（運(yùn)籌學(xué)與控制論專業(yè)論文）不完全信息下的風(fēng)險(xiǎn)最小復(fù)制策略.pdf

摘要 本文研究不完全信息下的風(fēng)險(xiǎn)最小復(fù)制問題。在已有的文獻(xiàn)中，在討 論此問題時(shí)，對獲取信息有花費(fèi)的情形沒有作過深入的研究。然而在現(xiàn) 實(shí)生活中，這種假設(shè)是合理的，因?yàn)橥顿Y者為獲取市場的信息，必須要花 費(fèi)一定的功夫或者從中介機(jī)構(gòu)手中得到，所以研究此問題是有必要的。 本文就此問題展開了討論。 文章首先考慮的是獲取信息無花費(fèi)，且假定投資者只能獲取市場中 部分信息的情形。隨后我們考慮了獲取信息有花費(fèi)的問題。在考慮這一問 題時(shí)，本文分別考慮了完全信息和不完全信息下的風(fēng)險(xiǎn)最小復(fù)制策略。 本文將告訴我們：在適當(dāng)條件下風(fēng)險(xiǎn)最小復(fù)制策略是存在唯一的。 本文的結(jié)構(gòu)安排如下：第一節(jié)是引言；第二節(jié)給出信息獲取無花費(fèi)的 一般模型和本文所需要的基本概念；第三節(jié)討論信息獲取無花費(fèi)時(shí)不完 全信息下的風(fēng)險(xiǎn)最小化；第四節(jié)考慮了信息獲取有花費(fèi)的情形。此時(shí)以 往定義的累積補(bǔ)償過程不能直接應(yīng)用，為此我們把累積補(bǔ)償過程的定義 進(jìn)行了一定的拓展；第五節(jié)考慮信息獲取有花費(fèi)時(shí)不完全信息下的風(fēng)險(xiǎn) 最小化。 關(guān)鍵詞：復(fù)制，風(fēng)險(xiǎn)最小策略，不完全信息，信息獲取有花費(fèi)，累積 補(bǔ)償過程。 1 1 1 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s w ep r o v i d eac o n s t r u c t i o no f r i s k m i n i m i z i n g d u p l i c a t i n gs t r a t e g i e si nt h ec a s ew h e r et h e r ea r er e s t r i c t i o n so nt h ea v a i l a b l e i n f o r m a t i o n w er e s p e c t i v e l yd i s s c u s st h es i t u a t i o nw i t ho rw i t h o u t c o s tf o rr e c e i v i n gi n f o r m a t i o n u n d e rp r o p e rc o n d i t i o n sw ep r o v et h a t t h e r ee x i s t sau n i q u er i s k m i n i m i z i n gc o p ys t r a t e g y k e yw o r d s ：o p t i o n ，d u p l i c a t i n g ，r i s k m i n i m i z i n gs t r a t e g y ，p a r t i a l i n f o r m a t i o n ic u m u l a t i v ec o s tp r o c e s s 常用符號 符號匯編 n 維實(shí)數(shù)空間 v ( 對于) 所有 ( n ，f ) p )概率空間 ( n ，e ，p ) 帶流的概率空間，= 五k o e ( 隨機(jī)變量) 的數(shù)學(xué)期望 一( f )由( 隨機(jī)變量) 產(chǎn)生的一代數(shù) 五一一一域流，的左極限，五一= a ( u 五) s m 2 ( q ，)關(guān)于q 平方可積p 鞅構(gòu)成的h i l b e r t 空間 三，( 野，0 )而可測，p 次q 可積的隨機(jī)變量的全體，它的元素z 賦予范 數(shù)i i lj 口= ( e 白i $ i ) 1 9 + o c ( 1 p + o 。) ( ，)平方變差過程 ( ，) 日內(nèi)積空間h 中的內(nèi)積 h - a 可測過程h 關(guān)于有限變差過程a 的積分 妒x 可測過程x 關(guān)于，的可料投影 肛一有限變差過程a 產(chǎn)生的測度 盧曠測度肛關(guān)于，的可料投影 a 妒 可積有限變差過程a 關(guān)于，的可料對偶投影 0 為一個(gè)固定的時(shí)界假定市場中存在等價(jià)鞅 測度q ，且假定市場中恰有兩種資產(chǎn)，一種為無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，價(jià)格始終為1 ；一種為風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)， 價(jià)格過程s ( ) 在等價(jià)鞅測度下0 下為一個(gè)r c l l 平方可積鞅 定義21 空間l ；( o ，t ；q ，s ) 包含一切實(shí)值p 可料過程( ) 滿足： ，t e q 2 ( “) d ( s ) 。】 