（計算數(shù)學(xué)專業(yè)論文）矩陣特征值與奇異值的估計.pdf

摘要 摘要 本文主要研究了矩陣特征值、奇異值的估計。對于階數(shù)較高的矩陣，要計算 出其特征值、奇異值的精確值是相當(dāng)困難的。因此，能由矩陣4 的行和與列和的 簡單關(guān)系式便可估計出一的特征值、奇異值所在位置的范圍( 即所謂特征值、奇 異值的估計) ，就顯得尤其重要。本文所做的主要工作及相應(yīng)的研究成果如下： 首先，結(jié)合c v e t k o c i c ，l ，k o s t i c ，v 和v a r g a 對矩陣特征值所屬區(qū)域的估計 形式和矩陣的分塊來討論特征值的估計。 其次，利用矩陣奇異值和特征值的關(guān)系，分別將對f yf a n 定理的改進(jìn)結(jié)果 1 _ 2 】 推廣到對矩陣奇異值的估計，得到矩陣奇異值估計的兩種形式。 關(guān)鍵詞：分塊矩陣，f yf a n 定理，非負(fù)矩陣，特征值，奇異值 a b s t r a c t a b s t r a c t t h i sp a p e ri n v e s t i g a t e st h ee s t i m a t i o n sf o rm a t r i xe i g e n v a l o e sa n ds i n g u l a rv a l u e s f o rm a t r i c e so fh i g ho r d e r s ，i ti sv e r yd i f f i c u l tt oo b t a i nt h e i re x a c te i g e n v a l u e so r s i n g u l a rv a l u e s ，s oi t i sp a r t i c u l a r l yi m p o r t a n tt ol o c a lt h ee i g e n v a l u e so rs i n g u l a r v a l u e sb yr o w s ，c o l u m n so rm i n o r so fm a t r i c e s t h em a i nw o r k sa n dr e s u l t so ft h i s p a p e ra r ea sf o l l o w s ： f i r s t ，n e we i g e n v a l u ei n c l u s i o ns e t sf o rp a r t i t i o n e dm a t r i c e si nt h ec o m p l e xp l a n e a r eo b t a i n e db yu n i t i n gt h er e s u l to f p a r t i t i o n e dm a t r i c e sa n dc v e t k o c i c ，l ，k o s t i c ，v ， a n dv a r g a s e c o n d ，b a s e do na ni m p r o v e m e n to nf yf a n st h e o r e mo fm a t r i xe i g e n v a l u e s 1 2 1 ， t w ot y p e so f n e we s t i m a t e sf o rm a t r i xs i n g u l a rv a l u e sa r e p r e s e n t e d k e y w o r d s ：p a r t i t i o n e dm a t r i x ，f yf a nt h e o r e m ，n o n n e g a t i v em a t r i x ，e i g e n v a l u e ， s i n g u l a rv a l u e i i 主要符號表 主要符號表 自然數(shù)集合 c ( r 1 復(fù)( 實) 數(shù)集合 t ( c ) ( 肘。俾) ) 以階復(fù)( 實) 矩陣集合 a ( )矩陣彳的共軛( 轉(zhuǎn)置) 矩陣 p ( 一)矩陣a 的譜半徑 a ( 铘矩陣a 的特征值 a 0矩陣一是非負(fù)矩陣 a 0矩陣彳是正矩陣 c r c a ) 矩陣一的奇異值 i v 獨創(chuàng)性聲明 本人聲明所呈交的學(xué)位論文是本人在導(dǎo)師指導(dǎo)下進(jìn)行的研究工 作及取得的研究成果。據(jù)我所知，除了文中特別加以標(biāo)注和致謝的地 方外，論文中不包含其他人已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的研究成果，也不包含 為獲得電子科技大學(xué)或其它教育機(jī)構(gòu)的學(xué)位或證書而使用過的材料。 與我一同工作的同志對本研究所做的任何貢獻(xiàn)均已在論文中作了明 確的說明并表示謝意。 