（應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)論文）c1隨機(jī)擴(kuò)張映射hausdorff維數(shù)的估計(jì).pdf

g 1 隨機(jī)擴(kuò)張映射h a u s d o r f f 維數(shù)的估計(jì) 摘要 摘要 本文我們考慮隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)令( q ，廠，p ，口) 為完備的概率空間，m 為i n 維的緊 致光滑p d e m a n n 流形 我們首先給出c 1 擴(kuò)張映射，：m _ m 上不變集a 的h a u s d o r f f 維數(shù)( 記d i m h a ) 的上下界得到d i m n a 的上界是方程 p ( f a ，一口1 0 9m ( 見(jiàn)，) ) = 0 的根然后利用b r i n - k a t o k 局部熵公式，得到遍歷不變測(cè)度的h a u s d o r f f 維數(shù)的下界 利用這個(gè)結(jié)果，我們得到d i m h a 的下界是方程 p ( l h ，一口1 0 90 見(jiàn)州) = o 的根由a 的不變性，考慮迭代系統(tǒng)，得到 擁以藏忑竹l _ 。7 最后，我們將這一結(jié)果推廣到擾動(dòng)的g 1 隨機(jī)擴(kuò)張映射，：q m q m 上，并 得到類(lèi)似的結(jié)果 關(guān)鍵詞：h a u s d o r f f 維數(shù)，拓?fù)鋲?，擾動(dòng)，b r i n - k a t o k 局部熵 作者。馬強(qiáng) 導(dǎo)師，曹永羅( 教授) e s t i m a t i o n so fh a u s d o r f fd i m e n s i o nf o rc lr a n d o me x p a n d i n gm a p a b s t r a c t t h ee s t i m a t i o n so fh a u s d o r f fd i m e n s i o n f o rc 1r a n d o me x p a n d i n gm a p a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ec o n s i d e rr a n d o md y n a m i c a ls y s t e m l e t ( q ，歹，p ，口) b ec o m p l e t ep r o b e r b i l i t ys p a c ea n dmb ec o m p a c ts m o o t hr i e m a n n i a nm a n i f o l dw i t hd i m e n s i o nm f i r s t ，w eg i v eu p p e ra n dl o w e rb o u n d so fh a u s d o r f fd i m e n s i o no fi n v a r i a n ts e ta ( d e n o t e dd i m n a ) f o rc 1e x p a n d i n gm a p ，：m _ m w eo b t a i nt h eu p p e rb o u n do fd i r n h a i st h er o o to fe q u a t i o n p ( f a ，- al o g 仇( p 。，) ) = 0 t h e nw eu s et h ef o r m u l ao fb r i n - k a t o kl o c a le n t r o p yt oo b t a i nt h el o w e rb o u n do fh a u s d o r f f d i m e n s i o no fe r g o d i ci n v a r i a n tm e a s u r e u s i n gt h i sr e s u l t ，w eo b t a i nt h el o w e rb o u n do f d i r n h ai st h er o o to fe q u a t i o n p ( f l a ，- - 5l o gi l 仇劉) = 0 f o rt h ei n v a r i a n c eo fa ，w ec o n s i d e rt h ei t e r a t e ds y s t e ma n dg e t 以戛lira穗00 ，：苧1 0 窟上，衛(wèi)r ”d “ ，n _ f i n a l l y , w eg e n e r a l i z et h e s er e s u l t st ot h ep e r t u b a t i o no