（概率論與數(shù)理統(tǒng)計專業(yè)論文）帶破產(chǎn)回收的最優(yōu)風(fēng)險控制和分紅策略.pdf

ab s t r a c t i n t h is p a p e r w e c o n s i d e r t h e p r o b l e m o f h o w t o m a xi m i z e t h e e x p e c t a t i o n o f t h e t o t a l v a l u e o f d i s c o u n t e d d i v i d e n d s a n d t h e t e r m i n a l v a l u e 尸w h i c h r e p r e s e n t s t h e c o m p a n y li q u i d a t i o n v a l u e a t t h e t i m e o f b a n k r u p t c y f o r a n i n s u r a n c e c o m p a n y w h o s e s u r p l u s i s g o v e r n e d 訪a b r o w n i a n m o t i o n w i t h c o n s t a n t d r i ft a n d d i ff u s i o n c o e f fi c i e n t . t h e c o m p a n y c a n c h a n g e i t s r is k e x p o s u r e s i m u l t a n e o u s l y場 m e a n s o f p r o p o r t i o n a l r e i n s u r a n ce t h a t c a n b e a d j u s t e d a t a n y m o m e n t . t h e o b j e c t i v e i s t o fi n d t h e p o li c y c o m p o s e d o f r e i n s u r a n c e a n d d iv i d e n d r a t e s w h i c h ma x i m i z e t h e v a l u e me n t i o n e d a b o v e . ke y wo r d s : p r o p o r t i o n a l r e i n s u r a n ce, t e r m i n a l v a l u e , t h e d i f f u s i o n m o d e l , v a l u e f u n c t i o n , h j b e q u a t i o n , t h e v e r i fi c a t i o n t h e o r e m ams 2 0 0 0 s u b j e c t c l a s s i fi c a t i o n s : 9 1 b 3 0 南開大學(xué)學(xué)位論文版權(quán)使用授權(quán)書 本人完全了 解南開大學(xué)關(guān)于收集、保存、使用學(xué)位論文的規(guī)定， 同意如下各項內(nèi)容:按照學(xué)校要求提交學(xué)位論文的印刷本和電子版 本:學(xué)校有權(quán)保存學(xué)位論文的印刷本和電子版，并采用影印、縮印、 掃描、 數(shù)字化或其它手段保存論文; 學(xué)校有權(quán)提供目 錄檢索以 及提供 本學(xué)位論文全文或者部分的閱覽服務(wù); 學(xué)校有權(quán)按有關(guān)規(guī)定向國家有 關(guān)部門或者機構(gòu)送交論文的復(fù)印件和電子版; 在不以 贏利為目的的前 提下，學(xué)?？梢?適當(dāng)復(fù)制論文的部分或全部內(nèi)容用于學(xué)術(shù)活動。 學(xué) 位 論 文 作 者 簽 名 : 汪 孟 海 x 0 0 7 年6月 所 日 經(jīng)指導(dǎo)教師同意，本學(xué)位論文屬于保密，在年解密后適用 本授權(quán)書。 指導(dǎo)教師簽名:學(xué)位論文作者簽名: 解密時間:年月日 各密級的最長保密年限及書寫格式規(guī)定如下: 內(nèi)部 5 年 ( 最長5 年， 可少于5 年) 秘密*1 0 年 ( 最長1 0 年，可少于 1 0 年) 機密*2 0 年 ( 最長2 0 年，可少于2 0 年) _、-一i 南開大學(xué)學(xué)位論文原創(chuàng)性聲明 本人鄭重聲明: 所呈交的學(xué)位論文， 是本人在導(dǎo)師指導(dǎo)下， 進行 研究工作所取得的成果。 除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi) 容外， 本學(xué)位論文 的研究成果不包含任何他人創(chuàng)作的、 已公開發(fā)表或者沒有公開發(fā)表的 作品的內(nèi)容。對本論文所涉及的研究工作做出貢獻的其他個人和集 體， 均已 在文中以明 確方式標(biāo)明。 本學(xué)位論文原創(chuàng)性聲明的法律責(zé)任 由本人承擔(dān)。 