（計算數(shù)學專業(yè)論文）脈沖與時變生態(tài)模型的解的周期性及漸近性.pdf

大連理上人學博士學位論文 摘要 生物數(shù)學中以生物動力系統(tǒng)為基礎的研究近年來得到了長足的發(fā)展，其中以微分方 程為模型的研究工作主要集中在連續(xù)動力系統(tǒng)和脈沖動力系統(tǒng)上。數(shù)學模型在研究過程 中不斷演化以期更能真實地反映客觀事實，其中連續(xù)生物動力系統(tǒng)是過去幾十年的研究 方向，在人們發(fā)現(xiàn)很多影響生態(tài)系統(tǒng)的因素因為時間、季節(jié)或者早晚的不同而不同時， 便將自治系統(tǒng)改進為非自治( 時變) 系統(tǒng)以使模型更為真實。與此同時人們又發(fā)現(xiàn)自然 界許多生命現(xiàn)象以及人類的一些行為如動物的季節(jié)性生育、人類的放養(yǎng)捕撈等用連續(xù)系 統(tǒng)無法精確描述，而脈沖微分方程可以相對較為真實的刻畫這些相對短暫的現(xiàn)象和行為， 這使得脈沖微分方程的研究和應用得到了越來越多學者的關注。本文研究的基于不同應 用背景的三個生態(tài)模型分別屬于上述的時變和脈沖微分方程。 周期性是自然界和人類社會中普遍存在的現(xiàn)象，在周期性的環(huán)境因素或是人為外力 以及系統(tǒng)自身內(nèi)在因素的作用下這些系統(tǒng)都將呈現(xiàn)出一定的周期性。本文系統(tǒng)的研究了 所給出的脈沖生態(tài)模型和時變生態(tài)模型的解的周期性、漸近性，并結(jié)合數(shù)值模擬的手段 探討了在這些模型中可能存在的復雜性。本文主要內(nèi)容可概括如下： 第二章以農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中的害蟲綜合治理為應用背景，對原有的基于狀態(tài)依賴脈沖微分 方程的害蟲控制模型進行了改進，增加了原系統(tǒng)中害蟲發(fā)展的密度制約項，使得模型能 更為客觀地反映實際情況，但系統(tǒng)也因此變的較為復雜，由原來的可求解方程變?yōu)椴豢?求解方程。本文在無法求得顯式解的情況下利用構(gòu)造脈沖半動力系統(tǒng)的不變集以及 b r o u w e r 不動點定理得到了改進后模型在幾種情況下的階一周期解( 一周期內(nèi)僅有一次 脈沖) 的存在性定理，并利用數(shù)值分析的方法討論了階一周期解的吸引性以及系統(tǒng)的無 脈沖正向不變集合。本章最后簡單討論了此模型在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中對害蟲綜合治理的生物意 義。 第三章考慮了一類具有非線性傳染力函數(shù)的傳染病模型，其中人口出生率和死亡率 相同并且患病者病愈后可自然獲得免疫但一段時間后免疫力也會自然喪失。模型中我們 還考慮了為控制疾病的流行而采取的人工免疫接種的因素。本章研究了連續(xù)免疫接種方 式和脈沖免疫接種方式對流行病的控制作用，對連續(xù)免疫接種方式的系統(tǒng)給出了其再生 數(shù)。另外還討論了脈沖控制的三種脈沖接種方式即比例型、常數(shù)型和第二型常數(shù)脈沖， 分析研究了這三個系統(tǒng)的邊界周期解( 疾病消除周期解) 的局部穩(wěn)定性和全局吸引性， 進而得到全局穩(wěn)定性的條件，以此探討脈沖免疫對疾病控制所起的作用。另外，本章在 理論分析較為困難的日u 提下利用數(shù)值模擬的手段發(fā)現(xiàn)脈沖使原無受迫系統(tǒng)的周期解變得 a b s t r a c t 十分復雜，在流行病不能被根除而成為地方病時，出現(xiàn)了擬周期解、混沌和多周期解等 較為復雜的現(xiàn)象。 第四章討論了兩個兩種群非自治( 時變) 的階段結(jié)構(gòu)種群生態(tài)學模型，階段結(jié)構(gòu)模 型在可更新資源的管理和利用方面有著較好的應用。非自治的系統(tǒng)假設影響系統(tǒng)發(fā)展的 各種因素會因季節(jié)、時間的變化而呈現(xiàn)周期或非周期的變化，從而使模型更加符合實際。 本章研究的第一個模型是非自治兩種群競爭階段結(jié)構(gòu)模型，其中一個種群與另一個種群 的成年個體之間是對食物、空間等資源競爭的關系。我們研究了它的有界性、持續(xù)生存 性、周期解的存在性和漸近穩(wěn)定性。第二個模型是帶有消化時滯的非自治兩種群捕食階 段結(jié)構(gòu)模型，其中食餌種群分為幼年個體和成年個體兩部分，捕食者種群只能捕食食餌 種群的幼年個體，對這個模型我們研究了它的有界性、持續(xù)生存性、周期解的存在性。 