0 o o1 18 4 61 07 6 9 常州市 54 1 775 8 3 9 7 5 0 鎮(zhèn)江市 54 1 71 08 3 375 8 3 揚(yáng)州市 1 38 6 72 01 3 3 364 0 0 泰州市 1 06 6 71 81 2 o o74 6 7 南通市 7 5 3 8 64 0 096 0 0 鹽城市 1 51 0 0 01 91 2 6 72 31 5 3 3 淮安市 96 9 21 91 2 6 72 11 4 0 0 宿遷市 1 38 6 71 51 0 0 01 71 1 3 3 徐州市 64 o o96 0 01 17 3 3 連云港市 3 2 0 01 l7 3 3 6 4 0 0 合計(jì) 1 2 l1 5 61 4 4 平均 1 0 0 87 3 71 39 1 21 28 5 0 1 0 9 年江蘇省中考數(shù)學(xué)為全省統(tǒng)一命題，分值為1 6 分，比率為1 0 7 】 根據(jù)以上表格中的數(shù)據(jù)，我們發(fā)現(xiàn)雖然“圖形的變換”這部分內(nèi)容在整個(gè)初中數(shù) 學(xué)教材中所占的篇幅很少，但是歷年我省各市的中考題中圖形的變換的比例卻不 少，并整體上呈上升趨勢(shì)。特別是2 0 1 0 年、2 0 1 1 年蘇州市數(shù)學(xué)中考試卷中第2 8 題( 共2 9 題) 分別為以三角形平移、正方形旋轉(zhuǎn)為背景的動(dòng)態(tài)問題，它們分別是 當(dāng)年數(shù)學(xué)中考卷的“把關(guān)題”之一、最大的亮點(diǎn)之一，由此全面考查學(xué)生的觀察、操 作、探索、合情推理、空間觀念等幾何綜合能力，可見“圖形的變換”對(duì)培養(yǎng)學(xué)生幾 何能力起到重要作用。 因此，近年來無論是教育研究者還是一線的中學(xué)數(shù)學(xué)教師對(duì)“圖形的變換”這部 分內(nèi)容都產(chǎn)生了很大的研究熱情，主要是從教材分析、教學(xué)設(shè)計(jì)、解題技巧、中 考熱點(diǎn)的角度進(jìn)行研究。如今新課改已進(jìn)入了第十個(gè)年頭，對(duì)于學(xué)生在“圖形的變 換”這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)現(xiàn)狀到底如何呢? 教師在這部分內(nèi)容的教學(xué)上又有何體會(huì) 初中數(shù)學(xué)中圖形變換的相關(guān)教學(xué)研究第1 章緒論 與困難呢? 同樣值得研究。 1 2 研究的問題 新課程改革已推出十年，在經(jīng)歷了課改之初的激烈爭(zhēng)論與反響后，新課改精 神已普遍融入當(dāng)前中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，各版新教材在編排上已日趨完善，一線教師對(duì) 新教材的使用已日趨成熟。在此環(huán)境下，本文對(duì)新課改中的最大亮點(diǎn)一圖形的 變換”進(jìn)行教學(xué)研究?！皥D形的變換”包括圖形的軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)、相似四種， 其中軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)同屬于全等變換，是新課改的新增內(nèi)容，隨之而來的推 理方式也是新課改的亮點(diǎn)之一，而相似變換不屬于全等變換，與它們差別較大， 同時(shí)相似是初中幾何的傳統(tǒng)內(nèi)容，并非是新課改的特色，因此本文的研究將集中 在圖形的軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)這三種變換。( 下文中“圖形的變換”主要是指軸對(duì)稱、 平移、旋轉(zhuǎn)三種變換) 。 本文研究目前學(xué)生在“圖形的變換”內(nèi)容上的認(rèn)知水平與推理能力如何? 了解 一線教師對(duì)“圖形的變換”的教學(xué)如何處理? 在教學(xué)過程中有何種體會(huì)與困惑? 本 文將根據(jù)研究結(jié)果，從“圖形的變換”的概念、性質(zhì)、典型例題三方面進(jìn)行教學(xué)分析 與設(shè)計(jì)，對(duì)“圖形的變換”相關(guān)的中考試題進(jìn)行深層分析，為課堂教學(xué)提出教學(xué)建議， 為新課改的進(jìn)一步推進(jìn)作些許貢獻(xiàn)。 1 3 研究的方法 在本文的研究過程中，筆者采用了文獻(xiàn)分析法、測(cè)試法、問卷調(diào)查法、實(shí)證 研究法等的研究方法。 我運(yùn)用文獻(xiàn)分析法查閱了初等數(shù)學(xué)、教育學(xué)、心理學(xué)、學(xué)科教學(xué)、數(shù)學(xué)課程 論等相關(guān)文獻(xiàn)，為論文寫作奠定了理論知識(shí)與專業(yè)文化基礎(chǔ)；查閱與本課題相關(guān) 的文獻(xiàn)資料并分析歸納，積累了不少有關(guān)“圖形的變換”的資料，借鑒許多專家學(xué)者、 一線教師的研究成果與研究方法，進(jìn)行本文的研究。 