學(xué) 位 論 文 作 者 簽 名 : 王 孟 像 2 0 閃 年 鄉(xiāng)月二 7 日 chapter 1 i n t r o d u c t i o n r e c e n t l y , d if f u s i o n m o d e ls f o r i n s u r a n c e c o m p a n i e s t h a t c o n t r o l t h e i r r i s k e x p o- s u r e a n d d i v i d e n d s d i s t r i b u t i o n h a v e a t t r a c t e d g r e a t i n t e r e s t . t h e o p t i m a l d i v i- d e n d p r o b l e m c a n b e t r a c e d b a c k t o d e f i n e t t i ( 1 9 5 7 ) , w h o p r o p o s e s a p r o b l e m o f m a x im i z i n g t h e e x p e c t a t i o n o f t h e d i s c o u n t e d d i v i d e n d s i n d is c r e t e t i m e s e t - t i n g s . b o r c h ( 1 9 7 4 , 1 9 9 0 ) d e v e l o p s d e f i n e t t i s i d e a a n d m a k e s i t a c c e s s i b l e t o e c o n o m i s t s . b u h l m a n n ( 1 9 7 0 ) a n d g e r b e r ( 1 9 7 9 ) d i s c u s s e d t h e o p t i m a l d i v i d e n d s - p a y m e n t s t r a t e g i e s o f t h e c l a s s i c a l r i s k m o d e l i n c o n t i n u o u s t i m e s e t t i n g s j e a n b l a n c- p i c q u e a n d s h i r y a e v ( 1 9 9 5 ) a n d a s m u s s e n a n d t a k s a r ( 1 9 9 7 ) c o n s i d e r t h e o p t i m a l d i v i d e n d p r o b l e m w it h a b o u n d e d d i v i d e n d r a t e . h o j g a a r d a n d t a l e s a r ( 1 9 9 9 ) s t u d y t h e p r o p o r t i o n a l r e i n s u r a n c e p o li c i e s a n d d i v i d e n d s p a y - o u t f o r a d i ff u s i o n m o d e l . t h e d i f f u s i o n mo d e l w i t h e x c e s s - o f - l o s s r e i n s u r a n c e a n d d i v - i d e n d s p a y - o u t i s c o n s i d e r e d 勿 a s m u s s e n , h 灼 g a a r d a n d t a k s a r ( 2 0 0 0 ) . t a k s a r a n d h u n d e rup ( 2 0 0 6 ) t a k e t h e i n fl u e n c e o f b a n kr u p t c y v a lu e i n t o a c c o u n t w h e n i n v e s t i g a t i n g d i f f u s i o n m o d e l s w it h p r o p o r t i o n a l r e i n s u r a n c e . t h e y i n c o r p o r a t e t h e m o d e l b y a s s i g n i n g a v a l u e 尸t o t h e b a n k r u p t c y o f t h e c o m p a n y , a n d m a k e a d e t a i l e d s t u d y o f h o w t o m a x im i z e t h e t o t a l d i s c o u n t e d v a l u e o f d i v i d e n d s a n d t h e l i q u i d a t i o n v a l u e p o f t h e c o m p a n y . wh e n t h e v a lu e o f 尸i s n e g a t i v e , t h e c o m p a n y i s f in e d f o r g o i n g i n t o b a n k r u p t c y a n d w h e n p i s p o s i t i v e , w e i n t e r p r e t i t 二t h e v a l u e t h a t h a s a c c rue d fr o m t h e s al e o f n o n - l i q u i d a s s e t s . i n s p i r e d 衍t a k s a r a n d h u n d e ru p ( 2 0 0 6 ) , i n t h i s p a p e r , w e i n t e n d t o m a x im i z e t h e s u m o f u l t i m a d i s c o u n t e d v a l u e o f d i v i d e n d s a n d t h e b a n k r u p t c y r e t u r