fg 1r a n d o me x p a n d i n gm a p f ：q m _ q ma n do b t a i nt h es i m i l a rr e s u l t s k e y w o r d s ：h a u s d o r f fd i m e n s i o n ，t o p o l o g i c a lp r e s s u r e ，p e r t u b a t i o n ，b r i n - k a t o kl o c a le n t r o p y i i w r i t t e nb ym aq i a n g s u p e r v i s e db yp r c a oy o n g l u o 蘇州大學(xué)學(xué)位論文獨(dú)創(chuàng)性聲明及使用授權(quán)聲明 學(xué)位論文獨(dú)創(chuàng)性聲明 本人鄭重聲明：所提交的學(xué)位論文是本人在導(dǎo)師的指導(dǎo)下，獨(dú)立 進(jìn)行研究工作所取得的成果。除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，本論文 不含其他個(gè)人或集體己經(jīng)發(fā)表或撰寫(xiě)過(guò)的研究成果，也不含為獲得蘇 州大學(xué)或其它教育機(jī)構(gòu)的學(xué)位證書(shū)而使用過(guò)的材料。對(duì)本文的研究作 出重要貢獻(xiàn)的個(gè)人和集體，均已在文中以明確方式標(biāo)明。本人承擔(dān)本 聲明的法律責(zé)任。 研究生簽名：烏 主益e l 期：竺2 ：。 一 學(xué)位論文使用授權(quán)聲明 蘇州大學(xué)、中國(guó)科學(xué)技術(shù)信息研究所、國(guó)家圖書(shū)館、清華大學(xué)論 文合作部、中國(guó)社科院文獻(xiàn)信息情報(bào)中心有權(quán)保留本人所送交學(xué)位論 文的復(fù)印件和電子文檔，可以采用影印、縮印或其他復(fù)制手段保存論 文本人電子文檔的內(nèi)容和紙質(zhì)論文的內(nèi)容相一致。除在保密期內(nèi)的 保密論文外，允許論文被查閱和借閱，可以公布( 包括刊登) 論文的 全部或部分內(nèi)容。論文的公布( 包括刊登) 授權(quán)蘇州大學(xué)學(xué)位辦辦理 研究生簽名：a 拯日期：壘2 ：c 一 名：輯 c 1 隨機(jī)擴(kuò)張映射h a u s d o r f f 維數(shù)的估計(jì)第一章引言 第一章引言 h a u s d o r f f 維數(shù)，熵l y a p u n o v 指數(shù)和拓?fù)鋲菏莿?dòng)力系統(tǒng)中的重要概念，經(jīng)常用 來(lái)刻畫(huà)系統(tǒng)的復(fù)雜性近年來(lái)對(duì)維數(shù)和拓?fù)鋲旱年P(guān)系引起人們的極大興趣拓?fù)鋲嚎?能比其它動(dòng)力系統(tǒng)量能夠更好地估計(jì)不變集的維數(shù)b o w e n 1 】第個(gè)得到不變集的維 數(shù)是個(gè)包含拓?fù)鋲旱姆匠痰母鵵 u e l l e 2 l 重新定義了b o w e n 的方法，得到以下結(jié)果： 假定，是c 1 + q 的共性擴(kuò)張映射，a 是孤立的緊致不變集，且，1 人是拓?fù)浠旌系模?那么a 的h a u s d o r i f 維數(shù)是方程 p ( i a ，- a l o gi i 現(xiàn)川) = 0 的根其中p ( f l a ，) 是壓泛函 近來(lái)光滑性c 1 + a 可以減弱為d 1 張【1 l 】用特征根的方法得到c 1 擴(kuò)張映射排斥子 的h a u s d o r f f 維數(shù)的上界是壓泛函方程 p ( f l a ，一礦( ，) ) = 0 的根本文用小模定義擴(kuò)張性得到不變集a 的h a u s d o r f f 維數(shù)的上、下界分別是方程 p ( i a ，- al o gm ( d z ，) ) = 0 和 p ( f l a ，一al o gi i d 。