關鍵詞：狀態(tài)依賴脈沖微分方程；傳染病脈沖免疫接種模型：時變種群動力學階段結(jié)構(gòu) 模型；周期解；持續(xù)生存；全局漸近穩(wěn)定 i i 大連理工大學博十學位論文 p e r i o d i ca n da s y m p t o t i cp r o p e r t i e so fs o l u t i o n so fi m p u l s i v ea n d n o n a u t o n o m o u sm a t h e m a t i c a lb i o l o g i c a lm o d e l s a b s t r a c t t h en e e df o rd e s c r i b i n gm o r ea c t u a ln a t u r a ls y s t e mi m p e l st h ee v o l u t i o no fm a t h e m a t i c a l b i o l o g i c a lm o d e l s i nr e c e n ty e a r s ，t h er e s e a r c h e si nm a t h e m a t i c a lb i o l o g yw h i c hm o d e l e db y n o r m a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa r em a i n l yc o n c e n t r a t e do nt w ob r a n c h e s ：1 ) c o n t i n u o u sb i o l o g i c a l d y n a m i c a ls y s t e m s ；2 、i m p u l s i v es e m i - d y n a m i c a ls y s t e m s t h ed i s c u s s i o n so fc o n t i n u o u s b i o l o g i c a ld y n a m i c a ls y s t e m sw e r em a i nr e s e a r c hd i r e c t i o ni nt h ep a s td e c a d e s ；a u t o n o m o u s s y s t e m sw e r em o d i f i e di n t on o n a u t o n o m o u ss i n c ep e o p l ef o u n dt h ef a c t o r sw h i c ha f f e c tt h e s y s t e m sc a nh ev a r i o u sw i t ht h et i m eo rt h es u b r o g a t i o no ft h ef o u rs e a s o n s p e o p l ea l s of i n d r e c e n t l y t h a tc o n t i n u o u s b i o l o g i c a ld y n a m i c a ls y s t e m s c a nn o tr e p r e s e n ts o m en a t o r a l p h e n o m e n aa n dc o n l r o lb e h a v i o ro f h u m a na c c u r a t e l y ；i m p u l s i v es e m i - d y n a m i c a ls y s t e m st h e n t u r no u tt oh et h eh o t s p o to f m a t h e m a t i c a lb i o l o g yb e c a u s et h er e l a t i v e l yi n s t a n t a n e o u sb e h a v i o r m e n t i o n e da b o v ec a nb ed e s c r i b e dw e l li ni m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s o u rt h r e em o d e l si n t h i sp a p e rw h i c hh a v ed i f f e r e n ta p p l i c a t i v eb a c k g r o u n dr e s p e c t i v e l ya r eo ft h e s et w ok i n d so f d i f f e r e n t i a ls y s t e m s i n c ep e r i o d i c i t ye x i s t si nn a t u r ea n dh u m a ns o c i e t yg e n e r a l l y ，i th a sa l s oe x i s t e di nt h e s e t h r e em o d e l sb e c a u s eo