2011年中考數(shù)學(xué)高分沖刺之二次函數(shù)

共 49 頁 第 1 頁 中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)之二次函數(shù) 一、二次函數(shù)的圖像和性質(zhì) 1、二次函數(shù)的三種形式 : 一般式 : )0,(2 acbacbxaxy 為常數(shù)，且 頂點(diǎn)式 : )0()( 2 akhxay ；交點(diǎn)式 : )0)()( 21 axxxxay . 2、一般地 ,拋物線 khxay 2)( 與 2axy 的形狀相同 ,位置不同 .把拋物線 2axy 向 共 49 頁 第 2 頁 上 (下 )向左 (右 )平移 ,可得到拋物線 khxay 2)( .平移的方向、距離要根據(jù) h ,k 的值來決定 . 拋物線 khxay 2)( 有如下特點(diǎn) : (1)當(dāng) 0a 時(shí) ,開口向上 ,函數(shù) 有最小值 k ；當(dāng) 0a 時(shí) ,開口向下 ,函數(shù) 有最大值 k ； (2)對(duì)稱軸是 hx ； (3)頂點(diǎn)是 ),( kh . 3、二次函數(shù) )0,(2 acbacbxaxy 為常數(shù)，且的圖像是 拋物線 . 1 頂點(diǎn)是： )44,(2a bacab ，對(duì)稱軸是：abx 2. 2 開口方向： 0a 時(shí)， 開口向上 ； 0a 時(shí)， 開口向下 . 3 增減性：當(dāng) 0a ，在abx 2時(shí)， y 隨 x 的增大而 減小 ，在abx 2時(shí) ,y 隨 x 的增大而 增大 ；當(dāng) 0a 時(shí)，在abx 2時(shí)， y 隨 x 的增大而 增大 ，在abx 2時(shí) ,y 隨 x 的增大而 減小 . 4 最值 :當(dāng) 0a 時(shí)，函數(shù)有 最小值 ,且當(dāng) abx 2 時(shí)， y 有 最小值是a bac442 ； 0a 時(shí)，函數(shù)有 最大值 ,且當(dāng)abx 2時(shí)， y 有 最大值是a bac442 . 5 開口大小 :a 越 大拋物線的開口 越小 ,反之 越大 . 4、我們可以利用根的判別式來判斷函數(shù) )0,(2 acbacbxaxy 為常數(shù)，且與 x 軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù) (1)當(dāng) 042 acb 時(shí) ,拋物線與 x 軸有 兩個(gè)交點(diǎn) ； (2)當(dāng) 042 acb 時(shí) ,拋物線與 x 軸 有一個(gè)交點(diǎn) ； (3)當(dāng) 042 acb 時(shí) ,拋物線與 x 軸 無交點(diǎn) . 5、拋物線 )0,(2 acbacbxaxy 為常數(shù)，且與 y 軸的交點(diǎn)是 ),0( c . 共 49 頁 第 3 頁 二 、 快 速 練 習(xí) 1、 (2009 年四川省內(nèi)江市 )拋物線 3)2( 2 xy 的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（ ） A（ 2， 3） B（ 2， 3） C（ 2， 3） D（ 2， 3） 2、（ 2009 年廣州市）二次函數(shù) 2)1( 2 xy 的最小值是（ ） A.2 （ B） 1 （ C） -1 （ D） -2 第3題 3、（ 2009 年深圳市）二次函數(shù) cbxaxy 2 的圖象如圖所示，若點(diǎn) A（ 1， y1）、 B（ 2， y2）是它圖象上的兩點(diǎn)，則 y1與 y2的大小關(guān)系是（ ） A 21 yy B 21 yy C 21 yy D不能確定 4、拋物線 2axy 向左平移 5個(gè)單位 ,再向下移動(dòng) 2個(gè)單位得到拋物線 5、（ 2009 湖北省荊門市）函數(shù) ( 2 ) ( 3 )y x x 取得最大值時(shí)， x _ 6、（ 2009 年淄 博市） 請(qǐng) 寫出符合以 下三個(gè)條件 的一個(gè)函 數(shù)的解析式 過點(diǎn) (31)， ； 當(dāng) 0x 時(shí)， y 隨 x的增大而減??；當(dāng)自變量的值為 2 時(shí)，函數(shù)值小于 2 7、 求函數(shù) 962 xxy 的最小值及圖象的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)。 三、 重點(diǎn)突破 1、（ 2009 湖北省荊門市）函數(shù) 1 axy 與 )0(2 acbxaxy 的圖象可能是（ ） 2、（ 2009 年濟(jì)寧市）小強(qiáng)從如圖所示 的二次函數(shù) 2y a x b x c 的圖象中，觀察得出了下面五條信息：（ 1） 0a ；（ 2） 1c ；（ 3） 0b ；（ 4） 0abc ； （ 5） 0a b c . 你認(rèn)為其中正確信息的個(gè)數(shù)有 A 2個(gè) B 3個(gè) C 4個(gè) D 5 個(gè) 3、 (2009 年南充 )拋物線 ( 1 ) ( 3 ) ( 0 )y a x x a 的對(duì)稱軸是直線（ ） A B C D 1 1 1 1xo yyo xyo xxo y 共 49 頁 第 4 頁 A 1x B 1x C 3x D 3x 4.已知拋物線 y=-x2+mx+n 的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（ -1， - 3 )，則 m 和 n 的值分別是（ ） A.2,4 B.-2,-4 C.2,-4 D.-2,0 5二次函數(shù) y = ax2+bx+c 的圖像如圖所示，則點(diǎn)（ ,abcc） 在直角坐標(biāo)系中的 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 6、拋物線 y=x2-(m+2)x+3(m-1)與 x軸的交點(diǎn)有 ( ) A.一定有兩個(gè)交點(diǎn) B只有一個(gè)交點(diǎn) C有兩個(gè)或一個(gè)交點(diǎn) D沒有交點(diǎn) 7、已知拋物線過點(diǎn) )0,1(A ， )3,0( B ，且對(duì)稱軸是直線 2x （ 1）求該二次函數(shù)的解析式； （ 2）將該二次函數(shù)圖象向右平移幾個(gè)單位，可使平移后所得圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn) ？并直接寫出平移后所得圖象與 軸的另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo) 8、拋物線 2 23y x x 與 x 軸相交于 A 、 B 兩點(diǎn)（點(diǎn) A 在點(diǎn) B 的左側(cè)），與 y 軸相交于點(diǎn) C ，頂點(diǎn)為 D . 直接寫出 A 、 B 、 C 三點(diǎn)的坐 標(biāo)和拋物線的對(duì)稱軸 . 10、如圖，拋物線 2 54y a x a x a 與 x 軸相交于點(diǎn) A、 B，且過點(diǎn) (54)C ， （ 1）求 a 的值和該拋物線頂點(diǎn) P的坐標(biāo)； （ 2）請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種平移的方法，使平移后拋物線的頂點(diǎn)落在第二象限，并寫出平移后拋物線的解析式 四、拔高訓(xùn)練 1、（ 2009 年婁底）如圖 7， O 的半徑為 2， C1是函數(shù) y=12x2的圖象， C2是函數(shù)y=-12x2的圖象，則陰影部分的面積是 . 2、 (2009 年鄂州 )把拋物線 y ax2 +bx+c 的圖象先向右平移 3個(gè)單位，再向下平A B P x y O （第 10 題） C（ 5,4） 共 49 頁 第 5 頁 移 2 個(gè)單位，所得的圖象的解析式是 y x2 3x+5，則 a+b+c=_ 3、（ 2009 年煙臺(tái)市）二次函數(shù) 2y a x b x c 的圖象如圖所示，則一次函數(shù)2 4y b x b a c 與反比例函數(shù) abcy x 在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象大致為（ ） 4、（ 2009 年江蘇?。┤鐖D，已知二次函數(shù) 2 21y x x 的圖象的頂點(diǎn)為 A 二次函數(shù) 2y ax bx的圖象與 x 軸交于原點(diǎn) O 及另一點(diǎn) C ，它的頂點(diǎn) B 在函數(shù)2 21y x x 的圖象的對(duì)稱軸上 （ 1）求點(diǎn) A 與點(diǎn) C 的坐標(biāo)； （ 2）當(dāng)四邊形 AOBC 為菱形時(shí)，求函數(shù) 2y ax bx的關(guān)系式 5、（ 2009 年浙江省紹興市）定義一種變換：平移拋物線1F得到拋物線2F，使2F經(jīng)過1F的頂點(diǎn) A 設(shè)2F的對(duì)稱軸分別交12FF，于點(diǎn) DB， ，點(diǎn) C 是點(diǎn) A 關(guān)于直線BD 的對(duì)稱點(diǎn) （ 1）如圖 1，若1F： 2yx ，經(jīng)過變換后，得到2F： 2y x bx， 點(diǎn) C 的坐標(biāo)為(20)， ，則 b 的值等于 _； 四邊形 ABCD 為（ ） A平行四邊形 B矩形 C菱形 D正方形 （ 2）如圖 2，若1F： 2y ax c，經(jīng)過變換后，點(diǎn) B 的坐標(biāo)為 (2 1)c， ，求 ABD的面積； 1 1 O x y y x O y x O B C y x O A y x O D 共 49 頁 第 6 頁 （ 3）如圖 3，若1F： 21 2 73 3 3y x x ，經(jīng)過變換后， 23AC ，點(diǎn) P 是直線 AC上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn) P 到點(diǎn) D 的距離和到直線 AD 的距離之和的最小值 五、即學(xué)即練 1、（ 2009 年遂寧）把二次函數(shù) 341 2 xxy用配方法化成 khxay 2 的形式 A. 2241 2 xy B. 4241 2 xy C. 4241 2 xy D. 321212 xy 2、 (2009 年上海市 )拋物線 22 ( )y x m n （ mn， 是常數(shù)）的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（ ） A ()mn， B ()mn ， C ()mn， D ()mn， 3、（ 2009 威海）二次函數(shù) 23 6 5y x x 的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（ ） A ( 18)， B (18)， C ( 12)， D (1 4)， 4 (2007 廣州 )拋物線 2 21y x x 與 x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（ ） （ A） 0 （ B） 1 （ C） 2 （ D） 3 5、（ 2009 年嘉興市）已知 0a ，在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù) axy 與 2axy 的圖象有可能是 （ ） Oyx1 1A xyO1 1B xyO1 1C xyO1 1D 共 49 頁 第 7 頁 C O A B x y 9 題 6.拋物線 y=-2x+x2 7 的開口向 ，對(duì)稱軸是 ，頂點(diǎn)是 , 所在象限是 . 7.若二次函數(shù) y=mx2-3x+2m-m2的圖像過原點(diǎn)，則 m 的值是 . 8.如果把拋物線 y=2x2-1向左平移 l個(gè)單位，同時(shí)向上平移 4 個(gè)單位，那么得到的新的拋物線 是 . 9（ 2007 廣州） 如圖 6，一個(gè) 二次函數(shù)的圖象經(jīng)過 點(diǎn) A、 C、 B 三點(diǎn)，點(diǎn) A 的坐標(biāo)為（ 1, 0 ），點(diǎn) B 的坐標(biāo)為（ 4,0 ），點(diǎn) C 在 y 軸的正半軸上，且 AB=OC （ 1）求點(diǎn) C 的坐標(biāo)； （ 2）求 這個(gè)二次函數(shù)的解析式 ，并求出該函數(shù)的最大值 10、（ 2009 年貴州省黔東南州）已知二次函數(shù) 22 aaxxy 。 （ 1）求證：不論 a 為何實(shí)數(shù)，此函數(shù)圖象與 x軸總 有兩個(gè)交點(diǎn)。 （ 2）設(shè) a0 則與 x 軸有兩個(gè)交點(diǎn)，可由方程x2 bx c=0 求出 若 =0則與 x軸有一個(gè)交點(diǎn)，可由方程 x2 bx c=0求出若 0 則與 x 軸有無交點(diǎn)。 確定圖象與 y 軸的交點(diǎn)情況 ,令 x=0 得出 y=c，所以交點(diǎn)坐標(biāo)為（ 0， c） 由以上各要素出草圖。 練習(xí)： 作出以下二次函數(shù)的草圖 ： （ 1） 62 xxy (2) 122 xxy (3) 12 xy 例 2 某種產(chǎn)品的成本是 120 元 /件 ，試銷階段每件產(chǎn)品的售價(jià) x（元）與產(chǎn)品的日銷售量 y（件）之間關(guān)系如下表所示： 若日銷售量 y是銷售價(jià) x的一次函數(shù)，那么，要使每天所獲得最大的利潤(rùn)，每件產(chǎn)品的銷售價(jià)應(yīng)定為多少元？此時(shí)每天的銷售利潤(rùn)是多少？ 分析：由于每天的利潤(rùn)日銷售量 y( 銷售價(jià) x 120)，日銷售量 y 又是銷售價(jià) x的一次函數(shù)，所以，欲求每天所獲得的利潤(rùn)最大值，首先需要求出每天的利潤(rùn)與銷售價(jià) x 之間的函數(shù)關(guān)系，然后，再由它們之間的函數(shù)關(guān)系求出每天利潤(rùn)的最大值 。 解：由于 y 是 x 的一次函數(shù)，于是，設(shè) y kx b， 將 x 130， y 70； x150， y 50 代入方程，有 7 0 1 3 0 ,5 0 1 5 0 ,kbkb 解得200b1k 。 y x 200。 設(shè)每天的利潤(rùn)為 z（元），則 z ( x+200)(x 120) x2 320x 24000 (x 160)2 1600， 當(dāng) x 160 時(shí)， z 取最大值 1600。 答：當(dāng)售價(jià)為 160 元 /件時(shí)，每天的利潤(rùn)最大，為 1600 元 。 例 3 把二次函數(shù) y x2 bx c的圖像向上平移 2個(gè)單位，再向左平移 4個(gè)單位，得到函數(shù) y x2的圖像，求 b， c的值 。 解法一： y x2 bx c (x+2b)2 24bc，把它的圖像向上平移 2 個(gè)單位，再向左平移 4 個(gè)單位，得到 22( 4 ) 224bby x c 的圖像，也就是函數(shù) y x2的圖像，所以， 共 49 頁 第 15 頁 24 0,22 0,4bbc 解得 b 8， c 14。 解法二：把二次函數(shù) y x2 bx c 的圖像向上平移 2 個(gè)單位，再向左平移 4個(gè)單位，得到函數(shù) y x2的圖像，等價(jià)于把二次函數(shù) y x2的圖像向下平移 2 個(gè)單位，再向右平移 4個(gè)單位，得到函數(shù) y x2 bx c 的圖像 。 由于把二次函數(shù) y x2的圖像向下平移 2 個(gè)單位，再向右平移 4 個(gè)單位，得到函數(shù) y (x 4)2 2 的圖像，即為 y x2 8x 14 的圖像， 函數(shù) y x2 8x 14 與函數(shù) y x2 bx c 表示同一個(gè)函數(shù)， b 8， c 14。 說明：本例的兩種解法都是利用二次函數(shù)圖像的平移規(guī)律來解決問題，所以，同學(xué)們要牢固掌握二次函數(shù)圖像的變換規(guī)律 。 這兩種解法反映了兩種不同的思維方法：解法一，是直接利用條件進(jìn)行正向的思維來解決的，其運(yùn)算量 相對(duì)較大；而解法二，則是利用逆向思維，將原來的問題等價(jià)轉(zhuǎn)化成與之等價(jià)的問題來解，具有計(jì)算量小的優(yōu)點(diǎn) 。 今后，我們?cè)诮忸}時(shí)，可以根據(jù)題目的具體情況，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒▉斫鉀Q問題 。 例 4 已知函數(shù) y x2， 2 x a，其中 a 2，求該函數(shù)的最大值與最小值，并求出函數(shù)取最大值和最小值時(shí)所對(duì)應(yīng)的自變量 x的值 。 分析：本例中函數(shù)自變量的范圍是一個(gè)變化的范圍，需要對(duì) a的取值進(jìn)行討論 。 解：（ 1）當(dāng) a 2 時(shí)，函數(shù) y x2的圖象僅僅對(duì)應(yīng)著一個(gè)點(diǎn) ( 2， 4)，所以，函數(shù)的最大值和最小值都是 4，此時(shí) x 2； （ 2）當(dāng) 2 a 0 時(shí)，由圖 2 2 6 可知，當(dāng) x 2時(shí)，函數(shù)取最大值 y 4；當(dāng) x a時(shí)，函數(shù)取最小值 y a2； （ 3）當(dāng) 0 a 2時(shí)，由圖 2 2 6 可知，當(dāng) x 2時(shí)，函數(shù)取最大值 y 4；當(dāng) x 0時(shí)，函數(shù)取最小值 y 0； （ 4）當(dāng) a2 時(shí)，由圖 2 2 6 可知，當(dāng) x a 時(shí)，函數(shù)取最大值 y a2；當(dāng) x 0 時(shí)，函數(shù)取最小值 y 0。 說明：在本例中，利用了分類討論的方法，對(duì) a的所有可能情形進(jìn)行討論 。此外，本例中所研究的二次函數(shù)的自變量的取值不是取任意的實(shí)數(shù)，而是取部分實(shí)數(shù)來研究，在解決這一類問 題時(shí)，通常需要借助于函數(shù)圖象來直觀地解決問題 。 練習(xí) 1選擇題： （ 1）下列函數(shù)圖象中，頂點(diǎn)不在坐標(biāo)軸上的是（ ） x y O 2 a a2 4 圖 2.2 6 x y O a 2 2 4 a2 2 x y O a a2 4 共 49 頁 第 16 頁 （ A） y 2x2 （ B） y 2x2 4x 2 （ C） y 2x2 1 （ D） y 2x2 4x （ 2）函數(shù) y 2(x 1)2 2 是將函數(shù) y 2x2（ ） （ A）向左平移 1個(gè)單位、再向上平移 2個(gè)單位得到的 （ B）向右平移 2個(gè)單位、再向上平移 1個(gè)單位得到的 （ C）向下平移 2個(gè)單位、再向右平移 1個(gè)單位得到的 （ D）向上平移 2個(gè)單位、再向右平移 1個(gè)單位得到的 2填空題 （ 1）二次函數(shù) y 2x2 mx n 圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 (1， 2)，則 m ， n 。 （ 2）已知二次函數(shù) y x2+(m 2)x 2m，當(dāng) m 時(shí)，函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在 y 軸上； 當(dāng) m 時(shí)，函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在 x 軸上；當(dāng) m 時(shí)，函數(shù)圖象經(jīng)過原點(diǎn) 。 （ 3）函數(shù) y 3(x 2)2 5的圖象的開口向 ，對(duì)稱軸為 ，頂點(diǎn)坐標(biāo)為 ；當(dāng) x 時(shí)，函數(shù)取最 值 y ；當(dāng) x 時(shí)， y隨著 x 的增大而減小 。 3求下列拋物線的開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、最大（?。┲导?y 隨 x的變化情況，并畫出其圖象 。 （ 1） y x2 2x 3； （ 2） y 1 6 x x2。 4已知函數(shù) y x2 2x 3，當(dāng)自變量 x 在下列取值范圍內(nèi)時(shí)，分別求函數(shù)的最大值或最小值，并求當(dāng)函數(shù)取最大（?。┲禃r(shí)所對(duì)應(yīng)的自變量 x 的值：；）（ 2x.1 2x.2 ）（ ； 1x2.3 ）（ ； 3x0.4 ）（ 。 2.2 二次函數(shù)的三種表示方式 通過上一小節(jié)的學(xué)習(xí)，我們知道，二次函數(shù)可以表示成以下兩種形式： 1一般式： y ax2 bx c(a0) ； 2頂點(diǎn)式： y a(x h)2 k (a0) ，其中頂點(diǎn)坐標(biāo)是 ( h， k)。 除了上述兩種表示方法外，它還可以用另一種形式來表示 。 為了研究另一種表示方式，我們先來研究二次函數(shù) y ax2 bx c(a0) 的圖象與 x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù) 。 當(dāng)拋物線 y ax2 bx c(a0) 與 x 軸相交時(shí)，其函數(shù)值為零，于是有 ax2 bx c 0。 ， 并且方程 的解就是拋物線 y ax2 bx c(a0) 與 x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)（縱坐標(biāo)為零），于是，不難發(fā)現(xiàn)，拋物線 y ax2 bx c(a0) 與 x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)與方程 的解的個(gè)數(shù)有關(guān)，而方程 的解的個(gè)數(shù)又與方程 的根的判別式 b2 4ac 有關(guān)，由此可知，拋物線 y ax2 bx c(a0) 與 x 軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)與根的判別式 b2 4ac存在下列關(guān)系： （ 1）當(dāng) 0 時(shí)，拋物線 y ax2 bx c(a0) 與 x 軸有兩個(gè)交點(diǎn)； 反過來，若拋物線 y ax2 bx c(a0) 與 x 軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則 0 也成立 。 （ 2）當(dāng) 0 時(shí)，拋物線 y ax2 bx c(a0) 與 x 軸有一個(gè)交點(diǎn)（拋物線的頂點(diǎn)）； 反過來，若拋物線 y ax2 bx c(a0) 與 x 軸有一個(gè)交點(diǎn)，則 0 也成立 。 （ 3）當(dāng) 0 時(shí)，拋物線 y ax2 bx c(a0) 與 x 軸沒有交點(diǎn)； 共 49 頁 第 17 頁 反過來，若拋物線 y ax2 bx c(a0) 與 x軸沒有交點(diǎn)，則 0 也成立 。 于是，若拋物線 y ax2 bx c(a0) 與 x 軸有兩個(gè)交點(diǎn) A(x1， 0)， B(x2， 0)，則 x1， x2是方程 ax2 bx c 0 的兩根，所以 x1 x2 ba， x1x2 ca，即 ba(x1 x2)， ca x1x2。 所以， y ax2 bx c a( 2 bcxxaa)= ax2 (x1 x2)x x1x2 a(x x1)(x x2)。 由上面的推導(dǎo)過程可以得到下面結(jié)論： 若拋物線 y ax2 bx c(a0) 與 x軸交于 A(x1， 0)， B(x2， 0)兩點(diǎn)， 則其函數(shù)關(guān)系式可以表示為 y a(x x1)(x x2)(a0) 。 這樣，也就得到了表示二次函數(shù)的第三種方法： 3交點(diǎn)式： y a(x x1)(x x2)(a0) ，其中 x1， x2是二次函數(shù)圖象與 x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo) 。 今后，在求二次函數(shù)的表達(dá)式時(shí)，我們可以根據(jù)題目所提供的條件，選用一般式、頂點(diǎn)式、交點(diǎn)式這三種表達(dá)形式中的某一形式來解題 。 