簽名：蘊超盤日期：p 。7 年。三月7 日 關(guān)于論文使用授權(quán)的說明 本學(xué)位論文作者完全了解電子科技大學(xué)有關(guān)保留、使用學(xué)位論文 的規(guī)定，有權(quán)保留并向國家有關(guān)部門或機(jī)構(gòu)送交論文的復(fù)印件和磁 盤，允許論文被查閱和借閱。本人授權(quán)電子科技大學(xué)可以將學(xué)位論文 的全部或部分內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫進(jìn)行檢索，可以采用影印、縮印或 掃描等復(fù)制手段保存、匯編學(xué)位論文。 ( 保密的學(xué)位論文在解密后應(yīng)遵守此規(guī)定) 簽名：盈終導(dǎo)師簽名：笙壘星墮 1 、， 日期：。年o r 月2 ，曰 第一章引言 1 1 選題背景 1 1 1 矩陣的特征值 第一章引言 隨著計算數(shù)學(xué)的發(fā)展，矩陣特征值問題越來越被從事相關(guān)領(lǐng)域的人們所關(guān)注。 因為無論是在計算數(shù)學(xué)領(lǐng)域，還是在其它領(lǐng)域，比如自然科學(xué)研究( 如計算化學(xué)、 計算物理、控制論、信息論等領(lǐng)域) 和工程設(shè)計中的很多問題( 如電磁振蕩、橋梁 振蕩、機(jī)械振蕩等等) 都離不開特征值問題，因而有很重要的理論和實際應(yīng)用價值。 如何僅依賴于矩陣的元素對其特征值進(jìn)行估計一直是矩陣分析中非常重要和 困難的問題。在這方面，我們有著名的g e r s g o r i n 圓盤定理( 1 】以及與之相關(guān)的 o s 仃o w s 虹定型3 1 、b r a n e r 定型6 】、b r u a l d i 定理【刀等等可以對矩陣的特征值進(jìn)行估計。 后來有很多人基于上述理論得出了一些特征值的新的包含域。如廣義g e r s g o r i n 圓 盤定理、廣義b r a u e r 定理、廣義b r u a l d i 定理。以及結(jié)合o s t r o w s k i 等人提出的一 種向量范數(shù)引出的矩陣范數(shù)得到矩陣分塊形式的一種特征值估計。2 0 0 4 年 c v e t k o c i c ，l ，k o s t i e ，v 和v a r g a 給出了一新的特征值包含域。結(jié)合特殊矩陣的 性質(zhì)，如對正矩陣( 或非負(fù)不可約矩陣) 由著名的p e r r o n - f r o b e n i u s 定理得到對矩陣 特征值估計的f yf a n 定理。2 0 0 5 年李厚彪【1 3 】對f yf a n 定理進(jìn)行了改進(jìn)得到類似 于b r a n e r 定理和b r u a l d i 定理的結(jié)論。目前，矩陣特征值估計仍吸引了不少學(xué)者對 其進(jìn)行研究，也出現(xiàn)了一些新的思想方法，如利用矩陣的行列式和矩陣的跡，或 利用計算機(jī)算法來計算實現(xiàn)。 1 1 2 矩陣奇異值 矩陣奇異值的估計是數(shù)值代數(shù)和矩陣分析中的重要課題之一。比如在迭代求 解線性方程組時，往往需要估計系數(shù)矩陣的譜條件數(shù)，這就要用到矩陣最大和最 小奇異值。矩陣奇異值在其它領(lǐng)域也有著非常重要的應(yīng)用，無論在理論還是在實 踐中都有著重要的應(yīng)用價值。 由矩陣奇異值與特征值的關(guān)系，我們可以根據(jù)奇異值的定義先求出彳， 然 后利用上述定理對4 的奇異值進(jìn)行估計，但是一般來說4 的計算較為麻煩。如果 電子科技大學(xué)碩士學(xué)位論文 僅僅將矩陣特征值估計的一些定理如g e r s g o r i n 圓盤定理以及與之相關(guān)的b r a u e r 定 理、b r u a l d i 定理等等簡單的應(yīng)用于矩陣的奇異值估計，往往得不到好的結(jié)果。因 此如何依賴于矩陣元素對其奇異值進(jìn)行估計也是近年來許多學(xué)者致力研究的問 題。 1 9 7 5 年，j m v a r a h 在文獻(xiàn)【1 9 】中僅依賴于矩陣元素，給出了最小奇異值的下 界。1 9 8 4 年，l q i 【l6 】基于g e r s c h g o r i n 圓盤定理得到了一些奇異值的包含域。1 9 8 9 年，著名的美國矩陣論專家c r j o l l i l s o n 1 5 】巧妙的將g e r s c h g o r i n 圓盤定理應(yīng)用于 最小奇異值的估計，所得結(jié)果得到了廣泛的應(yīng)用。隨后直到1 9 9 8 年c r j o h n s o n 2 9 】 等基于o s t r o w s k i 和b r a u e r 定理以及g u d k o v 非奇準(zhǔn)則，得到了矩陣最小奇異值的 三個新的下界。