ft h ee f f e c to fp e r i o d i ce n v i r o n m e n ta n dm a n u a lb e h a v i o r t h i s d i s s e r t a t i o nd i s c u s s e dt h eg i v e ni m p u l s i v eo rn o n a u t o n o m o u sm a t h e m a t i c a lb i o l o g i c a lm o d e l s a n ds t u d i e dt h ee x i s t e n c ea n dg l o b a l l ya s y m p t o t i cb e h a v i o ro fp e r i o d i cs o l u t i o n so ft h e s e m o d e l s m o r e o v e r ，t h ep o s s i b l ec o m p l e x i t yo fi m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n si sd i s c u s s e d n u m e r i c a l l yb yu s i n gs o f t w a r es u c ha sm a p l eo rm a t l a b t h er e s u l to ft h i sd i s s e r t a t i o nc a nh e s u m m a r i z e da sf o l l o w i n g ： c h a p t e rt w om o d i f i e das t a t e - d e p e n d e n ti m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw h i c hh a sa b a c k g r o u n do f p e s tc o n t r o li na g r i c u l t u r eb ya d d i n gt e r mo f d e n s i t yd e p e n d e n c et om a k e i tm o r e a c t u a l ，a n d , a l s om o r ed i f f i c u l t t h es y s t e mb e c a m ei n t ot h eo n ew h i c hh a sn o te x p l i c i ts o l u t i o n s b yt h i sm o d i f i c a t i o n t h e nw er e s e a r c h e dt h ee x i s t e n c eo f p e r i o d i cs o l u t i o no f o r d e ro n eo f t h i s m o d i f i e dm o d e lb yu s i n gt h e o r i e so fi n v a r i a n ts e to fi m p u l s i v es e m i d y n a m i c a ls y s t e ma n d b r o u w e r sf i x e dp o i n t m o r e o v e r ，t h ea t l r a c f i o no fp e r i o d i cs o l u t i o no fo r d e ro n ea n dp o s i t i v e i n v a r i a n to f s y s t e mh a sb ed i s c u s s e dn u m e r i c a l l y c h a p t e rt h r e ec o n s i d e r e da ne p i d e m i cd y n a m i c sm o d e lw i t hn o n l i n e a ri n f e c t i o nr a t e i n w h i c hb i r t hr a t ee q u a l st od e a t hr o t ea n dt h ei n f e c t i o u si n d i v i d u a l sw i l lg e ti m m u n i t yn a t u r a l l y i i i a b s t m c t a f t e rr e c o v e r yb u tw i ua l s ol o s ei ta f t e rap e r i o do ft i m e w ea l s oc o n s i d e r e dt h ef a c t o ro f m a n u a lv a c c i n a t i o nc o n t r 0 1 t 1 1 