。， j u 其中，( s ) ( s ，s ) 為s ( ) 的平方變差過程 定義2 2 稱過程y ( ) ：= ( ) s ( ) 十q ( ) 為財(cái)富過程，如果它滿足：e o s u pj y ( t ) i ) 2 o o ， 且y ( ) 為r c l l 的其中，( ) 三多( o ，t ；q ，s ) ，q ( ) 為7 - 適應(yīng)的，f ( t ) 與”( t ) 分別為時(shí) 刻t 投資者擁有的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)與無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的數(shù)量 時(shí)刻t 的總財(cái)富為v ( t ) ，由定義2 2 ，于是，形式上，我們有 d v ( t ) = s ( t ) d ( t ) + d r ( t ) + f ( t ) d s ( t ) ，( 2 1 ) 在( 2 1 ) 中，右端第三項(xiàng)是由于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格瞬時(shí)變化導(dǎo)致的財(cái)富變化而前兩項(xiàng)則表示資 金的瞬時(shí)注入或抽取導(dǎo)致的財(cái)富變化我們用c ( t ) 代表 o ，t 上的累積補(bǔ)償，它是從初始時(shí) 刻0 到時(shí)刻t 之間注入資金或抽取資金的累積和，并且它是r c l l 的，一_ 適應(yīng)過程因此， 由定義2 2 和( 2 1 ) ，我們應(yīng)有 d v ( t ) = d c ( t ) + ( t ) d s ( t ) ， 從而，我們有 y ( t ) 一礦0 ) = c ( t ) 一g ( 5 ) + f ) d s ( “) ，0 s t t ， j8 特別地 v ( t ) = v ( o ) 十e o ) 一c ( o ) + ( “) d s ( “) ， j 0 由于c ( o ) 為初始的資金注入( 或抽取) ，它應(yīng)該恰為初始財(cái)富，故v ( o ) = a ( o ) ，從而 ，t v ( t ) = g ( t ) + ( u ) d s m ) ( 2 , 2 ) j 0 2 這樣y ( ) 有兩個(gè)表達(dá)式，由此可知( ) ，q ( - ) 和g ( ) 不是獨(dú)立的，它們滿足約束： ( t ) s ( t ) + 叩( t ) = c ( t ) + f ( u ) d s ( u ) ， j 0 所以有 ( z ) = g ( ) + z ( u ) d s ( “) 一( t ) s ( t ) ( 2 3 ) 由( 2 3 ) ，我們只要有了( 一) 與g ( ) ，那么我們就可以得到q ( ) ，因此我們定義，一策略如下 定義2 3 稱( ( ) ，g ( ) ) 為一個(gè)，一策略，如果它滿足：f ( ) 三 ( o ，t ；q ，s ) ，g ( ) 為 r c l l 的，- _ 適應(yīng)過程由定義2 1 與定義2 2 可知g ( ) 為平方可積過程 定義2 4 ，給定h c 2 ( 乃、，q ) ，稱5 r _ 策略( f ( ) ，g ( ) ) 為h 的一個(gè)復(fù)制策略，如果它滿 足： v ( t ) = h ( 2 4 ) 定義2 5 稱5 r _ 策略( ( ) ，g ( - ) ) 為自融資的，如果它滿足： c ( t ) = 礦( o ) ，vt 0 ，卅 命題2 6 一個(gè)j r - 策略( f ( ) ，g ( - ) ) 為自融資的，當(dāng)且僅當(dāng) r v ( t ) 一y ( s ) = f ( “) d s ( “) ，v0 s t t ( 2 5 ) 證明：我們先證命題的必要性若策略( ( - ) ，g ( ) ) 為自融資的，則有 c ( t ) = v ( o ) ，v t 0 ，明 因此由( 2 2 ) ，對任何0 s t s t ， c ( 8 ) 一7 ( u ) a sc u ) 下面我們證命題的充分性若對任何0 s t 墨t ， 即) 一m ) = ，洳) 蚓“) 由( 2 2 ) ，則有，對任何0 