1 9 9 9 年l il u o l u o 舊將矩陣特征值包含域的f yf a n 和b r a u e r 定理， 應(yīng)用于矩陣奇異值的估計，得到了相應(yīng)的奇異值的包含域。2 0 0 0 年，l i l u o l u o 【1 3 】 基于對絕對行和的劃分得到了矩陣奇異值一種新的估計式。 1 2 本文主要工作 本文首先通過矩陣的分塊和塊對角占優(yōu)來討論了矩陣特征值界的包含域，然 后將現(xiàn)在人們對矩陣特征值估計的一些結(jié)果應(yīng)用到矩陣的奇異值估計中，得到一 些矩陣奇異值估計的結(jié)論。 2 第二章矩陣特征值的估計 2 1 矩陣的特征值 第二章矩陣特征值的估計 本章的目的是討論矩陣標(biāo)準(zhǔn)特征值的估計問題。 定義2 1 1 設(shè)彳= 勺】( c ) ，若存在數(shù)五和非零向量工，使得 a x = 2 , x ， 則稱兄為矩陣a 的特征值，石為“的屬于特征值兄的標(biāo)準(zhǔn)特征向量。 矩陣特征值問題是數(shù)值線性代數(shù)的基本問題之一，也是近三十年來被廣泛應(yīng) 用的主要課題?，F(xiàn)在數(shù)值線性代數(shù)的發(fā)展已達(dá)到相當(dāng)高的水平。目前，特征值問 題在科學(xué)研究、工程技術(shù)等方面已得到日益廣泛的應(yīng)用。本節(jié)將介紹矩陣特征值 界估計的一些基本結(jié)論。 對于矩陣特征值的估計最著名的就是g e r s g o f i n 定理。 定理2 1 1 【1 1 ( g c r s g o d n ) 設(shè)彳= 】e m 。( c ) ，又設(shè) ( 4 ) ；川( 1 f s 萬) ， 囂 表示彳的各去心絕對行和。則4 的所有特征值位于如下筇個圓盤的并 u z c ：k 一l ，；( 彳) s r ( 彳) t = l 中。此外，如果這萬個圓盤中有k 個之并形成一個連通區(qū)域，且它與所有余下的 n - k 個圓盤都不相交，則在這個區(qū)域中恰好有彳的k 個特征值。 以及上述定理的直接外延 推論2 1 2 啪設(shè)爿_ 4 ?！盔F( c ) ，又設(shè) 勺( 彳) ；川( 1 s _ ，萬) ， ；i ) 表示4 的各去心絕對列和。則a 的所有特征值位于如下n 個圓盤的并集 o z e c ：z - - 懌勺( 彳) a g ( a r ) 3 電子科技大學(xué)碩士學(xué)位論文 中。此外，如果這胛個圓盤中有k 個之并形成一個連通區(qū)域，且它與所有余下的 n - k 個圓盤都不相交，則在這個區(qū)域中恰好有a 的k 個特征值。 o s t r o w s k i 于1 9 5 1 將定理定理2 1 1 推廣為 定理2 1 3 嘲( o s t r o w s k i ) 設(shè)a = a v e m 。( c ) ，a e ( o ，1 ) 是給定的數(shù)，又設(shè) 和q 分別表示a 的去心行和去心列和，則a 的所有特征值位于彈個圓盤的并 0 k c ：卜嘞i 尼弘1 1 = 1 、 中。 定理2 1 4 設(shè)4 = 【 ( c ) ，a 的所有特征值位于，1 個圓盤的并 u p c ：l z 一i s 一1 ， 中。其中 肛1 ) = q ；( 薈ni 呀1 9 ) ；( v i e n ) , p t ，芻+ 吉= 并且正數(shù) 呸 ：。滿足 爭l 1 智( 1 + ) 1 9 5 4 年f a n 和h o i h a n 得到類似與定理2 1 4 的結(jié)論。 定理2 1 5 設(shè)4 = 【】e m ( c 3 ，a 的所有特征值位于廳個圓盤的并 中。其中 u z c ：i z - a t l l - o ，我們定義對角陣為 d i a g x = d i a g x , ，屯，1 ，那么矩陣x 是非奇異的。如果4 = 【】以( c ) ，那 么有z e d x = a i 。，_ 肛 t ( c ) ，y 由- j ：x - 1 a r 相似與矩陣4 ，那么矩陣石一a x 5 電子科技大學(xué)碩士學(xué)位論文 與矩陣a 有相同的特征值。如上述矩陣行和定義，我們令 ( 彳) ：- ( x “a z ) s i 吩i 而五o , e n ，x o ) ， 強(qiáng) 我們稱彳似) 為矩陣彳第i 個廣義行和。 另外，我們令 i r i ( 彳) ：= z c ：p 一嘞i s ( 4 ) l r ，( 4 ) # u r ；( 4 ) l i t 稱r ，( 彳) 和r 7 口) 分別為4 的第f 個廣義g e r s g o r i n 圓盤和廣義g e r s g o r i n 圓盤集。 我們可以得到類似于定理2 1 1 的結(jié)論 定理2 1 9 1 設(shè)4 = 【嘞】膨。