（應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)論文）非線性三階三點(diǎn)邊值問題的正解.pdf

碩士學(xué)位論文 摘要 近年來，三階常微分方程邊值問題受到了人們的廣泛關(guān)注，所用的工具有錐上的拉 伸與壓縮不動點(diǎn)定理( 或稱為g l l 0 1 r 蹣n o s e l s l l 【i i 不動點(diǎn)定理) ，l e g g e 仳w i l l i 鋤s 不動點(diǎn) 定理和五個泛函的不動點(diǎn)定理等 本文主要研究一類非線性三階三點(diǎn)邊值問題正解的存在性與多重性文中首先構(gòu)造 了相關(guān)的線性邊值問題的格林函數(shù)；其次通過一種新的方法得到了格林函數(shù)的一些重要 的性質(zhì)；最后運(yùn)用不同的不動點(diǎn)定理得到了所研究的三階三點(diǎn)邊值問題正解的存在性與 多重性結(jié)果 全文共分四章：第一章引言主要介紹有關(guān)邊值問題的發(fā)展概況、本研究課題的學(xué)術(shù) 背景及理論與實(shí)際意義、本研究課題的來源及主要研究內(nèi)容 第二章分別運(yùn)用c h l 0 鼬鏹n o s e l s k i i 不動點(diǎn)定理和不動點(diǎn)指數(shù)理論得到了邊值問題至 少一個和至少兩個正解的存在性 第三章運(yùn)用l e g g e t t w i l l i 鋤s 不動點(diǎn)定理得到了邊值問題至少三個正解的存在性， 繼而j 我們證明了對任意的正整數(shù)m ，邊值問題至少2 m 1 個正解的存在性 第四章研究邊值問題在非線性項(xiàng)滿足奇異性條件下正解的存在性 本文與眾不同的地方在于：據(jù)作者所知，文中所考慮的邊值問題是沒有人涉及過的； 研究格林函數(shù)的性質(zhì)所運(yùn)用的方法也是新的這對研究邊值問題的人有一定的啟發(fā)事 實(shí)上，本文的研究成果已被推廣和引用 關(guān)鍵詞：三階三點(diǎn)邊值問題；格林函數(shù)；正解；錐；不動點(diǎn)定理 非線性乏階三點(diǎn)邊值問題的正解 a bs t r a c t r e c e n t l y ，t l l i r d o r d e rb 0 1 u l d a d rv a i u cp r o b l e i l l sf o ro r d i n a 巧d i 腩r e n t i a le q _ u a t i o i l sh a v e r e c e i v e dm u c ha _ t t e 嘶o n t h e1 l s e dt o o l s2 u r et l l ef i x e dp o i l l tt h e o r e mo fc o n e 【p 卸s i o na n d c o m p r e s s i o n ( o rc a l l e dg u o l 渤s n o s e l s k i if i x e dp o i n tt h e o r 咖) ，k g g e n - w i l l i a l l l s 做e dp o m t h e o r e m ，t h ef 如ef 婦c t i o n a l sf i x e dp o i n tt h e o r e m 觚i ds oo n t h i sd i s s e r t a t i o nm a i n l yd i s c l i s s e st h ee x i s t e n c ea 1 1 dm u l t i p l i c 時(shí)o fp o s i t i v es o l 塒o l l sf o r ac l a 鼴o fn o n l i i l e a rt 1 1 砷o r d e rt h r e c 巾o i n tb o l m d a 巧v a h l ep r o b l e m i n l i sd i s s e r t a t i o n ，f i r s t 堍 m e ( h e n sf i l l l c t i o nf o rt h ea s s o c i a t e dl i n e a rb o l l n d a r yv a l u cp r o b l 鋤i sc o 璐仇l c t e d ，鋤d l h 鈕，s o m el l s e 龜lp r o p e r t i e so ft l l eg r e 饑sf i l n c t i o na r eo b t a i n e db yan e wm e t l l o d f i n a l l y ， 甑i s t e n c e 鋤dm u l t i p l i c 時(shí)r e 跚l t so fp o s “i v es o l 塒o n sf o ri h eb 0 吼d a 巧v a l u ep r o b l e m 盯e e s t a b l i s h e db yl l s i n gt h ed i f f e r 鈕tf 詼e dp o i mt l l e o r e m s t h ep a p e ri sd i v i d e di n t of 0 l l rc h a p t e r s ：i