例 1 已知某二次函數(shù)的最大值為 2，圖像的頂點(diǎn)在直線 y x 1 上，并且圖象經(jīng)過點(diǎn)（ 3， 1），求二次函數(shù)的解析式 。 分析：在解本例時(shí)，要充分利用題目中所給出的條件 最大值、頂點(diǎn)位置，從而可以將二次函數(shù)設(shè)成頂點(diǎn)式，再由函數(shù)圖象過定點(diǎn)來求解出系數(shù) a。 解： 二次函數(shù)的最大值為 2，而最大值一定是其頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)， 頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 2。 又頂點(diǎn)在直線 y x 1 上，所以， 2 x 1， x 1。 頂點(diǎn)坐標(biāo)是（ 1， 2） 。 設(shè)該二次函數(shù)的解析式為 2( 2 ) 1 ( 0 )y a x a ， 二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)（ 3， 1）， 21 (3 2 ) 1a ，解得 a 2。 二次函數(shù)解析式為 22 ( 2 ) 1yx ，即 y 2x2 8x 7。 說明：在解題時(shí)，由最大值確定出頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，再利用頂點(diǎn)的位置求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后設(shè)出二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，最終解決了問題 。 因此，在解題時(shí)，要充分挖掘題目所給的條件，并巧妙地利用條件簡(jiǎn)捷地解決問題 。 例 2 已知二次函數(shù)的圖象過點(diǎn) ( 3， 0)， (1， 0)，且頂點(diǎn)到 x 軸的距離等于 2，求此二次函數(shù)的表達(dá)式 。 分析一：由于題目所給的條件中，二次函數(shù)的圖象所過的兩點(diǎn)實(shí)際上就是二次函數(shù)的圖象與 x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，于是可以將函數(shù)的表達(dá)式設(shè)成交點(diǎn)式 。 解法一： 二次函數(shù)的圖象過點(diǎn) ( 3， 0)， (1， 0)， 可設(shè)二次函數(shù)為 y a(x 3)(x 1)(a0) ， 展開，得 ： y ax2 2ax 3a， 頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 221 2 4 44aa aa ， 由于二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)到 x 軸的距離 2， | 4a| 2，即 a 12。 共 49 頁 第 18 頁 所以，二次函數(shù)的表達(dá)式為 y 21322xx，或 y 21322xx。 分析二：由于二次函數(shù)的圖象過點(diǎn) ( 3， 0)， (1， 0)，所以，對(duì) 稱軸為直線x 1，又由頂點(diǎn)到 x 軸的距離為 2，可知頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 2，或 2，于是，又可以將二次函數(shù)的表達(dá)式設(shè)成頂點(diǎn)式來解，然后再利用圖象過點(diǎn) ( 3， 0)，或 (1，0)，就可以求得函數(shù)的表達(dá)式 。 解法二： 二次函數(shù)的圖象過點(diǎn) ( 3， 0)， (1， 0)， 對(duì)稱軸為直線 x 1。 又頂點(diǎn)到 x 軸的距離為 2， 頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 2，或 2。 于是可設(shè)二次函數(shù)為 y a(x 1)2 2，或 y a(x 1)2 2， 由于函數(shù)圖象過點(diǎn) (1， 0)， 0 a(1 1)2 2，或 0 a(1 1)2 2。 a 12，或 a 12。 所以，所求 的二次函數(shù)為 y 12(x 1)2 2，或 y 12(x 1)2 2。 說明：上述兩種解法分別從與 x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)及頂點(diǎn)的坐標(biāo)這兩個(gè)不同角度，利用交點(diǎn)式和頂點(diǎn)式來解題，在今后的解題過程中，要善于利用條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒▉斫鉀Q問題 。 例 3 已知二次函數(shù)的圖象過點(diǎn) ( 1， 22)， (0， 8)， (2， 8)，求 此二次函數(shù)的表達(dá)式 。 解：設(shè)二次函數(shù)為 ）（ 0acbxaxy 2 。 由函數(shù)圖象過點(diǎn) ( 1， 22)， (0， 8)， (2， 8)， 可得8c2ba48c22cb-a ， 解得8c12b2a 故 所求二次函數(shù)為 y 2x2 12x 8。 通過上面的幾道例題，同學(xué)們能否歸納出：在什么情況下，分別利用函數(shù)的一般式、頂點(diǎn)式、交點(diǎn)式來求二次函數(shù)的表達(dá)式？ 練習(xí) 1.選擇題 :（ 1）函數(shù) y x2 x 1 圖象與 x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（ ） （ A） 0 個(gè) （ B） 1 個(gè) （ C） 2個(gè) （ D）無法確定 （ 2）函數(shù) y 12 (x 1)2 2 的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（ ） （ A） (1， 2) （ B） (1， 2) （ C） ( 1， 2) （ D） ( 1，2) 2.填空： （ 1）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過與 x 軸交于點(diǎn) ( 1， 0)和 (2， 0)，則該二次函數(shù)的解析式可設(shè)為 y a (a0) 。 （ 2）二次函數(shù) y x2+2 3x 1 的函數(shù)圖象與 x 軸兩交點(diǎn)之間的距離為 。 3.據(jù)下列條件，求二次函數(shù)解析式 。 （ 1）圖象經(jīng)過點(diǎn) (1， 2)， (0， 3)，( 1， 6)； 共 49 頁 第 19 頁 （ 2）當(dāng) x 3時(shí)，函數(shù)有最小值 5，且經(jīng)過點(diǎn) (1， 11)； （ 3）函數(shù)圖象與 x 軸交于兩點(diǎn) (1 2， 0)和 (1 2， 0)，并與 y 軸交于 (0， 2)。 2.3 二次函數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用 一、函數(shù)圖象的平移變換與對(duì)稱變換 1平移變換 問題 1 在把二次函數(shù)的圖象進(jìn)行平移時(shí)，有什么特點(diǎn)？依據(jù)這一特點(diǎn)，可以怎樣來研究二次函數(shù)的圖象平移？ 我們不難發(fā)現(xiàn)：在對(duì)二 次函數(shù)的圖象進(jìn)行平移時(shí)，具有這樣的特點(diǎn) 只改變函數(shù)圖象的位置、不改變其形狀，因此，在研究二次函數(shù)的圖象平移問題時(shí)，只需利用二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)式研究其頂點(diǎn)的位置即可 。 例 1 求把二次函數(shù) y x2 4x 3 的圖象經(jīng)過下列平移變換后得到的圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式： （ 1）向右平移 2個(gè)單位，向下平移 1 個(gè)單位；（ 2）向上平移 3個(gè)單位，向左平移 2 個(gè)單位 。 分析：由于平移變換只改變函數(shù)圖象的位置而不改變其形狀（即不改變二次項(xiàng)系數(shù)），所以只改變二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)位置（即只改變一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)），所以，首先將二次函 數(shù)的解析式變形為頂點(diǎn)式，然后，再依據(jù)平移變換后的二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)位置求出平移后函數(shù)圖像所對(duì)應(yīng)的解析式 。 解：二次函數(shù) y 2x2 4x 3的解析式可變?yōu)?y 2(x 1)2 1，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為 (1， 1)。 （ 1）把函數(shù) y 2(x 1)2 1的圖象向右平移 2個(gè)單位，向下平移 1 個(gè)單位后，其函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是 (3， 2)，所以，平移后所得到的函數(shù)圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式就為 y 2(x 3)2 2。 （ 2）把函數(shù) y 2(x 1)2 1的圖象向上平移 3個(gè)單位，向左平移 2 個(gè)單位后，其函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是 ( 1， 2)， 故 平移后所得到的函數(shù)圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式就為 y 2(x 1)2 2。 2對(duì)稱變換 問題 2 在把二次函數(shù)的圖象關(guān)于與坐標(biāo)軸平行的直線進(jìn)行對(duì)稱變換時(shí)，有什么特點(diǎn)？依據(jù)這一特點(diǎn)，可以怎樣來研究二次函數(shù)的圖象平移？ 我們不難發(fā)現(xiàn)：在把二次函數(shù)的圖象關(guān)于與坐標(biāo)軸平行的直線進(jìn)行對(duì)稱變換時(shí)，具有這樣的特點(diǎn) 只改變函數(shù)圖象的位置或開口方向、不改變其形狀，因此，在研究二次函數(shù)圖象的對(duì)稱變換問題時(shí)，關(guān)鍵是要抓住二次函數(shù)的頂點(diǎn)位置和開口方向來解決問題 。 x y O x 1 A(1, 1) A1( 3, 1) 圖 2.2 7 x y O y 1 A(1, 1) B(1， 3) 圖 2.2 8 共 49 頁 第 20 頁 例 2 求把二次函數(shù) y 2x2 4x 1 的圖象關(guān)于下列直線對(duì)稱后所得到圖象對(duì)應(yīng)函數(shù)解析式： （ 1）直線 x 1； （ 2）直線 y 1。 解：（ 1）如圖 2 2 7，把二次函數(shù) y 2x2 4x 1的圖象關(guān)于直線 x 1作對(duì)稱變換后，只改變圖象的頂點(diǎn)位置，不改變其形狀 。 由于 y 2x2 4x 1 2(x 1)2 1，可知，函數(shù) y 2x2 4x 1 圖象的頂點(diǎn)為 A(1, 1)，所以，對(duì)稱后所得到圖象的頂點(diǎn)為 A1( 3， 1)，所以，二次函數(shù) y 2x2 4x 1的圖象關(guān)于直線 x 1對(duì)稱后所得到圖象的函數(shù)解析式為 y 2(x 3)2 1， 即 y 2x2 12x 17。 （ 2）如圖 2 2 8，把二次函數(shù) y 2x2 4x 1 的圖象關(guān)于直線 x 1 作對(duì)稱變換后，只改變圖象的頂點(diǎn)位置和開口方向，不改變其形狀 。 由于 y 2x2 4x 1 2(x 1)2 1，可知，函數(shù) y 2x2 4x 1 圖象的頂點(diǎn)為 A(1, 1)，所以，對(duì)稱后所得到圖象的頂點(diǎn)為 B(1， 3)，且開口向下，所以，二次函數(shù) y 2x2 4x 1圖象關(guān)于直線 y 1對(duì)稱后所得到圖象的函數(shù)解析式為 y 2(x 1)2 3，即 y 2x2 4x 1。 