s tst ， c ( t ) 一g ( s ) = 0 ， 3 s “腳 y + 江 ”序 y | f j | 特別地 c ( t ) ；c ( o ) = y ( o ) ，v t 0 ，卅 本命題得證 定義2 7 給定h c 2 ( 乃，q ) ，稱日為可套期保值的，如果存在策略( f ( ) ，g ( ) ) 使得 y ( t ) 2 日， ( 2 6 ) c ( t ) = y ( o ) ，v t 0 ，卅 并稱策略( f ( ) ，g ( ) ) 為日的一個(gè)套期保值策略 綜合定義2 4 ，2 5 和2 7 可知，( ( ) ，g ( ) ) 為日的一個(gè)套期保值策略當(dāng)且僅當(dāng)它是日的 一個(gè)自融資的復(fù)制策略值得注意的是，由定義2 4 ，任何未定權(quán)益h 總是可復(fù)制的，因 為可以通過選擇適當(dāng)?shù)膅 ( t ) 但是復(fù)制策略( ( ) ，g ( ) ) 未必是自融資的 我們定義策略( f ( ) ，g ( ) ) 的f 一風(fēng)險(xiǎn)過程為 冗( t ；f ，c ) = e q ( c ( t ) 一g ( t ) ) 2 五】 一f 2 7 ) = ( y ( t ) 一f m ) d s ( “) 一y ( t ) ) 2 1 五 ，0 t t 它在某種程度上刻畫了在任何剩余時(shí)區(qū)p ，t 上資金注入和抽取的頻繁程度理性的人們當(dāng) 然希望盡量減少不必要的資金注入和抽取 一個(gè)f 一策略描述的是這樣的動態(tài)組合：f ( t ) 為時(shí)刻t 所擁有的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的數(shù)量，c ( t ) 為從初始時(shí)刻0 到時(shí)刻t 的累積補(bǔ)償，那么v ( t ) 就是時(shí)刻t 所擁有的財(cái)富，它是當(dāng)前累積 補(bǔ)償加上風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格變動帶來的收益隨機(jī)變量日稱為未定權(quán)益，它代表的是未定權(quán)益 出售者在未定權(quán)益到期時(shí)刻t 的潛在支付當(dāng)財(cái)富過程y ( ) 不必滿足任何約束時(shí)，總可取 e ( ) ；c ( o ) ，從而，- - 風(fēng)險(xiǎn)過程恒為零( 此時(shí)j - _ 策略( ( ) ，g ( ) ) 為自融資的，因此，對于自 融資策略，一- 風(fēng)險(xiǎn)過程為零) 而當(dāng)y ( ) 需要滿足某些約束時(shí)，比如要求v ( t ) = h ( 即，一 策略( ( ) ，e ( ) ) 為日的一個(gè)復(fù)制策略) ，則，一風(fēng)險(xiǎn)過程可能非零不過當(dāng)市場完備時(shí)( 即任 何未定權(quán)益均可套期保值) ，則p 一風(fēng)險(xiǎn)最小策略是自融資的，從而它對應(yīng)的，一風(fēng)險(xiǎn)過程恒 為零 定義2 8 稱f - 策略( 虧( ) ，蠆( ) ) 是f 一風(fēng)險(xiǎn)最小策略，如果對任何，- 策略( ( ) ，g ( ) ) ， 以及任何t 0 ，列，只要 i v ( t ) = y ( t ) ，q o 3 ， f ( s ) = i ( 8 ) ， s t ，( 2 8 ) ie ( s ) = c ( 8 ) ，s t ， 4 就有 兄( t f ，c ) r ( t ；，e ) ，q a8 命題2 9 一個(gè)戶策略( ( ) ，召( ) ) 為，。風(fēng)險(xiǎn)最小策略，當(dāng)且僅當(dāng) r ( t ；，c ) r ( t ；f ，g ) ， qa 8 對任何t 0 ，明，任何f - 策略( ( ) ，g ( ) ) 滿足v ( t ) = 礦( t ) 證明：由定義2 8 可得命題的充分性下證必要性若存在 o ，卅和，一策略( 虱) ，口( ) ) 滿足礦( t ) = 礦( t ) ，q 一，有 r ( 毛孛) 0 ， 在時(shí)刻r ( 0 ) 開始觀測價(jià)格，如果在r ( 1 ) 時(shí)刻價(jià)格首次離開區(qū)間p ( ) 一，s ( 伯) + 】，就在 這一時(shí)刻上寫一個(gè)符號x 或o ，價(jià)格達(dá)到上界就寫x ，否則寫0 然后以7 ( i ) 替換r ( o ) ，重 復(fù)以上過程，我們就得到時(shí)刻( r ( 女) ) 和每個(gè)時(shí)刻所對應(yīng)的符號這樣得到的表格稱為p o i n t a n d f i g u r ec h a r t 