j i ) = 0 的根，并將其推廣到c 1 隨機(jī)擾動(dòng)的系統(tǒng) 我們考慮抽象動(dòng)力系統(tǒng)( q ，廠，p ，口) 上的隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)，其中，( q ，廠，p ) 是完備的 概率空間，口：qhq 是保測(cè)的遍歷可逆變換對(duì)映射族，= 丸：mhm 為c 1 ) ，假 設(shè)( u ，z ) h 九z 是可測(cè)的這就決定了一個(gè)可微的動(dòng)力系統(tǒng)船：= 如一to o 厶 m z + ) 更精確地，我們有斜積形式， f ：q mhq m 0 ，z ) h ( 口) ，丘z ) 其中，m 為緊致光滑的r i e m a n n 流形，d i m m = m 進(jìn)一步，令acq m 為可測(cè)集，且使得所有的纖維虬= ( z m ：( u ，。) a ) 是 緊致的用咒表示m 上所有緊子集組成的集合，并對(duì)它賦予h a u s d o r f f 拓?fù)涞葍r(jià)地 說(shuō)u 一兒是可測(cè)的我們h 稱(chēng)為q 上的緊叢 稱(chēng)a 為f 不變的，如果厶虬= a 口) ，p 一口e u ，l a 稱(chēng)為叢動(dòng)力系統(tǒng)用d i m h h , , , 表示虬的h a u s d o r f f 維數(shù)，由文獻(xiàn)【1 】知uhd i r a h a o jp n s 為常數(shù)，記為d i m h a c 1 隨機(jī)擴(kuò)張映射h a u s d o r f f 維數(shù)的估計(jì)第一章引言 確定性系統(tǒng)，：mhm 為c 1 擴(kuò)張映射，即存在a l ，使得任意z m ，有 m ( d 霉i ) a ，其中m ( a ) = 悄1 | i - 1 ，j i 0 為t m 上由r i e m a n n 度量產(chǎn)生的范數(shù)， acm 為，的不變集 本文我們考慮，為c 1 隨機(jī)擴(kuò)張映射，假定對(duì)任意的u ，丸作為，的個(gè)擾動(dòng)顯 然，存在u ( f ) cd i f f l ( m ) ，使得對(duì)任意的“，允e u ( f ) 且對(duì)任意z m ，m ( 仇丸) 學(xué) 令l 夫( q ，c ( m ) ) = 妒：q m _ q m ：對(duì)任意的u q ，：虬ha a ( u ) 連續(xù)，且 朋厶| j d p ( w ) 0 ，存在p ( e ) 0 ，使得 l e 磊m 麗( d x f ) 1 + ，b ( z ，p ( e ) ) ( 1 ) 卜 0 ，使得任意p 0 , p 0 和m 上的測(cè)度p ： 定義2 2 令 聊她r 俘r ； l u jb ( z j , r i ) dy , x je y , r j p ) ， 則定義y 的a 一維覷l 如形測(cè)度為， 日a ( y ) 5 磐鄙( y ) ， 3 c 1 隨機(jī)擴(kuò)張映射h a u s d o r i t 維數(shù)的估計(jì)第二章確定系統(tǒng)h u u s d o r f f 維數(shù)的估計(jì) 并定義y 的h a u s d o r f f 維數(shù)定義為； d i m h y ：= i n f a 【o ，- q ：日口( y ) = o ) 定義2 3 令p 為m 上b o r e l 有限測(cè)度，它的h a u s d o r f f 維數(shù)定義為： d i m h # ：= i n f d i m h z ：p ( z ) = 1 ) 記m ( f l a ) 為a 上所有不變測(cè)度的集合，e ( f l a ) 為a 上所有遍歷測(cè)度的集合 顯然，由上面的定義可知，對(duì)任意p m ( f l a ) ，有d i m h a d i m 日p 引理2 1對(duì)任意的z a ，0 d ( f 七z ，f 七可) = 島，d l ， ，一七r = i d j l l ( f 一七r ) i d ，七i i i 一可0 m ( 域，七) 忙一訓(xùn) i i m ( d ，t e f ) l l x 一圳 i = o k - i 兀m ( d l t $ f ) 氣可 訓(xùn) 其中r 為m 上連接，七z 與，鼉穢的最短的截線(xiàn)，毒b n ( x ，r ) 所以 i x - - y i i 0 滿(mǎn)足( 1 + e ) d 0 ，使得( 1 ) 式成立由，的擴(kuò)張性，可取充分 小的p p ( ) 使得， 一2 t = p l ( 回= l i m s u p 丟l o g q ( 一d l o g m ( 仇，) ，他，力 因而存在足夠大的n o z + ，使得當(dāng)n n o 時(shí)，有 q ( - d l o gm ( d = ，) ，力 e x p ( 一m ， 從而存在最大( n ，p ) 分離集e = q ) ca ，使得 和 也即 acub n ( x j ，l p ) ， z j e e 霉墨e x pf。n-1-dlogmfxjf)exp d l o g m ( o f t feei = 0) e x p 一位) ， e ) 【p 一位) ， 霉ilj 石廣_ j 一 e x p - m 町e 旦【m ( d ，t 。