n尸i n t h e fr a m e w o r k o f d i ff u s i o n a p p r o x i m a t i o n o f t h e c l a s s i c r i s k m o d e l w i t h p r o p o r t i o n al r e i n s u r a n c e . we i n t r o d u c e t h e mo d e l i n s e c t i o n 2 . t h e p o li c y u s e d t o c o n t r o l t h e p r o c e s s is t h e p r o p o r t i o n o f r e i n s u r a n c e a t a n d t h e d i v i d e n d r a t e h . i n s e c t i o n 3 w e gi v e t h e c o r r e s p o n d i n g h j b e q u a t i o n a n d c o n s t ruc t a s o l u t i o n w h i c h i s t h e o p t i m a l v a l u e f u n c t i o n t o此 玩s e c t i o n 4 t h e v e r i fi c a t i o n t h e o r e m s h o w s t h a t t h e o p t i m al s t r a t e g y i s r e a s o n a b l e . 玩t h e l a s t p a r t o f t h is p a p e r , w e c a l c u l a t e s o m e n u m e r i c a l e x a m p l e s a n d d r a w s o m e p l o t s t o e l a b o r a t e t h e o p t i m a l r e t u r n f u n c t i o n i n d i f f e r e n t c o n d i t i o n s chapter 2 th e m o de l t h e r i s k p r o c e s s o r t h e s u r p l u s p r o c e s s o f a n i n s u r a n c e c o m p a n y w it h o u t r e i n s u r - a n c e a n d d i v i d e n d p a y m e n t s c a n b e m o d e l e d勿 t h e c l a s s i c a l c r a m e r - l u n d b e r g mo d 月 從 r (t ) = x + p t 一 ex : , ( 2 . 1 ) 浦 = 1 w h e r e x i s t h e i n i t i a l c a p i t a l o f a n c o m p any , p0 i s t h e p r e m i u m r a t e , f n ( t ) i s a p o i s s o n p r o c e s s w i t h i n t e n s i t y ,0 o a n d x ; , i ，1 , 2 , ， i n d e p e n d e n t o f f n( t ) , a x e i 1 d r a n d o m v a r i a b l e s w i t h c o m m o n c o n t i n u o u s d i s t r i b u t i o n f h a v i n g f in i t e fi r s t a n d s e c o n d m o m e n t s m , 護r e s p e c t i v e l y . w e s u p p o s e t h a t t h e p r e mi u m r a t e p i s c a l c u l a t e d v i a t h e e x p e c t e d v a l u e p r i n c i p l e , i .e . p =( 1 +1 ! ) q - , w h e r e 7 l 0 i s t h e r e l a t i v e s a f e t y l o a d i n g . a s s u m e t h e i n s u r e r a r r a n g e s a p r o p o rt i o n a l r e i n s u r a n c e s t r a t e g y , t h a t i s t h e i n s u r - a n c e c o m p a n y c o v e r s t h e fr a c t i o n a o f e a c h c l a i m , a n d t h e r e i n s u r a n c e c o m p a n y c o v e r s t h e r e s t . t h u s t h e c o r r e s p o n d i n g p r o c e s s b e c o m e s 從 r (t ) = 二 十 a p t 一 。 