值得注意的是通過這種篩選，一些小的，不顯著的價(jià)格變動信息就被 去掉了，只留下了一些重要的價(jià)格信息，通過這些信息，我們構(gòu)造策略，這就是p o i n ta n d f i g u r ec h a r t 技術(shù)分析，上述的股票價(jià)格樣本法常用于此類技術(shù)分析之中( 詳見f 3 ) 因?yàn)橛^測s ( t ) 與觀測其對數(shù)值l ( t ) = l o g s ( t ) 是等價(jià)的，由假設(shè)投資者只能在隨機(jī)時(shí)刻 r ( ) 觀察測到三( t ) 我們用一代表不晚于t 時(shí)刻且離t 時(shí)刻最近的可以觀測到風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià) 格的時(shí)刻，即 一= m “ r ( i ) 吐( 3 9 ) 8 u 一 h 協(xié)班= 他p 仉二二c ，) = u = 批柑科 于是投資者所獲得的信息集 元) 為 五：a ( 三( ) ，r ( i ) t ) ，乒 = 口 工( t ( i ) ) ，r ( i ) t ，l t ( 3 1 0 ) 值得注意的是( 見 2 ) 不完全信息下的風(fēng)險(xiǎn)最小復(fù)制策略可以通過把完全信息下的風(fēng)險(xiǎn) 最小復(fù)制策略作投影而得到，因此，我們下面首先討論完全信息下的風(fēng)險(xiǎn)最小復(fù)制策略， 然后再拓廣到不完全信息的情形這一節(jié)中我們只考慮形如日( s ( t ) ) 的未定權(quán)益，其中 命題3 1 假定護(hù)，b ，“h ，滿足一定的條件( 參見附錄定理4 ) 函數(shù)，。( t ，s ，y ) 在 o ，t x 0 ，o o ) r 上滿足方程 + 幫n 口+ ( s 2 ，品2 十島6 2 + 2 s 儡砷p ) = o 在 0 ，卅 0 ，o o ) r 上， ( 3 1 1 ) if q ( t ，s ，y ) ；h ( s ) 在 0 ，o 。) 爬上 則產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)最小復(fù)制策略為( ( ) ，蠆( ) ) j 確= 詹( 啪( 味y ( t ) ) + 9 ( 吼6 p 彤) ( 埔( 吼y ( 呦， (312),t l蠆o ) = f q ( o ，s ( o ) ， ，( o ) ) 4 - f ( 弗6 1 一p 2 ) ( ，s ( u ) ，y ( “) ) d w 2 ( “) 且此時(shí)的，一_ 最小風(fēng)險(xiǎn)為 月( f ；i ，蠆) = 場( ( ( ，羅6 、7 可) ( “，s ( n ) ，y ( “) ) 2 d “l(fā) y 4 ( 3 1 3 ) 其中( s ( ) ，y ( ) ) 為( 3 6 ) 的解，而 9 ( 。) 2 麗砥桶 ( 3 1 4 ) 證明：對f q ( t ，s ( t ) ，y ( t ) ) 運(yùn)用伊藤公式把它寫成隨機(jī)微分方程的形式，我們有 ：，口( 0 , s o , y o ) + z 丁即) ( 詹州t ，s ( 地y ( 圳d 形( t ) + j ( r ( 幫如) ( 屯s ( 味y ) d 兩( t )j o ut 十 ( 幫6 、r = 孑) ( t ，s ( t ) ，l ，( t ) ) d w 2 ( t ) ju 一 + ，1 鏟( ，s ( t ) ，y ( t ) ) + ( 幫。口) ( t ，s ( t ) ，y ( t ) ) d 2 j 0 9 + ；s 2 ( t ) ( 廠品口2 ) ( t ，s ( t ) ，y ( t ) ) + 2 s ( t ) ( f q ：b p ) ( t ，s ( t ) ，y ( t ) ) d t + 正( ，咒6 2 戶2 ) ( t ，s ( f ) ，y ( t ) ) 十( ，品6 2 ( 1 一p 2 ) ) ( t ，s ( ) ，y ( t ) ) d t = f q ( o ，s o ，y o ) + f ( 幫6 訂二7 ) ( t ，s ( ) ，y ( t ) ) d w 2 ( t ) + 0( ( 。