中考真題講解 1 （ 2010 江蘇泰州 ） 如 圖，二次函數(shù) cxy 221的圖象經(jīng)過點(diǎn) D 29,3 ，與 x 軸交于 A、 B 兩點(diǎn) 求 c 的值； 如圖，設(shè)點(diǎn) C 為該二次函數(shù)的圖象在 x 軸上方的一點(diǎn)，直線 AC 將四邊形 ABCD 的面積二等分，試證明線段 BD 被直線 AC 平分，并求此時(shí)直線 AC 的函數(shù)解析式； 設(shè)點(diǎn) P、 Q 為該二次函數(shù)的圖象在 x 軸上方的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試猜想：是否存在這樣的點(diǎn)P、 Q，使 AQP ABP？如果存在，請(qǐng)舉例驗(yàn)證你的猜想；如果不存在，請(qǐng)說明理由 （圖供選用） 共 49 頁 第 21 頁 2 （ 2010 福建福州） 如圖，在 ABC 中， C 45， BC 10， 高 AD 8， 矩 形 EFPQ 的一邊QP 在 BC 邊上， E、 F 兩點(diǎn)分別在 AB、 AC 上， AD 交 EF 于點(diǎn) H （ 1） 求證： AHAD EFBC； （ 2） 設(shè) EF x，當(dāng) x 為何值時(shí)，矩形 EFPQ 的面積最大 ?并求其最大值； （ 3） 當(dāng)矩形 EFPQ 的面積最大時(shí)，該矩形 EFPQ 以每秒 1 個(gè)單位的速度沿射線 QC 勻速運(yùn)動(dòng) (當(dāng)點(diǎn) Q 與點(diǎn) C 重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng) )，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t 秒，矩形 EFFQ 與 ABC 重疊部分的面積為 S，求 S 與 t 的函數(shù)關(guān)系式 3 （ 2010 福建福州） 如圖 1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) B 在直線 y 2x 上，過點(diǎn) B 作 x 軸的垂線，垂足為 A， OA 5若拋物線 y 16x2 bx c 過 O、 A 兩點(diǎn) （ 1） 求該拋物線的解析式； （ 2） 若 A 點(diǎn)關(guān)于直線 y 2x 的對(duì)稱點(diǎn)為 C，判斷點(diǎn) C 是否在該拋物線上，并說明理由； （ 3） 如圖 2，在 （ 2） 的條件下 ， O1 是以 BC 為直徑的圓過原點(diǎn) O 作 O1 的切線 OP， P為切點(diǎn) (點(diǎn) P 與點(diǎn) C 不重合 )拋物線上是否存在點(diǎn) Q，使得以 PQ 為直徑的圓與 O1 相切 ?若存在，求出點(diǎn) Q 的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由 (第 21 題 ) 共 49 頁 第 22 頁 4（ 2010 江蘇無錫） 如圖，矩形 ABCD 的頂點(diǎn) A、 B 的坐標(biāo)分別為（ -4， 0）和（ 2， 0）， BC=23設(shè)直線 AC 與直線 x=4 交于點(diǎn) E （ 1）求以直線 x=4 為對(duì)稱軸，且過 C 與原點(diǎn) O 的拋物線的函數(shù)關(guān)系式，并說明此拋物線一定過點(diǎn) E； （ 2）設(shè)（ 1）中的拋物線與 x 軸的另一個(gè)交點(diǎn)為 N， M 是該拋物線上位于 C、 N 之間的一動(dòng)點(diǎn)，求 CMN 面積的最大值 x = 4xyED CBA O 5 （ 2010 湖南邵陽 ）如圖 （十四） ， 拋物線 y 21 34 xx 與 x 軸交于點(diǎn) A、 B，與 y 軸相交于點(diǎn) C，頂點(diǎn)為點(diǎn) D，對(duì)稱軸 l 與直線 BC 相交于點(diǎn) E，與 x 軸交于點(diǎn) F。 （ 1）求直線 BC 的解析式； （ 2）設(shè)點(diǎn) P 為該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以點(diǎn) P 為圓心， r 為半徑作 P。 當(dāng)點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng)到點(diǎn) D 時(shí)，若 P 與直線 BC 相交 ，求 r 的取值范圍； 若 r=455，是否存在點(diǎn) P 使 P 與直線 BC 相切，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn) P 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由 提示：拋物線 y 2 ( 0 )a x b x c a 的頂點(diǎn)坐標(biāo) 24,24b a c baa，對(duì)稱軸 x2ba. 共 49 頁 第 23 頁 圖（十四） 6 （ 2010 年上海） 如圖 8，已知平面直角坐標(biāo)系 xOy，拋物線 y x2 bx c 過點(diǎn) A(4,0)、B(1,3) . （ 1）求該拋物線的表達(dá)式，并寫出該拋物線的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)； （ 2）記該拋物線的對(duì)稱軸為直線 l，設(shè)拋物線上的點(diǎn) P(m,n)在第四象限， 點(diǎn) P 關(guān)于直線 l 的對(duì)稱點(diǎn)為 E，點(diǎn) E 關(guān)于 y 軸的對(duì)稱點(diǎn)為 F，若四邊形 OAPF 的面積為 20，求 m、 n 的值 . 7 （ 2010 重慶綦江縣） 已知拋物線 y ax2 bx c（ a 0）的圖象經(jīng)過點(diǎn) B（ 12,0）和 C（ 0， 6），對(duì)稱軸為 x 2 （ 1）求該拋物線的解析式； （ 2）點(diǎn) D 在線段 AB 上且 AD AC，若動(dòng)點(diǎn) P 從 A 出發(fā)沿線段 AB 以每秒 1 個(gè)單位長(zhǎng)度的速圖 8 yxFEPA1234- 1- 2- 3- 4- 5- 61 2 3 4 5- 1- 2o 共 49 頁 第 24 頁 度勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)另一動(dòng)點(diǎn) Q 以某一速度從 C 出發(fā)沿線段 CB 勻速運(yùn)動(dòng)，問是否存在某一時(shí)刻，使線段 PQ 被直線 CD 垂直平分？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)的 時(shí)間 t（秒）和點(diǎn) Q 的運(yùn)動(dòng)速度；若不存在，請(qǐng)說明理由； （ 3）在（ 2）的結(jié)論下，直線 x 1 上是否存在點(diǎn) M 使， MPQ 為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出所有點(diǎn) M 的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由 xyOQP DBCA 8 （ 2010 山東臨沂） 如圖，二次函數(shù) 2y x a x b 的圖象與 x 軸交于 1( ,0)2A , (2,0)B兩點(diǎn)，且與 y 軸交于點(diǎn) C . （ 1）求該拋物線的解析式，并判斷 ABC 的形狀； （ 2）在 x 軸上方的拋物線上有一點(diǎn) D ,且以 A C D B、 、 、 四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是等腰梯形，請(qǐng)直接寫出 D 點(diǎn)的坐標(biāo)； （ 3）在此拋物線上是否存在點(diǎn) P ,使得以 A C B P、 、 、 四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是直角梯形？若存在，求出 P 點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由 . 共 49 頁 第 25 頁 9 （ 2010 四川宜賓） 將直角邊長(zhǎng)為 6 的等腰 Rt AOC 放在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn) C、 A 分別在 x、 y 軸的正半軸上，一條拋物線經(jīng)過點(diǎn) A、 C 及點(diǎn) B(3，0) (1)求該拋物線的解析式； (2)若點(diǎn) P 是線段 BC 上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn) P 作 AB 的平行線交 AC 于點(diǎn) E，連接 AP，當(dāng) APE 的面積最大時(shí)，求點(diǎn) P 的坐標(biāo)； (3)在第一象限內(nèi)的該拋物線上是否存在點(diǎn) G，使 AGC 的面積與 （ 2） 中 APE 的最 大面積相等 ?若存在，請(qǐng)求出點(diǎn) G 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由 10 （ 2010 江蘇連云港） （本題滿分 8 分）已知反比例函數(shù) y k x 的圖象與二次函數(shù) y ax2 x 1 的圖象相交于點(diǎn)（ 2， 2） （ 1）求 a 和 k 的值； （ 2）反比例函數(shù)的圖象是否經(jīng)過二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)，為什 么？ 11 （ 2010 黃岡） （ 15 分）已知拋物線 2 ( 0 )y a x b x c a 頂點(diǎn)為 C（ 1， 1）且過原點(diǎn)第 26 題圖 yxCBOA24 題圖 共 49 頁 第 26 頁 O.過拋物線上一點(diǎn) P（ x， y）向直線 54y作垂線，垂足為 M，連 FM（如圖） . （ 1）求字母 a， b， c 的值； （ 2）在直線 x 1 上有一點(diǎn) 3(1, )4F，求以 PM 為底邊的等腰三角形 PFM 的 P 點(diǎn)的坐標(biāo)，并證明此時(shí) PFM 為正三角形； （ 3）對(duì)拋物線上任意一點(diǎn) P，是否總存在一點(diǎn) N（ 1， t），使 PM PN 恒成立，若存在請(qǐng)求出 t 值，若不存在請(qǐng)說明理由 . 12 （ 2010 山東省德州） (已知二次函數(shù) cbxaxy 2 的圖象經(jīng)過點(diǎn) A(3， 0)， B(2， -3)，C(0， -3) (1)求此函數(shù)的解析式及圖象的對(duì)稱軸； (2)點(diǎn) P 從 B 點(diǎn)出發(fā)以每秒 0.1 個(gè)單位的速度沿線段 BC 向 C 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn) Q 從 O 點(diǎn)出發(fā)以 相同的速度沿線段 OA 向 A 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)也隨之停止運(yùn)動(dòng)設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t 秒 當(dāng) t 為何值時(shí)，四邊形 ABPQ 為等腰梯形； 設(shè) PQ 與對(duì)稱軸的交點(diǎn)為 M，過 M 點(diǎn)作 x 軸的平行線交 AB 于點(diǎn) N，設(shè)四邊形 ANPQ 的面積為 S，求面積 S 關(guān)于時(shí)間 t 的函數(shù)解析式， 并 指出 t 的取值范圍 ； 當(dāng) t 為何值時(shí)， S 有最大 值或最 小值 13 （ 2010 山東萊蕪） 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線 cbxaxy 2 交 x 軸于)0,6(),0,2( BA 兩點(diǎn)，交 y 軸于點(diǎn) )32,0(C . （ 1）求此拋物線的解析式； （ 2）若此拋物線的 對(duì)稱軸與直線 xy 2 交于點(diǎn) D，作 D 與 x 軸相切， D 交 y 軸于點(diǎn) E、F 兩點(diǎn)，求劣弧 EF 的長(zhǎng) ； （ 3） P 為 此拋物線在第二象限圖像上的一點(diǎn)， PG 垂直于 x 軸，垂足為點(diǎn) G，試確定 P 點(diǎn)的x y O A B C P Q M N 第 23 題圖 共 49 頁 第 27 頁 位置，使得 PGA 的面積被直線 AC 分為 1 2 兩部分 . 