( c ) ， 石彤且工 o ，那么有矩陣a 的所有 特征值位于區(qū)域并集f ( 爿) 中。 令 k 4 ( a ) - z c ：i z q ，1 p 一巳j l ( 4 ) 哆( 4 ) ， 茁7 ( 爿) = = u 眉藝( 一) ；t , j ，e ” 稱巧( 4 ) 和茁7 ( 彳) 分別為a 的廣義b r a u e r 卵形域和廣義b r a u c r 卵形域并集。 可以得到類似于定理2 1 6 的結(jié)論 定理2 1 1 0 “”設(shè)一= 勺】心( c ) ，x 彤i ；1x 0 ，那么有矩陣4 的所有特 征值位于區(qū)域并集l c r ( 4 ) 中。 對于環(huán)g ( a ) 中的任何一個回路廠c ( 4 ) ，令 b ；( 4 ) ：= z 丌卜a i 。i - ( h ( 4 ) ， l 拒，r e ， j b ( 爿) - ub j ( 4 ) 同樣可以得到類似于定理2 i 7 的結(jié)論 定理2 1 ”1 設(shè)4 = 【】肘。( c ) ，x 掣j i x o ，那么有矩陣彳的所有特 征值位于區(qū)域合集b 7 似) 中。 類似于定理2 1 8 ，上述關(guān)于矩陣特征值估計的區(qū)域有下面的所屬關(guān)系 定理2 1 1 2 1 設(shè)彳= 口f 】( c ) ，石f 且石 o ，那么有 6 第二章矩陣特征值的估計 ，( 叫) b 叫) 2 0 0 4 年c v e t k o c i c ，l ，k o s f i c ，v ，和v a r g a 8 1 將矩陣的絕對行和分為兩部分 給出了關(guān)于矩陣非奇異的新的結(jié)論，以及相關(guān)的矩陣特征值估計的結(jié)論。 令s 是集合的子集，i ：= u s 為s 在中的補(bǔ)集。對于任意矩陣 a = 【】m 。( c ) ，依據(jù)s 和j 將，；( 爿) 分為兩部分 f ( 4 ) 一l a , 肛礦( 4 ) + 礦( 4 ) i r i s ( 4 ) 暑l a i d i ，礦( 4 ) _ ( v f 仨忉 lj , s q o扣s 、 j 定義2 1 3 8 1 設(shè)矩陣4 = 】( c ) ，n 2 ，令s 為的任意非空子集，如 果滿足以下件 f 0 ( a ) 礦( a ) ( f j ) ， 【i o ( ( 彳) 一礦( 4 ) ) ( o ( 4 ) 一彳( 4 ) ) 礦( 4 ) 礦( 4 ) ( v i s ，西 那么我們稱矩陣彳為s 嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣。 定理2 1 1 3 t 8 1 設(shè)s 為n ( i 1 2 ) 的非空子集，且令i 每n s 。設(shè) a _ 【呀 m 。( c ) ，珂2 ，定義如下對應(yīng)于g e r s g o r i n 類型的圓盤 r r ( a ) ：= z c ：i z 一 a t ，i i 5 ( 4 ) o s ) ， 和集合 ( 4 ) - z c ：( f 彳一q ，f 一5 ( 4 ) ) ( f z a j 。f 一櫨( ) s 7 ( 彳) 妒( 4 ) ， ( v i s ，v j s ) 那么矩陣彳的特征值位于區(qū)域 c 姒) 號岵p ( 彳) ) u ，。齠j 吲彳) ) 拒s，| e s f e si 中。 還有一些其它的方法對矩陣的特征值進(jìn)行估計，如利用矩陣的跡和矩陣的行 列式等，詳見【9 】。 7 電子科技大學(xué)碩士學(xué)位論文 2 2 矩陣的分塊形式 利用向量范數(shù)導(dǎo)出的矩陣范數(shù)結(jié)合矩陣特征值估計的g e r s g o r i n 定理以及相應(yīng) 的g e r s g o r i n 類型的定理可以得到一些相關(guān)的矩陣特征值估計的定理。 下面簡要介紹一下相關(guān)內(nèi)容和一些結(jié)果，詳見 2 5 】。 設(shè)石為列向量c “的一個劃分。令有限集 形 ：。為兩兩不相交的線性子空間， 其維數(shù)至少為一維且其直和為 c ”= 形+ + + 形 不失一般性，我們令z 為 石= 覷 二， 其中，非負(fù)整數(shù) b 二滿足 p o ：= 0 p i p 2 譬( 4 ) ( v i e l ) 田確倒d 一一彬( 彳) ) ( ( o 巧州，) 一一班。) ) ( 爿) 噶( 彳) 仁2 ( v i 墨j s ) 那么我們稱矩陣a 為對應(yīng)于z 的s 嚴(yán)格塊對角占優(yōu)矩陣。 定理2 3 1 設(shè)s 為工的非空子集，令4 = 4 ， ，z 2 ，矩陣彳為對應(yīng)于萬的 s 塊嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣，那么a 為非奇異矩陣。 證明如果s = l ，那么如上所述，a 為嚴(yán)格塊對角占優(yōu)矩陣，故為非奇異矩陣。 