，s ( t ) ，y ( t ) ) + 9 ( t ) ( 6 p 鑼) ( t ，s ( f ) ，y ( t ) ) ) s ( f ) 盯( t ，s ( t ) ，y o ) ) d w ( t ) + s f ( t ，s ( ) ，y ( ) ) + ( 幫口。) ( t ，占( ) ，l ，( ) ) d t + ；上 s 2 ( t ) ( 儡盯2 ) ( t ，s ( z ) ，y ( z ) ) + 2 s ( t ) ( 躦口b p ) ( t ，s ( t ) ，y ( ) ) d t + ；廠1 ( s t y b 2 ) ( t ，s ( t ) ，y ( t ) ) 出 ( 3 1 5 = f q ( o ，島，y o ) + f ( 腰6 萬二_ ) ( t ，s ( ) ，y ( t ) ) d w 2 ( t ) + 上( s z ( t ，s ( t ) ，y ( ) ) + g ( t ) ( b p f q ) ( t ，s ( t ) ，y ( t ) ) d s ( t ) + ts p i t ，s ( t ) ，( t ) ) + ( 幫o 。) ( t ，s ( t ) ，y ( t ) ) d t + ；zs 2 ( t ) ( 恩) ( ，s ( t ) ，y ( t ) ) + 2 s ( t ) ( 巷口6 p ) ( t ，s ( t ) ，y ( t ) ) d t + ( ，品6 2 ) ( t ，s ( t ) ，y ( ) ) d t j0 由假定i q ( 。，s y ) 在i o 刁 0o 。) 皿上滿足方程( 3 1 1 ) ，那末( 3 1 1 ) 與( 3 1 5 ) 合起來顯然 有 h ( s ( t ) )= f q ( t ，s ( 丁) ，y ( t ) ) = f q ( o ，荊，l ，( o ) ) + o(鑼6訂二)(t，剛，y()dw0 2 ( t ) f 3 1 6 ) m 、 o 1 ”， + 上( z 2 ( t ，s ( t ) ，( t ) ) + g ( t ) ( b p f q y ) ( t ，s ( t ) ，y ( t ) ) ) d s ( t ) 這里，口( o ，s ( 0 ) y ( o ) ) 馬上( 鑼6 印) ( t ，s ( 鞏y ( 啪d w 2 ( t ) 為q 一鞅，正交于q 一鞅 s ( ) 由( 2 9 ) ，可知( 3 - 1 6 ) 就是日的g - k - w 分解，因此我們可以得到( 3 1 2 ) 和( 31 4 ) 這時(shí) 于是本命題得證 兄( t ；i ，_ ) = ( 釁一釁) 2 = ( ! ( 肪廁( u ，s ( u ) ，y ( “) ) d w 2 ( 。) ) 。i 五 儔 。一“ =eqi(幫6、f_)(，s(u)，k)2d“阿, 1 0 接下來我們希望求出，一風(fēng)險(xiǎn)最小復(fù)制策略對此問題s c h w e i z e r 在1 9 9 4 年有下面的結(jié) 定理3 2 對于給定h c 2 ( 島，q ) ，存在唯一的乒一風(fēng)險(xiǎn)最小復(fù)制策略( 虱) ，0 ( ) ) ： 愫黛戮e q h 鄧幅“腳 慨 l g ( ) = f ( t ) s ( t ) + 一f ( ) s ( t ) j 五 一f ( u ) d s ( u ) 其中j ( ) 為5 - 風(fēng)險(xiǎn)最小復(fù)制策略的分量 由命題3 1 ，我們已經(jīng)得到了盧風(fēng)險(xiǎn)最小復(fù)制策略( i ( ) ，口( ) ) ( 見( 3 1 2 ) ) ，因此乒一風(fēng) e q c y 2 i t ，s ( t ) ，y ( t ) ) 鏟( t ) ( t ) j 元一 根據(jù)我們的模型，投資者在相領(lǐng)的停時(shí)之間不收到顯著的信息，因此我們假設(shè)投資者 只在停時(shí)時(shí)刻才改變其投資策略中的虱) ，這樣虱) 就是分段常值的即可，設(shè)其為虱) = l 。1 i r a ，( 。) 荊州刪( ) - ( 3 1 9 ) 4 信息獲取有花費(fèi)的情形 現(xiàn)在我們考慮獲取信息需要花費(fèi)的情形也就是說投資者要知道市場的信息，必須要 支付一定的費(fèi)用我們首先考慮支付一定的費(fèi)用獲取全部信息的情形這種費(fèi)用是事先給 定的，就像買報(bào)紙一樣，每種報(bào)紙的價(jià)格是事先給定的，你要獲取報(bào)紙上的信息必須要支付 一定的費(fèi)用 給定適應(yīng)過程n = ( ( t ) ) o ! t s t ，它表示投資者的累積支付過程，為平方可積的r c l l 過程，且它的樣本函數(shù)以概率l 單調(diào)不減對任意的0 s t t ，( t ) 一( s ) 代表投資者 為獲取( s ，t j 上全部信息所要支付的金額假定( o ) = 0 ，且假定風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格過程s ( ) 為關(guān)于( ，0 ) 的r c l l 平方可積鞅 警 幽襻 一 塑郾塑城邀 萋 由于信息的獲取是有花費(fèi)的，因此時(shí)刻t 的財(cái)富y ( ) ，應(yīng)該解釋為投資者在時(shí)刻t 支付 完【0 ，t 上全部信息獲取費(fèi)用后所擁有的財(cái)富從而，在( t ，t + 胡上 y ( 。