幾何教學(xué)的目的主要是學(xué)生認(rèn)知水平的發(fā)展與推理能力的培養(yǎng)，因此筆者精 心編制測(cè)試卷，以測(cè)試法研究學(xué)生分別從學(xué)生在“圖形的變換”這部分內(nèi)容上的認(rèn)知 水平與推理能力。為了正確掌握“圖形的變換”的教學(xué)的情況，首先，制定了較為科 學(xué)的調(diào)查問卷，以問卷調(diào)查法從中學(xué)數(shù)學(xué)教師，了解圖形的變換在教與學(xué)兩方面 存在的一些困難。 3 第2 章文獻(xiàn)綜述初中數(shù)學(xué)中圖形變換的相關(guān)教學(xué)研究 第2 章文獻(xiàn)綜述 2 1 國外中學(xué)數(shù)學(xué)課程中“圖形的變換”內(nèi)容設(shè)置概述 2 1 1 英國中學(xué)數(shù)學(xué)課程中“圖形的變換”內(nèi)容設(shè)置概述 英國標(biāo)準(zhǔn)( 2 0 0 0 ) 將內(nèi)容分為“使用和應(yīng)用數(shù)學(xué)”、“數(shù)與代數(shù)”、“圖形、空 間與測(cè)量”以及“數(shù)據(jù)處理”四個(gè)領(lǐng)域，與中國標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)容領(lǐng)域的具體劃分有一定 的相似性。英國標(biāo)準(zhǔn)( 2 0 0 0 ) 的“圖形、空間與測(cè)量”和中國標(biāo)準(zhǔn)的“空間與 圖形”對(duì)應(yīng)，內(nèi)容設(shè)置包括“角( 圓周角、平角、直角和對(duì)頂角、銳角、鈍角和反射 角，角的大小，平行線中有關(guān)角的性質(zhì)，三角形中的角，對(duì)四邊形的分類，勾股 定理) ，圓( 直徑與圓的關(guān)系) ，三維圖形( 幾何特征，平面投影) ，旋轉(zhuǎn)，平移， 反射，伸縮變換，坐標(biāo)系，測(cè)量( 時(shí)間和質(zhì)量測(cè)量，度量衡，速度和密度的測(cè)量) ， 構(gòu)圖( 線段，角，二維圖形，立方體，正四面體，正四棱錐，中垂線和角平分線， 面積與體積，圓的周長(zhǎng)和面積) ，軌跡”。其中“旋轉(zhuǎn)、平移、反射、伸縮變換”即為 “旋轉(zhuǎn)、平移、對(duì)稱、相似”四種基本的圖形變換。 2 1 2 日本中學(xué)數(shù)學(xué)課程中“圖形的變換”內(nèi)容設(shè)置概述 日本中學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容也包括軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)和相似四種圖形變換。但 對(duì)這部分內(nèi)容的課程目標(biāo)日本只用了“認(rèn)識(shí)”和“欣賞”兩個(gè)層次，而中國不僅要求學(xué) 生能夠“認(rèn)識(shí)”和“欣賞”，還要對(duì)其性質(zhì)能夠理解，并能做出簡(jiǎn)單圖形經(jīng)過軸對(duì)稱、 平移和旋轉(zhuǎn)之后的圖形，靈活地運(yùn)用變換進(jìn)行圖案的設(shè)計(jì)和組合。關(guān)于相似變換 的內(nèi)容，日本的處理方式更清晰，將相似從“變換及對(duì)稱”中獨(dú)立出來，歸為“全等 及相似”，一方面，相似變換緊接著其它三種變換之后介紹，顧及到了知識(shí)的整體 與連貫性，另一方面，將相似與全等三角形的內(nèi)容同時(shí)安排，更利于學(xué)生理解和 掌握全等和相似的性質(zhì)及判定的區(qū)別和聯(lián)系。圓 2 1 3 美國中學(xué)數(shù)學(xué)課程中“圖形的變換”內(nèi)容設(shè)置概述 在美國中學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容中，處理幾何內(nèi)容的方法除演繹法外，還包括了向 量、坐標(biāo)以及變換等方法。美國標(biāo)準(zhǔn)( 2 0 0 0 ) 認(rèn)為所有k 1 2 年級(jí)的學(xué)生要“運(yùn)用 變換和對(duì)稱分析數(shù)學(xué)情境”，9 1 2 學(xué)段的學(xué)生要“通過草圖、坐標(biāo)、向量、函數(shù) 傅贏芳數(shù)學(xué)應(yīng)用的中英初中數(shù)學(xué)課程比較【d 】浙江師范大學(xué)，2 0 0 3 ：1 3 - 1 4 國楊俊波中日初中數(shù)學(xué)課程比較【d 】沈陽師范大學(xué)，2 0 0 7 ：1 2 4 初中數(shù)學(xué)中圖形變換的相關(guān)教學(xué)研究第2 章文獻(xiàn)綜述 和矩陣等理解和表示物體在平面上的翻折、反射、旋轉(zhuǎn)及縮放?？