i sp a p e ra n a l y z e dt h ee f f e c to fc o n t i n u o u sv a c c i n a t i o nc o n t r o l a n dp u l s i v ev a c c i n a t i o nc o n t r o lo f t h i ss y s t e m ，a n dg a v et h e r e p r o d u c t i v en u m b e r o f t h es y s t e m w i t hc o n t i n u o u sv a c c i n a t i o na sw e l la st h es y s t e mo f p u l s i v ev a c c i n a t i o n t h r e et y p e so f p u l s i v e v a c c i n a t i o n sa r ea n a l y z e di nt h i sp a p e ri n c l u d i n gp r o p o r t i o n a lt y p e ，c o n s t a n tt y p ea n dt h e s e c o n dt y p eo fc o n s t a n tv a c c i n a t i o n t h el o c a ls t a b i l i t ya n dg l o b a l l ya s y m p t o t i cb e h a v i o ro f b o r d e r p e r i o d i cs o l u t i o n ( e p i d e m i c - e l i m i n a t i o n s o l u t i o n ) o f t h e s e t h r e e t y p e s o f v a c c i n a t i o n h a v e b e e nr e s e a r c h e d o nt h eo t h e rh a n di ft h ee p i d e m i ci st u r no u tt ob ee n d e m i c w es t u d i e d n u m e r i c a l l yt h ei n f l u e n c e so fi m p u l s i v ev a c c i n a t i o no nt h ep e r i o d i co s c i l l a t i o no ft h es y s t e m w h i c hi sw i t h o u ti m p u l s i o na n df o u n dp h e n o m e n o no f c l m o si nt h i sc a s e 。 i nc h a p t e rf o u r ，w ec o n s i d e r e dt w ot w o s p e c i e sn o n a u t o n o m o u sm o d e l sw i t h s t a g e s t r u c t t i r e ，n l em o d e l so fp o p u l a t i o nd y n a m i c sw i t hs t a g es t r u c t u r ec a nb ea p p l i e dw e l li n m a n a g e m e n ta n du s a g eo f r e n e w a b l er e s o u r c e n o n a u t o n o m o u ss y s t e mi sm o r ea c t u a lb e c a u s e i ta s s u m e st h a ta l lt h ef a c t o r i e sw h i c ha f f e c tt h ea d v a n c eo f s y s t e mc a l lb ev a r i o u sw i t ht h et i m e o rt h es u b r o g a t i o no ff o u rs e a s o n s t h ef i r s tm o d e lc o n s i d e r e di nt h i sc h a p t e ri sa t w o s p e c i e s n o n a u t o n o m o u sc o m p e t i t i v em o d e lw i t hs t a g es t r u c t u r e ，i nw h i c ho n e s p e c i e sc o m p e t e sw i t ht h e m a t u r ei n d i v i d u a l so fa n t h o rs p e c i e s w es