nc h 印t e ro n ew e 劬柏d u c eas u n ，e ) ，t 0t l l e 出e l o p m e n to fb o u n d a 巧v a l u ep r o b l e m s ，t h es c i e n t i f i cb a c k 舀饑m d ，t l l e o r e t i c a l 齜i dp r a c t i c a l s i g n i f i c a n c eo ft h i sr e s e a r c ht o p i ca n dm es o u r c e 趾dm a i nc o i l t e 】吐so fm i sp a p e r i nc h 印t e r 腑o ，w e0 b t a i nt h ee x i s t c er e s u l t so fa tl e a s t0 n ep o s i t i v es 0 1 u t i o n 鋤da tl e a s t 鉚op o s i t i v es 0 o 璐f o rt h eb o l m d a d r l u ep r o b l e ml l s i n gm eg 1 1 0 一k n 螄o s e 酞i i 觸c d p o mt 1 1 e o r e l n 孤dt h ef i x e di n d e xt l l e o 朋n ，陀s p c c 6 v e l y i nc h a p 锨t h r ，w ee s t a b l i s ht h ee x i s t c n c er e s u l to fa tl e a s tt h r e ep o s i t i v es o l 塒o i 塔b y l l s 噸t l l ew e l l k n o w nl e g g e t t w i l l i 鋤sf i x e dp o i n tt h e o 砌1 f 珊l e m o r e ，f o ra r b i t r a r y p o s i t i v ei n t e g e rm ，w ep r o v e 也ee x i s t e n c eo f a tl e a s t2 m 一1p o s i t i v e l u t i o 璐 i nc h a p t e rf 0 u r ，w e 咖d yt h e 既i s t 吼c er c 跚l to fm ep o s i t i v es o l u t i o nf o rm eb o u n d a d r v a l u ep r o b l e mw h e nm en o l l l i n e a rt c r n ls a t i s f i e st h es i i l g u l a r i t ) r 弱s 哪p t i o n t h i sd i s s e r t 撕o ni sd i 佰o r e n t 筋mt l l eo t h e r sa tm ef o l l o w i n ga s p e c t s ：n 0o n ei n v o l v e dl h e b o u n 出呵v a l u ep r o b l e ms t u d i e di nt l l i sd j s s e r t a t i o n ；t h em e t h o dt 0s t i l d yt h ep r o p e r t i 髓o f 也e g r c 姐sf i l n c t i o ni sn e w a uo ft h e s ew i l l 西v ea ni l l 眥i n a t i o nt op e o p l ew h oa r ei n t e r 懿t e di n l l l eb 0 砌成町v a l u ep r o b l e m i nf 如t ，t h er e s u l t so ft h i sd i s s e n a t i o nh a v eb e e n 弧p a n d e d 趾d c i t e d 、 k 田w o r d s ：n i r d - o r d e r 缸e e - p o mb o u n d a d rv a l u ep r o b l 鋤；g r e 饑sf i l n c t i o n ；p o s “i v e s o h l t i o n ；c 0 n e ；f i x e dp o i n tm e o r e m i i 蘭州理工大學(xué)學(xué)位論文原創(chuàng)性聲明和使用授權(quán)說明 原創(chuàng)性聲明 本人鄭重聲明：所呈交的論文是本人在導(dǎo)師的指導(dǎo)下獨(dú)立進(jìn)行研究所取得的 研究成果。除了文中特別加以標(biāo)注引用的內(nèi)容外，本論文不包含任何其他個人或 集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫的成果作品。對本文的研究做出重要貢獻(xiàn)的個人和集體，均 已在文中以明確方式標(biāo)明。本人完全意識到本聲明的法律后果由本人承擔(dān)。 