，) 1 4 由于a 是緊的，從而e 為有限集故令j = z m j e a x e ( 屯 ，則 6 也煮# _ 0 ，( n _ o o ) 所以 acu 玩( 叼，l p ) cub ( 巧，如) 5 c 1 隨機(jī)擴(kuò)張映射h a u s d o r f f 維數(shù)的估計(jì)第二章確定系統(tǒng)h a u s d o r f f 維數(shù)的估計(jì) 由h a u s d o r f f 維數(shù)的定義知 其中 因而 所以 由d 的任意性，知 2 2下界估計(jì) 日2 ( a ) 疃 z j b ：p a ( 1 + ( 州要型 勺印nm ( d ，t 彩，) d l = u p d m d 【掣r 1 川( n _ ) m ：s u p 眈i i 0 0 霉m 日d ( a ) = 0 ， d d i m n a d i m n a d t 口 本節(jié)我們主要證明a 的h a u s d o r f f 維數(shù)下界是方程p f f l a ，- a l o g0 見(jiàn)州) = 0 的根 首先我們來(lái)看幾個(gè)引理。 引理2 2 對(duì)任意的z a ，0 0 ，使 得比( $ ) d ，p a e z ，則 d i m h # d y o u n g 定理給我們提供了解決問(wèn)題的一個(gè)思路如果找到滿(mǎn)足該條件的a 上的不 變測(cè)度p 和常數(shù)d 的話(huà)，就可以估計(jì)a 的h a u s d o r f f 維數(shù)的下界 令知表示方程p ( f a ，一a u d 霉f t ) = o 的零點(diǎn) 定理2 2d i m h a 伽 7 c 1 隨機(jī)擴(kuò)張映射h a u s d o r f f 維數(shù)的估計(jì)g ：- 章確定系統(tǒng)h a u s d o r f f 維數(shù)的估計(jì) 證 由引理2 2 可知 6 = 裂 堂蘭蟛_ o ，m _ o o ) h1 1 0 f k 州 i = 0 考慮弘m ( i i a ) 。當(dāng)n 充分大時(shí)， 警 l 0 9 6 一 l o gp ( b n ( z ，r ) ) - - n - - n l o g6 令扎_ ，r 一0 ，由b r i n - k a t o k 局部熵定理及b i r k h o f f 遍歷定理知， d 肛( z ) h a y ，茁) 頁(yè)j t 研，p o e 茁 其中 ( z ) = 一l i m 1 0 9 慨霉州毗 若p 是遍歷的，則對(duì)p a e 茁，有 ( ，z ) = ( ，) ， 和 a p ( z ) = fl o gi i d o ，l id p 由引理2 4 可知 d i m h p 警， 其中 a p = f l o g0 k ，i id p 又由于，是擴(kuò)張映射，則p ( f l a ，一a ol o gi | 見(jiàn)川) 存在平衡態(tài)p ，也即存在遍歷的平衡態(tài) 礦e ( f l a ) ，使得 0 = p ( f i a ，一n ol o g0 d 霉，0 ) = ( ，) 一n o 廠l o g0 d z ，i | d p 。 所以 h 芷( ，) 伽2 芾， 從而 d i r n n l 比o o 由測(cè)度維數(shù)的定義可知 d i m n a d i m n l 比+ o t o 口 由i ( a ) = a ，可知對(duì)任意的m z + 有，m ( a ) = a ，故可以考慮迭代系統(tǒng)來(lái)討論維數(shù) 的下界首先給出一個(gè)引理： 8 掣 州一 c 1 隨機(jī)擴(kuò)張映射h a u s d o r f f 維數(shù)的估計(jì) 第二章確定系統(tǒng)h a u s d o r f f 維數(shù)的估計(jì) 引理2 5 對(duì)任意a 上，的遍歷測(cè)度p ，構(gòu)造曠滿(mǎn)足： ( a ) p = 去肛。+ 丟，p + ； ( 6 )p + e ( 2 i a ) ； ( c ) d i m h # d i m h # + ； ( d ) 曠( ，2 ) 22 ( ，) 證 ( a ) 若p 是，2 遍歷的，則曠三p 若p 不是，2 遍歷的，則存在ee b ( m ) ，使得 f - 2 e = e ，且0 u ( e ) 1 由于 1 - 1 ( e n y - i e ) = e n - i e ，一1 ( e u f - 1 e ) = e u ，e ， 且p 是，遍歷的，則有 p ( e n f - 1 e ) = 0 及 p ( e u f - 1 e ) = 1 又p ( e ) = p ( ，一1 刀) ，則 定義： 則 p ( e ) = p ( 廠1 e ) = 互1 礦( a ) = 喂鏟， va e b ( m ) m 班警= 幫。 則 刪+ ，刪= 世盟鏟= 船鋤( 以 由a 的任意性可知， 丟p + 丟，p + = p 五p 。