t u d i e dt h eb o u n d e d n e s s ，p e r m a n e n c e ，e x i s t e n c ea n d g l o b a l l ya s y m p t o t i cs t a b i l i t yo fp e r i o d i cs o l u t i o no ft h i sm o d e l n l es e c o n dm o d e lw e c o n s i d e r e di sa t w o - s p e c i e sn o n a u t o n o m o u sp r e d a t o r - p r e ym o d e lw i t hs t a g es t r u c t u r ea n dd e l a y , i nw h i c hp r e d a t o rs p e c i e sp r e yo i lo n l yi m m a t u r ei n d i v i d u a l so f p r e ys p e c i e s w es t u d i e dt h e b o u n d e d n e s s ，p e r l l l a n e r l c e ，e x i s t e n c eo f p e r i o d i cs o l u t i o no f t h i sm o d e l k e yw o r d s ：s t a t e - d e p e n d e n ti m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ；e p i d e m i cd y n a m i c sw i t h p u l s i v ev a c c i n a t i o n ；n o n a u t o n o m o u sp o p u l a t i o nd y n a m i c a ls t a g e - s t r u c t u r e ds y s t e m ； p e r i o d i cs o l u t i o n ；p e r m a n e n c e ；g l o b a l l ya s y m p t o t i c a l l ys t a b l e 獨創(chuàng)性說明 作者鄭重聲明：本博士學位論文是我個人在導師指導下進行的研究 工作及取得研究成果。盡我所知，除了文中特別加以標注和致謝的地方 外，論文中不包含其他人已經(jīng)發(fā)表或撰寫的研究成果，也不包含為獲得 大連理工大學或其他單位的學位或證書所使用過的材料。與我一同工作 的同志對本研究所做的貢獻均已在論文中做了明確的說明并表示了謝 意。 作者簽名：日期：堡：! ! 蘭： 大連理工大學學位論文版權使用授權書 本學位論文作者及指導教師完全了解“大連理工大學碩士、博士學位論文版權使用 規(guī)定”，同意大連理工大學保留并向國家有關部門或機構(gòu)送交學位論文的復印件和電子 版，允許論文被查閱和借閱。本人授權大連理工大學可以將本學位論文的全部或部分內(nèi) 容編入有關數(shù)據(jù)庫進行檢索，也可采用影印、縮印或掃描等復制手段保存和匯編學位論 文。 作者簽名：盈型 導師虢2 至! 壘 大連理工大學博士學位論文 r r ” r ： n z c b ( x o ，j ) 量( r ) d e t ( a ) p c i e 符號表 實數(shù)集合 n 維歐氏空間 , 維歐氏空間的正錐 自然數(shù)集 整數(shù)集合 復數(shù)集合 定義式 以為中心萬為半徑的開領域 z ( f ) 關于時間r 的導數(shù) 集合a 的閉包 矩陣a 的行列式 一階可導按段連續(xù)函數(shù)空間 單位矩陣 第一章7 1 言及預備知識踟u a t i o nc h a p t e rls e c t i o n 第一章引言及預備知識e q u a t i o nc h a p t e r1s e c t i o n1 過去幾十年生態(tài)學在連續(xù)動力系統(tǒng)的研究結(jié)果已經(jīng)相當豐富。在連續(xù)動力系統(tǒng)中總 是假設被描述的生命現(xiàn)象是連續(xù)發(fā)生的，比如動物的生育、死亡，或者是在兩個相對獨 立的環(huán)境中的遷移過程，還有人類對可更新自然資源的管理和利用方面如對一些人工養(yǎng) 殖的動物的放養(yǎng)和收獲，以及在傳染病控制方面實施的人工接種免疫等行為，都在數(shù)學 模型里被描述為連續(xù)發(fā)生的。一般來說，這些動物的生理行為以及人類的干擾行為雖然 本身不是連續(xù)的，而是離散的，但如果它們發(fā)生的時間在所處的生態(tài)系統(tǒng)的發(fā)展過程中 分布比較平均，則看作是連續(xù)行為有一定的合理性并且有利于人們對數(shù)學模型的分析和 研究。 