藝x ; . ( 2 .2 ) ， 二 二 1 t h i s p r o c e s s b e a p p r o xi m a t e d妙 a b r o w n i a n m o t i o n w i t h t h e d r i f t a p a n d d i f f u s i o n a v w h e r e f t =p 一刀 m a n d尹=刀 尹 wi t h o u t l o s s o f g e n e r a l i t y , w e a s s u m e ,o =1 . t h e r e f o r e ， t h e c o n t r o ll e d r e s e r v e p r o c e s s r ( t ) w i t h i n i t i a l v a l u e x i s g i v e n勿 d r ( t ) =1 t a( t ) d t 十v a( t ) d w t ,( 2 . 3 ) w h e r e 二 ( t ) i s s t a n d a r d b r o w n i a n m o t i o n . a n a d m is s i b le c o n t r o l p o li c y 二 is a t w o d im e n s i o n a l s t o c h a s t i c p r o c e s s ( a( t ) , 1, ( t ) ) w h e r e 0 a , ( t ) 1 c o r r e s p o n d s t o t h e r i s k e x p o s u r e a n d 0 4 m i s t h e 2 . t h e mo d e l d i v i d e n d r a t e a t t i m e t . d e n o t e 場 ii t h e s e t o f a ll a d m i s s i b l e p o li c i e s . t h u s , u n d e r t h e p o li c y a e ii , t h e d y n a m i c s o f t h e c o n t r o ll e d p r o ce s s r a r e f o r m u l a t e d b y d r - ( t ) = r rt ( t ) =x ( p a , ( t ) 一 l ( t ) ) d t + v a , ( t ) d w t ( 2 .4 ) w h e r e x c o r r e s p o n d s t o t h e s t r i c t l y p o s i t iv e i n i t i a l c a p i t a l o f t h e r i s k p r o c e s s . t h e b a n k r u p t c y o r t h e r u i n t i m e is d e f i n e d a s t h e f i r s t h i t t i n g t i m e o f 0 衍 t h e 山k p r o c e s s =i n f t : r r ( t ) 0 a n d 衍t , e t r a l v ,r , . , w h e n pi j,i e o ,m 2 a a 2 f ( x ) + ( p a 一 l ) ax ) 一 f ( 0 ) =p 二 0( 3 .2 ) w h e r e a a n d l 二 t h e i n i t i a l v a l u e o f a ( t ) a n d l ( t ) r e s p e c t i v e l y , t h e n f ( 二 ) - 0 . l e t 。 ， =i n f u : f ( u ) =1 , b y c o n c a v i t y o f f ( x ) w e h a v e , d(x)一 0,， x ul. t h e r e f o r e f o r a n y x 0 . l e t a ( 勸b e t h e m a xi m i z e r o f t h e l e f t h a n d s i d e o f ( 3 .5 ) a n d 9 b e a s u b s e t o f ( - o o , u l ) s u c h t h a t 0 a ( x ) - 0 , t h e s o l u t i o n 勿s c r a t c h i n g , i t i s t o t h i sc a n b e 五( 勸 =( 3 .7 ) w h e r e - y =券 a n d + “ “ ( c l x + 尸 1 ) 1p ) c o n s t a n t . th e刃 口 a 義 u u 理e r扭 g i v e nb y _ ， _ 、p了 _.1 1 , 叭 少= 二丁丁-，下 拼 十 一 廠 ，). q - t i一7 1 c l ( 3 . s ) w h e r e u o 二令 卜協(xié) 一 x ii p t一 -0 一 壹 聲. w h e n u o u 1 , 了 仕 ) s a t i s fi e s 委 a 2f (x ) + (; 一 、 )， ，(? ) 一 cf (二 ) + m 一 0 . ( 3 . 1 1 ) t h e s o l u t i o n o f ( 3 . 1 1 ) is mx )=m十 。 e d a x + c g e d a x( 3 . 1 2 ) w h e r e 心a n d d 4 a r e t h e p o s i t iv e a n d n e g a t i v e 幸 i n n o f t h e c h a r a c t e r i s t i c e q u a r q 2 8 2 +( w 一 川， 一c =0 . 