由此我們假定s 是三的非空子集并且i 。證明的思想是構(gòu)造一個正塊對角矩 陣p 滿足b p 為嚴(yán)格塊對角矩陣。故令p = 砒g ( 兄，昱2 ，只，c ) ，其中 艫艮后蕓酣一， 由此可得卯：_ 礦f 的元素為 啥瞥倆( j e s , i 田e l ， 那么由( 2 1 ) 可得b p 的行和為 ( 胛) = ( 鐘) + ( 卿= 6 ( 彳) + 乎( 鋤( v m e l ) ， 且如果下述不等式組成立則矩陣b p 為嚴(yán)格塊對角占優(yōu)矩陣 m 硯) 一 翻剮( m 尹( 4 ) ( v i e s ) a - 扎i ) - 1 矽( 饑夕( 4 ) ( v j i ) 上述不等式可簡化為 電子科技大學(xué)碩士學(xué)位論文 d 批一) 一以印( 鋤 ，( 鋤( v ) ，( 2 - 3 ) f f ) ( 蚴i i i i i a - ! - i 一夕( 4 ) 矽( 4 ) ( v j j ) 鼎 j c v z s ，上t 艿 b l ，故對于任何滿足條件b ： 以( 4 ) ( 姍e 工) ， 故有 4 i 一4 ，) 。眇。1 t ( 彳) o 且f 似一4 ，) i l d 。，以( 4 ) o ， 那么( 2 - 1 3 ) 式的左邊的部分滿足 0 ( 萬一4 ，) 1 岫( ( 1 1 ( 打一4 一) 。岫一，囂( 彳) + 1 1 4 川，) 以( 4 ) 4 川， 其結(jié)果與( 2 一1 3 ) 式中的不等式矛盾。因此對任意z e 研( 爿) 有z e ( 4 ) 。 故( 2 一1 2 ) 式得證。 接下來，對任意矩陣彳= 4 ， ，g 2 ，從定理2 3 2 中的( 2 一0 7 ) 式中 顯然有矩陣a 的所有特征值位于區(qū)域彰( 4 ) 中，即位于如下區(qū)域 d ( 4 ) _ n 叫( 4 ) 可以看出 ( 2 - 1 4 ) 中。 對于( 2 - 1 1 ) 式中的每一個( a ) 依賴于( z 一1 ) 個對應(yīng)于，的分塊b r a u e r 卵形域 集巧囂( a ) ，所以( 2 - 1 4 ) 式中由e ( e 1 ) 個對應(yīng)于石的分塊b r a u e r 卵形域集k 囂( 一) 組 成0 。jd ( a ) ，是組成對應(yīng)于萬的分塊b r a u e r 卵形域( 鋤的分塊b r a u e r 卵形域個 數(shù)的匕 的二倍。也就是說( 4 ) ( 句。 因此我們得到如下定理 定理2 3 4 對于任意矩陣彳= 4 ， ，9 2 2 ， 于萬的分塊b r a u e r 卵形域( 4 ) ，滿足 d 0 ) ( 彳) 1 4 ( 2 1 4 ) 式中的集合域d ( 爿) 和對應(yīng) ( 2 1 5 ) 第二章矩陣特征值的估計 證明首先我們從( 2 1 2 ) 式觀察到對任意f 三有d ? 0 ) r ：( 彳) 。故由( 2 1 4 ) 中定義的d ( 4 ) 顯然滿足 d ( 彳) r ：( 4 ) ( 2 1 6 ) 為了證明( 2 1 5 ) 式，設(shè)z ( 4 ) ，對任意i e l ，有z e 研( 4 ) 。因此由( 2 - 1 1 ) 式得任意f e 工和某一，e 三 磚有z 巧囂( 彳) 即( 2 1 3 ) 中的不等式成立。但是由( 2 - 1 6 ) 中d ( a ) r ! ( 田，可得存在某一| i 滿足 0 陋一釓) 。驢1 以( 4 ) 對于同一七，存在一f e l k ) 滿足z e 嗽0 ) ，即有 4 i ( z ，一4 ，) 。1 ( 4 l ( 西一4 ，) 。岫一一，：譬( 爿) + 0 4 ，。岫s ，盤( 4 ) 0 4 ，。 故有 “( z ，一4 ，。) 。以) 一4 f ( z ，一4 ，) 。n ) 。1 ( 爐一4 。) 。1 驢( 二( 彳) 一喲+ 以( 4 ) | | 4 。k ( 4 ) ( 以( 4 ) 一l ) + 以( 4 ) n = 茲( 4 ) ( 4 ) 所以 0 l ( z r 一4 ，。) - 。n ) - i ( z ，一4 。，) 。1 n ) - 1 ，去( 一) ，磊( 4 ) 故有，z 硝，以) ( 4 ) 對每一個z ( 彳) 上式均成立，因此有 d ( 4 ) ( 彳) 定理得證。 由于( 2 - 1 2 ) 和( 2 一1 5 ) 對任意m ，成立，故d ：( a ) ( 盯( 爿) 互9 ：( 4 ) - nd ! ( 彳) r ：( 4 ) ， m 盯( 4 ) d ；( ：- nd ：( 彳) k ；( 彳) 其中， 1 5 電子科技大學(xué)碩士學(xué)位論文 2 4 本章總結(jié) r 9 ( 彳) ：= nr ：( 4 ) ，k 9 ( a ) ：- - - - - n , 4 c a ) ( 2 1 7 ) 本章首先介紹了利用矩陣的元素來對其特征值進(jìn)行估計的g e r s g o r i n 理論及相 關(guān)的g e r s g o r i n 類型理論的一些發(fā)展，然后介紹利用向量范數(shù)引出的分塊矩陣范數(shù) 對矩陣特征值進(jìn)行估計的一些理論。