作者簽名：勻誦冤 日期：2 川引月p 日 學(xué)位論文版權(quán)使用授權(quán)書 本學(xué)位論文作者完全了解學(xué)校有關(guān)保留、使用學(xué)位論文的規(guī)定，即：學(xué)校有 權(quán)保留并向國家有關(guān)部門或機(jī)構(gòu)送交論文的復(fù)印件和電子版，允許論文被查閱和 借閱。本人授權(quán)蘭州理工大學(xué)可以將本學(xué)位論文的全部或部分內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù) 庫進(jìn)行檢索，可以采用影印、縮印或掃描等復(fù)制手段保存和匯編本學(xué)位論文。同 時(shí)授權(quán)中國科學(xué)技術(shù)信息研究所將本學(xué)位論文收錄到中國學(xué)位論文全文數(shù)據(jù) 庫，并通過網(wǎng)絡(luò)向社會公眾提供信息服務(wù)。 篡三靄 導(dǎo)師簽名：么1 雪乏 移咻。 日期：2 瑚年月加日 日期：掃肛1 1 月i 。日 碩士學(xué)位論文 第l 章引言 1 1 課題意義及國內(nèi)外研究現(xiàn)狀 隨著科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步與發(fā)展，在非線性擴(kuò)散、氣體動力學(xué)、流體力學(xué)、物理學(xué)、種群動 力學(xué)、自動控制、生物學(xué)、醫(yī)學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)等許多自然科學(xué)和邊緣學(xué)科的領(lǐng)域中都提出了大量 由微分方程描述的具體的數(shù)學(xué)模型微分方程理論發(fā)展于十七世紀(jì)末，很快就變成了研究自 然現(xiàn)象的強(qiáng)有力的工具遠(yuǎn)在十七、十八世紀(jì)，在力學(xué)、天文、物理和技術(shù)科學(xué)中，就借助 于微分方程理論取得了巨大成就由于尋求其通解十分困難，故從理論上探討解的存在性及 其性態(tài)一直是近年來研究的熱點(diǎn)問題非線性微分方程，特別是高階多點(diǎn)非線性微分方程的 邊值問題，由于涉及領(lǐng)域廣泛而倍受人們關(guān)注一直以來，由于非線性微分方程邊值問題正 解的存在性研究具有重要的現(xiàn)實(shí)意義，因此此類問題一直是研究的熱點(diǎn)問題之一 在微分方程理論的定解問題中，邊值問題同數(shù)學(xué)物理問題密切相關(guān)這一問題的研究， 從十九世紀(jì)三十年代由s t u r m 和l i o u v i l l e 討論二階線性微分方程的邊值問題起，到二十世紀(jì) 由h i l b e n 等人奠定了常微分方程邊值問題的理論基礎(chǔ)，不論在問題的深度和廣度方面，還是 在研究方法上都有了很大的發(fā)展邊值問題正解的理論研究作為常微分方程邊值問題的一部 分，在最近三十年中有了迅速的發(fā)展國際文獻(xiàn)中這一領(lǐng)域的論文已有數(shù)百篇，一九九四年 以來連續(xù)出版了有關(guān)邊值問題正解理論的專著達(dá)3 本【l 3 】，廣泛的應(yīng)用背景是促使這一理論迅 速發(fā)展的基礎(chǔ) 由于在現(xiàn)實(shí)世界中往往需要求解邊值問題的正解，人們對它進(jìn)行了廣泛的研究并取得了 豐富的成果e r b e 和w a n g 在文獻(xiàn) 4 】中首先利用g u 0 i 缸咖o s e l s 不動點(diǎn)定理【5 】研究了微分 方程“。+ 口( f ) ( f ) ) = 0 正解的存在性，其中口( f ) 在【0 ，1 】上是連續(xù)的并且廠 ) 在【0 ，o o ) 上是 連續(xù)的自此，g 血o i m 吼o s e l s 垃不動點(diǎn)定理被廣泛應(yīng)用于討論邊值問題正解的存在性對二 階邊值問題 y ，+ 廠( y ) ) = 0 ，0 f l ，( 1 1 ) y ( 0 ) = y ( 1 ) = o ，( 1 2 ) 其中廠：r 寸【0 ，) 是連續(xù)的，賦予，一些增長條件后，a v e r y 【6 】利用l e g g 甜一w i l l i 舭1 j s 不動點(diǎn) 定理川得到了邊值問題( 1 1 ) ( 1 2 ) 至少三個對稱正解的存在性；r i a v e 柙j h e n d e r s o n 在文章 非線性三階三點(diǎn)邊值問題的正解 8 】中利用五個泛函的不動點(diǎn)定理【9 】和有關(guān)格林函數(shù)的對稱性改進(jìn)了a v e 巧的結(jié)果 目前，對邊值問題的研究，已經(jīng)覆蓋了常微分方程、泛函微分方程、脈沖微分方程和帶 有拉普拉斯算子的微分方程盡管人們對邊值問題的研究已經(jīng)取得了一系列成果，但對多點(diǎn) 邊值問題的理論研究仍尚不完善對于這些問題進(jìn)一步的研究，無論在理論上還是在實(shí)際應(yīng) 用中都有很重要的意義 多點(diǎn)邊值問題的研究起源于許多不同的應(yīng)用數(shù)學(xué)和物理領(lǐng)域例如，在利用分離變量法 解線性偏微分方程的經(jīng)典問題中，人們遇到了含有幾個參數(shù)的滿足幾個點(diǎn)邊值條件的微分方 程；由n 部分不同密度組成的均勻截面的懸鏈線的振動可以轉(zhuǎn)化為多點(diǎn)邊值問題；在彈性穩(wěn) 