梢?，美國在 處理幾何內(nèi)容時(shí)所采用的方法更豐富，但與中國一樣最為重要的還是演繹、向量、 坐標(biāo)和變換，其中向量法和坐標(biāo)法在思路上是完全一致的。圓 2 2 中國數(shù)學(xué)課程中“圖形的變換”的相關(guān)概述 2 2 1 中國數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中“圖形的變換”內(nèi)容設(shè)置概述 中國數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)又指出，7 9 年級(jí)的推理與論證的學(xué)習(xí)應(yīng)從以下幾個(gè)方面 展開：“在探索圖形性質(zhì)、與他人合作交流等活動(dòng)過程中，發(fā)展合情推理，進(jìn)一步 學(xué)習(xí)有條理地思考與表達(dá)；在積累了一定的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)與掌握了一定的圖形性質(zhì)的 基礎(chǔ)上，從幾個(gè)基本的事實(shí)出發(fā)，證明一些有關(guān)三角形、四邊形的基本性質(zhì)，從 而體會(huì)證明的必要性，理解證明的基本過程，掌握用綜合法證明的格式，初步感 受公理化思想?！焙?jiǎn)而言之，7 - 9 年級(jí)的推理與論證應(yīng)“先合情推理，后演繹推理”， 七年級(jí)、八年級(jí)上半學(xué)期主要發(fā)展合情推理，八年級(jí)下半學(xué)期、九年級(jí)主要發(fā)展 演繹推理。 從上述研究不難發(fā)現(xiàn)，一些發(fā)達(dá)國家都將“圖形的變換”引入教學(xué)大綱或課程標(biāo) 準(zhǔn)內(nèi)容，并都認(rèn)同了幾何的推理不能再只局限于演繹推理，而應(yīng)適當(dāng)?shù)募尤牒锨?推理。由此可以說，將“圖形的變換”引入我國中學(xué)數(shù)學(xué)課程，是順應(yīng)了現(xiàn)代數(shù)學(xué)和 現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育的發(fā)展趨勢(shì)的。 2 2 2 蘇科版初中數(shù)學(xué)教材中“圖形的變換”內(nèi)容的編排概述 ( 一) 平移變換出現(xiàn)在“七( 下) 第七章平面圖形的認(rèn)識(shí)( 二) ”中，章節(jié)介紹： 第1 節(jié)探索直線平行的條件 第2 節(jié)探索平行線的性質(zhì) 第3 節(jié)圖形的平移 第4 節(jié)認(rèn)識(shí)三角形 一 第5 節(jié)三角形的內(nèi)角和 “平移”是現(xiàn)實(shí)生活中廣泛存在的現(xiàn)象，它不僅是探索圖形性質(zhì)的必要手段，而 且也是解決現(xiàn)實(shí)生活中的具體問題以及進(jìn)行數(shù)學(xué)交流的重要工具。在直觀的基礎(chǔ) 上，通過分析，體會(huì)平移的應(yīng)用價(jià)值和豐富的內(nèi)涵，認(rèn)識(shí)和欣賞平移，探索平移 的基本性質(zhì)，促進(jìn)觀察、分析、歸納等一般能力和審美意識(shí)的發(fā)展。在“平移”的教 。唐恒鈞中美中小學(xué)幾何課程比較及其啟示【d 】浙江師范大學(xué)，2 0 0 5 ：7 8 。劉紹學(xué)，章建躍幾何中的向量方法【j 1 數(shù)學(xué)通報(bào)，2 0 0 4 ( 3 ) ：7 - 8 5 第2 章文獻(xiàn)綜述初中數(shù)學(xué)中圖形變換的相關(guān)教學(xué)研究 學(xué)，教材立足于學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)和初步的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，首先從觀察生活中 的平移現(xiàn)象開始，直觀地認(rèn)識(shí)平移，并在此基礎(chǔ)上，分析生活中平移現(xiàn)象的共同 規(guī)律，得出平移的基本性質(zhì)，再運(yùn)用其基本性質(zhì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的平移作圖和簡(jiǎn)單的圖 案設(shè)計(jì)。 ( - - ) 軸對(duì)稱變換出現(xiàn)在“八( 上) 第一章軸對(duì)稱圖形”中，章節(jié)內(nèi)容呈現(xiàn)順序 為：認(rèn)識(shí)軸對(duì)稱和軸對(duì)稱圖形探索軸對(duì)稱的性質(zhì)設(shè)計(jì)軸對(duì)稱圖案探 索線段、角、等腰三角形、等邊三角形、等腰梯形的軸對(duì)稱性及其相關(guān)的性質(zhì) 數(shù)學(xué)活動(dòng)。內(nèi)容呈現(xiàn)的形式為“問題情境探索活動(dòng)歸納結(jié)論”。 