1人-口山 s i n c e f (二 ) : 答 (1 一: + e - p - m， _ 一 十嘆 y- c答 )e- : m ax p ,答 ， a n d s o w e o b t a i n c 4 =0 . t h e r e f o r e w e c o n j e c t u r e t h e f o ll o w i n g s o l u t i o n : 認 飛 e r e c 1 , c2, c 3 , c s , u u , u i a r e an d (c , 二 十 尸 弄 ) ， ， 0 二 n 0 ; c2 滬， 十c 3 沙x ; u 0 x 、 u n k no wn c o n s t a n t s . ( 3 . 1 3 ) 口!亡，.1. 一一 、.邵. 公 了.飛 考j a (x ) 一 丁 (o(二 + -cl p )+ u “ x 、 ; 【l ;劣)u p . ( 3 . 1 4 ) t o o b t a i n t w i c e c o n t i n u o u s d i ff e r e n t i a b i l i t y , w e n e e d t h e f u n c t i o n a n d i t s fi r s t a n d s e c o n d d e r i v a t i v e s t o b e c o n t i n u o u s a t u o a n d u l . t h u s t h e f o ll o w i n g m u s t b e s a t i s fi e d . f i r s t 勿 t h e s mo o t h n e s s a t v v w e g e t _01 2 ( 1 一， 、 、 _j _ _ ._二 . _ “ 仁一廠二 ) 一 c 2 e 0 一 + 白 e 一 ci 7 ( 01 2 (1 - y ) )， 一 ， - 井 c 2 d i 滬助+c 3 d 2 e d 2 - . ( 3 . 1 5 ) ( 3 . 1 6 ) 3 . h j b e q u a t i o n a n d i t s s o l u t i o n b y s i m i l a r a r g u m e n t s a s a b o v e w e o n l y n e e d t o e q u a l i z e fr o m l e f t a n d r i g h t t h e f i r s t a n d t h e s e c o n d d e r i v a t i v e s a t u i . i . e . 為5)的 .11.上，工 侈(s(s _mc + cbedsui c 2 d l e d i u l + c 3 d 2 e d 2 u l c5 山e d 0 u 3 勿 e 丙 u 1 + 勻 e d 2 u i 1 , 1 . f r o m ( 3 . 1 5 ) , ( 3 . 1 6 ) , 。h a v e c 2 e d i u o + c 3 e d 2 u o= v 2 ( 1 一y ) 甲戶 ( c 2 d l e d l u o + c 3 d 2 e dz 0 0 ) . c 3 e ( d 2 - d l ) v o= 勿 ( 3 .2 0 ) f r o m ( 3 . 1 7 ) , ( 3 . 1 8 ) , ( 3 .1 9 ) , w e h a v e ( m- c 1、 ， 。 j _ . _。 二 _ 、 + t ) (c2 d , e - - + c ue -) b y s i m p l e c a l c u l a t i n g , w e r e w r i t e a b o v e c2 滬“+ c 3 沙“ . a s f o ll o w s , 魚 e (d 2 - d l ) a l= 偽 ( 3 . 2 1 ) t o s h o w t h a t f ( z ) g i v e n 衍( 3 . 1 3 ) s o lv e s t h e p r o b l e m , ，f ir s t n e e d t o e n s u r e t h a t u o 5。 : . ( 3 . 2 0 ) / ( 3 . 2 1 ) g iv e s , ( d 2 - d i ) ( u o - u 2 )二 d i n 2 ( 1 - y ) 、7p一 1 ) ( 1 一 竿一 dd. )d a ( 1 一 d 2 a 2 1 - y ) ( d , m7 1 + d ld 一 1 ) ( 3 .2 2 ) s i n c e d l a 2 ( 1 一 ， ) 守拼 一1 0 , d 竺 c d , 十 ， 尸 內(nèi) 一1 一 m 供骨一 n e x t , w e w i ll fi n d o u t t h e u n k n o w n c o n s t a n t s c l , c 2 , c 3 , c s , u a , u 1 . l e t b = t 七e n 1_ a u o 一u 1 =氣 一 一 ， - i n 清， ， 一 d 2 一 d 1 一 b c3 產(chǎn)u u =a c2 滬,a , c 3 沙u 1 =b c 2 產(chǎn)u 1 b y ( 3 . 1 8 ) , w e o b t a i n ( 3 .2 3 ) ( 3 .2 4 ) c z ( b d 2 + d l ) e d , 0 1 = 1 .( 3 .2 5 ) n o t e d t h a t u o =竺 三 廷工 一 護t , w e h a v e p 7 c l= 0 2 1 - -r_， 、 分 u 尹. ( 3 .2 6 ) p u t t i n g i t i n t o 俘1 5 ) , w e g e t p 毒 = ( a 十 1 ) r2 e d l u 0 . 一 uo) ( v 2 ( 1 - 7 ) ) 拼 b y ( 3 . 