定性理論的許多問題中也可由多點(diǎn)邊值問題處理對線性二階微分方程多點(diǎn)邊值問題的研究 由文獻(xiàn) 1 0 ，1 1 】開始，通過文獻(xiàn) 1 0 ，1 1 】的啟發(fā)，文獻(xiàn)【1 2 】研究了非線性微分方程的三點(diǎn)邊值問 題，自此，許多作者研究了更一般的非線性多點(diǎn)邊值問題1 ，2 近幾年來，人們十分關(guān)注微 分方程多點(diǎn)邊值問題正解的存在性馬如云在文獻(xiàn) 2 2 】中利用錐上的q 一l r 弱n o l s 蛐不動點(diǎn) 定理證明了二階三點(diǎn)邊值問題 甜”+ 以o ) ( “( f ) ) = 0 ， 0 f l ，( 1 3 ) “( 0 ) = o ，伐甜n ) = 箔( 1 ) ( 1 4 ) 1 正解的存在性其中o t 1 l ，o o 【 二，口c ( 【o ，1 】，【0 ，o o ) ) 并且廠c ( 0 ，) ， o ，) ) 是超 t 1 線性的或次線性的2 0 0 3 年，馬如云和王海燕在文獻(xiàn)【2 3 】中研究了更一般的二階三點(diǎn)邊值問題 “。( f ) + 口( f ) “( f ) + 6 ( f ) “( f ) + ( f ) 廠( “( f ) ) = o ，f ( o ，1 ) ， ( 1 5 ) “( 0 ) = 0 ，a “( r 1 ) = “( 1 ) ，0 0 ，當(dāng)6 0 ，6 ) 時(shí)邊值問題( 1 5 ) 一( 1 7 ) 至少存在一個正解， 當(dāng)6 6 時(shí)邊值問題( 1 5 ) 一( 1 7 ) 沒有正解隨著對二階多點(diǎn)邊值問題的更廣泛研究，三階多點(diǎn)邊 值問題也逐漸成為人們熱衷研究的對象，但至今為止，對三階多點(diǎn)邊值問題的研究相對來說 比較少，這就為我們研究三階多點(diǎn)邊值問題提供了廣闊的空間 碩士學(xué)位論文 三階微分方程在應(yīng)用數(shù)學(xué)和物理不同的領(lǐng)域也有很重要的應(yīng)用，例如，帶有固定或變化 橫截面的屈曲梁的撓度，三層梁，電磁波，地球引力吹積的漲潮等嘲近年來，三階邊值問 題受到了廣泛關(guān)注，如文章 2 7 - 3 3 】討論了一些三階兩點(diǎn)邊值問題，其中劉在文獻(xiàn) 3 3 】中研究 了下列三階兩點(diǎn)邊值問題 x 胛( f ) + 九0 l ( f ) ( f ，x ( f ) ) = 0 ，口 f 0 是參數(shù)，倪c ( ( 訂，6 ) ，滅+ ) ，廠c ( 【n ，刎( 0 ，+ o o ) ，尺+ ) 且儀( 力在f = 口，6 處可以是 奇異的，( f ，j ) 在s = 0 處可以是奇異的而文獻(xiàn) 3 4 3 9 】研究了一些三階三點(diǎn)邊值問題特別 的，a n d e r s o n 【劃通過運(yùn)用著名的g 1 鼬部n o s e l s k i i 不動點(diǎn)定理【5 1 和l e g g e t t - w i l l i 鋤：l s 不動點(diǎn)定 理【7 】得到了邊值問題 x ”( f ) = 廠 ，工( f ) ) ， f f 2 ， x ( f 1 ) = 工0 2 ) = 0 ，p ( f 3 ) + 融一( f 3 ) = 0 正解的若干存在性和多重性結(jié)果；在2 0 0 5 年，孫【3 5 】建立了下列三階三點(diǎn)邊值問題 工_ ( f ) 一九口( r ) 廠0 ，x ( f ) ) = 0 ，0 f l ， x ( o ) = x ( n ) = x ”( 1 ) = 0 至少一個和多個正解的存在性結(jié)果，其中t 1 三，1 ) ，口( f ) 在f = o 和或f = 1 處可以是奇異的 運(yùn)用的主要工具是g h o i 湘姐o l s k i i 不動點(diǎn)定理 1 2 本文主要內(nèi)容 受以上優(yōu)秀工作的強(qiáng)烈啟發(fā)，本文主要研究下列非線性三階三點(diǎn)邊值問題的正解： “一( f ) + 療( f ) 廠( “( f ) ) = 0 ，0 f 1 ，( 1 8 ) “( 0 ) = 材( 0 ) = 0 ，”( 1 ) = 0 【“( t 1 ) ， ( 1 9 ) l 其中0 t 1 l ，l 0 l 二 t 1 本文的主要內(nèi)容是：第一章引言主要介紹了有關(guān)邊值問題的發(fā)展概況、本研究課題的學(xué) 術(shù)背景及理論與實(shí)際意義、本研究課題的來源 第二章是本文的關(guān)鍵所在，文中首先構(gòu)造了相關(guān)的線性邊值問題的格林函數(shù)：其次通過 一種新的方法得到了格林函數(shù)的一些重要的性質(zhì)；最后分別運(yùn)用( 沁o 1 r 雒n o s e l s k i i 不動點(diǎn)定 理和不動點(diǎn)指數(shù)理論得到了邊值問題( 1 8 ) ( 1 9 ) 至少一個正解和至少兩個正解的存在性 非線性j 階三點(diǎn)邊值問題的正解 第三章運(yùn)用l e g g e t t 、礬l i i a i l l s 不動點(diǎn)定理得到了邊值問題( 1 8 ) ( 1 9 ) 至少三個正解的存在 性：進(jìn)一步，對任意的正整數(shù)m ，證明了邊值問題( 1 8 ) ( 1 9 ) 至少2 n 1 1 個正解的存在性 在本文的第二章和第三章我們假設(shè)下列條件始終成立： ( i ) 廠c ( 【o ，1 ，【o ，0 d ) ) ： ( i i ) 口c 旺o ，1 】，【o ，) ) 且在i1 ， 1l 上不恒等于零 l o lj 第四章研究了非線性微分方程 “刖( f ) + ，( f ，“( f ) ) = 0 ， 0 f 1 ( 1 1 0 ) 在滿足邊界條件( 1 9 ) 時(shí)的邊值問題同第二章和第三章不同的是，非線性項(xiàng)在f = o 和或 f = l 處可以是奇異的通過運(yùn)用g 1 1 0 。