+ d ) 一y ( 。) ( 4 1 1 = c ( t + 6 ) 一c ( t ) + ( ) ( s ( t + 5 ) 一s ( t ) ) 一( n t + d 一( t ) ) ， 這里( t ) s ( t + j ) 為 t ，t + d ) 上所持有的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)在時(shí)刻t + 5 的市值，( t ) s ( t ) 為時(shí)刻t 所 持有的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的市值，這兩項(xiàng)相減代表在( t ，t + 卅上相應(yīng)于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格變動帶來的收 益；c ( t + d ) 一c ( t ) 代表( t ，t + 司上的累積補(bǔ)償；n ( t + d ) 一n ( t ) 代表投資者為獲取( t ，t + 圳 上的信息所要支付的費(fèi)用那末由( 4 1 ) 我們可以得到 d v ( t ) = d c ( t ) + ( ) d s ( t ) 一d n ( t ) ， = e 白 ( y ( ? ) 一y ( t ) 一 (讓)ds(u)+(t)一(t)217dft 、3 ( 4 ) 蚤簍 a ， 24 0 +usd 吣f r 一 礦 y = l | 砷( e 口 有以所 對任何t 0 ，糾，任何，一- 策略( ( ) ，a ( ) ) 滿足v ( t ) = 礦( t ) 其證明與命題2 9 相同 現(xiàn)在，我們敘述在信息獲取是有花費(fèi)的情況下，在完全信息下，復(fù)制策略風(fēng)險(xiǎn)最小化問 題 問題( m e ) 在信息獲取是有花費(fèi)的情況下，給定h l 2 ( j ：r ，q ) 與n ，尋找h 的產(chǎn) 風(fēng)險(xiǎn)最小復(fù)制策略 命題4 3 給定，對任何，- _ 策略( f ( ) ，g ( ) ) ，定義 j( t ；，c ) = e q f y ( t ) l 五 ，q 一。s ，0 s t t ， 【h ( t ) = e q 【( t ) 矧，q m s ，0 t 莖t 對任何t o ，司，構(gòu)造蠆( ) 如下， g ( s ) = g ( s ) + 噼( s ；，c ) 一y 0 ) 十 ( s ) 一( s ) m ，卅( s ) 則策略( ；( ) ，蠆( ) ) = ( ( ) ，刁( ) ) 滿足 v ( t ) = y ( t ) ，q o s ， 蠆( t ) 一百( s ) 1 只 = 0 ，q o s t ， r ( s 高c ) 且( s ；享，蠆) ，q a s t ， 證明：固定t 和f ( ) ，g ( ) ，由( 4 7 ) ，顯然有( 4 8 ) 成立而當(dāng)s t 時(shí) 我們可以得到 u ( t ) 一蠆( 3 ) = v ( t ) 一v ( s ) + n ( t ) 一n ( s ) ，t 一脾0 ；f ，g ) 一y ( s ) + ( s ) 一( s ) 一f ( 釷) d s ( “) 餌 = 礦( t ) 一( s ；f ，g ) 一 0 ) + ( t ) 一f ( t ) d s 托) ， 由( 4 6 ) 與( 4 1 1 ) ，我們有( 4 9 ) 成立而( 4 1 1 ) 又等于 ( 4 6 ) ( 47 ) ( 4 8 ) ( 4 9 ) ( 4 1 0 ) 由( 4 2 ) 與( 4 7 ) ， ( 4 1 1 ) c ( t ) 一g ( s ) + 0 ) + y ( s ) 一( 8 ) + 七( s ；，g ) ) ， 又由( 4 1 1 ) 與( 4 1 2 ) ，顯然有 ( c ( t ) 一c ( s ) ) 2 = ( 蠆( t ) 一才( s ) ) 2 2 ( 蠆( t ) 一百0 ) ) ( ( s ) + y ( s ) 一 ( s ) 一女( s ；，e ) ) + ( ( s ) + y 0 ) 一 0 ) 一k 0 ；f ，g ) ) 2 1 3 f 4 1 2 1 ( 4 1 3 ) 那么由( 4 3 ) ，( 4 9 ) 和( 4 1 3 ) 可知 r ( s ；手，蠆) 十e d ( v ( s ) + ( s ) 一 ( s ) 一七( 5 ；，g ) ) 2 l 兀 = r ( s ；f ，g )( 41 4 ) 由( 4 1 4 ) ，( 4 1 0 ) 顯然成立于是本命題得證 命題44 給定n ，若策略( ( ) ，g ( ) ) 是f 一風(fēng)險(xiǎn)最小策略，則e ( ) 是t - 鞅 證明： 像上面命題一樣構(gòu)造策略( i ( ) ，百( ) ) = ( ( ) ，蠆( ) ) ，這時(shí)令t ：0 ，因?yàn)椴呗?