軸對(duì)稱是現(xiàn)實(shí)生活中廣泛存在的現(xiàn)象，探索軸對(duì)稱的基本性質(zhì)，認(rèn)識(shí)軸對(duì)稱 在現(xiàn)實(shí)生活中的廣泛應(yīng)用，欣賞現(xiàn)實(shí)生活中的軸對(duì)稱圖形，是密切數(shù)學(xué)和現(xiàn)實(shí)之 間聯(lián)系的重要內(nèi)容，掌握軸對(duì)稱和軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)，對(duì)學(xué)生更好地認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)世 界，描述圖形的形狀和位置關(guān)系，發(fā)展直覺思維和空間觀念，提高合情推理和初 步的演繹推理能力有著十分重要的作用。 教材突出探索活動(dòng)，使學(xué)生親歷“做數(shù)學(xué)”的過程。探索軸對(duì)稱的性質(zhì)和軸對(duì)稱 圖形的性質(zhì)，課本安排了折紙、畫圖、印墨跡、操作、猜想等多種學(xué)生喜歡的實(shí) 踐活動(dòng)，創(chuàng)設(shè)了大量貼近學(xué)生生活的有趣的問題情境，體現(xiàn)了本套教材“做數(shù)學(xué)” 的特色。引導(dǎo)學(xué)生在做中感受和體驗(yàn)，在做中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，在做中培養(yǎng)創(chuàng)新精 神。在親歷觀察、操作、推理、想象的過程中，感悟軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形的數(shù)學(xué) 本質(zhì)，明晰線段、角、等腰三角形、等邊三角形、等腰梯形的對(duì)稱性及其相關(guān)性 質(zhì)，掌握運(yùn)用軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)解決一些問題的思想方法，發(fā)展空間觀念，提高 動(dòng)手能力，形成創(chuàng)新意識(shí)。 ( - - ) 旋轉(zhuǎn)變換出現(xiàn)在“八( 上) 第三章中心對(duì)稱圖形( 一) 中，在此之前， 學(xué)生已學(xué)習(xí)了“圖形的平移”、“軸對(duì)稱和軸對(duì)稱圖形”，初步積累了一定的圖形變換 的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，教材在此基礎(chǔ)上，立足于學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)和初步的數(shù)學(xué)活 動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，從觀察生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象開始，直觀地認(rèn)識(shí)旋轉(zhuǎn)，然后讓學(xué)生觀察、操 作、畫圖等數(shù)學(xué)活動(dòng)，分析旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象的共同規(guī)律，得到旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì)，豐富對(duì) 圖形變換的認(rèn)識(shí)。教材從圖形旋轉(zhuǎn)的特殊情形旋轉(zhuǎn)角為1 8 0 0 入手，展開對(duì)中 心對(duì)稱性質(zhì)的探索，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行簡(jiǎn)單的中心對(duì)稱作圖。 教材以中心對(duì)稱為主線，展開對(duì)平行四邊形、矩形、菱形、正方形以及三角 形中位線、梯形中位線性質(zhì)的研究。其主要表現(xiàn)在以下3 個(gè)方面：( 1 ) 通過操作 6 初中數(shù)學(xué)中圖形變換的相關(guān)教學(xué)研究第2 章文獻(xiàn)綜述 實(shí)踐等活動(dòng)，探索旋轉(zhuǎn)圖形、中心對(duì)稱與中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)，利用中心對(duì)稱圖 形的性質(zhì)，研究平行四邊形的性質(zhì)，在此基礎(chǔ)上展開對(duì)矩形、菱形、正方形的研 究；( 2 ) 利用中心對(duì)稱變換，研究三角形中位線和梯形中位線的性質(zhì)，并通過中 心對(duì)稱變換向?qū)W生展示重要的數(shù)學(xué)思想方法三角形中位線性質(zhì)的研究轉(zhuǎn)化為 平行四邊形性質(zhì)的研究，梯形中位線的性質(zhì)研究轉(zhuǎn)化為三角形中位線性質(zhì)的研究； ( 3 ) 課本在用特殊事物的特殊屬性的方法給出平行四邊形、矩形、菱形、正方形 的概念的同時(shí)，緊扣中心對(duì)稱這一線索，通過操作、觀察活動(dòng)，使學(xué)生理解平行 四邊形、矩形、菱形、正方形分別是由三角形繞其一邊的中心、直角三角形繞其 斜邊的中點(diǎn)、等腰三角形繞其底邊的中點(diǎn)、等腰直角三角形繞其底邊的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn) 1 8 0 0 而成的中心對(duì)稱圖形，向?qū)W生展示這些特殊的四邊形的形成過程，為研究平行 四邊形、矩形、菱形、正方形的性質(zhì)提供新的方法。 