鼬鐲n o s e l s k i i 不動點(diǎn)定理得到了邊值問題( 1 1 0 ) 一( 1 9 ) 正 解的存在性和多重性結(jié)果 為方便起見，全文我們定義函數(shù) g ( j ) ：i ! ! 二! l s ( 1 一s ) ，j 【o ，1 】 一4 一 碩士學(xué)位論文 第2 章至少一個和兩個正解的存在性 本章我們考慮三階三點(diǎn)邊值問題 “_ ( f ) + n ( f ) 廠( “( f ) ) = 0 ，0 f 1 ，( 2 1 ) “( 0 ) = “( o ) = o ，“( 1 ) = 0 【“( r 1 ) ， ( 2 2 ) l 其中0 t 1 l ，1 口 三 t 1 首先構(gòu)造了邊值問題( 2 1 ) ( 2 2 ) 相對應(yīng)的線性邊值問題的格林函數(shù)，然后運(yùn)用一種新的方 法得到了格林函數(shù)的一些重要的性質(zhì)，最后分別運(yùn)用g i l 0 k 均s n o s e l s b i 不動點(diǎn)定理和不動點(diǎn) 指數(shù)理論得到了邊值問題( 2 1 ) ( 2 2 ) 至少一個和至少兩個正解的存在性結(jié)果 2 1 格林函數(shù)及其性質(zhì) 定理2 1 1 令o m 1 ，則對j ，c 【0 ，1 】，邊值問題 “_ ( f ) + y ( f ) = 0 ，0 f l ， “( o ) = “( o ) = 0 ，“( 1 ) = 0 【“( r 1 ) 有唯一解“( f ) 2j 。g ( f ，s ) y ( j ) 凼，其中 i ( 2 捃一j 2 ) ( 1 一。川) + f 2 j 一1 ) ，占i n m h ，f ) ， g 瓴滬而僻二囂：東叫，= ：， i f 2 ( 1 一j ) ，m a ) 【n ，f ) s 被稱為格林函數(shù) 證明：如果f t 1 ，則 “( f ) = j ：g ( f ，s ) y ( s ) 凼 = 而高扣，) ( 1 - a 小心 _ 1 ) m 蛐 + 肌2 ( 1 0 l t l ) + f 2 j ( 0 l 一1 ) y ( j ) 出 ( 2 3 ) + j ：f 2 ( 1 一s ) y ( s ) 出j 非線性三階三點(diǎn)邊值問題的正解 鼉皇曼皇皇曼曼皇曼曼毫曼鼉曼曼詈曼皇詈鼉量曼曼量皇曼量曼皇皇曼寡皇鼉穹皇! 釜皇曼鼉皇曼量曼皇曼曼舅皇曼葛皇皇曼皇皇鼉_ 所以 缸) = 而缸2 叩一僅咖2 捃 - 1 ) ) 出 + f l 一叩) + 2 7 一1 ) 】刪凼 + r 2 f ( 1 一j ) 夕( s ) 出工 “t ) = 夏圭毫幣 l ：2 s 一l 杪。) 凼 + j ? 【2 ( 1 一d q ) + 2 s ( 包一1 ) y ( s ) 出 + r 2 ( 1 一j ) y ( j ) 出j ， 礦( 歸而焉 2 f 叫y ( 滬【2 ( 1 0 c 小2 f - 1 ) ) = 一y ( f ) 如果f t 1 ，則 所以 ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) “( f ) = j ：g ( f ，s ) 少( j ) 出 = 而 i = i ( 2 捃。) ( 1 0 n 1 ) s _ 1 ) m 出 + r 【( 2 捃一s 2 ) ( 1 0 【t 1 ) + f 2 ( 儀t 1 一j ) 】少( j ) 凼 2 7 + f f ：( 1 一s ) y ( s ) 凼) ”( f ) = 夏f 毫幣位 2 s ( 1 一叩) + 2 如 一1 ) 抄( s ) 出 + r 【2 s ( i 一。m ) + 2 f ( 0 川一s ) 】y ( s ) 凼 + r 2 f ( 1 一s ) y ( s ) 凼) ， “砸) = 夏f b 幣 | i l 2 s 一1 沙( j ) 出 + j ：2 ( 0 n 1 一j ) y ( s ) 凼+ j c l 2 ( 1 一s ) y ( s ) 出l = 而【2 ( 叩叫- 2 ( 1 叫刪 = 一) ，( f ) 因此，由式( 2 6 ) 和式( 2 1 0 ) 可得 “_ ( f ) + y ( f ) = 0 ， 0 f 1 ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) 又由式( 2 3 ) 和式( 2 4 ) 可得 “( 0 ) = ”( o ) = 0 最后，由式( 2 9 ) 有 “( 1 ) ：僅“m ) 口 定理2 1 2 令o t 1 1 ，l 伐 三，則對任意( f ，s ) 【0 ，l 】【0 ，1 】，格林函數(shù)滿足 1 1 0 g ( f ，j ) g ( j ) 且0 qo ，s ) g ( j ) 證明：首先，我們先來證明g ( f ，占) o ，( f ，s ) o ，l 】 o ，1 由于其他情形是顯然的，我們只 需證明q s f 的情形當(dāng)t 1 s f 時(shí)， g m 壚而【( 2 捃) ( 1 一叩) 州2 吖) 】 其次， 如果s m i n 如果f s t 1 ，則 = 互石三蘭i 5 【( r 2 2 細(xì)+ = 一l 一二i j _ r 2 ( 1 0 n 1 ) ” s z ) a ”+ j ( 2 f f 2 一s ) 】 + 。