14 （ 2010 廣東珠海） 如圖，平面直角坐標(biāo)系中有一矩形 ABCD（ O 為原點(diǎn)），點(diǎn) A、 C 分別在x 軸、 y 軸上，且 C 點(diǎn)坐標(biāo)為（ 0,6）；將 BCD 沿 BD 折疊（ D 點(diǎn)在 OC 邊上），使 C 點(diǎn)落在 OA邊的 E 點(diǎn)上，并將 BAE 沿 BE 折疊，恰好使點(diǎn) A落在 BD的點(diǎn) F上 . (1)直接寫出 ABE、 CBD 的度數(shù)，并求折痕 BD 所在直線的函數(shù)解析式； (2)過 F 點(diǎn)作 FG x 軸，垂足為 G， FG 的中點(diǎn)為 H，若拋物線 cbxaxy 2 經(jīng)過 B、 H、 D三點(diǎn)，求拋物線的函數(shù)解析式； (3)若點(diǎn) P 是矩形內(nèi)部的點(diǎn)，且點(diǎn) P 在（ 2）中的拋物線上運(yùn)動(dòng)（不含 B、 D 點(diǎn)），過點(diǎn) P 作PN BC 分別交 BC 和 BD 于點(diǎn) N、 M，設(shè) h=PM-MN，試求出 h與 P 點(diǎn)橫坐標(biāo) x 的函數(shù)解析式，并畫出該函數(shù)的簡(jiǎn)圖，分別寫出使 PMMN 成立的 x 的取值范圍。 15 （ 2010 福建寧德） 如圖，在梯形 ABCD 中， AD BC， B 90， BC 6， AD 3， DCB 30 .點(diǎn) E、 F 同時(shí)從 B 點(diǎn)出發(fā)，沿射線 BC 向右 勻速 移動(dòng) .已知 F 點(diǎn)移動(dòng)速度是 E 點(diǎn)移動(dòng)速度的 2 倍，以 EF 為一邊在 CB 的上方作等邊 EFG 設(shè) E點(diǎn)移動(dòng)距離為 x（ x 0） . EFG 的邊長(zhǎng)是 _（用含有 x 的代數(shù)式表示），當(dāng) x 2 時(shí)，點(diǎn) G 的位置在 _； 若 EFG 與 梯形 ABCD 重疊部分面積是 y，求 當(dāng) 0 x 2 時(shí) ， y 與 x 之間 的 函數(shù)關(guān)系 式 ； 當(dāng) 2 x 6 時(shí)， y 與 x 之間 的 函數(shù)關(guān)系 式 ； 探求 中得到的函數(shù) y 在 x 取含何值時(shí)，存在 最大值， 并 求出最大值 . （第 24 題圖） x y O A C B D E F 共 49 頁 第 28 頁 16 （ 2010 江西） 如圖，已知經(jīng)過原點(diǎn)的拋物線 y=-2x2+4x 與 x 軸的另一交點(diǎn)為 A，現(xiàn)將它向右平移 m(m0)個(gè)單位，所得拋物線與 x 軸交與 C、 D 兩點(diǎn)，與原拋物線交與點(diǎn) P. （ 1）求點(diǎn) A 的坐標(biāo)，并判斷 PCA 存在時(shí)它的形狀（不要求說理） （ 2）在 x 軸上是否存在兩條相等的線段，若存在，請(qǐng)一一找出，并寫出它們的長(zhǎng)度（可 用含 m 的式子表示）；若不存在，請(qǐng)說明理由； （ 3） CDP 的面積為 S，求 S 關(guān)于 m 的關(guān)系式。 17 （ 2010 武漢 ）如圖 1，拋物線 baxaxy 221 經(jīng)過點(diǎn) A（ 1， 0）， C（ 0，23）兩點(diǎn)，且與 x 軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn) B （ 1）求拋物線解析式； （ 2）若拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn) M，點(diǎn) P 為線段 AB 上一動(dòng)點(diǎn)（不與 B 重合）， Q 在線段 MB 上移動(dòng)，且 MPQ=45，設(shè) OP=x， MQ=222y ，求 2y 于 x 的函數(shù)關(guān)系式，并且直接寫出自變量的取值范圍； （ 3）如圖 2，在同一平面直角坐標(biāo)系中，若兩條直線 x=m， x=n 分別與拋物線交于 E、 G 兩點(diǎn)，與（ 2）中的函數(shù)圖像交于 F、 H 兩點(diǎn)，問四邊形 EFHG 能否為平行四邊形？若能，求出m、 n 之間的數(shù)量關(guān)系；若不能，請(qǐng)說明理由 x y D A C O P B E F C A D G 共 49 頁 第 29 頁 18 （ 2010 四川 巴中 ） 如圖 12 已知 ABC 中， ACB 90以 AB 所在直線為 x 軸，過 c 點(diǎn)的直線為 y 軸建立平 面直角坐標(biāo)系此時(shí)， A 點(diǎn)坐標(biāo)為（一 1 ， 0）， B 點(diǎn)坐標(biāo)為（ 4， 0 ） （ 1）試求點(diǎn) C 的坐標(biāo) （ 2）若拋物線 2y a x b x c 過 ABC 的三個(gè)頂點(diǎn)，求拋物線的解析式 （ 3）點(diǎn) D（ 1， m ）在拋物線上，過點(diǎn) A 的直線 y= x 1 交（ 2）中的拋物線于點(diǎn) E，那么在 x 軸上點(diǎn) B 的左側(cè)是否存在點(diǎn) P，使以 P、 B、 D 為頂點(diǎn)的三角形與 ABE 相似？若存在，求出 P 點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由。 19 （ 2010 浙江湖州 ） 如圖 ，已知在直角梯形 OABC 的邊 OA 在 y 軸的正半軸上， OC 在 x 軸的正半軸上， OA AB 2， OC 3，過點(diǎn) B 作 BD BC，交 OA 于點(diǎn) D，將 DBC 繞點(diǎn) B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，角的兩邊分別交 y 軸的正半軸于 E 和 F （ 1）求經(jīng)過 A， B， C 三點(diǎn)的拋物線的解析式； （ 2）當(dāng) BE 經(jīng)過（ 1）中拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，求 CF 的長(zhǎng)； （ 3）連接 EF，設(shè) BEF 與 BFC 的面積之差為 S，問：當(dāng) CF 為何值時(shí) S 最小，并求出這個(gè)最小值 . D G H 共 49 頁 第 30 頁 20 （ 2010 江蘇常州） 如圖，已知二次函數(shù) 2 3y a x b x 的圖 像與 x 軸相交于點(diǎn) A、 C，與 y 軸相較于點(diǎn) B， A（ 9,04），且 AOB BOC。 （ 1）求 C 點(diǎn)坐標(biāo)、 ABC 的度數(shù)及二次函數(shù) 2 3y a x b x 的關(guān)系是； （ 2）在線段 AC 上是否存在點(diǎn) M（ ,0m ）。使得以線段 BM 為直徑的圓與邊 BC 交于 P 點(diǎn)（與點(diǎn) B 不同），且以點(diǎn) P、 C、 O 為頂點(diǎn)的三 角形是等腰三角形？若存在，求出 m 的值；若不存在，請(qǐng)說明理由。 21 （ 2010 江蘇常州） 如圖，在矩形 ABCD 中， AB=8， AD=6，點(diǎn) P、 Q 分別是 AB 邊和 CD 邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn) P 從點(diǎn) A 向點(diǎn) B 運(yùn)動(dòng)，點(diǎn) Q 從點(diǎn) C 向點(diǎn) D 運(yùn)動(dòng)，且保持 AP-CQ。設(shè) AP=x （ 1）當(dāng) PQ AD 時(shí)，求 x 的值； （ 2）當(dāng)線段 PQ 的垂直平分線與 BC 邊相交時(shí)，求 x 的取值范圍； （ 3）當(dāng)線段 PQ 的垂直平分線與 BC 相交時(shí)，設(shè)交點(diǎn)為 E，連接 EP、 EQ，設(shè) EPQ 的面積為S，求 S 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式，并寫出 S 的取值范圍。 22 （ 2010 山東濱州） 如圖，四邊形 ABCD 是菱形，點(diǎn) D 的坐標(biāo)是 )3,0( ，以點(diǎn) C 為 頂點(diǎn)的拋物線 cbxaxy 2 恰好經(jīng)過 x 軸上 A、 B 兩點(diǎn) (1)求 A、 B、 C 三點(diǎn)的坐標(biāo)； 共 49 頁 第 31 頁 (2) 求經(jīng)過 A、 B、 C 三點(diǎn)的的拋物線的解析式； (3)若將上述拋物線沿其對(duì)稱軸向上平移后恰好過 D 點(diǎn)，求平移后拋物線的解析式，并指出平移了多少各單位？ 23 （ 2010 湖北荊門） 已知 一次 函數(shù) y 121 x的圖象 與 x 軸交于 點(diǎn) A與 y 軸交于點(diǎn) B ；二次函數(shù) cbxxy 221圖象與一次函數(shù) y 121 x的圖象交于 B 、 C 兩點(diǎn)，與 x 軸交于 D 、 E 兩點(diǎn)且 D 點(diǎn)的坐標(biāo)為 )0,1( （ 1）求 二次函數(shù)的解析式 ； （ 2） 求四邊形 BDEF 的面積 S； （ 3）在 x 軸上是否存在點(diǎn) P，使得 PBC 是以 P 為直角頂點(diǎn)的直角三角形？若存在，求出所有的點(diǎn) P ，若不存在，請(qǐng)說明理由。 24 （ 2010 湖南株洲） （本題滿分 10 分） 在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線過原點(diǎn) O，且與 x 軸交于另一點(diǎn) A ，其頂點(diǎn)為 B 孔明同學(xué)用一把寬為 3cm 帶刻度的矩形直尺對(duì)拋物線進(jìn)行如下測(cè)量： 量得 3OA cm ； 把直尺的左邊與拋物線的對(duì)稱軸重合，使得直尺左下端點(diǎn)與拋物線的頂點(diǎn)重合（如圖 1），測(cè)得拋物線與直尺右邊的交點(diǎn) C 的刻度讀數(shù)為 4.5 請(qǐng)完成下列問題： （ 1）寫出拋物線的對(duì)稱軸； 共 49 頁 第 32 頁 （ 2）求拋物線的解析式； （ 3）將圖中的直尺（足夠長(zhǎng)）沿水平方向向右平移到點(diǎn) A 的右邊（如圖 2），直尺的兩邊交x 軸于點(diǎn) H 、 G ，交拋物線于點(diǎn) E 、 F 求證： 21 ( 9 )6E F G HS E F梯 形 25 （ 2010 四川成都） 在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，拋物線 2y a x b x c 與 x 軸交于AB、 兩點(diǎn)（點(diǎn) A 在點(diǎn) B 的左側(cè)），與 y 軸交于點(diǎn) C ，點(diǎn) A 的坐標(biāo)為 ( 30)， ，若將經(jīng)過 AC、兩點(diǎn)的直線 y kx b沿 y 軸向下平移 3 個(gè)單位后恰好經(jīng)過原點(diǎn)，且拋物線的對(duì)稱軸是直線2x （ 1）求直線 AC 及拋物線的函數(shù)表達(dá)式； （ 2）如果 P 是線段 AC 上一點(diǎn)，設(shè) ABP 、 BPC 的面積分別為ABPS、BPCS，且: 2 : 3A B P B P CSS ，求點(diǎn) P 的坐標(biāo)； （ 3）設(shè) Q 的半徑為 l， 圓心 Q 在拋物線上運(yùn)動(dòng)，則在運(yùn)動(dòng)過程中是否存在 Q 與坐標(biāo)軸相切的情況？