但近年來，人們發(fā)現(xiàn)許多生物現(xiàn)象的發(fā)生以及人類對一些生命現(xiàn)象的優(yōu)化控制并非 是一個簡單的連續(xù)的過程所能準確描述的，不能簡單的用微分方程或差分方程來處理。 例如在進行魚類池塘養(yǎng)殖的過程中，放養(yǎng)魚苗和收獲都是按一定時間間隔定期地進行。 自然界中有些物種如梅花鹿、駱駝、蝙蝠等并不是一年四季都進行繁殖，而是集中在一 個季節(jié)中的某個時間段進行生育。有些動物的遷移活動也不是連續(xù)進行的，如一些魚類 的季節(jié)性洄游，候鳥的遷徙，一些食草動物的季節(jié)性的遷移。以及在流行病控制中使用 人工接種免疫的方法也不是連續(xù)的，而是在一些離散的固定的時刻進行的。這些行為發(fā) 生的時間相對于整個生態(tài)系統(tǒng)的發(fā)展過程來說比較短暫，可以近似的看成瞬時行為。但 是這些近似瞬時的行為卻會導致物種數(shù)量的突變，如投放魚苗后，小魚的數(shù)量劇增，而 在收獲后，大魚的數(shù)量又明顯下降。如果用連續(xù)系統(tǒng)描述這些行為，則會丟失大量的信 息，而脈沖微分方程則為研究這種在一個階段是連續(xù)發(fā)展而在一些時間點上有脈沖式的 瞬時行為的生態(tài)模型提供了有利的工具，它能恰當?shù)拿枋鲞B續(xù)與脈沖效應結(jié)合的自然現(xiàn) 象。 脈沖微分方程是在連續(xù)的微分方程的基礎上發(fā)展起來的。從理論上來說，連續(xù)的常 微分方程是它的一種特殊情況，因此關于它的理論更加豐富。脈沖微分方程的理論尤其 是穩(wěn)定性理論在近三十年的研究中得到了不斷的完善，已經(jīng)形成了一個比較完整的初形 【11 】【l o 】【3 9 】 9 】 6 4 】，在理論上可以說已經(jīng)是一個比較完整的學科。這些理論包括解的全 局存在性和唯一性，解對初值的連續(xù)依賴性、比較原則、穩(wěn)定性定理等等。關于解初值 連續(xù)性文獻【8 7 2 】給出了進一步的結(jié)論。文獻 5 8 最早研究了脈沖微分方程的穩(wěn)定性原 則，之后 6 8 】 6 5 】的基礎上有了比較完善的脈沖微分方程的穩(wěn)定性的定義，利用 4 0 中相 類似的方法脈沖微分方程的穩(wěn)定性原則也得到推廣。 3 2 3 1 3 0 冪t j 用l y a p u n o v 方法進一 2 大連理工大學博士學位論文 步推廣穩(wěn)定性原則，【7 】引入了一種分段連續(xù)的l y a p u n o v 函數(shù)來研究穩(wěn)定性。 6 4 】【3 】 6 【6 7 】 6 6 研究了周期解和幾乎周期解的存在性問題。文獻 8 8 9 3 8 6 5 】則對時滯 脈沖的微分方程進行了研究。 但是脈沖微分方程的定性理論尤其是狀態(tài)依賴的脈沖微分方程的定性理論還處在起 步階段，另外脈沖在從理論轉(zhuǎn)入應用還有一定的困難。盡管如此，脈沖微分方程的應用 已經(jīng)慢慢得到學者的重視，也出現(xiàn)了許多相應的論文，包括脈沖種群動力學的研究【1 2 】 【5 2 【8 1 】【7 6 】【7 9 】【8 0 】【5 l 】 5 0 】【9 1 】 5 3 ，脈沖優(yōu)化控制的研究【5 9 9 0 】 4 】，脈沖微生物模型的 研究 2 5 】，脈沖化學治療的研究 3 8 】 6 0 】，以及脈沖污染方面的研究 4 6 】等等。本文第二章 和第三章就以農(nóng)業(yè)中害蟲治理和傳染病的控制為背景，建立了相應的帶脈沖效應的動力 系統(tǒng)并研究它們的解的周期性及漸近性質(zhì)。 本章給出一些有關脈沖動力系統(tǒng)和本文所要用到的一些相關的基礎知識。 1 1 脈沖半動力系統(tǒng) 本節(jié)介紹脈沖微分方程的一些拓撲抽象概念，下面先介紹半動力系統(tǒng)的定義。 定義i i 1 1 3 9 在一個三元組( x ，萬，r + ) 中，假設石是度量空間，r + 是非負實數(shù)集 合，如果萬：x x r + 斗x 是一個連續(xù)函數(shù)并且滿足 ( i )對所有的x x 有石( 工，0 ) = x ， ( i i ) 對所有的z 肖和r ，j 碡+ ，有7 r ( x ( x ，n s ) = x ( x ，+ j ) ， 我們稱三元組( 石，7 1 ，r + ) 是一個半動力系統(tǒng)。 有時我們把( j ，石，r + ) 簡記為( x ，；r g ) ，如果把r + 換成豫，則三元組( z ，石，r ) 就是 稱為一個動力系統(tǒng)。 對任意的x x ，由以( f ) = x ( x ，) 定義的函數(shù)以：r + _ x 顯然連續(xù)，我們稱以是 過x 的軌線。集合 c + ( x ) = ，r ( x ，) i ，r + 稱為過x 的正軌道。我們令 c + ( x ，) = 刀( x ，r ) 0 ， ， 。 對任意j 的子集m 我們定義 。 