虹。一f z ) + o s ) ) s m i l l m ，f ， f s t 1 ， ( 2 1 1 ) 1 r i s f ， m a x 們，f ) s ) + 捃( 0 l 1 ) 】 伐 2 l 到 一 得 缸 易 一) 睿 幣 搭 一盯 很 一一 ， 麗c ；叫可端 的 定固意任對 l l 曲 】1 - ，i_o 一嫩訊撕 + + + 嘰一叭叫政 一 一 一 一 o o 啦o s 引 s擊 = ， 小 則 b g 咖 訓(xùn) 叫 刪 似 。一上上觸 g 非線性i 階三點(diǎn)邊值問題的正解 曼量葛舅曼皇皇量皇曼! 曼曼曼曼皇曼皇曼曼皇曼魯寡曼曼曼鼉曼! 鼉! 曼詈皇曼皇曼皇! ! 曼暑鼉曼詈鼉! 曼皇皇皇曼魯鼉曼鼉皇曼皇曼曼皇篁曼曼寡詈曼曼皇曼曼皇詈葛 。 如果t 1 j f ，則 如果m a ) 【們，f ) s ，則 所以， g ，( f ，s ) = 【三【f ( 1 一叩) + 捃( 0 l 一1 ) 】 l 一僅n - l 咄( 1 一t 1 ) 1 一叩 、“ - l 黜( 1 一s ) 1 一o n l 、。 g ( s ) g ，0 ，s ) = 了! = = _ b ( 1 一o m ) + f n 1 一s ) 】 l a t l = 了! 一b ( 1 一f ) + o m ( f s ) 】 1 一u o i _ l b ( 1 一s ) + o 岱( 1 一s ) 】 1 一u i = g ( j ) ( 1 f ( f ，j ) g ( s ) ，( f ，s ) 【o ，l j 【o ，l j ( 2 1 2 ) 因此對任意( f ，s ) o ，l 】 0 ，l 】，我們可得 g ( f ，s ) = j ：qo ，s ) 出胎( s ) 凼= 留( s ) g ( s ) ( 2 1 3 ) 最后，由式( 2 1 1 ) 很容易驗(yàn)證g ( f ，s ) 0 ，再結(jié)合式( 2 1 2 ) 和式( 2 1 3 ) 證明了定理 口 定理2 1 3 令o t 1 1 ，1 d 魯，則對任意( f ，s ) i 導(dǎo)川l 【o 1 】，格林函數(shù)滿足 n l uj g ( f ，j ) 丫g ( s ) ，其中o 旦：壘二! ! 一2 儀2 ( 1 + 0 【) y ， 當(dāng)f s t 1 時(shí) g ( f ，s ) f 2 ( 1 0 n 1 ) + f 2 s ( 儀一1 ) 9 0 )2 ( 1 + 儀) s ( 1 一占) 當(dāng)f t 1 占時(shí) 即g ( f ，s ) 丫g ( j ) f 2 ( 0 【一1 ) 2 【l + 伐) 【l s ) ! 塹二! 1 2 ( 1 + 0 l ) 旦：魚二1 2 2 0 l2 ( 1 + 0 【) y ， g ( f ，s ) 一 f 2 ( 1 一墨) g ( s )2 ( 1 + a ) j ( 1 一s ) f 2 2 ( 1 + 伐) s ! ： 2 ( 1 + a ) 旦： 一缸2 ( 1 + 0 l ) 1 ， 口 非線性三階三點(diǎn)邊值問題的正解 2 2 一個正解的存在性結(jié)果 我們首先定義厶= 姆掣，六= 嫩掣 在本節(jié)中我們使用的工具是錐上的拉伸與壓縮不動點(diǎn)定理，也稱g 1 l o 心a s n o s e l 幽i 不動 點(diǎn)定理 定理2 2 1 ( 錐拉伸與壓縮不動點(diǎn)定理) 【柏，4 l 】設(shè)e 是b a n a c h 空間，kce 是一個錐， q l ，q 2 都是e 中的有界開子集，使得9 q 】，q lc q ：又設(shè)彳：k k 是全連續(xù)算子，如 果下列條件之一滿足： ( 1 ) 怕“l(fā) l i ，“kna q 且怕“l(fā) i i ，“k 廠、m ：；或者 ( 2 ) 0 彳“0 州l ，“k 廠、m 。