若存在，求出圓心 Q 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由并探究：若設(shè) Q的半徑為 r ，圓心 Q 在拋物線上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng) r 取何 值時(shí)， Q 與兩坐軸同時(shí)相切？ 圖 1 圖 2 B 共 49 頁 第 33 頁 26 （ 2010 山東濰坊） 如圖所示，拋物線與 x 軸交于 A（ 1， 0）、 B（ 3， 0）兩點(diǎn)，與 y 軸交于 C（ 0， 3）以 AB 為直徑做 M，過拋物線上的一點(diǎn) P 作 M 的切線 PD，切點(diǎn)為 D，并與 M 的切線 AE 相交于點(diǎn) E連接 DM 并延長(zhǎng)交 M 于點(diǎn) N，連接 AN （ 1）求拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)的解析式及拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)； （ 2）若四邊形 EAMD 的面積為 4 3 ，求直線 PD 的函數(shù)關(guān)系式； （ 3）拋物線上是否存在點(diǎn) P，使得四邊形 EAMD 的面積等于 DAN 的面積？若存在，求出點(diǎn) P 的坐標(biāo)，若 不存在，說明理由 27 （ 2010 廣東中山） 已知二次函數(shù) cbxxy 2 的圖象如圖所示，它與 x 軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（ -1， 0），與 y 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（ 0， 3） （ 1）求出 b， c 的值，并寫出此二次函數(shù)的解析式； （ 2）根據(jù)圖象，寫出函數(shù)值 y 為正數(shù)時(shí)，自變量 x 的取值范圍 共 49 頁 第 34 頁 28 （ 2010 廣東中山） 如圖（ 1），（ 2）所示，矩形 ABCD 的邊長(zhǎng) AB=6， BC=4，點(diǎn) F 在DC 上， DF=2 動(dòng)點(diǎn) M、 N 分別從點(diǎn) D、 B 同時(shí)出發(fā)，沿射線 DA、線段 BA 向點(diǎn) A 的方向運(yùn)動(dòng)（點(diǎn) M 可運(yùn)動(dòng)到 DA 的延長(zhǎng)線 上），當(dāng)動(dòng)點(diǎn) N 運(yùn)動(dòng)到點(diǎn) A 時(shí)， M、 N 兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng) 連接 FM、 MN、 FN，當(dāng) F、 N、 M 不在同一直線時(shí)，可得 FMN，過 FMN 三邊的中點(diǎn)作 PQW 設(shè)動(dòng)點(diǎn) M、 N 的速度都是 1 個(gè)單位 /秒， M、 N 運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為 x 秒 試解答下列問題： （ 1）說明 FMN QWP； （ 2）設(shè) 0 x 4（即 M從 D 到 A 運(yùn)動(dòng)的時(shí)間段） 試問 x 為何值時(shí)， PQW 為直角三角形？ 當(dāng) x 在何范圍時(shí)， PQW 不為直角三角形？ （ 3）問 當(dāng) x 為何值時(shí)， 線段 MN 最短？求此時(shí) MN 的值 29 （ 2010 湖南常德） 如圖 9, 已知拋物線 212y x b x c 與 x 軸交于 A ( 4， 0) 和 B(1，0)兩點(diǎn) ， 與 y 軸交于 C 點(diǎn) （ 1） 求此拋物線的解析式； （ 2） 設(shè) E 是線段 AB 上的動(dòng)點(diǎn) ， 作 EF/AC 交 BC 于 F， 連接 CE， 當(dāng) CEF 的面積是 BEF 面積的 2 倍時(shí) ， 求 E 點(diǎn)的坐標(biāo) ； （ 3） 若 P 為拋物線上 A、 C 兩點(diǎn)間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過 P 作 y 軸的平行線，交 AC 于 Q，當(dāng) P 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，線段 PQ 的值最大，并求此時(shí) P 點(diǎn)的坐標(biāo) x y O B C A 圖 9 共 49 頁 第 35 頁 30 （ 2010 湖南郴州） 如圖（ 1），拋物線 42y x x 與 y 軸交于點(diǎn) A， E（ 0， b）為 y軸上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn) E 的直線 y x b與拋物線交于點(diǎn) B、 C. （ 1）求點(diǎn) A 的坐標(biāo)； （ 2)當(dāng) b=0 時(shí)（如圖（ 2）， ABE 與 ACE 的面積大小關(guān)系如何？當(dāng) 4b 時(shí)，上述關(guān)系還成立嗎，為什么？ （ 3）是否存在這樣的 b，使得 BOC 是以 BC 為斜邊的直角三角形，若存在，求出 b；若不存在，說明理由 . 31 （ 2010 湖南懷化） 圖 9 是二次函數(shù) kmxy 2)( 的圖象，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為 M(1,-4). （ 1）求出圖象與 x 軸的交點(diǎn) A,B 的坐標(biāo)； （ 2）在二次 函數(shù)的圖象上是否存在點(diǎn) P，使MABPAB SS 45,若存在，求出 P 點(diǎn)的 坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由； （ 3）將二次函數(shù)的圖象在 x 軸下方的部分沿 x 軸翻折，圖象的其余部分保持不變， 得到一個(gè)新的圖象，請(qǐng)你結(jié)合這個(gè)新的圖象回答：當(dāng)直線 )1( bbxy 與此 圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)， b 的取值范圍 . 32 （ 2010 湖北鄂州） 如圖，在直角坐標(biāo)系中， A（ -1， 0）， B（ 0， 2），一動(dòng)點(diǎn) P 沿過 B 點(diǎn)且垂直于 AB 的射線 BM 運(yùn)動(dòng)， P 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為每秒 1 個(gè)單位長(zhǎng)度，射線 BM 與 x 軸交與點(diǎn) C （ 1）求點(diǎn) C 的坐標(biāo) 圖 9 yxCBAOEyxCBAOE第 26 題 圖（ 1） 圖（ 2） 共 49 頁 第 36 頁 （ 2）求過點(diǎn) A、 B、 C 三點(diǎn)的拋物線的解析式 （ 3）若 P 點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)時(shí)， Q 點(diǎn)也同時(shí)從 C 出發(fā)，以 P 點(diǎn)相同的速度沿 x 軸負(fù)方向向點(diǎn) A 運(yùn)動(dòng)， t 秒后，以 P、 Q、 C 為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形（點(diǎn) P 到點(diǎn) C 時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn) Q 也同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)）求 t 的值 （ 4）在（ 2）（ 3）的條件下，當(dāng) CQ=CP 時(shí)，求直線 OP 與 拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo) 33 （ 2010 湖北省咸寧 ） 已知二次函數(shù) 2y x bx c 的圖象與 x 軸兩交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（ m ，0），（ 3 m ， 0）（ 0m ） （ 1）證明 243cb ； （ 2）若該函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線 1x ，試求二次函數(shù)的最小值 34 （ 2010 湖北恩施自治州） 如 圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù) cbxxy 2 的圖象與 x 軸交于 A、 B 兩點(diǎn)， A 點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)， B 點(diǎn)的坐標(biāo)為（ 3， 0），與 y 軸交于 C（ 0，-3） 點(diǎn)， 點(diǎn) P 是直線 BC 下方的 拋物 線上一動(dòng)點(diǎn) . （ 1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式 （ 2） 連結(jié) PO、 PC， 并把 POC 沿 CO 翻折，得到四邊形 POP/ C， 那么是否存在點(diǎn) P，使四邊形 POP/ C 為菱形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn) P 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由 （ 3） 當(dāng)點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形 ABPC 的面積最大并求出此時(shí) P 點(diǎn)的坐標(biāo)和四邊形 ABPC 的最大面積 . 35 （ 2010 北京） 在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，拋物線 23454 1 22 mxxmxmy與x 軸的交點(diǎn)分別為原點(diǎn) O 和點(diǎn) A，點(diǎn) B（ 2， n）在這條拋物線上 （ 1）求 B 點(diǎn)的坐標(biāo)； （ 2）點(diǎn) P 在線段 OA 上，從 O 點(diǎn)出發(fā)向 A 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，過 P 點(diǎn)作 x 軸的垂線，與直線 OB 交與點(diǎn) E，延長(zhǎng) PE 到點(diǎn) D，使得 ED=PE，以 PD 為斜邊，在 PD 右側(cè) 做等等腰直角三角形 PCD（當(dāng) P 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)， C 點(diǎn)、 D 點(diǎn)也隨之運(yùn)動(dòng)） 共 49 頁 第 37 頁 當(dāng)?shù)妊苯侨切?PCD 的頂點(diǎn) C 落在此拋物線上時(shí)，求 OP 的長(zhǎng)； 若 P 點(diǎn)從 O 點(diǎn)出發(fā)向 A 點(diǎn)作勻速運(yùn)動(dòng)，速度為每秒 1 個(gè)單位，同時(shí)線段 OA 上另一個(gè)點(diǎn)Q 從 A 點(diǎn)出發(fā)向 O 點(diǎn)作勻速運(yùn)動(dòng)，速度為每秒 2 個(gè)單位（當(dāng) Q 點(diǎn)到達(dá) O 點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)， P點(diǎn)也同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)）過 Q 點(diǎn)做 x 軸的垂線，與直線 AB 交與點(diǎn) F，延長(zhǎng) QF 到點(diǎn) M，使得FM=QF，以 QM 為斜邊，在 QM 的左側(cè)作等腰直角三角形 QMN（當(dāng) Q 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)， M 點(diǎn)、 N 點(diǎn)也隨之運(yùn)動(dòng)）若 P 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到 t 秒時(shí)，兩個(gè)等腰直角三角形分 別有一條邊恰好落在同一條直線上，求此刻 t 的值 36 （ 2010 云南 紅河 哈尼族彝族 自治州 ） 二次函數(shù) 2xy 的圖像如圖 8 所示，請(qǐng)將此圖像向右平移 1 個(gè)單位，再向下平移 2個(gè)單位 . （ 1）畫出經(jīng)過兩次平移后所得到的圖像，并寫出函數(shù)的解析式 . （ 2）求經(jīng)過兩次平移后的圖像與 x 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，指出當(dāng) x 滿足什么條件時(shí)，函數(shù)值大于 0？ 