最后給出分塊矩陣特征值估計的一些新的結(jié) 論。 1 6 第三章矩陣奇異值的估計 3 i 特殊矩陣 第三章矩陣奇異值的估計 特殊矩陣在矩陣分析和矩陣計算中占有十分重要的地位，并且在計算數(shù)學(xué)、 應(yīng)用數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、物理學(xué)、生物學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。對特殊矩陣所取 得的任何實質(zhì)性的進(jìn)展，都將會對計算數(shù)學(xué)的發(fā)展起著重要的推動作用。在此我 們主要介紹非負(fù)矩陣。 定義3 1 1 嘲設(shè)a _ 【】e m 。( r ) 如果嘞o ( 或嘞 o ) 對所有的i ，j 成立， 則稱a 是非負(fù)或正矩陣。 p c r r o n 于1 9 0 7 年發(fā)現(xiàn)任何一個正矩陣的譜半徑是它的一個特征值。后來， f r o b e n i u s 將p e r r o n 的結(jié)果從有正元素的矩陣推廣到有非負(fù)元素的非負(fù)矩陣上去， 特別是非負(fù)不可約的情形，得到著名的p e r r o n - - f r o b e n i u s 定理。 定理3 1 1 “”設(shè)么為正矩陣( 非負(fù)不可約矩陣) ，則 1 ) 4 有一個正特征值，= p ( ； 2 ) 相應(yīng)于p ( 4 ) 存在一個特征向量“ 0 ，即b u = 戶( 一) “； 3 ) 隨著彳的任一元素之增加而增加； 4 ) 戶( 4 1 是4 的單重特征值。 特征值p ( a 1 叫做p e r r o n 根，并且如果向量“的所有元素之和為1 ，我們把向 量u 稱為p e a t o n 向量。一般來講，v = “( c 0 1 也叫做p c r r o n 向量。在后面的討 論中我們假設(shè)p e r r o n 向量的最小元素為i 。 p e r r o n - f r o b e n i u s 定理在很多方面都有著重要的應(yīng)用，其中一個非常重要的就 是在矩陣特征值的估計方面，如下面著名的f yf a n 定理 定理3 1 2 “”設(shè)彳吩】e m ( c ) ，b = t b f i 帆僻) ，且口i a i ，即k i ， 則4 的所有特征值位于區(qū)域 u z e c ：l z 一嘞i p ( 口) 一 1 爿 中。 李羅羅在1 9 8 8 年通過對f yf a n 定理進(jìn)行改進(jìn)得到如下的結(jié)論 1 7 電子科技大學(xué)碩士學(xué)位論文 定理3 1 3 “”設(shè)矩陣a = 口f e m 。( c ) ，且b = 吻 以( 胄) ( f ，j = l ，k ) 和 c = 勺 m 。似) ( f ，= 七+ l ，n ) 為正矩陣( 或非負(fù)不可約矩陣) ，滿足 島n 螂她i ，川 ( i , j = i ，) ； 白m “8 嘞f ，k | ( f ，j = k + l ，n ) 且“= ( “。，“：，心) r ，v = ( 唯。，) r 分別為矩陣b ，c 對應(yīng)的p e r r o n 向量，a i = k l o = 1 ，2 ，n ) ，r + 為正實數(shù)集合。記 ( 曰) = p ( 口) 一和( c ) = p ( c ) 一勺， 0 2 ) = ( k 小一，| a l n 曠和= ( ，概曠 那么4 的所有特征值位于如下區(qū)域中 ( 3 1 3 a ) ：u 2 c ；i 旯一q i ( 占) ； t f f i l ( 3 1 3 占) ：u 名c ：f a - - a l ( c ) ； j f k + l ( 3 1 3 c )u 兄c ( ( 3 1 3 a ) u ( 3 1 3 6 ) ) ： t - i ，k ；j f f i k + l ，一塒 ( 阻一q i 一( 占) ) 0 一吩f 一( c ) ) 擴(kuò)r ，w 7 鑼p 2 0 0 5 年李厚彪結(jié)合f yf a n 定理得到如下的結(jié)論 定理3 1 4 “3 3 設(shè)4 = 【】 ( c ) 2 ) ，b 叫】l l ( r ) 為非負(fù)矩陣并且滿 足b i a i 。那么a 的所有特征值位于如下區(qū)域 中。 q * c ；i z 飛忙l 如( 驢島，f ) ( 廈驢i 3 2 矩陣的奇異值 用數(shù)值方法求解線性方程組a x = b 一直是科學(xué)計算的中心問題之一，其能否通 過數(shù)值方法求解的關(guān)鍵是線性方程組條件數(shù)的大小【1 4 1 ，系數(shù)矩陣4 的奇異值與其 譜條件數(shù)密切相關(guān)。 