在呈現(xiàn)形式上，教材突出圖形性質(zhì)、常用判別方法的探索過程，引導(dǎo)學(xué)生通 過圖形變換和簡(jiǎn)單的推理，主動(dòng)地探索圖形的有關(guān)性質(zhì)和常用的判別方法，并在 自主探索的過程中，學(xué)會(huì)思考，學(xué)會(huì)有條理地表達(dá)。此外，教材在引導(dǎo)學(xué)生說理 方面安排了兩個(gè)層次：一是通過操作和合情推理探索，發(fā)現(xiàn)結(jié)論；二是用推理的 形式說明理由，發(fā)展學(xué)生有條理地思考和表達(dá)的能力。這一安排，使學(xué)生能在直 觀的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)說理，體現(xiàn)直觀與簡(jiǎn)單推理的融合。 2 2 3 高等數(shù)學(xué)觀點(diǎn)下圖形變換的定義、性質(zhì)概述 標(biāo)準(zhǔn)把圖形的變換引入初中幾何的教學(xué)內(nèi)容中，并強(qiáng)調(diào)了圖形變換的地 位，突出了變換在圖形認(rèn)識(shí)過程中的作用。然而標(biāo)準(zhǔn)以及教材都沒有給出變 換的定義。在近代數(shù)學(xué)里，用“映射”來定義變換：從一個(gè)集合a 到其自身的映射f ， 即f a a ，叫做變換。幾何變換就是圖形到圖形的一種映射。 ( 一) 軸對(duì)稱變換 所謂軸對(duì)稱變換，通俗地說是把一個(gè)圖形變成它的軸對(duì)稱圖形的變換，就是 軸對(duì)稱變換。軸對(duì)稱變換的嚴(yán)格定義如下：如果存在一條定直線l ，對(duì)于圖形f 上每一點(diǎn)p ，作出關(guān)于1 的對(duì)稱點(diǎn)p 1 ( 即線段p p i 被l 所垂直平分) ，所有這樣的對(duì) 稱點(diǎn)p i 形成的圖形為f l ，則由f 變成f l 的變換，叫做軸對(duì)稱變換，l 叫做對(duì)稱軸。 其中的f 、1 、f l 三者中任意兩個(gè)確定，那么第三個(gè)就唯一確定。 軸對(duì)稱變換的性質(zhì)可以總結(jié)歸納為： 。劉盛利中學(xué)數(shù)學(xué)對(duì)稱思想研究【d 】?jī)?nèi)蒙古師范大學(xué)，2 0 0 7 ：4 0 。r i c h a r dr s k e m p 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理學(xué)【m 】，陳澤民譯北京：九章出版社，2 0 0 2 7 第2 章文獻(xiàn)綜述 初中數(shù)學(xué)中圖形變換的相關(guān)教學(xué)研究 性質(zhì)1軸對(duì)稱變換把線段變成與它相等的線段。 性質(zhì)2 軸對(duì)稱變換把任意圖形變換成與它鏡像相同的圖形。即我們能使兩圖 形于它們的對(duì)稱軸對(duì)折重合。 性質(zhì)3 具有同一對(duì)稱軸的兩個(gè)軸對(duì)稱變換的乘積是恒等變換。即相當(dāng)于在對(duì) 稱軸不變的情況下，把一個(gè)圖形連續(xù)作兩次軸對(duì)稱變換，第一次是由原圖到它的 象，第一次是由象到原圖。 性質(zhì)4 軸對(duì)稱變換有無窮多個(gè)二重點(diǎn)，他們都是對(duì)稱軸上的點(diǎn)。即只要兩個(gè) 圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)重合，則這兩點(diǎn)一定在對(duì)稱軸上。如作線段關(guān)于它自身所在的直線 軸對(duì)稱變換，仍是它自身，二重點(diǎn)都在對(duì)稱軸上。 性質(zhì)5 軸對(duì)稱變換有無窮多條二重線，它們是對(duì)稱軸或垂直于對(duì)稱軸的直 線。 ( 二) 平移變換 所謂平移變換，描述性定義是使圖形f 上的點(diǎn)沿同一方向，平移同一距離得 到圖形f l 。而平移變換的嚴(yán)格定義是在向量基礎(chǔ)之上給出的：如果平面上圖形f 經(jīng)過變換得到圖形f l ，f 中每一點(diǎn)p 在f l 中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為p 1 ，向量?jī)煽偟扔谝阎?的向量云，那么這個(gè)變換叫做平面上的平行移動(dòng)，簡(jiǎn)稱為平移。