37 （ 2010 云南楚雄） 已知：如圖，拋物線 2y a x b x c 與 x 軸相交于兩點(diǎn) A(1， 0)， B(3，0).與 y 軸相較于點(diǎn) C（ 0， 3） （ 1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式； （ 2）若點(diǎn) D（ 7,2m）是拋物線 2y a x b x c 上一點(diǎn)，請(qǐng)求出 m 的值，并求處此時(shí) ABD 的面積 38 （ 2010 湖北隨州） 已知拋物線 2 ( 0 )y a x b x c a 頂點(diǎn)為 C（ 1， 1）且過原點(diǎn) O.過拋物線上一點(diǎn) P（ x， y）向直線 54y作垂線，垂足為 M，連 FM（如圖） . （ 1）求字母 a， b， c 的值； 31 2 41234O1212xy 共 49 頁 第 38 頁 （ 2）在直線 x 1 上有一點(diǎn) 3(1, )4F，求以 PM 為底邊的等腰三角形 PFM 的 P 點(diǎn)的坐標(biāo)，并證明此時(shí) PFM 為正三角形； （ 3）對(duì)拋物線上任意一點(diǎn) P，是否總存在一點(diǎn) N（ 1， t），使 PM PN 恒成立，若存在請(qǐng)求出 t 值，若不存在請(qǐng)說明理由 . 39 （ 2010 河 南） 在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過 A(4， 0)， B(0，一 4)， C(2， 0)三點(diǎn) . (1)求拋物線的解析式； (2)若點(diǎn) M 為第三象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn) M 的橫坐標(biāo)為 m， AMB 的面積為 S.求 S 關(guān)于 m的函數(shù)關(guān)系式，并求出 S 的最大值； (3)若點(diǎn) P 是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn) Q 是直線 y= x 上的動(dòng)點(diǎn)，判斷有幾個(gè)位置能使以點(diǎn) P、Q、 B、 0 為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，直接寫出相應(yīng)的點(diǎn) Q 的坐標(biāo) . 40 （ 2010 四川樂山） 如圖 (13.1)，拋物線 y x2+bx+c 與 x 軸交于 A， B 兩點(diǎn)，與 y 軸交于點(diǎn)C(0， 2)，連接 AC，若 tan OAC 2 (1)求拋物線對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的解析式； (2)在拋物線的對(duì)稱軸 l 上是否存在點(diǎn) P，使 APC 90，若存在，求出點(diǎn) P 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由； (3)如圖 (13.2)所示，連接 BC， M 是線段 BC 上 (不與 B、 C 重合 )的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn) M 作直線 l l，交拋物線于點(diǎn) N，連接 CN、 BN，設(shè)點(diǎn) M 的橫坐標(biāo)為 t當(dāng) t 為何值時(shí)， BCN 的面積最大？最大面積為多少？ 共 49 頁 第 39 頁 41 （ 2010 江蘇徐州） 如圖，已知二次函數(shù) y= 42341 2 xx的圖象與 y 軸交于點(diǎn) A，與x 軸 交于 B、 C 兩點(diǎn)，其對(duì)稱軸與 x 軸交于點(diǎn) D，連接 AC 全品中考網(wǎng) (1)點(diǎn) A 的坐標(biāo)為 _ ，點(diǎn) C 的坐標(biāo)為 _ ； (2)線段 AC 上是否存在點(diǎn) E，使得 EDC 為等腰三角形 ?若存在，求出所有符合條件的點(diǎn) E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由； (3)點(diǎn) P 為 x 軸上方的拋物線上 的一個(gè) 動(dòng) 點(diǎn)， 連接 PA、 PC，若所得 PAC 的面積為 S，則 S取何值時(shí)，相應(yīng)的點(diǎn) P 有 且只有 2 個(gè) ? 42 （ 2010 云南昆明） 在平面直角 坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過 O（ 0， 0）、 A（ 4， 0）、 B（ 3， 233）三點(diǎn) . （ 1）求此拋物線的解析式； （ 2）以 OA 的中點(diǎn) M 為圓心， OM 長(zhǎng)為半徑作 M，在（ 1）中的拋物線上是否存在這樣的點(diǎn) P，過點(diǎn) P 作 M 的切線 l ，且 l 與 x 軸的夾角為 30，若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn) P 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由 .（注意：本題中的結(jié)果可保留根號(hào)） 共 49 頁 第 40 頁 43 （ 2010 陜西西安） 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過 A（ 1， 0）， B（ 3， 0）， C（ 0， 1）三點(diǎn)。 （ 1）求該拋物 線的表達(dá)式； （ 2）點(diǎn) Q 在 y 軸上，點(diǎn) P 在拋物線上，要使以點(diǎn) Q、 P、 A、 B 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求所有滿足條件的點(diǎn) P 的坐標(biāo)。 44 （ 2010 四川內(nèi)江） 如圖， 拋物線 y mx22mx3m(m 0)與 x 軸交于 A、 B 兩點(diǎn)， 與 y軸交于 C 點(diǎn) . （ 1） 請(qǐng)求 拋物線 頂點(diǎn) M 的坐標(biāo)（用含 m 的代數(shù)式表示）， A， B 兩點(diǎn) 的坐標(biāo) ； （ 2） 經(jīng)探究可知， BCM 與 ABC 的面積比不變， 試 求出這個(gè)比值； （ 3） 是否存在使 BCM 為直角三角形的 拋物線 ？若存在，請(qǐng)求出；如果不存在，請(qǐng)說明 理由 . x M A B C y O 共 49 頁 第 41 頁 45 （ 2010 廣東東莞） 已知二次函數(shù) cbxxy 2 的圖象如圖所示，它與 x 軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（ 1， 0），與 y 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（ 0， 3） 求出 b,c 的值，并寫出此時(shí)二次函數(shù)的解析式； 根據(jù)圖象，寫出函數(shù)值 y 為正數(shù)時(shí)，自變量 x 的取值范圍 46 （ 2010 福建三明） 已知拋物線 )0(2 acbxaxy 經(jīng)過點(diǎn) B（ 2， 0）和點(diǎn) C（ 0， 8），且它的對(duì)稱軸是直線 2x 。 （ 1）求拋物線與 x 軸的另一交點(diǎn) A 坐標(biāo)；（ 2 分） （ 2）求此拋物線的解析式；（ 3 分） （ 3）連結(jié) AC、 BC，若點(diǎn) E 是線段 AB 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn) A、點(diǎn) B）不重合，過點(diǎn) E 作 EF AC 交 BC 于點(diǎn)F，連結(jié) CE，設(shè) AE 的長(zhǎng)為 m， CEF 的面積為 S，求 S 與 m 之間的函數(shù)關(guān)系式； （ 4）在（ 3）的基礎(chǔ)上試說明 S 是否存在最大值，若 存在，請(qǐng)求出 S 的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn) E 的 坐標(biāo)，判斷此時(shí) BCE 的形狀；若不存在，請(qǐng) 說明理由。 47 （ 2010 湖北襄樊） 如圖 7，四邊形 ABCD 是平行四邊形， AB=4， OB=2，拋物線過 A、 B、C 三點(diǎn)，與 x 軸交于另一點(diǎn) D一動(dòng)點(diǎn) P 以每秒 1 個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從 B 點(diǎn)出發(fā)沿 BA向點(diǎn) A 運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn) A 停止，同時(shí)一動(dòng)點(diǎn) Q 從點(diǎn) D 出發(fā)，以每秒 3 個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿 DC 向點(diǎn) C 運(yùn)動(dòng)，與點(diǎn) P 同時(shí)停止 （ 1）求拋物線的解析式； （ 2）若拋物線的對(duì)稱軸與 AB 交于點(diǎn) E，與 x 軸交于點(diǎn) F，當(dāng)點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng)時(shí)間 t 為何值時(shí)，四邊形 POQE 是等腰梯形？ （ 3）當(dāng) t 為何值時(shí)，以 P、 B、 O 為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn) Q、 B、 O 為頂點(diǎn)的三角形相似？ x y 3 1 O 共 49 頁 第 42 頁 48 （ 2010 山東東營(yíng)） 如圖，已知二次函數(shù) 2 4y ax x c 的圖象與坐標(biāo)軸交于點(diǎn) A（ -1， 0）和點(diǎn) B（ 0， -5） （ 1）求該二次函數(shù)的解析式； （ 2）已知該函數(shù)圖象的對(duì)稱軸上存在一點(diǎn) P，使得 ABP 的周長(zhǎng)最小請(qǐng)求出 點(diǎn) P 的坐標(biāo) 49 （ 2010 四川綿陽） 如圖，拋物線 y = ax2 + bx + 4 與 x 軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為 A（ 4，0）、 B（ 2， 0），與 y 軸交于點(diǎn) C，頂點(diǎn)為 D E（ 1， 2）為線段 BC 的中點(diǎn)， BC 的垂直平分線與 x 軸、 y 軸分別交于 F、 G （ 1）求拋物線的函數(shù)解析式，并寫出頂點(diǎn) D 的坐標(biāo)； （ 2）在直線 EF 上求一點(diǎn) H，使 CDH 的周長(zhǎng)最小，并求出最小周長(zhǎng)； （ 3）若點(diǎn) K 在 x 軸上方的拋物線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng) K 運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)， EFK 的面積最大？