設(shè)彳= ( 呸，) y 口m n 階復(fù)矩陣，不失一般性我們可以假設(shè)n m ，并將a 的奇 第三章矩陣奇異值的估計 異值按照遞減次序排列為 q ( 鋤a 2 ( a ) 吒( 彳) 0 ， 其中彳的奇異值為盯( 4 ) = 五( 州+ ) ，五( 見4 ) 表示矩陣見r 的特征值。矩陣奇異值 的詳細(xì)論述見 1 5 。2 0 1 。 矩陣的奇異值，也是矩陣分析中的重要課題。在迭代求解線性方程組時，我 們往往需要估計矩陣彳的譜條件數(shù) k ( 棚：巫塵 、 吒( 彳) 故對矩陣奇異值的上下界的估計是關(guān)鍵。矩陣奇異值的上、下界在其他的許多領(lǐng) 域中都是一個很重要的課題，因而矩陣奇異值的上下界估計一直是普遍關(guān)注的問 題，有著重要的理論和實際應(yīng)用價值。 如何僅依賴矩陣的元素來對其特征值進(jìn)行估計一直是矩陣分析中非常重要和 困難的問題。我們已有上述著名的g e r s c h g o f i n 定理、以及與之相關(guān)的o s t r o w s k i 定理、b r a u e r 定理、b r u m d i 定理及其相應(yīng)的推廣、推論等，可以對矩陣的特征值 進(jìn)行估計。但是如果僅僅是簡單的將上述定理應(yīng)用于矩陣允r 或彳+ 4 來估計彳的 奇異值，往往得不到好的結(jié)果，并且計算過程也很復(fù)雜。因此，如何僅依賴于矩 陣的元素來對4 的奇異值進(jìn)行估計是許多學(xué)者致力研究的一個問題。下面我們簡 要介紹一下這方面近年來的一些進(jìn)展。 1 9 8 4 年l i q u n q i 將對矩陣特征值估計的g e r s g o r i n 定理應(yīng)用到矩陣奇異值的估 計，得到如下結(jié)果 定理3 2 1 【1 ”設(shè)4 = 嘞】e m ( c 3 ，則彳的所有奇異值包含在如下區(qū)域 u 罵，且馬= 【( q 一墨) + ，( q 一毛) 】r ， j l 中。其中 心= m a x ( 0 u ) ，丑= 腳x ( ，q ) ，q = i a t l ，i = 1 ，2 ，以 1 9 9 9 年李羅羅將f y f a n 定理推廣到矩陣奇異值的估計得到如下的結(jié)果 定理3 2 2 0 ”設(shè)4 = 【】鳩( c ) ，且b = 】鴆氓) 為非負(fù)矩陣且滿足 m a x k l ，l 勺l ( v f d 。那么a 的所有奇異值位于如下區(qū)域 1 9 電子科技大學(xué)碩士學(xué)位論文 f i _ u z ：k q i p ( 曰) 一 n r + = 1 中。其中r + 為正實數(shù)集。 定理3 2 3 m 設(shè)4 = 魄】 t ( c ) ，那么一的所有奇異值位于如下區(qū)域 p - a , l l z q i 島一) n r + 中。 李羅羅在2 0 0 0 年將上述定理3 2 3 改進(jìn)，通過將矩陣的絕對行和分成兩部分 的形式得到下面關(guān)于矩陣奇異值的估計形式 定理3 2 4 設(shè)彳= 】( c ) ，已知口和為集合的非空子集且滿足 o ) d u = 1 ，2 ，l ， ( i o 口n = a 定義如下的分塊去心絕對行和與絕對列和。 似) _ m ，= m ； j i ，i e 口l * t l ，i e 4 ，；咿= m ，礦= 川 對于任意i = l ，2 ，n ，定義 可= m a x ( 0 ，巧神) ，所= m a x ( r p ) , a 朋) ， 巧似= z o ：i z q i 耐 ，哆印= z o ：i z 一巳 s 羅 ， 巧印= z o ：z 正巧口u 嘭4 ( k q 卜- 4 ) p 一乃i 一妒) 耐妒) 或 中。 矩陣a 的所有奇異值位于如下區(qū)域 - ( u 巧陋) u ( u v p ) ， f e 4 ，e p b ”u 巧硼 i g c r , j t 8 b r 。u 鏟 第三章矩陣奇異值的估計 目前，奇異值的估計仍吸引了不少學(xué)者對其進(jìn)行研究，也出現(xiàn)了一些新的思 想方法，如利用矩陣的無向圖瞄】，行列式和矩陣的跡【2 3 - 2 4 ，或利用計算機(jī)算法來 計算實現(xiàn)【2 1 1 。 3 3 矩陣奇異值的估計 引理3 3 1 【1 ”設(shè)r ，c c ，且川l ，那么 l , , - l c l i m a x q c r 一刁c i ，l 玎盯一c i ， ( 3 1 ) 定理3 3 2 設(shè)彳= 嘞】 ( c ) ，矩陣b = 眈】 t ( r ) ( f ，_ ，= 1 ，尼) 和 c = h 】m 。( r ) ( f ，_ ，= 后+ 1 ，萬) 為正矩陣( 或非負(fù)不可約矩陣) 且滿足 島m “ i 嘞i ，h f ) ( f ，= l ，_ | ) ；勺刪 | 嘞 ，a j r ( f ，= 后+ 1 ，”) 。