三的長(zhǎng)度h 叫做平 移距離，口的方向叫做平移方向。更通俗地講，平移變換就是圖形上的所有點(diǎn)都沿 同一個(gè)方向，運(yùn)動(dòng)相等的距離。 平移變換的性質(zhì)可以總結(jié)歸納為： 性質(zhì)l 平移的距離為零時(shí)是恒等變換。即原圖形沒變。 性質(zhì)2 兩個(gè)平移的乘積是一個(gè)平移。我們還可將該性質(zhì)推廣到1 1 個(gè)平移的乘 積仍是一個(gè)平移。 性質(zhì)3 平移的逆變換是一個(gè)平移。即將圖形f 沿a 方向平移的f l 是平移變 換，那么將圖形f l 再沿一口方向平移的圖形f 2 應(yīng)該還是一個(gè)平移。 性質(zhì)4 非恒等變換的平移沒有二重點(diǎn)，但有無窮多條二重線( 這些直線上的 點(diǎn)都變了，但直線的位置沒有變) ，它們都平行于平移方向。 ( 三) 旋轉(zhuǎn)變換 所謂旋轉(zhuǎn)變換，嚴(yán)格來講是：將平面圖形f 上各點(diǎn)，繞一定點(diǎn)o 旋轉(zhuǎn)同一個(gè) 劉盛利中學(xué)數(shù)學(xué)對(duì)稱思想研究【d 】?jī)?nèi)蒙古師范大學(xué)，2 0 0 7 ：4 0 圓裴娣娜教育研究方法導(dǎo)論【l v q 合肥：安徽教育山版社，2 0 0 5 7 1 - - 8 8 劉盛利中學(xué)數(shù)學(xué)對(duì)稱思想研究【d 1 內(nèi)蒙古師范大學(xué)，2 0 0 7 ：4 2 固鄭毓信數(shù)學(xué)教育：動(dòng)態(tài)與省思【m 】上海：上海教育出社，2 0 0 5 6 4 6 9 8 初中數(shù)學(xué)中圖形變換的相關(guān)教學(xué)研究第2 章文獻(xiàn)綜述 角度秒得圖形f l ，這種變換叫做旋轉(zhuǎn)變換，簡(jiǎn)稱為旋轉(zhuǎn)。記作r ( o ，秒) ( f ) = f i 。 定點(diǎn)o 叫做旋轉(zhuǎn)中心，角度日叫做旋轉(zhuǎn)角。即一個(gè)旋轉(zhuǎn)中心和一個(gè)旋轉(zhuǎn)角決定一 個(gè)旋轉(zhuǎn)。當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為1 8 0 0 時(shí)，叫做中心對(duì)稱變換。當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為o o 或3 6 0 0 時(shí)，其實(shí) 圖形并未改變，我們稱之為恒等旋轉(zhuǎn)變換( 幺變換) 。 旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可以總結(jié)歸納為： 性質(zhì)1旋轉(zhuǎn)是把任意圖形變成與它真正一樣的圖形。 性質(zhì)2 具有同一旋轉(zhuǎn)中心的兩個(gè)旋轉(zhuǎn)的乘積是一個(gè)旋轉(zhuǎn)，即r ( o ，島) r ( o ， 一島) = r ( o ，q + 幺) 。其實(shí)就是將旋轉(zhuǎn)角為島+ 島的旋轉(zhuǎn)變換分兩次來完成，中間 停頓一下繼續(xù)同向旋轉(zhuǎn)即可。 性質(zhì)3 旋轉(zhuǎn)的逆變換是旋轉(zhuǎn)變換，且r 1 ( o ，口) = r ( 0 ，一目) ，即將原圖按順 時(shí)針方向繞點(diǎn)o 旋轉(zhuǎn)變換口角度是旋轉(zhuǎn)變換，那么逆時(shí)針繞點(diǎn)o 旋轉(zhuǎn)還是旋轉(zhuǎn)變 換。因?yàn)樾D(zhuǎn)的方向相反，故旋轉(zhuǎn)角互為相反數(shù)。 性質(zhì)4當(dāng)旋轉(zhuǎn)角等于3 6 0 0 時(shí)，旋轉(zhuǎn)變換只有一個(gè)二重點(diǎn)，是旋轉(zhuǎn)中心；中心 對(duì)稱變換有無窮多條二重線，它們都通過對(duì)稱中心，非恒等變換和中心對(duì)稱的旋 轉(zhuǎn)沒有二重線。 性質(zhì)5 將一個(gè)圖形作兩次不同的中心對(duì)稱變換，所得的圖形與原圖形的對(duì)應(yīng) 點(diǎn)連線平行且相等。 2 2 4 與圖形變換相對(duì)應(yīng)的推理方式概述 中學(xué)幾何教材引入了“圖形的變換”，同時(shí)也引入了合情推理方式。標(biāo)準(zhǔn)指 出，在探索圖形性質(zhì)、與他人合作交流等活動(dòng)過程中，發(fā)展合情推理，配合一定 的數(shù)學(xué)說理，讓學(xué)生通過直觀感知、操作確認(rèn)、歸納類比等方式認(rèn)識(shí)幾何圖形的 特征、性質(zhì)及識(shí)別?！翱臻g與圖形”對(duì)推理的要求發(fā)生了變化，從純粹的演繹推理轉(zhuǎn) 向“先合情推理，后演繹推理”的模式，強(qiáng)調(diào)從具體情景或前提出發(fā)進(jìn)行合情推理； 從單純強(qiáng)調(diào)幾何的推理價(jià)值轉(zhuǎn)向更全面地體現(xiàn)幾何的教育價(jià)值，特別是幾何在發(fā) 展學(xué)生空間觀念，以及觀察、操作、探索、合情推理等方面“過程性”的教育價(jià)值。 ( 一) 合情推理的含義 “合情推理”一詞最早始見于g 波利亞的數(shù)學(xué)與猜想。他指出：“一個(gè)認(rèn)真 想把數(shù)學(xué)作為他終身事業(yè)的學(xué)生必須學(xué)習(xí)論證推理，這是他的專業(yè)也是他那門學(xué) 科的特殊標(biāo)志。然而為了取得真正的成就他還必須學(xué)習(xí)合情推理，這是他的創(chuàng)造 。劉盛利中學(xué)數(shù)學(xué)對(duì)稱思想研究f d 】?jī)?nèi)蒙古師范大學(xué)，2 0 0 7 ：4 4 o 鮑建生、周超數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理基礎(chǔ)與過程【m 】上海：上海教育出社，2 0 0 9 ：2 7 9 - 2 8 8 9 第2 章文獻(xiàn)綜述初中數(shù)學(xué)中圖形變換的相關(guān)教學(xué)研究 性工作賴以進(jìn)行的那種推理。”g 波利亞在致力于改變美國數(shù)學(xué)落后狀態(tài)的工作 中，大力倡導(dǎo)合情推理的方法，并獲得成功。他通過對(duì)數(shù)學(xué)創(chuàng)造和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)等具 體思維過程的再現(xiàn)、分析，提出了“合情推理”的思維模式，開辟了一條與傳統(tǒng)的思 辨方式截然不同的新途徑。g 波利亞是在與傳統(tǒng)觀念普遍認(rèn)可的演繹推理相對(duì)立 的意義上引入合情推理的，并力圖將數(shù)學(xué)推理的非演繹機(jī)制盡可能地涵蓋其中。 弓愛芳，夏靖在“新課程理念下對(duì)合情推理的再認(rèn)識(shí)”一文中認(rèn)為：合情推理的 說法分為兩大類：一類從邏輯學(xué)的角度出發(fā)，認(rèn)為推理是根據(jù)已知判斷提出新的 判斷的思維形式，推理有兩種，論證推理與合情推理，前者回答如何證明定理的 問題，后者回答如何發(fā)現(xiàn)定理的問題，并且認(rèn)為，合情推理的主要形式是歸納推 理與類比推理。我們把它稱為狹義的合情推理。另一類從數(shù)學(xué)方法論角度出發(fā)， 不僅把合情推理看作是推理，而且看作是科學(xué)的發(fā)現(xiàn)方法。因而，連同歸納、類 比在內(nèi)，把觀察、實(shí)驗(yàn)、聯(lián)想、猜測(cè)、直觀等一系列科學(xué)發(fā)現(xiàn)的手段、方法都?xì)w 到了合情推理的范疇。我們把它稱作廣義的合情推理。 從數(shù)學(xué)教育的角度看，廣義的合情推理更具有意義。合情推理是一種推理過 程，即在認(rèn)知過程中，人們根據(jù)已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)與經(jīng)驗(yàn)、能力水平，在某種情境 和過程中，運(yùn)用觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類比、聯(lián)想、直覺等非演繹的( 或非完全演 繹的) 思維形式，推出關(guān)于客體的合乎情理的推理過程，產(chǎn)生的認(rèn)識(shí)可以是不確 定的。 ( 二) 合情推理與演繹推理 正如波利亞所說：“數(shù)學(xué)家的創(chuàng)造性工作成果是論證推理，即證明；但是這個(gè) 證明是通過合情推理，通過猜想而發(fā)現(xiàn)的。只要數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程稍能反映出數(shù)學(xué) 發(fā)明過程的話，那么就應(yīng)當(dāng)讓猜測(cè)、合情推理占有適當(dāng)?shù)奈恢??！币虼耍锨橥?理與演繹推理是相輔相成的關(guān)系，兩者既對(duì)立，又統(tǒng)一，是辯證的統(tǒng)一體。 從邏輯的角度看，演繹推理和合情推理是不同的思維形式；從思維的角度看， 二者在思維過程中是聯(lián)系密切、密不可分的： ( 1 ) 演繹推理離不開合情推理。作為演繹推理前提的已知判斷，歸根結(jié)底是 人們通過實(shí)踐獲得的，而實(shí)踐直接提供的往往是非常具體的個(gè)別的知識(shí)，這些知 ?！久馈繂讨尾ɡ麊?shù)學(xué)與猜想( 第一卷) 【l 咽李心燦等譯北京：科學(xué)出版社，2 0 0 1 ：序言第v 頁 國趙莉合情推理的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究【d 】沈陽師范大學(xué)，2 0 0 7 ：3 劉若菡高中數(shù)學(xué)合情推理的教學(xué)研究【d 】東北師范大學(xué)，2 0 0 9 ：5 固楊松基于合情推理思想的教學(xué)研究以高中解幾何為例【d 】上海師范大學(xué)，2 0 1 0 ：8 楊樹森普通邏輯學(xué)【m 】合肥：安徽大學(xué)出版杜，2 0 0 1 ：2 2 7 1 0 初中數(shù)學(xué)中圖形變換的相關(guān)教學(xué)研究第2 章文獻(xiàn)綜述 識(shí)要上升為普遍的知識(shí)，就離不開合情推理。 ( 2 ) 合情推理也離不開演繹推理。這表現(xiàn)在兩個(gè)方面：一是人們通過實(shí)踐獲 得經(jīng)驗(yàn)材料( 這是合情推理的主要前提) 的過程，需要有理論的指導(dǎo)，而理論思維的 過程主要是運(yùn)用演繹推理；二是合情推理得到的或然性結(jié)論，需要運(yùn)用演繹推理 加以理論證明，否則不能成為人們普遍接受的科學(xué)理論。 ( 3 ) 人們的認(rèn)識(shí)過程是一個(gè)實(shí)踐一認(rèn)識(shí)一再實(shí)踐一再認(rèn)識(shí)的循環(huán)往復(fù)以至無 窮的過程，在這一認(rèn)識(shí)鏈條中，從實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)上升到普遍理論的過程主要運(yùn)用合情 推理，而用己有的科學(xué)理論指導(dǎo)實(shí)踐的過程，則主要運(yùn)用演繹推理，缺少其中任 何一環(huán)，認(rèn)識(shí)的鏈條就會(huì)中斷。 ( 4 ) 在思維過程中，演繹推理和合情推理總是交錯(cuò)進(jìn)行，你中有我，我中有 你。從思維的角度來看，合情推理與演繹推理并不像邏輯上劃分的那么清，思維 的過程就是從合情推理開始、由演繹推理論證，再由合情推理推廣，如此循環(huán)， 很難區(qū)分是演繹推理還是合情推理。 2 3 初中數(shù)學(xué)“圖形的變換”教學(xué)研究的文獻(xiàn)綜述 在新課程背景下，“圖形的變換”作為一塊全新的內(nèi)容進(jìn)入初中幾何教材，并占 有重要的地位，這對(duì)于每一位中學(xué)數(shù)學(xué)教師來說，都是一種對(duì)教學(xué)理念與教學(xué)方 法的挑戰(zhàn)。因?yàn)椋P者作為一名一線的數(shù)學(xué)教師，在多年的教學(xué)實(shí)踐中非常重視 這部分內(nèi)容的教學(xué)嘗試與探索，同時(shí)也查閱了大量有關(guān)圖形變換的研究資料。目 前，在對(duì)“圖形的變換”的教學(xué)研究，主要集中在以下幾個(gè)方面： 、2 3 1 對(duì)“圖形的變換”進(jìn)入中學(xué)教材的必要性與可行性的研究 在新課改初期，對(duì)于初中幾何引入“圖形的變換內(nèi)容，特別是與之相對(duì)應(yīng)的合 情推理方式，很多教學(xué)界人士、一線數(shù)學(xué)教師都產(chǎn)生了疑慮、爭(zhēng)論甚至是反對(duì)。 因此產(chǎn)生了很多研究“圖形的變換”進(jìn)入中學(xué)教材的必要性與可行性的論文。 例如：論文圖形運(yùn)動(dòng)問題的分析一文中，具體指出了“圖形的變換”在中 學(xué)數(shù)學(xué)中的必要性和可行性：( 1 ) 增加“圖形的變換”是為了適應(yīng)現(xiàn)代化科技發(fā)展的 需要；( 2 ) 實(shí)踐證明中學(xué)生學(xué)習(xí)“圖形的變換”是可行的；( 3 ) “圖形的變換”有利于 新教材的構(gòu)建；( 4 ) “圖形的變換”能促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的優(yōu)化組合。 又如初中數(shù)學(xué)課程與信息技術(shù)的整合 一文中也提及“圖形的變換”在中學(xué) 。孔凡哲、蘆淑坤平移、旋轉(zhuǎn)、現(xiàn)象、工具和思想方法明中學(xué)生數(shù)理化，2 0 0 5 ( 1 0 ) ：4 5 ?！爸袑W(xué)數(shù)學(xué)課程教材與信息技術(shù)整合的研究”課題組中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材與信息技術(shù)整合的思考川課程教 材教法，2 0 0 2 ( 1 0 ) ：5 1 1 1 第2 章文獻(xiàn)綜述初中數(shù)學(xué)中圖形變換的相關(guān)教學(xué)研究 數(shù)學(xué)教材中的必要性和可行性：引進(jìn)“圖形的變換”，革新了初中部分傳統(tǒng)內(nèi)容的處 理方法，能夠降低教學(xué)難度；可以更新學(xué)生對(duì)空間形式的思維方式，為學(xué)生建立 一種符合現(xiàn)代教學(xué)發(fā)展要求的思維模式；進(jìn)一步強(qiáng)化了中學(xué)數(shù)學(xué)對(duì)應(yīng)用數(shù)學(xué)的基 礎(chǔ)作用。 2 3 2 對(duì)“圖形的變換”應(yīng)用價(jià)值的研究 在各類期刊雜志上還有很多文章指出：“圖形的變換”是解決實(shí)際問題的工具，