彳+ ( x ) = c + ( 功n m 一 x 幣口 彳一( x ) = g ( 功n m x ， 第一章引言及預備知識e q u a t i o nc h a p t e rls e c t i o n 冥中 g ( x ) = u g ( x ，f ) i t r + ，g ( x ，f ) = y l ，( y ，f ) = x ) 是x 在，r + 時的可達集合。最后我們令m ( x ) = m + ( x ) u m 一( x ) 。 下面我們給出脈沖半動力系統(tǒng)的定義。 定義1 1 2 1 3 9 如果( z ，廳) 是一個半動力系統(tǒng)，m 是z 的一個非空子集，函數(shù) i ：m 專石連續(xù)并且滿足 ( i )沒有點x 石是吖o 。的極限點， ( i i ) f i g ( x ，r ) n 時= 是r + 的一個閉子集， 則我們稱( x ，7 1 ：，m ，) 為一個脈沖半動力系統(tǒng)。 在本文中我們記= 比蚴，對任意的x 乍彳，記l ( x ) = x + 。 引理1 1 1 1 3 9 】令( z ，石，m ，) 是一個脈沖半動力系統(tǒng)，則對任意的x ，存在正 實數(shù)墨使得0 墨o o 且對0 t 0 使得當f s 0 使得對任意的0 t 一 0 ，t o 戚+ ，存在j = 6 ( t o ，s ，r 1 ) 0 使得 i ：c o 一| 0 ，叩 0 ，t o 豫+ ，存在a o = 晶( t o ) 0 和一個 t = t ( t o ，占，刁) o 使 ! 導 x o 一如i 晶蘊含著i x ( f ) 一( f ) j r 成立； ( i v )一致吸引的，如果在( i i i ) 中島和丁與t o 無關； ( v )漸近穩(wěn)定的，如果( i ) 和( i i i ) 成立； ( 、，i )一致漸近穩(wěn)定的，如果( i i ) 和( i v ) 成立。 下面是關于脈沖微分方程不等式的定理： 定理1 2 2 1 3 9 】假設： ( i ) 序列 k 滿足o 珀 t 1 t 2 ，恕t k 2 o o ， ( i i )m p c i 【r + ，豫】，1 i m ( 0 在屯左連續(xù)，k = 1 ，2 ， ( i i i )對t = 1 ，2 ，當，t o 時有 i m 7 ( r ) p ( t ) m ( t ) + 9 0 ) ，t t t ， 【聊( 咭) 以塒( t ) + ，r = t ， 人連理_ ：i = 大學博十學位論文 其中p ，g c 啤+ ，r 】，噸o 和都是常數(shù)， 則有 m ( t ) 砒，。兀 t k t o 。j “ r ”，j ：q 專q ，m c 科且滿足定義1 1 2 中的條件( i ) 。 由定義1 i 2 系統(tǒng)( 1 2 2 ) 和( 1 2 3 ) 都是脈沖半動力系統(tǒng)。設妒( ，) ( ，r + ) 是方程 ( 1 2 2 ) 的一個解。且脈沖時刻為 ) ，并有 0 t l t 2 0 和t o 璉+ ，l t o 一1 占，存在艿 0 使得當x o q ，x 0 諾百( ( ) ，口) u 否( 妒( t ) ，印，；6 等式p ( x o ，工) o 和，0 r + ，f t o 一靠i 0 ，存在五和仃 第一章引言及預備知識e q u a t i o nc h a p t e r is e c t i o n1 使得p ( x o ，) ，7 ，存在兄 0 ，且對任意的x 0 科，滿足l 工。一妒( 龜) i 0 ，存在盯 ic i ，使得t o + 仃j + ( t o ，x 0 ) ，且對任意t t o + 盯， t j + ( t o ，x o ) ，i t o i k l r 有 l x ( f + c ，f o ，：c o ) 一礦( f ) i p 1 3 齊次線性周期脈沖微分方程的f l o q u e t 理論 對于齊次線性正周期脈沖微分方程： 魯刊( f ) 刈k 風( 1 3 1 ) 【缸= 取x ， r = 1 7 k ，k z ， 我們假設有下面的條件： 條件1 3 h 彳( ) p c ( r ，c “”) ，a ( t + 丁) = 4 ( f ) o r ) ； 身 件1 3 2 ：玩c “，d e t ( e + 魄) 0 ，r k r t 十1 ( z ) ； 條件1 3 3 ：存在g n 使得屏+ 9 = 反，靠+ 口= + 丁，七z ： 定理1 3 1 1 9 如果條件1 3 1 、條件1 3 ，2 、條件1 3 3 成立，則每一個( 1 , 3 1 ) 的基 解矩陣都可以表示為如下形式： x ( t ) = 妒o ) p 7 。o r ) ( 1 3 2 ) 這里人ec 是常值矩陣，矩陣廬( ) p c i ( r ，c “”) 是非奇異和p 周期的。 