并求出最大面積 50 （ 2010 湖北孝 感） 如圖，已知二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（ 2， 0），直線 1 xy 與C E D G A x y O B F x O A （第 23 題圖） B y 共 49 頁 第 43 頁 二次函數(shù)的圖像交于 A、 B 兩點(diǎn)，其中點(diǎn) A 在 y 軸上。 （ 1）二次函數(shù)的解析式為 y= ；（ 3 分） （ 2）證明點(diǎn) )12,( mm 不在（ 1）中所求的二次函數(shù)的圖像上；（ 3 分） （ 3）若 C 為線段 AB 的中點(diǎn)，過 C 點(diǎn)作 xCE 軸于 E 點(diǎn)， CE 與二次函數(shù)的圖像交于 D點(diǎn)。 y 軸上存在點(diǎn) K，使以 K、 A、 D、 C 為 頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則 K 點(diǎn)的坐標(biāo)是 ；（ 2 分） 二次函數(shù)的圖像上是否存在點(diǎn) P，使得ABDPOE SS 2？若存在，求出 P 點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由。（ 4 分） 51 （ 2010 江蘇鎮(zhèn)江） 運(yùn)算求解 已知二次函數(shù) mxxy 22 的圖象 C1 與 x 軸有且只有一個(gè)公共點(diǎn) . （ 1）求 C1 的頂點(diǎn)坐標(biāo)； （ 2）將 C1 向下平移若干個(gè)單位后，得拋物線 C2，如果 C2 與 x 軸的一個(gè)交 點(diǎn)為 A（ 3，0），求 C2 的函數(shù)關(guān)系式，并求 C2 與 x 軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)； （ 3）若 nyyCyQynP 求實(shí)數(shù)且上的兩點(diǎn)是 ,),2(),( 21121 的取值范圍 . 52 (2010 江蘇蘇州 ) (本題滿分 9 分 )如圖，以 A 為頂點(diǎn)的拋物線與 y 軸交于點(diǎn) B已知 A、B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 (3， 0)、 (0， 4) (1)求拋物線的解析式； (2)設(shè) M(m， n)是拋物線上的一點(diǎn) (m、 n 為正整數(shù) )，且它位于對(duì)稱軸的右側(cè)若以 M、 B、O、 A 為頂點(diǎn)的四邊形四條邊的長(zhǎng)度是四個(gè)連續(xù)的正整數(shù)，求點(diǎn) M 的坐標(biāo)； (3)在 (2)的條件 下，試問：對(duì)于拋物線對(duì)稱軸上的任意一點(diǎn) P， PA2+PB2+PM2 28 是 否總成立 ?請(qǐng)說明理由 共 49 頁 第 44 頁 53 （ 2010 廣東廣州， 21， 12 分） 已知拋物線 y x2 2x 2 （ 1） 該拋物線的對(duì)稱軸是 ，頂點(diǎn)坐標(biāo) ； （ 2） 選取適當(dāng)?shù)臄?shù)據(jù)填入下表，并在圖 7 的直角坐標(biāo)系內(nèi)描點(diǎn)畫出該拋物線的圖象； x y （ 3） 若該拋物線上兩點(diǎn) A（ x1， y1）， B（ x2， y2）的橫坐標(biāo)滿足 x1 x2 1，試比較 y1與 y2 的大小 54 （ 10 湖南益陽） 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知 A、 B、 C 三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 A（ 2，0）， B（ 6， 0）， C（ 0， 3） . (1)求經(jīng)過 A、 B、 C 三點(diǎn)的拋物線的解析式； (2)過 點(diǎn)作 CD 平行于 x 軸交拋物線于點(diǎn) D，寫出 D 點(diǎn)的坐標(biāo)，并求 AD、 BC 的交點(diǎn) E 的坐標(biāo)； (3)若拋物線的頂點(diǎn)為 ，連結(jié) C、 D，判斷四邊形 CEDP 的形狀，并說明理由 . 55 （ 2010 江蘇南京 ）（ 7 分）已知點(diǎn) A（ 1， 1）在二次函 數(shù) 2 2y x a x b 圖像上。 （ 1）用含 a 的代數(shù)式表示 b ； - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 O 1 2 3 4 5 xy- 11PAC DEBo xy1 11 共 49 頁 第 45 頁 （ 2）如果該二次函數(shù)的圖像與 x 軸只有一個(gè)交點(diǎn)，求這個(gè)二次函數(shù)的圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)。 56 （ 2010 江蘇鹽城） （本題滿分 12 分）已知：函數(shù) y=ax2+x+1 的圖象與 x 軸只有一個(gè)公共點(diǎn) （ 1）求這個(gè)函數(shù)關(guān)系式； （ 2）如圖所示，設(shè) 二次 函數(shù) y=ax2+x+1 圖象的頂 點(diǎn)為 B，與 y 軸的交點(diǎn)為 A， P 為圖象上的一點(diǎn)，若以線段 PB 為直徑的圓與直線 AB 相切于點(diǎn) B，求 P 點(diǎn)的坐標(biāo)； （ 3）在 (2)中，若圓與 x 軸另一交點(diǎn)關(guān)于直線 PB 的對(duì)稱點(diǎn)為 M，試探索點(diǎn) M 是否在拋物線 y=ax2+x+1 上，若在拋物線上，求出 M 點(diǎn)的坐標(biāo)；若不在，請(qǐng)說明理由 57 （ 2010 遼寧 丹東 市 ） 如圖，平面直角坐標(biāo)系中有一直角梯形 OMNH，點(diǎn) H 的坐標(biāo)為（ 8，0），點(diǎn) N 的坐標(biāo)為（ 6， 4） （ 1）畫出直角梯形 OMNH 繞點(diǎn) O 旋轉(zhuǎn) 180 的圖形 OABC，并寫出頂點(diǎn) A， B， C 的坐標(biāo)（點(diǎn)M 的對(duì)應(yīng) 點(diǎn)為 A， 點(diǎn) N 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為 B， 點(diǎn) H 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為 C）； （ 2）求出過 A， B， C 三點(diǎn)的拋物線的表達(dá)式； （ 3）截取 CE=OF=AG=m，且 E， F， G 分別在線段 CO， OA， AB 上，求 四邊形 BEFG 的面積S 與 m 之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量 m 的取值范圍；面積 S 是否存在最小值 ?若存在，請(qǐng)求出這個(gè)最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由； （ 4）在（ 3）的情況下，四邊形 BEFG 是否存在鄰邊相等的情況，若存在，請(qǐng) 直接 寫出此時(shí) m 的值，并指出相等的鄰邊；若不存在，說明理由 58 （ 2010 山東 濟(jì)寧 ） 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)為（ 4 ， 1 ）的拋物線交 y 軸A x y O B xyOMN （- 6 ，- 4 ）H （- 8 ，0 ）第 26 題圖 共 49 頁 第 46 頁 于 A 點(diǎn)，交 x 軸于 B ， C 兩點(diǎn)（點(diǎn) B 在點(diǎn) C 的左側(cè)） . 已知 A 點(diǎn)坐標(biāo)為（ 0 ， 3 ） . （ 1）求此拋物線的解析式； （ 2）過點(diǎn) B 作線段 AB 的垂線交拋物線于點(diǎn) D ， 如果以點(diǎn) C 為圓心的圓與直線 BD 相切，請(qǐng)判斷拋物線的對(duì)稱軸 l 與 C 有怎樣的位置關(guān)系，并給出證明； （ 3）已知點(diǎn) P 是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且位于 A ， C 兩點(diǎn)之間，問：當(dāng)點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)， PAC 的面積最大？并求出此時(shí) P 點(diǎn)的坐標(biāo)和 PAC 的最大面積 . 59 （ 2010 甘肅蘭州） （本題滿分 11 分）如圖 1，已知矩形 ABCD 的頂點(diǎn) A 與點(diǎn) O 重合， AD、AB 分別在 x 軸、 y 軸上，且 AD=2， AB=3；拋物線 cbxxy 2 經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn) O 和 x軸上另一點(diǎn) E（ 4,0） （ 1）當(dāng) x 取何值時(shí)，該拋物線的最大值是多少？ （ 2）將矩形 ABCD 以每秒 1 個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從圖 1 所示的位置沿 x 軸的正方向勻速平行移動(dòng)，同時(shí)一動(dòng)點(diǎn) P 也以 相同的速度 從點(diǎn) A 出發(fā)向 B 勻速移動(dòng) .設(shè)它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為 t 秒（ 0 t 3），直線 AB 與該 拋物線的交點(diǎn)為 N（如圖 2 所示） . 當(dāng) 411t 時(shí)，判斷點(diǎn) P 是否在直線 ME 上，并說明理由； 以 P、 N、 C、 D 為頂點(diǎn)的多邊形面積是否可能為 5，若有可能，求出此時(shí) N 點(diǎn)的坐標(biāo)；若無可能，請(qǐng)說明理由 60 （ 2010 山東青島） 已知：把 RtABC 和 RtDEF 按如圖（ 1）擺放（點(diǎn) C 與點(diǎn) E 重合），點(diǎn) B、 C（ E）、 F 在同一條直線上 ACB = EDF = 90， DEF = 45， AC = 8 cm， BC = 6 cm，EF = 9 cm A x y B O C D (第 23 題 ) 共 49 頁 第 47 頁 如圖（ 2）， DEF 從圖（ 1）的位置出發(fā)，以 1 cm/s 的速度沿 CB 向 ABC 勻速 移 動(dòng) ，在DEF 移 動(dòng) 的同時(shí)，點(diǎn) P 從 ABC 的頂點(diǎn) B 出發(fā)，以 2 cm/s 的速度沿 BA 向點(diǎn) A 勻速移 動(dòng) .當(dāng)DEF 的頂點(diǎn) D 移動(dòng)到 AC 邊上時(shí)， DEF 停止移 動(dòng)，點(diǎn) P 也隨之停止移動(dòng) DE 與 AC 相交于點(diǎn) Q，連接 PQ，設(shè) 移 動(dòng)時(shí)間為 t（ s）（ 0 t 4.5） 解答下列問題： （ 1）當(dāng) t 為何值時(shí)，點(diǎn) A 在線段 PQ 的垂直平分線上？ （ 2）連接 PE，設(shè)四邊形 APEC 的面積為 y（ cm2），求 y 與 t 之間的函數(shù)關(guān)系式；是否存在某一時(shí)刻 t，使面積 y 最?。咳舸嬖?，求出 y 的最小值；若不存在，說明理由 （ 3）是否存在某一時(shí)刻 t，使 P、 Q、 F 三點(diǎn)在同一條直線上？若存在，求出此時(shí) t 的值；若不存在，說明理由 （圖（ 3）供同學(xué)們做題使用） 61 （ 2010 山東煙臺(tái)） （本題滿分 14分） 如圖， ABC 中