+ j r 。p 2 p ( b ) 由( a ) 可知 擴(kuò)m 儼眢= 等鏟= 眢叫c 舢 從而曠是f 2 的不變測(cè)度 斷言t礦是，2 遍歷的 我們用反證法來(lái)證明，如果存在ae b ( m ) ，使得f - 2 a = a ，且0 曠似) 1 則 i - 2 n e ) = a f l e 9 c 1 隨機(jī)擴(kuò)張映射h a u s d o r i f 維數(shù)的估計(jì)第二章確定系統(tǒng)h a u s d o r f f 維數(shù)的估計(jì) 不妨設(shè)ace ( 否則取ane ) ，則f - l ac1 - 1 e ，故 p ( a u f - 1 a ) = 2 p ( a ) 由曠) 1 ，可知p ( a ) ，所以 0 ，0 ，存在p ( ) 0 ，使 得 l 唰制 l 托舢( 鄴“州 ( 3 ) 1 一 監(jiān)i i d 必v a , i i 0 滿(mǎn)足( 1 + ) d 0 ，使得( 3 ) 式成立 由，的可擴(kuò)性及l(fā) 作為它的擾動(dòng)，可取充分小的p j d ( ) ，使得 一2 t = p l ( d ) = l i m s u p 元1l o g t r y ( - d l o g m ( d x 丸) ) ( u ，t , ，p ) 因而存在足夠大的n oe z + ，使得佗伽有 丌，( 一d l o gm ( d x 丸) ) ，n ，p ) e x p - n t 從而存在最大的( 死，p ) 分離集e = 吻) c 虬，使得 兒cub n 0 ，p ) ， 彩e 和 巧如u ) ，一 善f 知u ) ， 茹e x pi、n-1exp - d l o g m ( d l 獸。 je x p - n t i - - - - 0 也即 茄廣一 e ) ( p 一疵) 叼e e 旦u 【m ( d ，毒勺，一) 】4t = 一， 由于a 是緊的，也就是說(shuō)對(duì)任意的u ，a u 是緊的，從而e 為有限集故令 則 所以 乩2 糍卿 ，z t e 。 屯惴_ 0 ，m _ 0 0 ) 、 2 ， 虬cub n ( w ，x j ，p ) cub ( u ，吻，瓦砌) z j b蕾i e 由h a u s d o r f f 維數(shù)的定義可知 硯( 虬)s 配，q 巧e e ：( 1 + e ) d ( n 一- ! r t ! - - 1 1 1 2 量二三壘型 勺印旦m ( d 鳧嘶后u ) d p d ( 2 m ) d 【旦去竺】驢- 一o ，m 葉o o ) 其中 m = s u pi i d 茹y l l o o ， x e m 那么 s u p 0 現(xiàn)厶0 2 m ， f ，x ) e f l x m 1 5 c 1 隨機(jī)擴(kuò)張映射h a u s d o r f f 維數(shù)的估計(jì)第三章隨機(jī)系統(tǒng)h a u s d o r f f 維數(shù)的估計(jì) 因而 日d ( 虬) = 0 ， 所以 d d i n a h 虬 由d 的任意性且對(duì)n e u ，d i m h 虬都相等，可知 3 2 下界估計(jì) d i m h asd 1 口 本章我們主要證明a 的h a u s d o r f f 維數(shù)下界是方程r ( - al o gl i 現(xiàn)厶0 ) = 0 的根首 先我們來(lái)看兩個(gè)引理t 引理3 2對(duì)任意的( u ，z ) q m ，0 l i r al i r a i n f r _ 0t i _ o o = l i r al i r a i n f r _ on _ o o l o g p ( b n ( 芘”，u ，z ，r ) ) 一n n l 0 9 6 l o g p ( 風(fēng)( ，茁，) ) - 1 一 ；1 1 0 9 r + 睜l o g ( 1 - e ) 一擊薹l o gi i d f ：暑 - ；霉騙u i i l = = u ：瓦禚粵而， 小e ( 鄴) q m 2 了i 戛訂訌互j 麗肛口e 【u ，z j 3 2 。 1 8 c 1 隨機(jī)擴(kuò)張映射h a u s d o r f f 維數(shù)的估計(jì)第三章隨機(jī)系統(tǒng)h a u s d o r f f 維數(shù)的估計(jì) 而 lo g i i 眈批= 丟k 萎- 1 i o g i l d 正l l d 【( 礦) l 曠 = 三k 孓i = o 1 0 9l l d 肚概2 1 , t 1 慨 =logi i d = f 礦l l d 礦 由m 的任葸性，令m _ 0 0 ，由y o u n g 足理口j 知， 咖礦戛再錨o om _ 。 又因?yàn)閙 1 i r a o 。f l 1 m i l 中存在，故 出警， 其中 = 艦鬲1 lo g l l 仇凹?？?