且8 么“0 州i ，“k 廠、a q ： 則彳在kn ( q z q ，) 中至少有一個不動點(diǎn) 定理2 2 2 若下列條件滿足： ( 1 ) 兀= o 且六= ( 超線性) ；或者 ( 2 ) 厶= 且五= 0 ( 次線性) 則邊值問題( 2 1 ) ( 2 2 ) 至少存在一個正解 證明：令b a n a c h 空間e = c 【o ，1 】，賦予其范數(shù)惻l = 毽緊k ( f ) f 我們定義 r1 肛卜豇以幻 0 ，f 0 ，l l 娑凈訓(xùn)h l l 主， 顯然k c 是錐 對“k ，我們定義 么銘( f ) = j ：g ( f ，s ) 口( s ) ( j ) ) 凼， f o ，1 ( 2 1 4 ) 則由定理2 1 2 得 o 彳“o 2 蘭g ，s n s ) 廠掰占凼 ( 2 1 5 ) 拈( s ) 口( s ) 廠( “( s ) ) 出， f “o ，1 】 所以， 0 彳“i i j ：g ( s ) 口( s ) 廠( “( s ) ) 出 ( 2 1 6 ) 碩士學(xué)位論又 皇曼，哩曼曼皇魯舅皇葛曼量曼曼曼曼曼曼鼉曼寡曼曼皇摹曼鼉曼皇曼舅_ 曼曼曼鼉曼量量皇量皇暑曼鼉曼皇曼寡曼皇鼉量皇詈皇置 由定理2 1 3 和式( 2 1 6 ) 可得 么“( f ) = j ：g ( f ，s ) 口( s ) 廠( “( 占) ) 出 丫j ：g ( s ) 口( s ) 廠( “( s ) ) 幽 沖“l(fā) i ，f bj 因此， 早l i n 彳“( f ) yi i 爿“l(fā) l 言5 嘞 這就證明了似ck 進(jìn)一步我們可以檢驗(yàn)彳：k k 是全連續(xù)的，且彳的不動點(diǎn)就是邊值 問題( 2 1 ) ( 2 2 ) 的解 首先，我們考慮超線性情形：兀= o 且六= o o 由于五= o ，我們可選擇日l o 使得廠( “) ”，o “h 。，其中 0 滿足 ：g ( s ) 口( s ) 出1 ( 2 1 7 ) 所以，如果“k 且= h 。，則由定理2 1 2 及式( 2 1 7 ) 可得 彳“( ) = j ：g ( f ，j ) 口( j ) 廠( “( s ) ) 凼 j ：g ( j ) 口( s ) 廠( “( j ) ) 出 j ：g ( j ) 口( s ) “( j ) 出 j ：g ( s ) n ( s ) 凼 日，f 【0 ，1 】 現(xiàn)令q 。= 缸e ：l o 使得 ) p “，“日，其中p 0 滿足 丫pcg n ，s ) 口( 占) 出1 ( 2 1 9 ) 令日：m a ) 【 2 日，日丫) 及q ：= 函e ：m i ，“kr 、施： ( 2 2 0 ) 因此由式( 2 1 8 ) 、( 2 2 0 ) 及定理2 2 1 的第一部分可知，4 有一個不動點(diǎn)“k 廠、( 孬：q 。) ， 即為邊值問題( 2 1 ) - ( 2 2 ) 的正解 下面我們考慮次線性睛形：六= 且六= o 由于五= o o ，我們可選擇日， o 使得廠m ) 九“，o “日，其中九 0 滿足 研cg ( r 1 ，s ) 口( s ) 出1 ( 2 2 1 ) 則甜k 且叫l(wèi) = 吼時(shí)，由式( 2 2 1 ) 可得 么“n ) = j ：g 們，s ) 口( s ) 廠( “( s ) ) 凼 仨g m ，s ) 口( s ) 廠( “( s ) ) 凼 。n 九cg n ，s ) 口( s ) ”( s ) 出 砷罡g m ，s ) 口( s ) 出 現(xiàn)令q ，= 函e ： 0 使得廠 ) 肛，“m ，其中p 0 滿足 叫( s ) 口( s ) 出1 ( 2 2 3 ) 我們考慮兩種情形： ( 1 ) 假設(shè)廠是有界的，即對所有“【0 ，) ，廠 ) 在這種情形下我們可選擇 h 。= m a x 乜皿，j ：g o ) 口( s ) 出) ，則對任意 k 且l ：日。有 壩士掌位論文 么“( f ) = j ：g ( f ，s ) 口( s ) 廠( “( s ) ) 凼 j ：g ( j ) 口( j ) 出 礬，f o ，1 】 所以，怕“悱 ( 2 ) 假設(shè)廠是無界的，則可令只= m a ) 【仁馬，m ) 且使得當(dāng)o “日。時(shí)廠 ) 廠( 凰) 則對 任意“k 且i = 日。，由式( 2 2 3 ) 可得 么“( f ) = j ：g ( f ，j ) 口( j ) 廠( “( s ) ) 幽 j ：g ( s ) 口( s ) ( “( s ) ) 出 j ：g ( s ) 口( s ) 廠( 以) 出 i j l 日4 r g ( s ) 口( s ) 出 以= ，f “o ，l 】 所以，忙“i l 因此，無論是哪種情形，我們都可令q 4 = 似e ：m i 0 ， 定義 q ，= 如k ：m l r ) 假設(shè)彳：孬，_ k 是全連續(xù)算子且當(dāng)“m ，時(shí)彳“，則 ( 1 ) 如果“m ，時(shí)怕甜l i ，則f 0 ，q ，k ) = l ； ( 2 ) 如果”鼬，時(shí)0 彳甜0 叫l(wèi) ，則f ( 4 ，q ，k ) = o 定理2 3 2 若下列條件滿足： ( c 1 ) 厶= l = ： ( c 2 ) 存在正常數(shù)，和九 【i ：g ( s ( s ) 凼r 使得當(dāng)“【0 ，】時(shí)廠 ) s h 則邊值問題( 2 1 ) 一( 2 2 ) 至少存在兩個正解“。和 ：且憶0 r 忙：l i 非線性三階三點(diǎn)邊僵問題的正解 證明：令b a l l a c h 空間露= c 【o ，l 】，賦予其范數(shù)l = 罷警卜( f ) 1 我們定義 k = 卜脅鞏州叫，簍圳圳) 顯然kce 是錐 對“k ，我們定義 么“( f ) = p ( f ，s ) 口( s ) 廠( “( s ) ) 出， f 0 ，1 】 由定理2 2 2 知我們可證明似ck 且易檢驗(yàn)爿：k k 是全連續(xù)的，么的不動點(diǎn)就是邊值 問題( 2 1 ) 一( 2 2 ) 的解 首先，由于兀= ，故存在0 1 ( 2 2 4 ) 令q 。