( ( ) ，a ( 。) ) 是，_ 風(fēng)險(xiǎn)最小策略，由( 4 1 4 ) 可得y ( ) + ( - ) 與 ( ) 十 ( ；f ，g ) 是互為修正( 見 附錄定義5 ) ，又都是r c l l 的，所以是無區(qū)別的( 見附錄定理6 ) 所以我們有 c ( t ) = v ( t ) 一( “) d s ( “) + n ( t ) 。乳 = y ( t ) 一， ( “) d s ( 玨) 一( y ( t ) + ( ) ) + ( h ( t ) - i - 七( 乇，g ) ) + n ( t )( 4 1 5 ) ，t 。u z 如) 酊( ) “) ， 而( ；f ，g ) ， ( ) ，( “) d s ( u ) 為f - 鞅于是本命題得證 定理4 5 給定與h 2 ( 而，q ) ，令h + n ( t ) 的g - k w 分解為 日+ ( t ) ：咿州t ) + f t p 咐( t ) d s ( t ) + m h + 【r ( r ) ，( 4 1 6 ) j 0 則問題( m g ) 存在唯一的h 的戶風(fēng)險(xiǎn)最小復(fù)制策略( 虱) ，蠶( ) ) ，且由下式給出 虱t ) = f 日+ ( t ( ) ， o ：鏟州r ) + m 剛( t m ) ， 。1 7 且此時(shí)的，一_ 最小風(fēng)險(xiǎn)為 兄( t ；0 ) = e q ( m h q - n ( t ( t ) 一 彳h + ( t ( t ) ) 2 i 五】( 4 1 8 ) 證明：我們首先證明h 的f 風(fēng)險(xiǎn)最小復(fù)制策略的存在性由h + ( t ) c 2 ( 乃，q ) ， 我們可得它的g - k w 分解為( 4 1 6 ) 其中詔+ ( t ) 豫，m h + _ ( 丁( ) m 2 ( q ，) ，滿足 e q m h + ( 7 ( o ) = 0 ，m h + ( t ) ( ) 正交于s ( ，) 由( 4 1 6 ) ，我們就可以得到 阻十( t ) ：鏟州t ) + 廠。f h + v ( t ( u ) d s ( “) 十m h + ( 即( t ) ，q m 虬( 41 9 ) j 0 因此由( 4 1 9 ) ，我們可以把( 4 1 6 ) 改寫成 日+ ( t )= v + ( t ) + 1f h + ( t ( t ) d s ( t ) + m + v ( f ( t ) = e 。 j 丁+ ( t ) 五】+ t j = + ( t ) ( “) d s ( ) ( 4 2 0 ) 十 彳盯十。( t ) ( t ) 一m 日+ v ( r ) ( t ) ， 由( 4 2 ) ，( 4 1 6 ) 和( 4 2 0 ) ，對日的任何一個(gè)復(fù)制策略( f ( ) ，g ( ) ) ，我們可以把c ( t ) 一g ( ) 寫成 ，t c ( t ) 一g ( t ) = h 一f ( u ) d s ( u ) + n ( t ) j o r t y ( t ) + f ( u ) d s ( “) 一n ( t ) = 日+ ( t ) 一1 ) d s ( 讓) 一礦( t ) 一v ( t ) ( 42 1 ) 幾 ，t = e q h + ( t ) 1 五】+ ( h + ( t m ) 一 ( u ) ) d s ( 札) + m 日+ 。( r ) ( t ) 一m 日+ ( t ) ( t ) 一v ( t ) 一( t ) ， 而s ( ) ，m 十。v ( 丁( ) ，德日+ 1 v ( r ( 釷) 一f ( u ) ) d s ( u ) 為f 一鞅，m h 十。v ( t ( ) 正交于s ( ) ，因此由 ( 4 2 i ) ，我們可以得到 兄( t ；f ，a ) = ( e q 日+ n ( t ) f s c t 】一y ( ) 一( ) ) 2 + ( h + ( t 心) 一f ( “) ) 2 d ( s ) 。f 五】 ( 4 2 2 ) j t + e 。 ( 訂日十( t ) ( t ) 一m h + ( t ) ( t ) ) 2 i 五】， 在( 4 2 2 ) 中，前兩項(xiàng)與策略的選取有關(guān)，而最后一項(xiàng)與策略的選取無關(guān)，因此我們可以得到 月( ；f ，g ) e 。 ( 礦h + v ( t ( t ) 一m h + 。