由于對(duì)o e u ，d i r n h 虬都相等，故有 出m 日a 反m 日p 成m 警 口 注3 1 本文的結(jié)果能否推廣到更一般的系統(tǒng)，也即它不是c 1 擴(kuò)張映射的隨機(jī)擾動(dòng)， 暫時(shí)還不得而知困難在于般的隨機(jī)情形下，拓?fù)鋲翰辉俅嬖诳蓴U(kuò)常數(shù)，是否存在 平衡態(tài)伸不知道能否通過(guò)其它方法來(lái)估計(jì)不變集的維數(shù)。將是下一步的研究重點(diǎn) 1 9 g 1 隨機(jī)擴(kuò)張映射h a u s d o r f f 維數(shù)的估計(jì) 參考文獻(xiàn) 參考文獻(xiàn) 【1 】1r b o w e n ，h a u s d o r f fd i m e n s i o no fq u a s i c i r c l e ，p u b l m a t h i h e s5 0 ( 1 9 7 9 ) ，i i - 2 6 【2 】d r u l l e ，r e p e l l e rf o rr e a la n a l y t i cm a p s ，e r g o d t h d y n a m s y s 2 ( 1 0 8 3 ) ，9 9 - 1 0 7 【3 l d g a t z o u r a sa n dy p e r e s ，i n v a r i a n tm e a s u r e so 腳zd i m e n s i o n1 0 ，s o m ee x p a n d i n g m a p s ，e r g o d t h d y n a m s y s 1 7 ( 1 9 9 7 ) ，1 4 7 - 1 6 7 【4 】h c r a u e la n df f l a n d o l i ，h a u s d o r f fd i m e n s i o no fi n v a r i a n ts e t sf o r a n d o md y n a m i c a l s y s t e m , j d y n a m i c s ，d i f f e r e t i a le q u a t i o n ，1 9 9 8 【5 1t b o g e n s c h f i t z ，e n t r o p y ，p r e s s u r ea n dav a r i a t i o n a lp r i n c i p l ef o rr a n d o md y n a m i c a ls y s t e r n ，r a n d o mc o m p u t d y n a m i c s ，1 ( 1 9 9 2 ) ，9 9 - 1 1 6 1 6 】t b o g e n s c h f i t za n dg u n t e ro c h s ，t h eh a u s d o r f fd i m e n s i o no fc o n f o r m a lr e p e l l e ru n d e r r a n d o mp e r t u b a t i o n ，n o n l i n e a r i t y - l o n d o n ，7 ( 1 9 9 9 ) 【7 jy k i f e r ，f r a c t a ld i m e n s i o na n dr a n d o mt r a n s f o r m a t i o n s ，t r a n s a m e r m a t h s o c ， 3 4 8 ( 1 9 9 6 ) ，2 0 0 3 - 2 0 3 8 【8 】y b p e s i n ，d i m e n s i o nt h e o r yi nd y n a m i c a ls y s t e m ：c o n t e m p o r a r yv i e wa n da p p l i c a t i o n , t h eu n i v o fc h i c a g op r e s s ，1 9 9 7 【9 1j m y j a ka n dt s z a r k ，al o w e re s t i m a t i o no fh a u s d o r f fd i m e n s i o nf o ra t t r a c t o r sw i t h o v e r l a p s ，j o u r n mo fs t a r p h y ，1 1 ( 2 0 0 1 ) 1 1 0 】y z h a oa n d l c a o ，o nt h et o p o l o g i c a lp r e s s u r ed ，r a n d o mb u n d l et r a n s f o r m a t i o n 雪n s u b a d d i v i v ec a s e ，j m a t h