2 3 ) , w e h a v e p ( 0 2 ( 1 - , y ) 拼 砂( 1 - y ) 必 ) ，=( a + 1 ) r2 e d , (u i + - -a l in g ) 畔 一 u1一 d 2 -d l a+1 =b d 2 + d 1 e 澎 壇玩音 ( 3 . 2 7 ) w h i c h g i v e s u1= 01 2 ( 1 一 ， ) 拼 ( 3 .2 8 ) a一b hi 1 d 2 一d 1 一 竺 萬 旦 二 衛(wèi)( 甲 a + 1 - e l m 著 1 一 z y 、 萬d 2 +d 1尸 8 忍 丑 j b e q u a t i o n a n d i t s s o l u t i o n b y ( 3 .2 3 ) a n d ( 3 . 2 8 ) , ， o b t a i n 0 2 ( 1 一 ， ) 0 2 ( 1 一 -y ) , a +1一 ， a y r , a 1 _ , 1 勺 = 一 、 不 扛 廠 ， 尸三 尸 七 ，一 、一n 1 拌戶刀“ 2寧 a , r ( 3 .2 9 ) ( 3 .2 9 ) i n t o ( 3 .2 6 ) , w e g e t p 斗 c l= g 2 1- ( a d2 + a , e 六“ a p ) - in ( 3 .3 0 ) i n s e r t i n g ( 3 . 2 8 ) i n t o ( 3 . 2 5 ) , ， h a v e 1， . 0 2 ( 1 一 ， )1 ， _ a 0 2 ( 1 一 ， ) ， a + 1 _ , 絕 . ; 1 c2 = , 尸 尸 , p f -a l l 一 7 _1 i nn 一 、 . 石丁 一 下 甲 r ， 、一di ) 刀叱 十 a ,拼( 勺 一 “ 1刀種oa t寧 a , r ( 3 .2 4 ) a n d ( 3 . 2 9 ) g i v e a， 0 2 ( 1 一 y ). d l ，a. ， 0 2 ( 1 一 的，a 十1一 了 - in 1 、 _ 1 勿=c3共- e x p 一 內(nèi) 一十 一過 丁i n 益+ 殼 一( 一e 婦王 一 刀 d ) 一 7d j , , e - i ，一b d 2 + d ,“一 a d 2 一d l 一b 一 “ b d 2 + d ; 一p ( 3 . 1 9 ) a n d ( 3 . 2 8 ) g i v e 1， , 0, 2 ( 1 一 y ) 1 ， _ a v 2 ( 1 一 y ) , a + 1_ -份 1. a 1 、 一 , c c = - e x p - d 4 ( 一一 二二 i n 7; ; 一 一( 石 矛十 升。 不不 一 b -g ) - 3 .3 3 ，一d 4、戶d 2 一d l 一b u b d 2 + d l 一尸 ， t h u s w e s u g g e s t t h e f o ll o w i n g s o l u t i o n ( c ， 二 + 尸 寺 ) ， ， c2 e d l x +c 3 e i _mc + c 5 c 4 x i 0xu o ; u q 2 句 ( 3 . 3 5 ) 缸p a n d u o w h e n- a7 1- - ca 1-y a+1 e ya u ( bd2+din 1-y a2 1-y ( a+1 -d in a1+ 4 bd2+d, e 恤 1 p ) 一 7 1 。 ) 一 7 0 . h e r e w e kn o w u 1 is t h e s o l u t i o n o f e q u a t i o n ( 3 .3 7 ) , a n d i t w i ll b e e a s i l y r n n fi r mf 4 i 血 n 1 i me r i c a l c alc u l a t i o n s . an d t b p n 勿 = 尸 be ( d i - d 2 ) u i +1 ( 3 . 3 8 ) 尸 刀 e 仙- d s ) u t c 3 亨 b e (d l - d . )u l 不 1 ( 3 . 3 9 ) 1 c a= 甲 己 呵. 1 山 ( c 2 e d + c 3 e d 2 x ; ( 3 .4 0 ) m 十 c s e d 0 x ; 0三x u1 . ( 3 .4 1 ) f、.、 一 、.口聲 劣 了.吸、 獷 i f b + 1 “ ， b y ( 3 . 4 1 ) if u o 0 a n d ， ( 3 .4 3 ) if u , u o , w e g e t t h e s o l u t i o n f 3 ( x ) m = +c 5 c e d 0 氣 f o r u l 你 1 1 ( 3 .4 9 ) s . hj ba n d i t s s o l u t i o n p l u g ( 3 .4 9 ) i n t o ( 3 .4 8 ) , w e h a v e 一 其a e # x 一 m a p e fi x 一 。 e fi x 一 。 一 。 .( 3 . 5 0 ) i t i s e a s y t o k n o w t h a t 了 c2 一 。 ， 1 n ; 3+ c 氣n=一 m p u t ， = 爺 ， w e h a v e q=一 1 +勻 mr l t h u s t h e s o l u t i o n t o ( 3 .4 8 ) h a s t h e f o r m f ( x ) 一 。 e - lj 三0 , u 1 0 ; 0 ( 4 . 1 ) 峋詢吸 己過魷 子1.1 一一 、.聲 劣 矛百、 廠j a n d 護一二護- 十+ 己2色2 ( 3 .6 2 ) , ( 3 .6 4 ) , 人 i r 了0 ; , u 1 0 . ( 4 . 2 ) l e t 的句 碑侈 1 ，。. ， ， ，、 戶 二 z v a 0 j . t x ) 十 t f r a 一