v ( t ( t ) ) 2j 五 = r ( i 己a ) ， ( 4 2 3 ) 其中虱) ，0 ( ) 由( 4 1 7 ) 給出這表明( 虱) ，0 ( ) ) 為日的一個(gè)，一風(fēng)險(xiǎn)最小復(fù)制策略，且此時(shí) 的，一最小風(fēng)險(xiǎn)為( 4 1 8 ) 下面我們證明，一風(fēng)險(xiǎn)最小復(fù)制策略的唯一性假設(shè)另外有一，一風(fēng)險(xiǎn)最小復(fù)制策略， 設(shè)為( ( - ) ，蠆( ) ) ，由( 4 5 ) ，我們可知策略對日的任何一個(gè)復(fù)制策略( ( ) ，g ( ) ) 有 置( o ；f ，c ) 兄( o ；f ，g ) ， ( 4 2 4 ) 由( 4 2 ) ，我們可以得到 r r 2 硇 ( d ( ? ) 一e ( o ) ) 2 = e q ( h + ( t ) 一g ( o ) 一亭( “) d s ( ) ) 2 ， ( 4 2 5 ) j 0 】5 我們知道2 ( 廳，q ) 按范數(shù)忪怯( 廳剮2e q ( z 2 ) 成為h i l b e r t 空間，而 z ( “) d s ( “) lf ( ) l ；- ( 0 ，t ；q s ) ) 為c 2 ( 乃、，q ) 的線性子空間，所以由( 4 2 4 ) 可得到 場 ( 日+ ( t ) 一y ( o ) 一oe ( u ) d s ( u ) ) 上( u ) d s ( u ) = o ，( 4 2 6 r t ) r 而( 4 2 6 ) 等價(jià)于 e 。 ( 日+ n ( t ) 一o t 手( “) d s 沁) ) 上t f ( u ) d s 0 ( “) 1 = 。，( 4 2 7 ) j 0 再由( 4 z 6 ) ，( 4 2 7 ) 可寫為 r i4 e q ( m 日+ ( r ( t ) + 睡h + ( t ( t 上) 一享( 仳) ) d s ( u ) ) ( u ) d s ( u ) 】= 0 ，( 4 2 8 ) j 0j0 而m 爿+ ”( ( ) 正交于s ( ) ，( 42 8 ) 可寫為 礎(chǔ)o t ( h - f n ( t 刊腳) ) z t 如腳) l _ 0 ，(429)0 e o ( u ) 一享( u ) ) d s ( 釷) ) ( ) d s ( 釷) 】= ， ( 4 j 在( 4 2 9 ) 中，取f ( ) 為日+ v ( t ) ( ) 一i ( ) ，我們就可得到 ( 日+ ( t ( “) 一手( u ) ) 2d ( s ) 。 = o ， ( 4 3 0 ) j 0 由( 4 3 0 ) ，我們有 舶= f 日+ ( r ( ) = 虱) ，q m n( 4 3 1 ) 又由假設(shè)( ( ) ，蠆( ) ) 為h 的，一- 風(fēng)險(xiǎn)最小復(fù)制策略，由命題4 4 可知蠆( ) 為了一- 鞅，因 此對v f 0 ，t i ，我們有 矽( t ) 一u ( t ) l j ：t = 0 ，( 4 3 2 ) 由( 4 3 2 ) 可得，對v t 0 ，卅，我們有 e q h 巧( 卅( t ) - ( 壚j ( ( 啪跏) 吲= o ， ( 4 船) 從而，我們得到對v t 0 ，明 v ( t ) = e q h + ( t ) 五】一( t ) ， ( 4 3 4 ) 由( 4 1 9 ) ，( 4 3 1 ) 與( 4 3 4 ) 可得，對v t 0 ，卅 刁( t ) = k 蘆+ t 十m 囂+ ( 丁( t ) = a ( t ) ( 4 3 5 ) 綜合( 4 3 1 ) 與( 4 3 5 ) 可知，日的p 風(fēng)險(xiǎn)最小復(fù)制策略是唯一的本定理得證 值得注意的是當(dāng)n = 0 時(shí)就退化到f b l l m e r 與s o n d e r m a n n 所考慮的情形，所以我們的 結(jié)果覆蓋了他們所考慮的情形 上面我們考慮的是事先給定為獲取全部信息所要支付的費(fèi)用過程的情況下，風(fēng)險(xiǎn)最小 復(fù)制策略的存在唯一性下面我們將考慮投資者不能獲取全部信息的情況下，風(fēng)險(xiǎn)最小復(fù) 制策略的存在唯一性 5信息獲取有花費(fèi)時(shí)不完全信息下的風(fēng)險(xiǎn)最小化 假設(shè)投資者只能在一些離散的隨機(jī)時(shí)刻才能獲取風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格信息，這時(shí)投資者為獲 取信息所要支付的累積費(fèi)用過程就不是事先給定的了我們用蘆一適應(yīng)過程n = ( ( t ) ) o 。t 代表投資者為獲取信息所要支付的金額，它的樣本函數(shù)是以概率1 單調(diào)不減且為r c l l 的 階梯函數(shù)它的跳躍時(shí)刻與投資者所能觀測到的風(fēng)險(xiǎn)