b ，c 對應(yīng)的p e r r o n 向量分別為“= ( 嘶，“：，) 7 ，v = ( 唯。，屹) 7 ，其中，a i = l a 1o = 1 ，2 ，n ) ，r + 為正 實數(shù)集合。記 ( 曰) = p ( b ) 一，( c ) = p ( c ) 一勺； = ( 。卜，川y ，c 2 ) = ( i 少一，l a 。1 ) 2 ； r ( o = ( m ，l a , i ) 7 ，c 5 0 = ( m ，川) r 那么4 的所有奇異值位于如下區(qū)域中 ( 3 3 2 口) ：u 仃r + ；i 盯一q ls ( 口) ； ( 3 3 2 h ) ：0 盯礦；i 盯一勺i ( c ) ； ( 3 3 2 e )u 盯五+ 、( ( 3 3 2 a ) u ( 3 3 2 占) ) ： l - i ， ：- k + l ，月 a 盯一a , l 一p ) ) 0 a 一勺i 一( c ) ) s m 馭 彳2 妒v ，c f 2 妒v m x 妒妒“，c j l p “) 證明設(shè)仃為矩陣的奇異值，那么存在非零向量z = ( 玉，屯，y 和 ，= ( 咒，y 2 ，只) ，滿足 似= 彳。y ，t r y = a x ，( 3 - 2 ) 令 2 1 一皇王型堡奎堂堡主堂堡堡壅 霉2 7 q ，只2 y i u l ( f = 1 ，2 ，| i ) ，z ，= 。m a x 。( j i f ，防| ； 弓2 x j v j ，乃2 y j v ，( ，= k + l ，”) ，z q = h m 。a x 。 b i ，防| 顯然( 乙，乙) ( o ，0 ) 。 ( 1 ) ：設(shè)乙乙= o 。 不失一般性，我們假設(shè)乙= 阮i 露l ( 當(dāng)z ，= k f 阮f 時討論類似) 。在上述等 式中應(yīng)用第p 個等式可得 一a 一，y p = 勤乃+ 乃， o y p a ，x p = 。 + 吣1 1 j = k + l i p 令r l = ，- - 7 乃，由i r l l 1 ，有， i 叩盯一吆懌喜j 吆f i 乃i i u 7 i + 窆勤| 1 乃_ 西v j j - , p j = k + l ，= l “p“d 二p i 1 再kl | 葉+ 荔z 磊n i f 吩， ( 3 - 3 ) o - r a 一 套j i 防。l 瓦u i j + 喜。k i ，防毒乏 毒害i 嘞i 葉+ 去毫1 | _ ( 3 q 因為m “ k i ，k i ，故在方程覷= p p ) “中利用第p 個等式得 善k | 吩“，= p ( 丑) 一) 咋， ，= l j = l 由引理3 3 1 和不等式( 3 3 ) ( 3 5 ) 可得 i 盯- o , i ( 口) + 瓦z q u m i f 2 t 2 t v ) ( 3 5 ) p卜 一 、jpp = 吩 。問抑 v i 葉 。川抑 第三章矩陣奇異值的估計 通過類似的討論，在方程式( 3 - 2 ) 中應(yīng)用第g 個等式可得 卜a , i + 瓦z p l t r o ) r 山0 7 “) ( 3 7 ) ( j j ) ：若p a p l ( 曰) 且p 一嗚l ( c ) 。則由不等式( 3 6 ) 和( 3 7 ) 可得 卜a , l 一( 丑) 表黝x 2 ) r v , 刊； 卜h ( c ) 嘉一壚”，c ：1 一口f 故有 p - - a p f 一p ) ) ( p - - a q f - 1 ( c ) ) ：了1n 壕x 巧2 聲v ，鑼p v n m x 壚，雹礦“ ( 3 8 ) “p 。 、 y c a 于- u p - 1 ，_ 1 ，利用不等式( 3 - 8 ) 可得奇異值口位于區(qū)域( 3 3 2 e ) 。 ( 2 ) 乙= o ，z ，o ( 或乙= o ，乙o ) 。則利用不等式( 3 6 ) ( 或( 3 - 7 ) ) 可得盯位 于區(qū)域( 3 3 2 4 ) ( 或( 3 3 2 6 ) ) 。 定理得證。 如果矩陣b 和c 的p e r r o n 向量，不易求得，我們可應(yīng)用女n - - i r 的定理 定理3 3 3 若矩陣4 = 】肘。( c ) ，b , c 分別為n 階正矩陣且滿足 m a x 她i ，m ) ( v f _ ，( 1 2 ，七) ) ， 勺m a x 她i ，k l ( v i # j + 1 ，硼) ) 當(dāng)( 3 3 2 c ) 被p 4 - f i x 域代替時，定理3 3 2 仍然成立 u 一e f 、( ( 3 3 2 。) u ( 3 3 2 功；( p a , i 一( 占) ) p 一巳卜( c ) ) f ，8 糾f j ， 1 = 1 t j 其中 電子科技大學(xué)碩士學(xué)位論文 = ( 罌艫) 。，( c 2 ) ) 。 ) 2 ( 淵，z ，e ) ， 島，(