= 函k ： 0 “0 ， 從而 她“8 ，“孢。 故由定理2 3 1 的2 ) 可知 f 0 ，q 。，k ) = o ( 2 2 5 ) 其次，由于l = ，故存在吒 ，使得當(dāng)“托時(shí)，廠 ) m ：“，其中m ： 0 滿足 川：cg 們，s ) n ( s ) 出 1 ( 2 2 6 ) 令q 吒= 缸k ：惻l ， 從而 肛“l(fā) l l “m 咆 故由定理2 3 1 的2 ) 可知 f 0 ，q 恐，k ) = o ( 2 2 7 ) 最后，令q ，= 函k ：0 甜6 ，) ，則對于任意的“勰，由定理2 1 2 和條件( c 2 ) 可知 彳“( f ) = j ：g ( f ，s ) 口( s ) 廠( ”( s ) ) 出 j ：g ( s ) 口( j ) ( “( s ) ) 出 加j ：g ( s ) 口( s ) 出 r = ， f 【o ，1 】 從而 肛“l(fā) ，“m ， 故由定理2 3 1 的1 ) 可知 i ( 么，q ，k ) = 1 ( 2 2 8 ) 鑒于式( 2 2 5 ) 、( 2 2 7 ) 、( 2 2 8 ) 以及不動點(diǎn)指數(shù)的可加性可得 f 0 ，q ，孬。，k ) = l 且f 0 ，q 吩孬，k ) = 一1 ， 這表明么至少有兩個不動點(diǎn)”。q ，q ，- 及“：q 吃q ，即邊值問題( 2 1 ) 一( 2 2 ) 至少存在兩 個正解甜l 和“2 且 吒 l r i 盡g m 蚺 - l 使得當(dāng)“陋，日】時(shí)似) 刪 則邊值問題( 2 1 ) ( 2 2 ) 至少存在兩個正解“，和且憶8 日 陋。0 非線性三階三點(diǎn)邊僵問題的正解 證明：首先，由于= 0 ，故存在0 何。 0 滿足 胎( s ) 口( j ) 出 1 ( 2 2 9 ) 令q 甘。= 缸k ：惻i h ) ，則對于任意的“m 峨，由定理2 1 2 及式( 2 2 9 ) 有 彳“( f ) = j ：g o ，s ) 口( s ) 廠 o ) ) d 疊 j ：g ( s ) 口( s ) 廠( “( s ) ) 出 g ( s ) 口( s ) “( s ) 凼 j ：g ( s ) 口( s ) 凼 刪， f 【0 ，l 】 從而 怕“l(fā) l | 悱掰a q ” 故由定理2 3 1 的1 ) 可知 f 0 ，q 拭，k ) = 1 ( 2 3 0 ) 其次，由于無= 0 ，故存在0 日 o 滿足 川o ) 口o ) 凼 m a 】【每，胎( s ) 口( s ) 凼) ，則對任意”k 且i = 日：有 彳”( f ) = j ：g ( f ，s ) 口( s ) 廠( “( s ) ) 幽 j ：g ( j ) 口( s ) 出 日2 ，f 【o ，1 】 從而，怕“ 療且使得 廠( “) 廠( 日2 ) ，0 “日2 ( 2 3 2 ) 則對任意“k 且叫l(wèi) = h ：，由式( 2 3 1 ) 和式( 2 3 2 ) 可得 碩士學(xué)位論文 么“( f ) = j ：g ( f ，s ) 口( j ) 廠( “( s ) ) 出 j ：g ( 墨) 口( j ) 廠( “( s ) ) 凼 j ：g ( s ) 口( s ) ( 日：) 出 舊：j ：g ( s ) 口( s ) 凼 日2 ，f 【0 ，1 】 所以，洳i l | 蚪 因此，無論是哪種情形，我們都可令q 片：= 函e ：m l 日：) ，則對任意“a | q 日：都有 0 彳“ ，“m 故由定理2 3 1 的2 ) 可知 f 0 ，q 耳，x ) = o ( 2 3 4 ) 鑒于式( 2 - 3 0 ) 、( 2 3 3 ) 、( 2 3 4 ) 以及不動點(diǎn)指數(shù)的可加性可得 f 0 ，q 日五兩，k ) = 一l 且f 0 ，q 也孬口，x ) = 1 ， 這表明彳至少有兩個不動點(diǎn)“3 q 日q 曲及q 日，q 日，即邊值問題( 2 1 ) 一( 2 2 ) 至少存 在兩個正解“3 和且 。 陋，i l 。9 何： 口 非線性i 階三點(diǎn)邊值問題的正解 第3 章至少三個正解的存在性 本章我們研究邊值問題 “胛( f ) + 口( f ) 廠( “( f ) ) = 0 ，o f l ， 甜( 0 ) = “( 0 ) = 0 ，“( 1 ) = 0 l “( r 1 ) ， ( 3 1 ) ( 3 2 ) 其中o t 1 1 ，1 a ! 通過著名的l e g g e t t w i l l i a m s 不動點(diǎn)定理我們建立了邊值問題 t 1 ( 3 1 ) ( 3 2 ) 至少三個正解的存在性，進(jìn)一步，我們證明了對任意的正整數(shù)m 邊值問題( 3 1 ) 一( 3 2 ) 至少2 m 1 個正解的存在性 3 1 基本概念及定義 本節(jié)我們先介紹一些基本概念及定理 定義3 1 1 設(shè)e 是b a n a c h 空間，p 是e 中的一個錐，如果o ：pj 【0 ，+ o o ) 是連續(xù)的，且對所 有工，) ，p 和0 f l 都有 o ( 紅+ ( 1 一f ) y ) f g ( x ) + ( 1 一f ) o ( 少) 則稱6 是尸上的非負(fù)連續(xù)凹泛函 設(shè)口，6 為非負(fù)常數(shù)且0 口 6 ，6 是