注釋1 3 1 ：由定理1 3 1 和條件1 3 3 可知f l o q u e t 表達式( 1 3 2 ) 中的妒( f ) 是一個 l y a p u n o v 矩陣，也即滿足： ( i )礦( ) p c i ( 豫，c “”) ， ( i i ) ( f ) 和魚磐在r 有界， ( i i i ) 。f l d e t 廬( ) l 刈 大連理工大學博士學位論文 定義1 3 1 ：在定理1 3 1 的證明過程用來構(gòu)造a 的矩陣m 滿足x ( t + 丁) = x ( t ) m ， ( t 1 r ) ，a = ；h 肼，我們稱之為系統(tǒng)( 1 3 1 ) 相應于x ( o 的單值矩陣( m o n o d r o m y m a t r i x ) ，它的特征根朋，以稱之為系統(tǒng)( 1 3 1 ) 的f l o q u e t 乘子( m u l t i p l i e r s ) 。 注釋1 3 2 ：可以證明系統(tǒng)( 1 3 1 ) 所有的單值矩陣都相似且有相同的特征根。 注釋1 3 3 ：可以選取( 1 3 1 ) 的任一個基解矩陣地f ) 并按公式： m = x ( t o + 丁) j 。1 ( 島) 計算單值矩陣，如果x ( o + ) = e ，則我們可以取m = z ( r ) 定理1 3 2 1 9 如果條件1 3 1 、條件1 - 3 2 和條件1 3 3 成立，則l 周期的線性脈沖方 程( 1 3 1 ) 是： ( i )穩(wěn)定的，當且僅當所有( 1 3 1 ) 的乘子p j ( j 2 l ，h ) 滿足不等式j 竹l 1 ，并 且h l = l 的那些特征根竹重數(shù)都為1 ； ( i i ) 漸近穩(wěn)定的，當且僅當所有( 1 3 1 ) 的乘子一( ，= 1 ，胛) 滿足f 竹i 1 1 4 一類特殊函數(shù)的定義和其性質(zhì) 定義1 4 1 1 7 】l a m b e r t w 函數(shù) w ： 一 ，) 斗豫被定義為實值函數(shù) f ：y _ y e = x 的反函數(shù)，w o 。有兩個分支，我們定義w ( o ，曲為主分支，它滿足 w ( 0 ，x ) 一1 ，另一個分之我們記為w ( 一l ，功，w ( 一l ，x ) s l ( 見圖1 4 1 ) 。 我們很容易得出l a m b e n t w 函數(shù)的下列性質(zhì)： w ( x ) e w ( ) = x 。 它的導數(shù)滿足 x ( 1 + w ( 工) ) w x 工) = w ( x ) ， 這里x 0 且x 一：i ，在零點的極限如下： j l i _ r a o w ( o ，x ) = 0 ， 等w ( 一l ，z ) = - - 0 0 ， 更多關于l a m b e r t w 函數(shù)的內(nèi)容參見文獻 1 7 】。 9 第一章引言及預備知識e q u a t i o nc h a p t e r1 s e c t i o n 1 5 本文用到的一些定理 圖1 4 1 n r o u w e r 不動點定理： 定理1 5 1 ( b r o u w e r ) 2 9 任意一個從碾一中的有界閉凸集到其自身的連續(xù)映射都至 少有一個不動點。 下面定理是關于如下的一般形式的泛涵微分方程： i c ( t ) = f ( t ，) ，( 1 5 1 ) 這里x ( ，) 科，f ( f ，一) 是酞c ”【一f ，o 】上的實連續(xù)泛涵，f ( t ，_ ) 關于r 是珊周期的， 并且關于x t 滿足局部l i p s c h i t z 條件。對任意的中c ”卜f ，0 】，記 x ( f ，0 ，o ) = x ( x 1 ( ，0 ，) ，x 2 ( t ，0 ，廬) ，h ( f ，0 ，巾) ) 是方程( 1 5 1 ) 的具有初值= 巾的解。 定理1 5 2 1 1 0 0 】如果存在正的常數(shù)m 和m 使得： m l i m i n f x i ( f ，0 ，o ) l i m s u p x j ( r ，0 ，中) m ，v i = 1 ，2 ，療 r f m 對任意的中c ： 一f ，0 】，則系統(tǒng)( 1 5 1 ) 必有功一周期解。 定理1 5 3 【1 3 】如果fo ，+ o ?！可系姆秦摵瘮?shù)f 可積且在 o + 。d 】上一致連續(xù)，則有 l i m f ( t ) = 0 大連理下大學博十學位論文 第二章害蟲治理的狀態(tài)依賴脈沖微分方程 2 1 生物背景及模型的建立 害蟲治理方法的研究在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中是非常有應用價值和意義的，在過去的二十年間 人們不斷研究對有害昆蟲和節(jié)肢動物的控制，而這種控制也因為人類活動或氣候變遷而 變得更加復雜。在單一的控制策略指導下，噴灑殺蟲劑即化學控制是作為控制害蟲數(shù)量 的主要方法，但其弊端在于會對環(huán)境產(chǎn)生污染以及耗費大量的人力物力，另外噴灑殺蟲 劑或其他的一些農(nóng)藥也會殺傷大量